1.3 直角三角形 课件（2课时，39张PPT）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

(共39张PPT)
1.3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
1. 复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；（重点）
2. 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.（难点）
直角三角形的两个锐角互余.
问题1 直角三角形的定义是什么？
问题2 三角形内角和的性质是什么？
有一个角是直角的三角形叫直角三角形.
三角形内角和等于180°.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.
A
B
C
性质：直角三角形有一个角是直角，两个锐角互余.
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形.
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
(1)根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.
（2）如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理　有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
B
C
∵∠B = 90°，
∴∠A +∠C = 90°.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
即a2+b2=c2.
a
c
b
勾
弦
股
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗？
已知：如图 ，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
A
B
C
证明：如图,作 Rt△A′B′C′，使
A′
B′
C′
∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，
则 A′B′2+A′C′2 =B′C′2（勾股定理）.
∵AB2+AC2=BC2，
∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
∴∠A=∠A′= 90°(全等三角形的对应角相等）.
因此，△ABC是直角三角形.
A
B
C
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
上面两个定理的条件和结论有什么样的关系？
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
再观察下面三组命题：
1.如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
2.如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b.
3.一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
观察上面三组命题,你发现了什么
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题.
上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
归纳 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
1.下列命题中，属于假命题的是( )
A.三角形三个内角的和等于180°
B.两直线平行，同位角相等
C.矩形的对角线相等
D.相等的角是对顶角
D
2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm
A
B
C
D
E
B
1.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为 ( )
A. 米 B. 米
C.( +1)米 D.3 米
2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　　)
A.,, B.1,,　
C.6,7,8　 D.2,3,4
B
C
3.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,点D,E分别在AB,AC上,∠B＝∠1.求证:△ADE是直角三角形.
证明:在Rt△ABC中,∠C＝90°,
∴∠A＋∠B＝90°.
∵∠B＝∠1,
∴∠A＋∠1＝90°.
∴△ADE是直角三角形.
性质
直角三角形的性质与判定
①直角三角形的两个锐角互余.
②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
①有两个角互余的三角形是直角三角形；
②三角形两边的平方和等于第三边的平方
判定
命题
原命题、逆命题、互逆命题、真命题、假命题、逆定理
1.3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
1. 探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”；（重点）
2. 会用其他方法判定两个直角三角形全等.（难点）
如果已知在两个三角形中两边对应相等时，
附加一个什么条件可以说明这两个三角形全等？
两边的夹角也对应相等时，这两个三角形全等．
如果其中一边的对角对应相等时，它们还全等吗？
B
A
C
(1)
B′
A′
C′
(2)
B′
A′
C′
(3)
如果其中一组等边的对角是直角，它们还全等吗？
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c（a＜c），直角α.
求作：Rt△ABC，使∠C =∠α，BC = a，AB = c.
a
c
α
2.作∠MCN =∠α= 90°.
3.在射线CM上截取CB=a.
M
C
N
B
小明的作法如下：
1.作射线CN.
C
N
C
N
M
4.以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线CN于点 A.
M
C
N
B
A
5.连接AB，得到Rt△ABC.
M
C
N
B
A
△ABC就是所要作的直角三角形.
文字语言：
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A′
B′
C′
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
→尝试利用所学知识证明该定理
已知：如图,在 △ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2–AC2（勾股定理）.
同理，B′C′2 =A′B′2–A′C′2.
∵AB =A′B′，AC =A′C′，∴BC=B′C′.
∴△ABC ≌△A′B′C′（SSS）.
A
C
B
A′
C′
B′
例1 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系
解：根据题意，可知
∠BAC=∠EDF=90°，
BC=EF,AC=DF,
∴Rt△BAC ≌ Rt△EDF (HL).
∴∠CBA=∠DEF（全等三角形的对应角相等）.
∵∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形的两锐角互余），
∴∠CBA+∠EFD=90°.
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
现在请同学们思考,证明两个直角三角形全等的方法有哪些
判断直角三角形全等的方法：
特别注意,在用HL的时候,仅限于直角三角形全等.
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
D
2.如图，AC⊥BC， BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D
C
1.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是（　D）
A.AE＝DF B.∠A＝∠D
C.∠B＝∠C D.AB＝DC
D
2.如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　C　）
A.145° B.130°
C.110° D.70°
C
3.如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的
延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】图中与△ABC全等的三角形有△BAD、△CDA、△DCB和△DCE.
D
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，PQ＝AB＝10，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动.若以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等，则AP的长为 　6或8　.
6或8　
5.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
（1）求证： Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AB＝CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数.
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∵∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°，
由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
判定定理
直角三角形
全等的判定
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）
在直角三角形中
前提条件
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）