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湘教版2025—2026学年九年级上册期末模拟提分培优卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于x的一元二次方程x2-kx+2=0有实数根，则k可能是（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．
2．设实数，，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图是一次函数图象，下列是反比例函数的性质是（ ）
A．函数图象在一三象限 B．，y随x的增大而增大
C．，y随x的增大而减小 D．函数图象关于y轴对称
6．某产品经过两次连续涨价，销售单价由原来的28元上升到40元，若该产品平均每次涨价的百分率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次方程的两根为和5，则一次函数y=bx+c图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
9．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法.如图所示，在矩形中，以为边做正方形，以为斜边，作使得点在的延长线上，过点作交于，再过点作于，连结交于，记四边形，四边形的面积分别为，，若，，则为（ ）
A．8 B． C． D．
10．如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 、 ，连接 、 ， 与 相交于点 ，给出下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点C以 的速度移动，同时另一个点 从点C开始沿 以 的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 .
12．已知关于 x的一元二次方程+n=0的一个根是x =-2，则n-2m-5的值为 .
13．如图，有一正方形，边长为，E是边上的中点，对角线上有一动点F，当与相似时，的值为 ．
14．已知，那么 ．
15． 如图，某飞机在离地面垂直距离米的上空处，测得地面控制点的俯角为，那么飞机与该地面控制点之间的距离等于 米结果保留根号．
16．Rt△ABC中，AB=8，BC=6，将它绕着斜边AC中点O逆时针旋转一定角度后得到△A’B’C’，恰好使A’B’∥AC，同时A'B’与AB、BC分别交于点E、F，则EF的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1） ；
（2） .
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，设方程的两根分别为，，求的值．
19．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学：或或 乙同学：，，，，此方程无实数根．
（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程．
20．乌鲁木齐市某小区为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）
请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 ；扇形图中“30吨-35吨”部分的圆心角的度数是 度；
（2）求“15吨~20吨”部分的户数，并补全频数分布直方图．
（3）如果自来水公司基本用水量定为每户25吨，那么该地区150万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
21．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
22．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
23．已知线段 a 、b 、c 满足 a ： b ： c =3： 2 ： 4，且 a+2b+c=33 .
（1）求 a 、b 、c 的值；
（2）若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值；
（3）将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度；
24． 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形保留作图痕迹
（1）如图，在中， ；
（2）如图，在边上取一点，使得；
（3）如图，在边上找一点，使得：．
25．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
（1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
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湘教版2025—2026学年九年级上册期末模拟提分培优卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于x的一元二次方程x2-kx+2=0有实数根，则k可能是（ ）
A．-3 B．-2 C．1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ∵x的一元二次方程x -kx+2=0有实数根
∴
解得或
∵，
∴
选项中只有-3符合题意.
故答案为：A.
【分析】一元二次方程有实根，则.
2．设实数，，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】【解答】解：
，
故 的最大值为 ．
故答案为：C.
【分析】将待求式进行变形可得xy+xz+2yz+2xz=x(y+z)+2z(x+y)=x(1-x)+2z(1-z)=-(x-)2-2(z-)2+，然后根据偶次幂的非负性可得代数式的最大值.
3．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠BAC=41°，AB=10，
sin∠BAC=，
∴BC=AB×sin∠BAC=10sin41°，
故答案为：B.
【分析】根据解直角三角形的方法可得sin∠BAC=，再将数据代入求出BC=AB×sin∠BAC=10sin41°即可.
4．已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解： ① ∵中，
∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误，
③∵，
∴方程的根为，
∴，，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故答案为：C．
【分析】先求出关于的一元二次方程根的判别式，再利用求根公式可写出两个根，最后根据题设分别验证结论即可．
5．如图是一次函数图象，下列是反比例函数的性质是（ ）
A．函数图象在一三象限 B．，y随x的增大而增大
C．，y随x的增大而减小 D．函数图象关于y轴对称
【答案】B
【解析】【解答】
根据y=kx+b的图像可知k<0，
所以的图像分布在第二和第四象限
在第四象限中，y随x的增大而增大，
也就是说当x>0时，y随x的增大而增大，
故答案为：B
【分析】
y=kx+b的图像经过一、二、四象限，所以k<0，
当k<0时，的图像分布在第二和第四象限，结合图像可得出结论。
6．某产品经过两次连续涨价，销售单价由原来的28元上升到40元，若该产品平均每次涨价的百分率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设该产品平均每次涨价的百分率为x，根据题意得
28（1+x）2=40.
故答案为：B
【分析】此题的等量关系为：原来的销售单价×（1+涨价的百分率）2=两次连续涨价的销售单价，列方程即可.
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据，可设
所以
故答案为：A.
【分析】本题考查比例的性质.根据，利用比例的性质可设，再代入进行计算可求出答案.
8．已知二次方程的两根为和5，则一次函数y=bx+c图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【解析】【解答】解：将-1和5代入方程得，，
解得，b=-4，c=-5，
∴ y=-4x-5，
∴ 与坐标轴的交点为（0，-5）（，0）
∴ 一次函数图象不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】将根代入方程求得b和c的值，根据一次函数的解析式求得与坐标轴的交点，即可求得.
9．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法.如图所示，在矩形中，以为边做正方形，以为斜边，作使得点在的延长线上，过点作交于，再过点作于，连结交于，记四边形，四边形的面积分别为，，若，，则为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形AHMD为正方形，
∴DM=DA=7，∠ADM=90°，
∵DG⊥DE，
∴∠GDE=90°，
∴∠ADE+∠EDM=90°，∠GDM+∠MDE=90°，
∴∠ADE=∠GDM，
∵∠A=90°，∠DMG=90°，
∴∠A=∠DMG，
∴△ADE≌△MDG（ASA），
∴DE=DG，AE=GM，
∴四边形DEFG为正方形，
设AE=x，则GM=x，
在Rt△ADE中，，
∵∠DGC=90°，
∴∠DGM+∠CGM=90°，
∵GM⊥CD，
∴∠DMG=∠GMC=90°，
∴∠CGM+∠GCM=90°，
∴∠DGM=∠GCM，
∴△DMG∽△GMC，
∴，
∴，
∵S1-S2=15，
∴（S1+S△CMN）-（S2+S△CMN）=15，即S△EDC-S矩形CMHB=15，
∴，
∴，
∴，
解得：（负数不符合题意，舍去），
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】由同角的余角相等得∠ADE=∠GDM，用ASA证△ADE≌△MDG，得DE=DG，AE=GM，推出四边形DEFG为正方形，设AE=x，则GM=x，在Rt△ADE中，用勾股定理表示出DE，然后判断出△DMG∽△GMC，由相似三角形对应边成比例建立方程表示出CM，由S1-S2=15并结合图形可得（S1+S△CMN）-（S2+S△CMN）=15，即S△EDC-S矩形CMHB=15，据此建立方程求出x的值，从而即可解决问题.
10．如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 、 ，连接 、 ， 与 相交于点 ，给出下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【解析】【解答】解： 正方形 ，
是等边三角形，
故①符合题意；
正方形 ，
是等边三角形，
而
由
故②符合题意；
不相似，故③不符合题意；
正方形 ，
，故④符合题意，
综上：符合题意的有：①②④.
故答案为：D.
【分析】利用正方形的性质可证得四边形的四个角是直角，同时可证得CB=CD=AB，∠EAB=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得BE=2AE，可对①作出判断；利用正方形的性质及平行线的性质去证明△BPC是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得PC=BC=CD，同时可求出∠PCD=30°，∠CDP=75°，∠PDF=15°；再证明∠PBH=∠PDF，由此可证得△BPH∽△DFP，可对②作出判断；结合已知条件不能证△PFD∽△PDB，可对③作出判断； 由正方形的性质得∠CDB=45°，可推出∠PDH=∠PCD=30°，可证得△PDH∽△PCD，利用相似三角形的对应边成比例，可证得结论，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点C以 的速度移动，同时另一个点 从点C开始沿 以 的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ，
根据题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵△PCQ的面积等于450m2，
∴ ，
解得： ，
∵点Q从点C开始沿CB以 的速度移动，
∴ ，
∴ ，
即当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 .
故答案为： .
【分析】设经过的时间是ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，PC=(50-2t)cm，根据△PCQ的面积结合三角形的面积公式可得t的值，由点Q从点C开始沿CB以3m/s的速度移动，可得t≤，然后对求出的t的值进行取舍.
12．已知关于 x的一元二次方程+n=0的一个根是x =-2，则n-2m-5的值为 .
【答案】-9
【解析】【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程+n=0的一个根是x =-2 ，
∴4-2m+n=0，
∴n-2m=-4，
∴原式=-4-5=-9.
故答案为：-9.
【分析】将x=-2代入方程可求出n-2m的值，然后整体代入求值即可.
13．如图，有一正方形，边长为，E是边上的中点，对角线上有一动点F，当与相似时，的值为 ．
【答案】6或8
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴ BC＝CD＝，∠C＝90°
∵E是边上的中点
∴DE＝CE＝CD＝
在R t△BCD中，由勾股定理得
BD＝
设BF＝x，则有DF＝12﹣x，
①当△ABF∽△FDE时，
由 ，即，
解得x＝6．
②当△ABF∽△EDF时，
由，即，
解得，x＝8，
综上所述，BF的值为6或8．
故答案为：6或8．
【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再设BF＝x，则有DF＝12﹣x，然后分两种情况：①当△ABF∽△FDE时，②当△ABF∽△EDF时，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
14．已知，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴可设x＝2a，则y＝3a，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意先求出y＝3a，再代入求解即可。
15． 如图，某飞机在离地面垂直距离米的上空处，测得地面控制点的俯角为，那么飞机与该地面控制点之间的距离等于 米结果保留根号．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：AC=1000米，∠B=60°，∠C=90°，
∵，
∴，
∴，
解得：，
经检验，AB是方程的解，
即飞机与该地面控制点之间的距离等于 ，
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数求出，再计算求解即可。
16．Rt△ABC中，AB=8，BC=6，将它绕着斜边AC中点O逆时针旋转一定角度后得到△A’B’C’，恰好使A’B’∥AC，同时A'B’与AB、BC分别交于点E、F，则EF的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，
依题可得：
AB=A B ，BC=B C ，AC=A C ，
∵ A B ∥AC，
依题可得：
△BAC∽△BEF∽△B GF∽△HGC∽△HOC ，
∴∠A=∠BEF=∠B GF=∠HGC=∠HOC ，
在Rt△ABC中，
∵AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵点O为斜边AC中点，依题可得：
OC=OA=OC =5，
在Rt△ABC和Rt△OHC 中，
∵cos∠A=cos∠HOC ，
∴，
即，
∴OH=4，
∴CH=5-4=1，C H=3，
在Rt△ABC和Rt△CHG中，
∵tan∠A=tan∠CGH，
∴，
即，
∴GH=，
∴CG=，BG=6-3-=，
在Rt△ABC和Rt△B GF中，
∵cos∠A=cos∠B GF，
∴，
即，
∴FG=，
∴BF=6--=，
在Rt△ABC和Rt△BEF中，
∵sin∠A=sin∠BEF，
∴，
即，
∴EF=.
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质结合题意可得AB=A B =8，BC=B C =6，AC=A C =10，根据相似三角形的判定得△BAC∽△BEF∽△B GF∽△HGC∽△HOC ，由相似三角形的性质得∠A=∠BEF=∠B GF=∠HGC=∠HOC ，在各个直角三角形中，根据锐角三角形函数定义求解即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
方程整理得： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
解得： ；
（2）解：
提公因式得： ，
即 ，
∴ 或 ，
解得： .
【解析】【分析】（1）①移项，将常数项移到方程的右边，②配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后直接利用开方即可求出解；
（2）把方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当时，设方程的两根分别为，，求的值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，
解得，
即k的取值范围为；
（2）解：当时，方程为，
解得，，
则．
【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，解不等式求出k的取值范围即可；
（2）把代入方程，根据韦达公式可知，，再将转换成两根之和及两根之积的形式，代入即可求出．
（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
即k的取值范围为；
（2）解：当时，方程为，
解得，，
则．
19．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学：或或 乙同学：，，，，此方程无实数根．
（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程．
【答案】（1）不正确；不正确
（2）解：，
，
，
或，
，．
【解析】【解答】（1）解：甲同学因式分解错误，故解法不正确，乙同学的错误，故解法不正确.
故答案为：不正确；不正确.
【分析】（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断，乙同学的错误，故解法不正确.
（2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程．
（1）解：甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确，
故答案为：不正确；不正确；
（2）解：，
，
，
或，
，．
20．乌鲁木齐市某小区为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点）
请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是 ；扇形图中“30吨-35吨”部分的圆心角的度数是 度；
（2）求“15吨~20吨”部分的户数，并补全频数分布直方图．
（3）如果自来水公司基本用水量定为每户25吨，那么该地区150万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？
【答案】（1）100；
（2）解：∵用水“15吨～20吨”部分的户数为（户），
∴据此补全频数分布直方图如图：
（3）解：∵ （万户），
∴该地万用户中约有万户居民的用水全部享受基本价格．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
用水“10吨-15吨”部分的户数为：10，占比10%
则样本容量为：10÷10%=100，
“30吨-35吨”部分的圆心角的度数为：
故答案为：第1空、100
第2空、
【分析】（1）根据用水“10吨-15吨”部分的户数及占比即可求出样本容量，再根据“30吨-35吨”部分的圆心角的度数为：，即可求出答案.
（2）用水“15吨～20吨”部分的户数为：总人数减去其他部分户数即可求出答案.
（3）根据不超过25吨的用户总数除以样本容量，再乘以150即可求出答案.
21．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
22．2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
（2）解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
【解析】【分析】（1）过点作交于点，利用余弦的定义求出的长即可；
（2）根据勾股定理求出长，然后根据正弦的定义求出的长，利用线段的和差得到的长，根据“时间=路程÷时间”计算解题．
（1）解：如图，过点作交于点，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
（2）解：米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间为秒，
即模拟装置从点下降到点的时间为秒．
23．已知线段 a 、b 、c 满足 a ： b ： c =3： 2 ： 4，且 a+2b+c=33 .
（1）求 a 、b 、c 的值；
（2）若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值；
（3）将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度；
【答案】（1）解： 设定未知数：设a=3 k，b=2k，c=4k，代入a+2b+c=33 ，
解方程： 3k+2·2k+4k=33，即3k+4k+4k=33，得到11k=33，
解得k=3 ，
所以得到a=9，b=6，c=12
（2）解：根据比例中项的定义，线段x满足x2=ab。代入a=9，b=6，
解得
（3）解：黄金分割比例是指线段分割成的两段长度之比为，且两段之和等于原线段长度。
根据此比例，线段b=6分割后，较长线段的长度为，
代入b=6，得到，
化简得
【解析】【分析】(1)根据题目中给出的比例和等式设未知数，解方程求解线段a，b，c的长度；
(2)根据比例中项的定义求解线段 x；
(3)根据黄金分割的定义计算线段b分割后的较长线段的长度.
24． 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形保留作图痕迹
（1）如图，在中， ；
（2）如图，在边上取一点，使得；
（3）如图，在边上找一点，使得：．
【答案】（1）1
（2）解：由可知，，，
如图，取的中点，连接，
则，
则点即为所求．
（3）解：如图，取格点，，使，，，连接交于点，
则∽，
，
，，
：，
则点即为所求．
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
故答案为： 1
【分析】(1)根据图示易知三角形三边长，易证得三角形ABC是直角三角形，正切值可以根据定义直接求得；（2）在上一问的基础上，正切值为原来的一半，则对边减半、邻边不变，问题转化为找AC中点，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可找到D点；（3）根据题意，等底的三角形面积的比就是高的比，高的比也是AC边分成两个线段的比，因此所求的E点是使CE：AE=1：3的E点，根据格点和可由平行判定相似的定理，可画出8形状的相似比是1：3的两相似三角形，交点即为E点。
25．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为．
（1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示）
【答案】（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
【解析】【分析】（1）首先根据，可得出，进而根据余弦定义即可得出
（2）过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质可得出，DP=BG=8cos12°，即可得出。
（1）解：∵，
∴，
由题意可知，，
在中，，
∴，
答：试管口与铁杆的水平距离的长度．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
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