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上海市2025—2026学年九年级下册期末综合进阶提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下表为宁波市2016年4月上旬10天的日最低气温情况，则这10天中日最低气温的中位数和众数分别是（ ）
温度（℃） 11 13 14 15 16
天数 1 5 2 1 1
A．14℃，14℃ B．14℃，13℃ C．13℃，13℃ D．13℃，14℃
2．下列调查中，适合采用抽样调查的是( )
A．了解全班学生的身高
B．调查某品牌电视机的使用寿命
C．对乘坐高铁的乘客进行安检
D．调查某中学在职教师的身体健康状况
3．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表，若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
A．200 B．300 C．500 D．800
4．为了了解某校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算仰卧起坐次数在25～30次的频率是（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
5．如图， 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有（ ）
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；③∠BIC=90°+ ∠BAC；
④线段DI是线段DE与DA的比例中项；⑤点D是△BIC的外心．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图， 是 的弦，点C在过点B的切线上，且 ， 交 于点P，已知 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
8．5名同学周末体育户外运动时间的统计结果如下表，以下说法正确的是（ ）
户外运动时间（小时） 3 3.5 4 4.5
人数 1 1 2 1
A．中位数是2，平均数是3.75 B．中位数是4，平均数是3.75
C．众数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
10．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接.则长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2，C，D 是⊙O上的两点，且 M是AB 上的一点，则 MC+MD 的最小值是
12．甲、乙两人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同.方差分别是 ， ，则成绩更稳定的是 （填“甲”或“乙”）.
13．半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最短弦长是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 （结果保留根号）．
15．已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的内角和为 .
16．如图，一张扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为了提高同学们的学习积极性，某校九年级举行了“数学知识竞赛”活动，并随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：
分数段 频数 频率
30 0.1
90
0.4
60 0.2
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请求出：________，________，抽查的总人数为________人；
（2）抽查成绩的中位数应落在________分数段内；
（3）若满分人数有甲、乙、丙、丁四人，现决定从这四名同学中任选两名参加市里的决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．（用树状图或列表法解答）
18．如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．求点O所经过的路线长。
19．某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛，它们分别是演讲、唱歌、书法、绘画．要求每位同学必须参加，且限报一项活动．以九年级（1）班为样本进行统计，并将统计结果绘成如图1、图2所示的两幅统计图．请你结合图示所给出的信息解答下列问题．
（1）求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比？
（2）求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数？
（3）若该校九年级学生有600人，请你估计这次艺术活动中，参加演讲和唱歌的学生各有多少人？
20． 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接.
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径.
21．在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
（1）【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b 1.24
①直接写出表中a和b的值，并求的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
22．为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家”活动，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如下表：
年收入(单位：万元) 2 2.5 3 4 5 9 13
家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
（1）求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数.
（2）你认为用(1)中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适 请简要说明理由.
23．如图，AB 为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F 为 BA延长线上一点，CA恰好平分∠FCE.
（1）求证：FC与⊙O相切；
（2）连结OD，若OD∥AC，求 的值.
24．如图，在中，，，直径于点E，连接OC，OD.
（1）求∠COD的度数；
（2）求阴影部分的面积.
25．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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上海市2025—2026学年九年级下册期末综合进阶提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下表为宁波市2016年4月上旬10天的日最低气温情况，则这10天中日最低气温的中位数和众数分别是（ ）
温度（℃） 11 13 14 15 16
天数 1 5 2 1 1
A．14℃，14℃ B．14℃，13℃ C．13℃，13℃ D．13℃，14℃
【答案】C
【解析】【解答】解：∵13出现了5次，它的次数最多，
∴众数为13．
∵共10天天气，
∴根据表格数据可以知道中位数=（13+13）÷2=13，即中位数为13．
故选C．
【分析】利用众数的定义可以确定众数在第二组，由于10天天气，根据表格数据可以知道中位数是按从小到大排序，第5个与第6个数的平均数．
2．下列调查中，适合采用抽样调查的是( )
A．了解全班学生的身高
B．调查某品牌电视机的使用寿命
C．对乘坐高铁的乘客进行安检
D．调查某中学在职教师的身体健康状况
【答案】B
【解析】【解答】解： A、了解全班学生的身高， 适合采用全面调查 ，故不符合题意；
B、 调查某品牌电视机的使用寿命， 适合采用抽样调查 ，故符合题意；
C、对乘坐高铁的乘客进行安检，适合采用全面调查 ，故不符合题意；
D、调查某中学在职教师的身体健康状况， 适合采用全面调查 ，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；如果全面调查意义或价值不大，选用抽样调查，否则选用普查，据此逐一判断即可.
3．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表，若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
A．200 B．300 C．500 D．800
【答案】C
【解析】【解答】解：∵通过抛掷次数的增加，正面朝上的频数的频率接近0.5，
∴抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近数是1000×0.5=500.
故答案为：C.
【分析】观察表中数据可知通过抛掷次数的增加，正面朝上的频数的频率接近0.5，再根据频数=总数×频率，列式计算.
4．为了了解某校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算仰卧起坐次数在25～30次的频率是（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】D
【解析】【解答】解：仰卧起坐次数在25～30次的有12人，总人数是30人，
则该组的频率为：12÷30=0.4
故答案为：D。
【分析】运用“频率=频数÷总数”即可求得。
5．如图， 的直径 ， 是 的弦， ，垂足为 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OA，如图：
∵ 的直径 ，
∴OA=OD=5，
∵ ，
∴OM=3，
∵ 是 的弦， ，垂足为 ，
由垂径定理，得： ， ，
在直角△AOM中，由勾股定理，则
，
∴ ；
故答案为：C．
【分析】连接OA，先求出OM=3，再利用垂径定理可得，，在直角△AOM中利用勾股定理求出AM，即可求出AB的长.
6．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有（ ）
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；③∠BIC=90°+ ∠BAC；
④线段DI是线段DE与DA的比例中项；⑤点D是△BIC的外心．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
所以此选项说法正确；
②∵I是△ABC的内心，
∴I是△ABC三个角平分线的交点，
∴I到△ABC三边的距离相等，
所以此选项说法不正确；
③∵I是内心，
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABI= ∠ABC，∠ACI= ∠ACB，
∵∠BIE=∠ABI+∠BAI，∠EIC=∠DAC+∠ACI，
∴∠BIC=∠BIE+∠EIC=∠ABI+∠BAI+∠DAC+∠ACI，
∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，
∴ ∠ABC+ ∠ACB=90°﹣ ∠BAC，
∴∠ABI+∠ACI=90°﹣ ∠BAC，
∴∠BIC=90°﹣ ∠BAC+∠BAC=90°+ ∠BAC，
所以此选项说法正确；
④∵∠DCB=∠BAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠DCB=∠DAC，
∵∠ADC=∠ADC，
∴△ADC∽△CDE，
∴ ，
∴DC2=DE AD，
∵∠DIC=∠DAC+∠ACI，∠DCI=∠ICB+∠DCB，
∵IC平分∠ACB，
∴∠ACI=∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DC=DI，
∴DI2=DE AD，
∴线段DI是线段DE与DA的比例中项；
所以此选项说法正确；
⑤⑤∵∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC，
由④得：DC=DI，
∴DB=DC=DI，
∴点D是△BIC的外心；
所以此选项说法正确；
所以说法正确的有：①③④⑤；
故选D．
【分析】①根据I是内心，即角平分线的交点，则AI平分∠BAC，所以∠CAD=∠DAB，由此得出：∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I是内心，到三边的距离相等；
③先根据角平分线定义得：∠ABI= ∠ABC，∠ACI= ∠ACB，根据三角形内角和得：∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，所以 ∠ABC+ ∠ACB=90°﹣ ∠BAC，则∠ABI+∠ACI=90°﹣ ∠BAC，最后利用外角定理可以表示∠BIC的度数=90°+ ∠BAC；
④证明△ADC∽△CDE，得DC2=DE AD，再证明DC=DI，所以说法正确；
⑤根据等角对等边证明DB=DC，由④得：DC=DI，得DB=DC=DI，则点D是△BIC的外心．
7．如图， 是 的弦，点C在过点B的切线上，且 ， 交 于点P，已知 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=90 -22 =68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠APO=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质得出∠OBA+∠CBP=90°，结合∠A+∠APO=90°和等腰三角形的性质求出∠OBA=22°，从而求出∠APO=∠CBP=68°，最后根据三角形的内角和定理求∠OCB即可.
8．5名同学周末体育户外运动时间的统计结果如下表，以下说法正确的是（ ）
户外运动时间（小时） 3 3.5 4 4.5
人数 1 1 2 1
A．中位数是2，平均数是3.75 B．中位数是4，平均数是3.75
C．众数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意得：位于第3位的4，4出现的次数最多，
∴中位数是4，众数是4，
平均数为.
∴正确的是C.
故答案为：C.
【分析】利用户外运动的时间乘以人数的和除以总人数求平均数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数，据此即可得出答案.
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【解析】【解答】因∠BEC=90°，可知点E在以BC为直径的圆上，设圆心为点O，连接FO并延长FO交圆O于点E，
此时EF的值最大；在Rt△FOC中，FC=1.5，OC=2，根据勾股定理可求得OF=2.5，所以EF=OF+OE=2.5+2=4.5，
故答案为：D.
【分析】以BC为直径做圆，因为直径所对的圆周角为直角，所以点E永远在圆弧BC上，当EF经过圆心时，可知EF最长，因为过圆心的玄最长.
10．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接.则长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为.
故答案为：A.
【分析】连接，取的中点K，连接，由直角三角形斜边中线的性质及 半径为 ，可得KF=AK=BK=1，由勾股定理求出CK=，根据即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2，C，D 是⊙O上的两点，且 M是AB 上的一点，则 MC+MD 的最小值是
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点 D 作DD'⊥AB 于点H，交⊙O 于点D'，连结OC，OD'，则
的度数为 180°，
∴ CD'的度数为 120°.
连结 CD'交 AB 于点 M'，若点 M 与点 M'重合，则 MC+MD 的值最小，为线段 CD'的长.过点 O 作ON⊥CD'于点 N，交⊙O 于点 G，连结CG，则CN=ND'.
∵ OC=OD'，
∴∠OCD'=∠OD'N=30°.
∴∠COG=60°.
∵OC=OG，
∴△OCG 为等边三角 形.
∵CN⊥OG，
∴ ON =
的最小值是
故答案为： .
【分析】过点 D 作DD'⊥AB 于点H，交⊙O 于点D'，连结OC，OD'，利用垂径定理确定弧长相等，再利用弧长比例确定圆心角的度数，连结 CD'交 AB 于点 M'，若点 M 与点 M'重合，则 MC+MD 的值最小，为线段 CD'的长.过点 O 作ON⊥CD'于点 N，交⊙O 于点 G，连结CG，进而证明△OCG 为等边三角 形，最后再利用勾股定理，进而即可求解.
12．甲、乙两人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同.方差分别是 ， ，则成绩更稳定的是 （填“甲”或“乙”）.
【答案】甲
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴成绩更稳定的是甲.
故答案为：甲.
【分析】方差用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此判断.
13．半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最短弦长是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图所示， 于P点，
∴OA=5，OP=4，
∴ ，
∴AB=2AP=2×3=6．
故答案为：6．
【分析】画出图形，利用勾股定理求出AP的长，再利用垂径定理可得AB=2AP=2×3=6．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 （结果保留根号）．
【答案】
【解析】【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等，
∴S扇形ADF＝S△ABC，即： ＝ ×AC×BC，
又∵AC＝BC＝1，
∴AF2＝ ，
∴AF＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据图中两个阴影部分面积相等推出图中扇形ADF面积与△ABC面积相等，根据面积公式建立方程计算出AF即可。
15．已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的内角和为 .
【答案】720°
【解析】【解答】解：∵360°÷60°=6，
∴这个正多边形是正六边形，
∴正六边形的内角和=（6-2）×180°=720°.
故答案为：720°.
【分析】 根据正多边形的边数与正多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和，即可求解．
16．如图，一张扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC=AO=3，
∴cos∠COD=，CD3，
∴∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD3×36π，
∴阴影部分的面积为2×（6π）＝93π.
故答案：．
【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于弧OD、线段OC和CD所围成的图形的面积， AC＝OC=AO=3， 由勾股定理算出CD＝3，由余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值求出∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD及阴影部分的面积=S扇形AOB-S弧AD、线段AC和CD所围成的图形，列式计算即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为了提高同学们的学习积极性，某校九年级举行了“数学知识竞赛”活动，并随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：
分数段 频数 频率
30 0.1
90
0.4
60 0.2
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请求出：________，________，抽查的总人数为________人；
（2）抽查成绩的中位数应落在________分数段内；
（3）若满分人数有甲、乙、丙、丁四人，现决定从这四名同学中任选两名参加市里的决赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．（用树状图或列表法解答）
【答案】（1）120，0.3，300
（2）
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【解析】【解答】（1）抽查的总人数为：，
∴，
故答案为：120，0.3，300；
（2）∵抽查成绩的中位数为第150和第151个成绩的平均数，，
∴抽查成绩的中位数落在分数段内，
故答案为：；
【分析】本题考查用树状图法求概率、频数分布直方图、频数分布表，中位数.
（1）先找出分数段的频数，再用频数除以频率可求出抽查的总人数，利用频率乘以抽查的总人数可求出m的值，利用频数除以抽查的总人数可求出n的值；
（2）根据中位数的定义可得：抽查成绩的中位数为第150和第151个成绩的平均数，求出中位数，据此可判断中位数所在的组；；
（3）先画树状图，据此可得共有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果的种数，再利用概率公式进行计算可求出对应的概率．
（1）抽查的总人数为：，
∴，
故答案为：120，0.3，300；
（2）∵抽查成绩的中位数为第150和第151个成绩的平均数，，
∴抽查成绩的中位数落在分数段内，
故答案为：；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
18．如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．求点O所经过的路线长。
【答案】解答： 弧AB的长是： 以BO为半径的半圆的弧长是：10π．则点O所经过的路线长为10π+2π=12π．故答案是：12π．
【解析】【分析】O点运动的路径是：旋转的路程=以BO为半径的半圆的弧长+平移的路线是弧AB的长，计算即可．
19．某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛，它们分别是演讲、唱歌、书法、绘画．要求每位同学必须参加，且限报一项活动．以九年级（1）班为样本进行统计，并将统计结果绘成如图1、图2所示的两幅统计图．请你结合图示所给出的信息解答下列问题．
（1）求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比？
（2）求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数？
（3）若该校九年级学生有600人，请你估计这次艺术活动中，参加演讲和唱歌的学生各有多少人？
【答案】解：（1）学生的总数是：×100%=50（人），参加书法比赛的学生所占的比例是：×100%=20%，则参加绘画比赛的学生所占的比例是：1﹣28%﹣40%﹣20%=12%，（2）参加书法比赛的学生所占的比例是20%，则扇形的圆心角的度数是：360×20%=72°；（3）参加演讲比赛的人数是：600×28%=168（人），参加唱歌比赛的人数是：600×40%=240（人）．
【解析】【分析】（1）各个项目的人数的和就是总人数，然后利用参加绘画比赛的学生数除以总人数即可求解；
（2）利用对应的百分比乘以360度即可求解；
（3）利用总人数600乘以对应的百分比即可求解．
20． 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接.
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径.
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
是的切线，
，
为的中点，
，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
【解析】【分析】（1）连接，进而根据切线的性质得到，再根据题意得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据题意求出EF，进而根据勾股定理求出AF，设，根据三角形的面积结合题意即可求出x.
21．在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
（1）【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b 1.24
①直接写出表中a和b的值，并求的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
【答案】（1）解：①由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，
乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，
补全条形统计图如下：
②；
（2）①∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b＝4，
乙商家平均数；
②小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
【解析】【分析】（1） ① 先根据公式：样本的总数=某项的频数÷该项的百分数，算出甲乙两甲抽取的总评价分值，再计算评价分值为4的甲乙两家的个数，再补全统计图即可.
②圆心角等于评价分值为4的百分率×360°即可.
（2）①当数据的个数为偶数个时，先把数据进行排序，第15个数和第16个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义，可以得出众数，再根据加权平均数公式求解平均数即可.
（2）根据中位数，众数 和平均数进行分析，只要符合题意即可.
22．为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家”活动，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如下表：
年收入(单位：万元) 2 2.5 3 4 5 9 13
家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
（1）求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数.
（2）你认为用(1)中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适 请简要说明理由.
【答案】（1）解：这15名学生家庭年收入的平均数是：（2＋2.5×3＋3×5＋4×2＋5×2＋9＋13）÷15＝4.3万元；
∵将这15个数据从小到大排列，最中间的数是3，
∴中位数是3万元；
∵在这一组数据中3出现的次数最多，
∴众数3万元.
（2）解：众数和中位数代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适，
∵3万元既是众数也是中位数，
∴能代表家庭年收入的一般水平．
【解析】【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）在平均数，众数和中位数中，平均数受到极端值的影响较大，所以众数和中位数都能反映家庭年收入的一般水平．
23．如图，AB 为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB于E，F 为 BA延长线上一点，CA恰好平分∠FCE.
（1）求证：FC与⊙O相切；
（2）连结OD，若OD∥AC，求 的值.
【答案】（1）（1）证明：如图，连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵CD⊥AB于E，
∴∠AEC=90°，
∵CA平分∠FCE，
∴∠ACF=∠ACE，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OAC+∠ACE=90°，即FC⊥OC
∵OC是⊙O的半径
∴FC与⊙O相切
（2）解：∵OC=OD，CD⊥AB，
∴∠COF=∠DOF，
∵OD∥AC，
∴∠DOF=∠OAC，
∴∠COF=∠OAC=∠OCA=60°，
∴OC=OA=AC，
∵CF与⊙O相切，
∴OC⊥CF，即∠OCF=90°，
∵∠COF=60°
∴∠F=30°，∠ACF=30°，
∴AC=AF，
又∵AC=OA，
∴AF=OA
∵AB=2OA，
∴．
故答案为：
【解析】【分析】（1）连接OC，利用CD⊥AB，得∠AEC=90°，通过证明∠OCA=∠OAC ，得到∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OAC+∠ACE=90°，再依据OC为⊙O的半径，即可证明FC与⊙O相切；
（2）由等腰三角形的“三线合一”得∠COF=∠DOF，再利用OD∥AC，得到△OAC为等边三角形，推出∠F=30°，在Rt△OCF中，∠F=30°，易得AF=AC=AO，即可计算的值 ．
24．如图，在中，，，直径于点E，连接OC，OD.
（1）求∠COD的度数；
（2）求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：∵AB⊥CD
∴
∵
∴
∴∠COD=
（2）解：S=
【解析】【分析】(1)由条件和垂径定理知，由此可得∠COD的度数；
(2)用扇形OCD的面积减三角形OCD的面积的一半即为阴影部分的面积.
25．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
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