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上海市2025—2026学年八年级上册期末模拟全能练考卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．年月8日，为期天的杭州第届亚运会落下帷幕，中国式的浪漫与热情，在西子湖畔达到高潮．天里，杭州地累计客运量达到6876.9万人次，为亚运期间运输保障交出一份完美的答卷．用科学记数法表示万为（ ）
A． B．
C． D．
2．若，，则x为（ ）
A．214 B． C．2140 D．
3．下列从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．=-0.6 C． D．
4．如图，A，B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，若C是格点，三角形ABC是等腰三角形，则等腰三角形ABC的底边长最大为（ ）
A． B．4 C．5 D．
5．已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）
A．5 B．2 C． D．1
6．一元二次方程的根的判别式的值为（ ）
A．-1 B．1 C．17 D．-17
7．将整体一分为二，当较大部分与整体部分的比值等于时被公认为是最能引起美感的黄金分割，下列估算正确的是( )
A． B．
C． D．
8．北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术，可根据不同项目分区域、分标准制冰．将12000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
9． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
10．对于多项式记为，即．若，即．下列结论正确的有（ ）
①对于任意实数，都有；
②对于任意实数，总有，则；
③若，且，则：或；
④存在实数，使得成立．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x的方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是
12．3+的整数部分是a，3－ 的小数部分是b，则a+b等于 .
13．已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为 ．
14．已知：如图，等腰直角，，，点D为外一点，，连接CD，，，BC的长为 .
15．一元二次方程x2=4x的根是 ．
16．如图，直线 ， ， 表示三条相交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有 处．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算与解方程
（1）
（2）
18．已知关于的一元二次方程：，
（1）若此方程有一个根为1，求另一个根及的值.
（2）若为任意实数，请判断此方程根的情况。
19．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
20．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．
（1）请求出观测点C到公路的距离；
（2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）
21．规定新运算符号“”：．如：．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若，求的值．
22． 2024年2月7日，云梦县楚王城公园（南片）开园迎客．开园当天，建设东路年货集市、非遗赶大集、文艺晚会和烟火晚会等丰富多彩的文娱活动精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“云上王城 龙凤呈祥”的美好图景．如图，公园在建设东路上有、两个出口，相距250米，在公路北面不远处的地是烟火晚会烟花燃放处，已知与的距离为150米，与的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
23．计算：
（1）+|3﹣|﹣（）2；
（2） （﹣）．
24．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标倍的点称为“一中点”，例如点，，，……，都是“一中点”．例如：抛物线上存在两个“一中点”，．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①________；②________；③________．
（2）若抛物线上存在“一中点”，且与直线相交于点和，令，求的最小值；
（3）若函数的图像上存在唯一的一个“一中点”，且当时，的最小值为，求的值．
25．数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为．
（1）计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？
（2）把这个长方体的高的值在数轴上表示出来；
（3）一支长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，能放进去吗？试通过计算说明你的结论．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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上海市2025—2026学年八年级上册期末模拟全能练考卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．年月8日，为期天的杭州第届亚运会落下帷幕，中国式的浪漫与热情，在西子湖畔达到高潮．天里，杭州地累计客运量达到6876.9万人次，为亚运期间运输保障交出一份完美的答卷．用科学记数法表示万为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：万即大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴万用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
2．若，，则x为（ ）
A．214 B． C．2140 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴ x=214.
故选：A.
【分析】本题考查了立方根的基本性质，观察到0.5981和5.981之间是10倍的关系，所以首先将第一个式子两边同时乘以10，利用立方根的性质，把10变换成，再利用根式的运算性质，即可算出x的值.
3．下列从左到右的变形中，正确的是（ ）
A． B．=-0.6 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A.，变形正确，符合题意；
B.，原式变形错误，不符合题意；
C.，原式变形错误，不符合题意；
D.，原式变形错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用立方根的性质，可对A作出判断；利用算术平方根的性质，可对B，C，D作出判断.
4．如图，A，B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，若C是格点，三角形ABC是等腰三角形，则等腰三角形ABC的底边长最大为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB=，如图所示
AC=AE=BD=AB=，
底边长最大的为BC，则BC=
故答案为：D.
【分析】根据AB的长度以及网格的特点可以画出三种情况，△ABD，△ABE和△ABC均满足条件，此时底边最长的为BC，根据勾股定理求出BC的长度即可.
5．已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）
A．5 B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：设直角三角形的直角边为a，b，斜边为c，
∵直角三角形斜边上的中线长为2，
∴c=4，
∵周长为4+2，
∴a+b=2，
∵a2+b2=c2，
∴（a+b）2-2ab=16，
∴ab=4，
∴S=ab=2.
故答案为：B.
【分析】设直角三角形的直角边为a，b，斜边为c，根据题意得出a+b=2，c=4，根据勾股定理得出（a+b）2-2ab=16，从而得出ab的值，再根据三角形的面积公式即可得出答案.
6．一元二次方程的根的判别式的值为（ ）
A．-1 B．1 C．17 D．-17
【答案】C
【解析】【解答】解：
a=1，b=-3，c=-2，
b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17.
故答案为：C.
【分析】对照一般式，写出a，b，c，再代入b2-4ac计算.
7．将整体一分为二，当较大部分与整体部分的比值等于时被公认为是最能引起美感的黄金分割，下列估算正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵＞=2，＜=3，
∴1＜-1＜2，
∴＜＜1，
故答案为：C．
【分析】先求＞=2，＜=3，再进一步计算即可求得。
8．北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术，可根据不同项目分区域、分标准制冰．将12000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：12000
故答案为：C
【分析】根据科学记数法一般式：，其中n为正整数。
9． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据，把与成，再依据计算，再计算与后一个因式相乘即可。
10．对于多项式记为，即．若，即．下列结论正确的有（ ）
①对于任意实数，都有；
②对于任意实数，总有，则；
③若，且，则：或；
④存在实数，使得成立．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：①，
∴，故①正确；
②∵对于任意实数，总有，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③若，则；
∴，
∴或，故③正确；
④∵存在实数，使得，
∴，
即，
∵，
∴方程无解，即不存在实数，使得成立，故④错误；
综上可得：正确的有①②③.
故答案为：B.
【分析】根据新定义直接代入即可判断①；根据题意结合完全平方公式即可判断②；根据新定义列出二元二次方程，再利用因式分解法即可判断③；根据题意结合一元二次方程根的判别式即可判断④．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x的方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是
【答案】k≤且k≠1
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（k-1）x2+x+1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，且k-1≠0，
则1-4（k-1）×1≥0，
解得：k≤且k≠1.
故答案为：k≤且k≠1.
【分析】根据方程有两个实数根可得△≥0且k-1≠0，据此建立不等式组，求解即可.
12．3+的整数部分是a，3－ 的小数部分是b，则a+b等于 .
【答案】6-
【解析】【解答】∵1＜＜2，
∴4＜3+＜5，
∴3+的整数部分a=4；
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴1＜3-＜2，
设3-的整数部分为m，则m=1，
∴3-的小数部分b=3--m=2-，
∴a+b=4+2-=6-．
故答案为6-．
【分析】根据1＜＜2，可得3+的整数部分a=4；3-的小数部分b=3--m=2-，再将a、b的值代入计算即可。
13．已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：当腰长为4时，则是方程的一个根，设方程的另一个根为y，
∴，
解得，
∵，
∴此时能组成三角形，
∴等腰三角形的底边长为，
∴该等腰三角形的周长为；
当底边长为4时，则关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∵等腰三角形的腰长为正数，且由根与系数的关系可知腰长的2倍为m的值，
∴，腰长为，
∵，
∴此时能组成三角形，
该等腰三角形的周长为；
综上所述，该等腰三角形的周长为或，
故答案为；或．
【分析】分类讨论：①当腰长为4时，②当底边长为4时，再求出方程的根，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系判断是否能构成三角形，最后利用三角形的周长公式求解即可.
14．已知：如图，等腰直角，，，点D为外一点，，连接CD，，，BC的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：过作于，过作交的延长线于，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
设，，
在中，，即：，
解得：；（不合题意，舍去）.
，，
，
.
故答案为：.
【分析】过作于，过作交的延长线于，利用SAS证明，得出，，设，则，在中，根据勾股定理建立方程求解，则可根据勾股定理求出AC和BC长，即可解答.
15．一元二次方程x2=4x的根是 ．
【答案】 ，
【解析】【解答】解： x2=4x，
x2-4x=0，
x（x-4）=0，
x=0或x-4=0，
∴x1=0，x2=4.
故答案为：x1=0，x2=4.
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解即可.
16．如图，直线 ， ， 表示三条相交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有 处．
【答案】4
【解析】【解答】解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等，所以可供选择的地点有4处，
故答案为：4．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算与解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
，
【解析】【分析】（1）根据0指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别计算，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可得出结果；
（2）先将常数移到右式，再利用开平方法解一元二次方程即可.
18．已知关于的一元二次方程：，
（1）若此方程有一个根为1，求另一个根及的值.
（2）若为任意实数，请判断此方程根的情况。
【答案】（1）解：设另一根为x1，
根据题意可得：x1+1=，1×x1=，
解得：x1=，k=1.
（2）解：∵△=b2-4ac=k2+24>0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
【解析】【分析】（1）设另一根为x1，利用根与系数的关系可得x1+1=，1×x1=，再求出x1和k的值即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
19．小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的：
，，，．
．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
即，
，
，
原式．
【解析】【分析】
（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）先分母有理化得，再变形为，将等式两边分别平方可得，用表示可得，用降次的方法将原式转化为：原式，然后把的值代入计算即可求解．
（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
即，
，
，
原式．
20．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．
（1）请求出观测点C到公路的距离；
（2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）
【答案】（1）解：过点C作于H，如图所示：
在中，
，
．
米
（米）
（米）
即观测点C到公路的距离为（米）．
（2）解：此车没有超速，理由如下：
米，，米，米
（米），
∴车速为（米/秒）
千米/小时米/秒≈16.7米/秒，14.6<16.7，
∴此车没有超速．
【解析】【分析】（1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
（1）解：过点C作于H，
在中，
，
．
米
（米）
（米）
即观测点C到公路的距离为（米）．
（2）解：米，
米
米
∴车速为（米/秒）
千米/小时米/秒，
∴此车没有超速．
21．规定新运算符号“”：．如：．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3），，解得：．
【解析】【分析】（1）根据新定义运算代入数值，进而根据二次根式的混合运算即可求解；
（2）根据新定义运算结合二次根式的混合运算即可求解；
（3）先根据新定义运算得到，进而解一元一次方程即可求解。
22． 2024年2月7日，云梦县楚王城公园（南片）开园迎客．开园当天，建设东路年货集市、非遗赶大集、文艺晚会和烟火晚会等丰富多彩的文娱活动精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“云上王城 龙凤呈祥”的美好图景．如图，公园在建设东路上有、两个出口，相距250米，在公路北面不远处的地是烟火晚会烟花燃放处，已知与的距离为150米，与的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）解：由题意得米，米，米，
如图，过作，
，，
是直角三角形，且，
，，
解得：（米），
答：烟花燃放点距离公路的垂直距离为120米；
（2）解：按照安全要求，之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，，
公路上存在两点到的距离为130米，公路上之间到燃放点的距离匀小于130米
按照安全要求，之间的公路EF段需要暂时封锁
，，，
在中，，
，
即需要封锁的公路长为100米．
【解析】【分析】(1)由常见勾股数组合及其倍数结合勾股定理逆定理易分析△ABC为直角三角形，进而利用等积法求得斜边AB上的高，即为目标；
（2）在（1）的基础上，通过初步画圆找出符合条件的线段，结合勾股定理并解之即可.
23．计算：
（1）+|3﹣|﹣（）2；
（2） （﹣）．
【答案】解：（1）原式=4+3﹣﹣3=3；
（2）原式= （3﹣）=9﹣2=7．
【解析】【分析】（1）先化简二次根式、取绝对值符号、二次根式的乘方，再合并同类二次根式可得；
（2）先化简括号内二次根式，再用乘法分配律去括号计算可得．
24．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标倍的点称为“一中点”，例如点，，，……，都是“一中点”．例如：抛物线上存在两个“一中点”，．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①________；②________；③________．
（2）若抛物线上存在“一中点”，且与直线相交于点和，令，求的最小值；
（3）若函数的图像上存在唯一的一个“一中点”，且当时，的最小值为，求的值．
【答案】（1）√；√；×；
（2）解：因为抛物线上存在“一中点”，
可得，
整理得：，
由题意可知：，解得：，
由一元二次方程根与系数的关系可知：
，，
所以，
所以当时，随的增大而减小，∴当时，有最小值；
此时，.
（3）解：因为函数的图像上存在唯一的一个“一中点”
所以关于的方程有两个相等的实数根；
整理得，
所以，∴
当时，存在时，有最小值，最小值为，∴，解得：
当时，存在时，有最小值，最小值为，∴
解得，（舍）
当时，存在时，有最小值，最小值为，
所以，整理得：，该方程无实数根；
综上所述：的值为或.
【解析】解：（1）①根据一中点得的定义，当，解得，
所以点在上，所以存在一中点：.
故答案为：√
②根据一中点得的定义，当，解得，，
所以点和在上，
所以 上存在两个“一中点”：和.
故答案为：√
③根据一中点得的定义，当时，
因为，所以该一元二次方程无实数根，∴上不存在“一中点”.
故答案为：×
【分析】（1）根据题意，结合“一中点”的新定义，列出方程，即可求解；
（2）由新定义得到方程，利用判别式，求出，再根据根与系数的关系得到，当时，有最小值；
（3）由定义得到方程，根据，得到，再由当时，当时，有最小值求出的值；当时，当时，有最小值求出的值；当时，当时，有最小值，求出的值.
（1）解：（1）①当，解得；
∴点在上
∴存在一中点：
故答案为：√
②当，解得，
∴点和在上；
∴ 上存在两个“一中点”：和
故答案为：√
③当时
∵
∴该一元二次方程无实数根；
∴上不存在“一中点”
故答案为：×
（2）解：∵抛物线上存在“一中点”，
∴
整理得：
由题意可知：
解得：
由一元二次方程根与系数的关系可知：
，
∴
∵当时，随的增大而减小；
∴当时，有最小值；
此时，
（3）解：∵函数的图像上存在唯一的一个“一中点”
∴关于的方程有两个相等的实数根；
整理得：，
∴
∴
当时；
存在时，有最小值
最小值为：
∴
解得：
当时
存在时，有最小值
最小值为：
∴
解得，（舍）
当时
存在时，有最小值
最小值为：
∴
整理得：
该方程无实数根；
综上所述：的值为或
25．数学活动课上，老师要求同学们制作一个长方体礼品盒，盒子的下底面的面积为，长、宽、高的比为．
（1）计算出这个长方体的长、宽、高分别是多少？
（2）把这个长方体的高的值在数轴上表示出来；
（3）一支长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，能放进去吗？试通过计算说明你的结论．（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线）
【答案】（1）解：设长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，根据题意得：
，
解得：或（舍去），
答：这个长方体的长、宽、高分别cm、cm、cm．
（2）解：过数轴上1这点作垂线，然后再以1这个点为圆心，1个单位长度为半径画弧，交这个垂线与点A，连接OA，以点O为圆心，OA为半径画弧，与数轴的正半轴交于一点，该点表示的数为，如图所示：
（3）解：这个盒子的对角线长为：（cm），
∵，
∴长为6.5cm的钢笔要放入这个长方体盒内，不能放进去．
【解析】【分析】（1）设长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）利用勾股定理求出OA的长，再在数轴上表示出即可；
（3）利用勾股定理求出盒子的对角线长，再比较大小即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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