2 简谐运动的描述
[定位·学习目标] 1.通过阅读教材,知道简谐运动的全振动、振幅、周期、频率和相位等概念,形成物理观念。2.通过分析简谐运动的表达式,理解各物理量的物理意义,能依据简谐运动表达式描绘振动图像或根据简谐运动图像写出表达式,体会数形结合的科学思维的应用。3.通过观察了解简谐运动的有关物理量,培养学生学习物理的兴趣。
知识点一 振幅
探究新知
1.定义:振动物体离开平衡位置的最大距离,用字母A表示,单位是米。
2.物理意义:表示振动幅度大小的物理量。
3.振动范围:振动物体运动的范围是振幅的两倍。
新知检测
扬声器发声时,手摸喇叭的发音纸盆会感觉到它在振动,把音响声音调大,发觉纸盆的振动更加剧烈,想想这是为什么
【答案】 扬声器发出的声音是由其喇叭的纸盆振动形成的,振动越剧烈,即振幅越大,纸盆振动的能量越大,喇叭越响,手感觉纸盆振动得越厉害,说明振幅是反映振动剧烈程度的物理量。
知识点二 周期和频率
探究新知
1.全振动(如图所示)
类似于O→B→O→C→O的一个完整的振动过程称为一次全振动。
注意:无论以哪个位置作为研究起点,做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
2.周期:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间,用T表示,单位是秒。
3.频率:物体完成全振动的次数与所用时间之比,数值等于单位时间内完成全振动的次数,用f表示频率,单位是赫兹,符号是Hz。
4.简谐运动的“圆频率”ω:是一个与周期成反比、与频率成正比的量,表示简谐运动的快慢。
5.ω与周期(T)和频率(f)的关系:ω==2πf。
正误辨析
(1)周期、频率是表征物体做简谐运动振动快慢的物理量。( √ )
(2)振幅就是指振子的位移。( × )
(3)振幅就是指振子的路程。( × )
(4)做简谐运动的物体,振幅是不断变化的。( × )
(5)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。( √ )
知识点三 相位及简谐运动的表达式
探究新知
1.相位
(1)概念:描述做简谐运动的物体在一个运动周期中的状态。
(2)表示:相位的大小为ωt+φ,其中φ是t=0时的相位,称作初相位,或初相。
(3)相位差:两个具有相同频率的简谐运动的相位的差值,Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2。
2.简谐运动的表达式
x=Asin(t+φ0),其中A为振幅,T为简谐运动的周期,φ0为初相位。
正误辨析
(1)相位反映了振动物体的振动步调。( √ )
(2)两个振动物体相位相同,则其振动步调相反。( × )
(3)按x=5sin(8πt+π) cm规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25 s。( √ )
(4)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。( √ )
要点一 简谐运动的振幅、周期和频率
要点归纳
1.振幅、位移和路程的关系
项目 振幅 位移 路程
定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度
标矢 性 标量 矢量 标量
变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加
联系 (1)振幅等于最大位移的大小。 (2)振子在一个周期内的路程等于4倍振幅;在半个周期内的路程等于2倍振幅;振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅,只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时,个周期内通过的路程才等于一个振幅
2.全振动的特征
(1)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特征:历时一个周期。
(3)路程特征:振幅的4倍。
(4)相位特征:增加2π。
3.振幅与周期的关系
一个振动系统的周期(或频率)有确定的值,由振动系统本身的性质决定,与振幅无关。
典例研习
[例1] (2024·福建卷)如图甲,装有砂粒的试管竖直静浮于水中,将其提起一小段距离后释放,一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,试管振动图像如图乙所示,则试管( )
[A]振幅为2.0 cm
[B]振动频率为2.5 Hz
[C]在t=0.1 s时速度为零
[D]在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
【答案】 B
【解析】 由题图乙可知该振动的振幅为1.0 cm、周期T=0.4 s,根据f=可得振动频率f为2.5 Hz,故选项A错误,B正确;t=0.1 s时试管回到平衡位置,速度最大,故选项C错误;在t=0.2 s 时,试管处于向下最大位移处,回复力方向竖直向上,加速度方向竖直向上,故选项D错误。
要点二 简谐运动的表达式、相位
情境探究
有甲、乙两个振动,其表达式分别是x1=4sin(100πt+) cm,x2=5sin(100πt+) cm,根据其表达式完成以下探究。
探究:(1)甲、乙两个振动周期是否相同
(2)甲、乙振动步调是否一致
【答案】 (1)由表达式及公式T=知,甲和乙的振动周期均为0.02 s,故其周期相同。
(2)Δφ=(100πt+)-(100πt+)=≠0,即振动步调不一致。
要点归纳
1.简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)中各物理量的意义
(1)x:表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A:表示振幅,描述简谐运动振动的强弱。
(3)ω:圆频率,它与周期、频率的关系为ω==2πf。
可见ω、T、f相当于一个量,描述的都是振动的快慢。
(4)ωt+φ:表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。
(5)φ:表示t=0时振动质点所处的状态,称为初相位或初相。
2.对频率相同的两个简谐运动相位差(Δφ=φ2-φ1)的理解
(1)取值范围:-π≤Δφ≤π。
(2)Δφ=0,表明两振动步调完全相同,称为同相。
Δφ=±π,表明两振动步调完全相反,称为反相。
(3)Δφ>0,表示振动2比振动1超前。
Δφ<0,表示振动2比振动1滞后。
3.根据表达式画图像或根据图像写表达式
(1)根据表达式画振动图像。
①根据x=Asin(ωt+φ)找出振幅A和振动周期T=。
②令t=0,找出初始时刻的位移x(x的正负要有明确表示)。
③选好标度,作出正弦函数图像。
(2)根据图像写表达式。
①从图像中找出振幅A和周期T,ω=。
②根据t=0时的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
③把A、ω、φ代入表达式x=Asin(ωt+φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式也可以用该方法求得,只不过φ不相同)。
典例研习
[例2] (对简谐运动表达式的理解)(多选)有两个弹簧振子1和2做简谐运动,位移随时间变化的函数关系式分别为x1=3asin(10πbt)和x2=9asin(10πbt+),下列说法正确的是( )
[A]弹簧振子1和2的振幅不同,频率不同
[B]弹簧振子1和2的振幅不同,频率相同
[C]弹簧振子1超前于弹簧振子2的相位是
[D]弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是
【答案】 BD
【解析】 弹簧振子1的振幅为3a,2的振幅为9a,所以弹簧振子1和2的振幅不同;1的频率为f1==5b,2的频率为f2==5b,所以弹簧振子1和2的频率相同,故A错误,B正确;从关系式可以看出弹簧振子1落后于弹簧振子2的相位是,故C错误,D正确。
[例3] (简谐运动表达式和图像的应用)(2025·河北保定阶段练习)如图所示,质量为m的小球P用轻质弹簧悬挂在天花板上,弹簧的劲度系数为k。另一质量为2m的小球Q用细线拴接在小球P上,初始时两小球保持静止状态。t=0时刻,剪断两小球之间的细线,在t0时刻小球P第一次运动到最高点,重力加速度为g,取竖直向上为正方向,求:
(1)小球P的周期、振幅和振动方程;
(2)弹簧第一次恢复到原长时的时刻。
【答案】 (1)2t0 x=sin(t-)
或x=-cos t
(2)t0
【解析】 (1)剪断细线后,小球P做简谐运动,由于t0时刻小球P第一次运动到最高点,可知其周期为T=2t0,
剪断细线前,对小球P、Q整体有kx1=3mg,
剪断细线后,小球P在平衡位置有kx2=mg,
小球P的振幅为
A=x1-x2=,
取竖直向上为正方向,小球的位移为
x=Asin(t+φ),
由于T=2t0,A=,t=0时,x=-,代入得x=sin(t-)或x=-cos t。
(2)弹簧第一次恢复到原长时的位移为x0=,
代入振动方程可得,弹簧第一次恢复到原长时的时刻为t=t0。
要点三 简谐运动的周期性和对称性
情境探究
如图所示的弹簧振子在A、B间以O为平衡位置做简谐运动,C、D关于O点对称,则振子分别通过C、D两点时,请完成以下探究。
探究:(1)速度是否相同,动能是否相同
(2)还有哪些量是相同的,哪些量是不同的
【答案】 (1)当振子在这两点运动方向相同时,其速度相同;运动方向相反时,其速度仅大小相等,故速度不一定相同。又因为动能是标量,与速度大小有关,故振子在这两点的动能是相同的。
(2)在这两点相同的量还有弹簧的弹性势能及振子的机械能等,不相同的量还有位移、加速度及弹簧弹力等。
要点归纳
1.简谐运动的对称性
如图所示,物体在A、B两点间做简谐运动,O点为平衡位置,OC=OD。
(1)时间的对称。
①物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,即tDB=tBD=tCA=tAC,tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称。
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
(3)位移的对称。
①物体经过同一点(如C点)时,位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移大小相等、方向相反。
2.简谐运动的周期性
简谐运动是一种周期性的运动,按其周期性可做如下判断:
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。
(2)若t2-t1=nT+T,则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等,方向相反。
(3)若t2-t1=nT+T或t2-t1=nT+T,则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。
典例研习
[例4] (简谐运动的周期性)一水平弹簧振子做简谐运动,周期为T,则下列说法正确的是( )
[A]若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
[B]若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反,则Δt一定等于的整数倍
[C]若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子振动的加速度一定相等
[D]若Δt=,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
【答案】 C
【解析】 如图所示,图中a、b、c三点位移大小相等、方向相同,显然Δt不等于T的整数倍,故选项A错误;图中a、d两点的位移大小相等、方向相反,Δt<,故选项B错误;在相隔一个周期T的两个时刻,振子只能位于同一位置,其位移相同,合外力相同,加速度必相等,选项C正确;相隔的两个时刻(平衡位置除外),振子的位移大小相等,方向相反,其位置关于平衡位置对称,弹簧分别处于压缩和拉伸状态,弹簧的长度并不相等,选项D错误。
[例5] (简谐运动的对称性)(2025·江苏徐州阶段练习)弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动,在t=0.2 s时,振子速度第一次变为-v,在t=0.5 s时,振子速度第二次变为-v。
(1)求弹簧振子振动周期T;
(2)若B、C之间的距离为25 cm,求振子在4.0 s内通过的路程;
(3)若B、C之间的距离为25 cm,从平衡位置计时,经T振子的加速度负向最大,写出弹簧振子的位移表达式,并画出弹簧振子的振动图像。
【答案】 (1)1.0 s (2)200 cm
(3)x=12.5sin 2πt cm 见解析图乙
【解析】 (1)弹簧振子做简谐运动过程示意图如图甲所示,其中P、P′关于O点对称,由对称性可得T=0.5×2 s=1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm,则振幅
A=×25 cm=12.5 cm,
由于t=4 s=4T,则振子4.0 s内通过的路程
s=4×4×12.5 cm=200 cm。
(3)根据T时振子加速度负向最大,可知此时振子处于正向最大位移处,即x=Asin ωt,
而A=12.5 cm,ω==2π rad/s,
可得x=12.5sin 2πt cm,
振动图像如图乙所示。
简谐运动的多解问题
核心归纳
1.周期性造成的多解问题
简谐运动是一种周期性的运动,其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化。因此,物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成的多解问题
由于简谐运动具有对称性,因此当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这种也形成多解问题。
典例研习
[例题] 如图所示,一弹簧振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点O,t=0时振子的位移为x0=0.2 m,t=2 s时振子的位移第一次为x1=-0.2 m,t=6 s时振子的位移第二次为x2=-0.2 m,求:
(1)该振子可能的振幅A及对应的周期T;
(2)从t=0时刻开始该振子位移随时间变化的关系式。
【答案】 (1)振幅为0.2 m时周期为4 s,振幅为0.4 m 时周期为12 s
(2)x=0.2sin(+) m或x=0.4sin(+) m
【解析】 (1)该振子振幅A1=0.2 m时,对应周期
T1=(6-2) s=4 s,
该振子振幅大于0.2 m时,由简谐运动的对称性得,对应周期
T2=2×2 s+(6-2)×2 s=12 s,
A2=2x0=0.4 m。
(2)振幅A1=0.2 m时,初相位φ0=,
振子位移随时间变化的关系式为
x=0.2sin(+) m,
振幅A2=0.4 m时,初相位φ0=,
振子位移随时间变化的关系式为
x=0.4sin(+) m。
1.关于描述物体做简谐运动的物理量,下列说法正确的是( )
[A]物体在1 s内完成全振动的次数叫作振动频率
[B]做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态叫作初相位
[C]做简谐运动的物体在运动过程中相距最远的两点之间的距离叫作振幅
[D]做简谐运动的物体先后两次经过同一位置所经历的时间叫作振动周期
【答案】 A
【解析】 物体在1 s内完成全振动的次数叫作振动频率,故A正确;物体在各个时刻所处的不同状态叫作相位,在开始时刻所处的状态叫作初相位,故B错误;物体偏离平衡位置的最大距离叫振幅,相距最远的两点之间的距离等于两个振幅,故C错误;物体先后以相同的运动状态通过同一位置所经历的时间叫作振动周期,故D错误。
2.(2025·北京通州阶段练习)如图甲所示为光滑水平面上的弹簧振子,以平衡位置O为原点,在A、B之间做简谐运动,某时刻开始计时,以向右为正方向,其偏离平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
[A]该弹簧振子的振幅为10 cm
[B]该振动系统的振动周期为2.5 s
[C]t=0时,弹簧振子速度最大
[D]t=1.5 s时,弹簧处于压缩状态
【答案】 D
【解析】 由题图乙可知,弹簧振子的振幅为5.0 cm,振动周期为T=2×(2-0.5) s=3.0 s,故A、B错误。t=0时,弹簧振子不在平衡位置,速度不是最大,故C错误。O点为平衡位置,O点右边位移为正,弹簧处于拉伸状态;相反,O点左边位移为负,弹簧处于压缩状态,而t=1.5 s时,弹簧振子位移为负,则弹簧处于压缩状态,故D正确。
3.如图所示,水平方向的弹簧振子振动过程中,振子先后经过a、b两点时的速度相同,且从a到b历时 0.2 s,从b到a的最短时间为0.4 s,aO=bO,c、d为振子最大位移处,则该振子的振动频率为( )
[A]1 Hz [B]1.25 Hz
[C]2 Hz [D]2.5 Hz
【答案】 B
【解析】 由题可知,a、b两点关于平衡位置对称,从a到b历时t1=0.2 s,从b到a的最短时间为0.4 s,即从b到c所用时间为t2= s=0.1 s,所以弹簧振子振动的周期为T=4(+t2)=0.8 s,则振动频率为f==1.25 Hz,故B正确,A、C、D错误。
课时作业
(分值:60分)
考点一 描述简谐运动的物理量
1.(4分)(2025·上海奉贤阶段练习)关于机械振动的周期、频率和振幅,下列说法正确的是( )
[A]振幅是矢量,方向是从平衡位置指向最大位移处
[B]周期和频率的乘积可以变化
[C]振幅增大,周期也必然增大,而频率减小
[D]做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关
【答案】 D
【解析】 振幅是标量,故A错误;由于周期与频率互成倒数,其乘积为1而保持不变,故B错误;做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关,故C错误,D正确。
2.(4分)弹簧振子在AOB之间做简谐运动,如图所示,O为平衡位置,测得AB间距为8 cm,完成30次全振动所用时间为60 s。则( )
[A]振动周期是2 s,振幅是8 cm
[B]振动频率是2 Hz
[C]振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
[D]振子过O点时开始计时,t=0.25 s时的位移大小为2 cm
【答案】 C
【解析】 根据题意,弹簧振子在AOB之间做简谐运动,O为平衡位置,则可知其振幅、周期分别为A==4 cm,T== s=2 s,故A错误;根据频率与周期之间的关系可得f==0.5 Hz,故B错误;振子完成一次全振动通过的路程为s=4A=4×4 cm=16 cm,故C正确;振子振动的位移满足正弦函数,设表达式为x=Asin ωt,其中ω==π rad/s,可得其表达式为x=4sin πt cm,将t=0.25 s 代入可得x=2 cm,故D错误。
3.(4分)(2025·四川泸州阶段检测)如图所示,水平地面上倾角θ=30°的固定斜面底端有一挡板,轻弹簧一端与挡板相连,另一端系着质量m=1 kg的物块P,物块P通过轻绳绕过定滑轮系着质量M=2 kg的小球Q。开始时两物体均处于静止状态,若剪断连接P、Q的轻绳,物块P将做简谐运动。已知轻弹簧的劲度系数 k=100 N/m,细绳与斜面平行,一切摩擦和空气阻力均不计,重力加速度g取10 m/s2。则物块P做简谐运动的振幅为( )
[A]0.25 m [B]0.20 m
[C]0.15 m [D]0.05 m
【答案】 B
【解析】 设初始状态弹簧伸长量为x0,则Mg=mgsin θ+kx0,设平衡位置处弹簧压缩量为x1,则kx1=mgsin θ,振幅A=x0+x1,代入数据解得A=0.20 m,故B正确。
考点二 简谐运动的表达式及图像
4.(6分)(多选)质点a、b的振动图像分别如图中实线和虚线所示,下列说法正确的是( )
[A]质点a、b振动的振幅均为20 cm
[B]质点a、b振动的频率之比为1∶2
[C]质点a、b振动的周期之比为2∶1
[D]质点a、b在0.2 s内运动的路程之比为2∶1
【答案】 AD
【解析】 由题图可知质点a、b振动的振幅均为20 cm,故A正确;质点a的周期为0.2 s,质点b的周期为0.4 s,则a、b振动的周期之比为1∶2,频率之比为2∶1,故B、C错误;质点a在0.2 s内的路程为80 cm,质点b在0.2 s内的路程为40 cm,则运动的路程之比为2∶1,故D正确。
5.(6分)(多选)(2025·山西晋中阶段检测)一质点做简谐运动,其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示,由图可知( )
[A]该简谐运动的周期是2.5×10-2 s,振幅是 cm
[B]该简谐运动的表达式为x=sin(100πt+) cm
[C]该简谐运动的表达式为x=sin(100πt-) cm
[D]t=0.25×10-2 s时质点的位移为-1.2 cm
【答案】 BC
【解析】 由题图知,该简谐运动的周期为T=2×10-2 s,振幅为A= cm,故A错误;圆频率为ω==100π rad/s,而φ=或φ=-,所以质点做简谐运动的表达式为x=sin(100πt+) cm 或x=sin(100πt-) cm,故B、C正确;当t=0.25×10-2 s时位移为x=sin(100πt+) cm=×
(-) cm=-1 cm,故D错误。
6.(4分)(2025·江苏徐州阶段练习)P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示,下列说法正确的是( )
[A]P、Q的振动步调一致
[B]P、Q的初相位不同
[C]P、Q在0～1.2 s内经过的路程之比是1∶1
[D]t=0.45 s时刻,P、Q的位移大小之比是4∶5
【答案】 C
【解析】 两个质点的振动均是由平衡位置开始计时,则初相位相同,但由于二者周期不同,则步调不一致,故A、B错误;在0～1.2 s内P完成一个周期的振动,则路程为40 cm,Q完成两个周期的振动,路程也为40 cm,故路程之比是1∶1,故C正确;P和Q离开平衡位置的x的表达式分别为xP=0.1sin t m,xQ=0.05sin t m,则t=0.45 s时刻,P、Q的位移分别为xP= m,
xQ=-0.05 m,则P、Q的位移大小之比是 ∶1,故D错误。
考点三 简谐运动的周期性和对称性
7.(6分)(多选)(2025·江西南昌期中)一个弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过平衡位置O时开始计时,经过0.5 s,第一次到达点M,再经过0.2 s第二次到达点M,则弹簧振子的周期可能为( )
[A]0.6 s [B]0.8 s
[C]2.0 s [D]2.4 s
【答案】 BD
【解析】 如图甲所示,O点为平衡位置,设C点为M同侧最远点,振子从O→C所需时间为,简谐运动具有对称性,所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等,故=0.5 s+ s=
0.6 s,解得周期T=2.4 s;如图乙所示,若振子一开始从平衡位置向另外一侧运动,到达最远点后反向运动到达O点右侧M点用时0.5 s,从M向右运动到C点时间为0.1 s,则有T′=0.6 s,即T′=0.8 s,故B、D正确。
8.(6分)如图所示为A、B两个弹簧振子的振动图像(实线为A的振动图像,虚线为B的振动图像),试写出它们的位移表达式,并求出相位差Δφ。
【答案】 xA=2sin πt cm
xB=2sin(πt+) cm
【解析】 由题图可知,两个弹簧振子的振幅均为A=2 cm,且TA=TB=2 s,且ωA=ωB==π rad/s,
A的初相位φA=0,B的初相位φB=,则A的位移表达式为xA=2sin πt cm,B的位移表达式为xB=2sin(πt+) cm。其相位差Δφ=φB-φA=,则B的相位比A超前。
9. (4分)(2025·广西贵港阶段练习)如图所示,竖直悬挂的弹簧振子向下振动过程中依次通过相距L的B、C两点(图中未画出)。已知振子在B点的位移大小等于振幅,在C点位移大小是在B点的,振子经过B点时开始计时,t时刻第二次经过C点,该振动的振幅和周期可能是( )
[A](2-)L,t [B](2-)L,t
[C](2+)L,t [D](2+)L,8t
【答案】 B
【解析】 若平衡位置在B、C之间,而xB=A、|xC|=A,则xB+|xC|=L,解得A=(2-)L,根据位移表达式y=Asin t,有A=Asin t1,-A=Asin t2,解得t1=T,t2=T,则t=t2-t1=T,即T=t。若B、C两点在平衡位置同侧,有xB=A,xC=A,则xB-xC=L,解得A=(2+)L,又A=Asin t1′,A=
Asin t2′,解得t1′=T、t2′=T,则t=t2′-t1′=T,即T=t,选项B正确。
10.(6分)(多选)一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m,t=1 s时位移为0.1 m,则( )
[A]若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s
[B]若振幅为0.1 m,振子的周期可能为 s
[C]若振幅为0.2 m,振子的周期可能为4 s
[D]若振幅为0.2 m,振子的周期可能为6 s
【答案】 AD
【解析】 若振幅为0.1 m,则从t=0到t=1 s,(n+)T=1 s,解得T=(n=0,1,2,…)。当n=0时,T=
2 s;n=1时,T= s;n=2时,T= s,选项A正确,B错误。若振幅为0.2 m,振动分两种情况讨论:
①若振子振动如图甲所示,则振子由C点振动到D点用时至少为,周期最大为2 s。
②若振子振动如图乙中实线所示,由x=Asin(ωt+φ)知t=0时,-=Asin φ,φ=-,即振子由C点振动到O点用时至少为,由简谐运动的对称性可知,振子由C点振动到D点用时至少为,则T最大为6 s;若振子振动如图乙中虚线所示,振子由C点振动到D点,则周期最大为2 s。综上所述,C错误,D正确。
11.(10分)(2025·宁夏石嘴山阶段练习)有一弹簧振子在B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过周期振子有负向最大位移。
(1)在图中作出该振子的位移—时间图像;
(2)写出振子的振动方程。
【答案】 (1)图见解析
(2)y=-10sin 10πt cm
【解析】 (1)由于弹簧振子在B、C间运动,则弹簧振子的振幅A=BC=10 cm,
弹簧振子的周期T= s=0.2 s,
该振子从平衡位置开始计时,经周期到负向最大位置,可知开始时振子向y轴负方向运动,则振子的位移—时间图像如图所示。
(2)由ω=,得ω=10π rad/s,可知振子在任意时刻t的位移为y=-Asin ωt=-10sin 10πt cm。(共52张PPT)
2 简谐运动的描述
[定位·学习目标]
1.通过阅读教材,知道简谐运动的全振动、振幅、周期、频率和相位等概念,形成物理观念。2.通过分析简谐运动的表达式,理解各物理量的物理意义,能依据简谐运动表达式描绘振动图像或根据简谐运动图像写出表达式,体会数形结合的科学思维的应用。3.通过观察了解简谐运动的有关物理量,培养学生学习物理的兴趣。
探究·必备知识
知识点一 振幅
「探究新知」
1.定义:振动物体离开平衡位置的 ,用字母A表示,单位是米。
2.物理意义:表示振动 大小的物理量。
3.振动范围:振动物体运动的范围是振幅的 倍。
最大距离
幅度
两
扬声器发声时,手摸喇叭的发音纸盆会感觉到它在振动,把音响声音调大,发觉纸盆的振动更加剧烈,想想这是为什么
「新知检测」
【答案】 扬声器发出的声音是由其喇叭的纸盆振动形成的,振动越剧烈,即振幅越大,纸盆振动的能量越大,喇叭越响,手感觉纸盆振动得越厉害,说明振幅是反映振动剧烈程度的物理量。
知识点二 周期和频率
「探究新知」
1.全振动(如图所示)
类似于O→B→O→C→O的一个 的振动过程称为一次全振动。
注意:无论以哪个位置作为研究起点,做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
2.周期:做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间,用T表示,单位是秒。
完整
全振动
5.ω与周期(T)和频率(f)的关系:ω= = 。
3.频率:物体完成全振动的 与所用 之比,数值等于 内完成全振动的次数,用f表示频率,单位是 ,符号是 。
4.简谐运动的“圆频率”ω:是一个与周期成 、与频率成 的量,表示简谐运动的快慢。
次数
时间
单位时间
赫兹
Hz
反比
正比
2πf
正误辨析
(1)周期、频率是表征物体做简谐运动振动快慢的物理量。( )
(2)振幅就是指振子的位移。( )
(3)振幅就是指振子的路程。( )
(4)做简谐运动的物体,振幅是不断变化的。( )
(5)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。
( )
×
√
×
×
√
知识点三 相位及简谐运动的表达式
「探究新知」
1.相位
(1)概念:描述做简谐运动的物体在一个运动周期中的 。
(2)表示:相位的大小为 ,其中φ是t=0时的相位,称作初相位,或初相。
(3)相位差:两个具有相同 的简谐运动的相位的差值,Δφ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)= 。
2.简谐运动的表达式
x= ,其中A为 ,T为简谐运动的 ,φ0为初相位。
状态
ωt+φ
频率
φ1-φ2
振幅
周期
正误辨析
(1)相位反映了振动物体的振动步调。( )
(2)两个振动物体相位相同,则其振动步调相反。( )
√
×
√
(4)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。( )
√
突破·关键能力
要点一 简谐运动的振幅、周期和频率
1.振幅、位移和路程的关系
「要点归纳」
项目 振幅 位移 路程
定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段 运动轨迹的长度
标矢性 标量 矢量 标量
变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间做周期性变化 随时间增加
2.全振动的特征
(1)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特征:历时一个周期。
(3)路程特征:振幅的4倍。
(4)相位特征:增加2π。
3.振幅与周期的关系
一个振动系统的周期(或频率)有确定的值,由振动系统本身的性质决定,与振幅无关。
[例1] (2024·福建卷)如图甲,装有砂粒的试管竖直静浮于水中,将其提起一小段距离后释放,一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,试管振动图像如图乙所示,则试管( )
[A]振幅为2.0 cm
[B]振动频率为2.5 Hz
[C]在t=0.1 s时速度为零
[D]在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
「典例研习」
B
要点二 简谐运动的表达式、相位
「情境探究」
探究:(1)甲、乙两个振动周期是否相同
(2)甲、乙振动步调是否一致
「要点归纳」
1.简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)中各物理量的意义
(1)x:表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A:表示振幅,描述简谐运动振动的强弱。
可见ω、T、f相当于一个量,描述的都是振动的快慢。
(4)ωt+φ:表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。
(5)φ:表示t=0时振动质点所处的状态,称为初相位或初相。
2.对频率相同的两个简谐运动相位差(Δφ=φ2-φ1)的理解
(1)取值范围:-π≤Δφ≤π。
(2)Δφ=0,表明两振动步调完全相同,称为同相。
Δφ=±π,表明两振动步调完全相反,称为反相。
(3)Δφ>0,表示振动2比振动1超前。
Δφ<0,表示振动2比振动1滞后。
3.根据表达式画图像或根据图像写表达式
(1)根据表达式画振动图像。
②令t=0,找出初始时刻的位移x(x的正负要有明确表示)。
③选好标度,作出正弦函数图像。
(2)根据图像写表达式。
②根据t=0时的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
③把A、ω、φ代入表达式x=Asin(ωt+φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式也可以用该方法求得,只不过φ不相同)。
「典例研习」
BD
[例3] (简谐运动表达式和图像的应用)(2025·河北保定阶段练习)如图所示,质量为m的小球P用轻质弹簧悬挂在天花板上,弹簧的劲度系数为k。另一质量为2m的小球Q用细线拴接在小球P上,初始时两小球保持静止状态。t=0时刻,剪断两小球之间的细线,在t0时刻小球P第一次运动到最高点,重力加速度为g,取竖直向上为正方向,求:
(1)小球P的周期、振幅和振动方程;
【解析】 (1)剪断细线后,小球P做简谐运动,由于t0时刻小球P第一次运动到最高点,可知其周期为T=2t0,
剪断细线前,对小球P、Q整体有kx1=3mg,
剪断细线后,小球P在平衡位置有kx2=mg,
(2)弹簧第一次恢复到原长时的时刻。
要点三 简谐运动的周期性和对称性
「情境探究」
如图所示的弹簧振子在A、B间以O为平衡位置做简谐运动,C、D关于O点对称,则振子分别通过C、D两点时,请完成以下探究。
探究:(1)速度是否相同,动能是否相同
【答案】 (1)当振子在这两点运动方向相同时,其速度相同;运动方向相反时,其速度仅大小相等,故速度不一定相同。又因为动能是标量,与速度大小有关,故振子在这两点的动能是相同的。
(2)还有哪些量是相同的,哪些量是不同的
【答案】 (2)在这两点相同的量还有弹簧的弹性势能及振子的机械能等,不相同的量还有位移、加速度及弹簧弹力等。
「要点归纳」
1.简谐运动的对称性
如图所示,物体在A、B两点间做简谐运动,O点为平衡位置,OC=OD。
(1)时间的对称。
①物体来回通过相同两点间的时间相等,即tDB=tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,即tDB=tBD=
tCA=tAC,tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称。
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
(3)位移的对称。
①物体经过同一点(如C点)时,位移相同。
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移大小相等、方向相反。
2.简谐运动的周期性
简谐运动是一种周期性的运动,按其周期性可做如下判断:
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。
「典例研习」
C
[例4] (简谐运动的周期性)一水平弹簧振子做简谐运动,周期为T,则下列说法正确的是
( )
[例5] (简谐运动的对称性)(2025·江苏徐州阶段练习)弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动,在t=0.2 s时,振子速度第一次变为-v,在t=0.5 s时,振子速度第二次变为-v。
(1)求弹簧振子振动周期T;
【答案】 (1)1.0 s
【解析】 (1)弹簧振子做简谐运动过程示意图如图甲所示,其中P、P′关于O点对称,由对称性可得T=0.5×2 s=1.0 s。
(2)若B、C之间的距离为25 cm,求振子在4.0 s内通过的路程;
【答案】 (2)200 cm
【答案】 (3)x=12.5sin 2πt cm 见解析图乙
提升·核心素养
简谐运动的多解问题
「核心归纳」
1.周期性造成的多解问题
简谐运动是一种周期性的运动,其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化。因此,物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这样就形成简谐运动的多解问题。
2.对称性造成的多解问题
由于简谐运动具有对称性,因此当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这种也形成多解问题。
「典例研习」
[例题] 如图所示,一弹簧振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点O,t=0时振子的位移为x0=0.2 m,t=2 s时振子的位移第一次为x1=-0.2 m,t=6 s时振子的位移第二次为x2=-0.2 m,求:
(1)该振子可能的振幅A及对应的周期T;
【答案】 (1)振幅为0.2 m时周期为4 s,振幅为0.4 m 时周期为12 s
【解析】 (1)该振子振幅A1=0.2 m时,对应周期T1=(6-2) s=4 s,
该振子振幅大于0.2 m时,由简谐运动的对称性得,对应周期
T2=2×2 s+(6-2)×2 s=12 s,
A2=2x0=0.4 m。
(2)从t=0时刻开始该振子位移随时间变化的关系式。
检测·学习效果
1.关于描述物体做简谐运动的物理量,下列说法正确的是( )
[A]物体在1 s内完成全振动的次数叫作振动频率
[B]做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态叫作初相位
[C]做简谐运动的物体在运动过程中相距最远的两点之间的距离叫作振幅
[D]做简谐运动的物体先后两次经过同一位置所经历的时间叫作振动周期
A
【解析】 物体在1 s内完成全振动的次数叫作振动频率,故A正确;物体在各个时刻所处的不同状态叫作相位,在开始时刻所处的状态叫作初相位,故B错误;物体偏离平衡位置的最大距离叫振幅,相距最远的两点之间的距离等于两个振幅,故C错误;物体先后以相同的运动状态通过同一位置所经历的时间叫作振动周期,故D错误。
2.(2025·北京通州阶段练习)如图甲所示为光滑水平面上的弹簧振子,以平衡位置O为原点,在A、B之间做简谐运动,某时刻开始计时,以向右为正方向,其偏离平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
[A]该弹簧振子的振幅为10 cm
[B]该振动系统的振动周期为2.5 s
[C]t=0时,弹簧振子速度最大
[D]t=1.5 s时,弹簧处于压缩状态
D
【解析】 由题图乙可知,弹簧振子的振幅为5.0 cm,振动周期为T=2×(2-0.5) s=3.0 s,故A、B错误。t=0时,弹簧振子不在平衡位置,速度不是最大,故C错误。O点为平衡位置,O点右边位移为正,弹簧处于拉伸状态;相反,O点左边位移为负,弹簧处于压缩状态,而t=1.5 s时,弹簧振子位移为负,则弹簧处于压缩状态,故D正确。
3.如图所示,水平方向的弹簧振子振动过程中,振子先后经过a、b两点时的速度相同,且从a到b历时 0.2 s,从b到a的最短时间为0.4 s,aO=bO,c、d为振子最大位移处,则该振子的振动频率为( )
[A]1 Hz [B]1.25 Hz
[C]2 Hz [D]2.5 Hz
B
感谢观看
