章末总结
以图入题·构建情境·自主总结·悟透模型
情境提点 模型-规律-方法-结论
热点一 简谐运动的规律
1.(2024·北京卷)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是( )
[A]t=0时,弹簧弹力为0
[B]t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
[C]从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
[D]a随t变化的关系式为a=4sin 2.5πt m/s2
【答案】 D
【解析】 由题图乙知,t=0时,手机加速度为0,由牛顿第二定律得弹簧弹力大小F=mg,A错误;由题图乙知,t=0.2 s时,手机的加速度为正,则手机位于平衡位置下方,B错误;由题图乙知,从t=0至t=0.2 s,手机的加速度增大,手机从平衡位置向最大位移处运动,速度减小,动能减小,C错误;由题图乙知,T=0.8 s,ω==2.5π rad/s,则a随t变化的关系式为a=4sin 2.5πt m/s2,
D正确。
2.(2024·黑吉辽卷)如图甲,将一弹簧振子竖直悬挂,以小球的平衡位置为坐标原点O,竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放,其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图乙所示(不考虑自转影响),设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2,地球半径是该天体半径的n倍。的值为( )
[A]2n [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设地球表面的重力加速度为g,该球状天体表面的重力加速度为g′,弹簧的劲度系数为k,根据简谐运动的对称性可知,小球在最大位移处的回复力大小相等,即k·4A-mg=mg,k·2A-mg′=mg′,可得g=,g′=,可得=2。设该球状天体的半径为R,在两星球表面均有一质量为m的物体,则G=mg,G=mg′,联立可得=。
3.(2024·浙江1月选考卷)如图甲所示,质量相等的小球和点光源,分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上,间距为l,竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l,小球和光源做小振幅运动时,在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向,小球和光源的振动图像如图乙所示,则( )
[A]t1时刻小球向上运动
[B]t2时刻光源的加速度向上
[C]t2时刻小球与影子相位差为π
[D]t3时刻影子的位移为5A
【答案】 D
【解析】 以竖直向上为正方向,根据题图乙可知,t1时刻,小球位于平衡位置,随后位移为负值,且位移增大,可知t1时刻小球向下运动,故A错误;以竖直向上为正方向,t2时刻光源的位移为正值,光源振动图像为正弦函数图像,表明其做简谐运动,根据F回=-kx=ma可知,其加速度方向与位移方向相反,位移方向向上,则加速度方向向下,故B错误;根据题图乙可知,小球与光源的振动步调总是相反,由于影子是光源发出的光被小球遮挡后,在屏上留下的阴影,可知影子与小球的振动步调总是相同的,即t2时刻小球与影子相位差为0,故C错误;根据题图乙可知,t3时刻,光源位于最低点,小球位于最高点,根据直线传播得影子在屏上的位置也处于最高点,影子位于正方向上的最大位移处,根据几何关系有=,解得
x影子=5A,即t3时刻影子的位移为5A,故D正确。
热点二 单摆及其周期公式
4.(2024·甘肃卷)如图,为某单摆的振动图像,重力加速度g取 10 m/s2。下列说法正确的是( )
[A]摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
[B]摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
[C]摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
[D]摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
【答案】 C
【解析】 由单摆的振动图像可知振动周期为T=0.8π s,由单摆的周期公式T=2π得摆长为l==1.6 m,x-t图像的斜率表示速度,故起始时刻速度为零,且A、C点的速度相同,A、B点的速度大小相等,方向不同。故选C。
5.(2024·河北卷)如图,一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动,轻杆一端固定在电动机的转轴上,另一端悬挂一紫外光笔,转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上,沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸,感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m,电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为( )
[A]0.2 rad/s,1.0 m
[B]0.2 rad/s,1.25 m
[C]1.26 rad/s,1.0 m
[D]1.26 rad/s,1.25 m
【答案】 C
【解析】 紫外光在纸上的投影做的是简谐运动,电动机的转速为n=12 r/min=0.2 r/s,因此圆频率 ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s,周期为T==5 s,简谐运动的振幅即为轻杆的长度A=0.1 m,12.5 s通过的路程为s=×4A=1.0 m,故选C。
6.(2024·浙江6月选考卷)如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球,两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为1.5 m。小球平衡时,A端细线与杆垂直;当小球受到垂直于纸面方向的扰动做微小摆动时,等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆,重力加速度g取 10 m/s2,则( )
[A]摆角变小,周期变大
[B]小球摆动周期约为2 s
[C]小球平衡时,A端拉力为 N
[D]小球平衡时,A端拉力小于B端拉力
【答案】 B
【解析】 根据单摆的周期公式T=2π可知,周期与摆角无关,故A错误;同一根绳中,A端拉力大小等于B端拉力大小,平衡时对小球受力分析如图,根据几何关系知,2FAcos 30°=mg,解得FA=FB==N,故C、D错误;根据几何知识可知摆长为l=m=1 m,故周期为T=2π=2 s,故B正确。
热点三 实验:用单摆测量重力加速度和探究振动的周期
7.(2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时,在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中,选择图甲方式的目的是要保持摆动中 不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径,测得读数如图丙,则摆球直径为 cm。
(3)若将一个周期为T的单摆,从平衡位置拉开5°的角度释放,忽略空气阻力,摆球的振动可看作简谐运动。当地重力加速度为g,以释放时刻作为计时起点,则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 。
【答案】 (1)摆长 (2)1.06
(3)x=cos(t)
【解析】 (1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T=2π可得单摆的摆长为l=,从平衡位置拉开5°的角度释放,可得振幅为A=lsin 5°,以该位置为计时起点,根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x=Acos ωt=cos (t)。
8.(2023·全国新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先,调节螺旋测微器,拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时,发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐,如图甲所示,该示数为 mm;螺旋测微器在夹有摆球时示数如图乙所示,该示数为 mm,则摆球的直径为 mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图丙所示,其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处,摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方,则摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角 (选填“大于”或“小于”) 5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm,则摆长为 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s,则此单摆周期为 s,该小组测得的重力加速度大小为 m/s2。(结果均保留3位有效数字,π2取9.870)
【答案】 (1)0.007(±0.001) 20.033(±0.001) 20.026(±0.002)
(2)大于
(3)82.5 1.82 9.83
【解析】 (1)测量前测微螺杆和测砧相触时,题图甲的示数为d0=0 mm+0.7×0.01 mm=
0.007 mm;题图乙的示数为d1=20 mm+3.3×0.01 mm=20.033 mm,则摆球的直径为d=d1-d0=20.026 mm。
(2)角度盘的大小一定,在规定的位置安装角度盘,测量的摆角准确,但将角度盘固定在规定位置上方时,角度盘到悬挂点的距离变短,同样的角度,摆线在角度盘上扫过的弧长变短,故摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角大于5°。
(3)单摆的摆线长度l0为81.50 cm,则摆长为l=l0+=81.50 cm+ cm=82.5 cm;一次全振动单摆经过最低点两次,故此单摆的周期为T= s=1.82 s;由单摆的周期公式T=2π得,重力加速度g==9.83 m/s2。
9.(2024·湖南卷)在太空,物体完全失重,用天平无法测量其质量。如图甲,某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案,主要实验仪器包括:气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体,主要步骤如下:
(1)调平气垫导轨,将弹簧左端连接气垫导轨左端,右端连接滑块。
(2)将滑块拉至离平衡位置20 cm处由静止释放,滑块第1次经过平衡位置处开始计时,第21次经过平衡位置时停止计时,由此测得弹簧振子的振动周期T。
(3)将质量为m的砝码固定在滑块上,重复步骤(2)。
(4)依次增加砝码质量m,测出对应的周期T,实验数据如下表所示,在图乙中绘制T2-m关系图线。
m/kg T/s T2/s2
0.000 0.632 0.399
0.050 0.775 0.601
0.100 0.893 0.797
0.150 1.001 1.002
0.200 1.105 1.221
0.250 1.175 1.381
(5)由T2-m图像可知,弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是 (选填“线性的”或“非线性的”)。
(6)取下砝码后,将待测物体固定在滑块上,测量周期并得到T2=0.880 s2,则待测物体的质量是 kg(结果保留3位有效数字)。
(7)若换一个质量较小的滑块重做上述实验,所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴 (选填“正方向”“负方向”或“不”)移动。
【答案】 (4)图见解析 (5)线性的 (6)0.120 (7)负方向
【解析】 (4)根据表格数据描点连线如图所示。
(5)图线是一条倾斜的直线,说明弹簧振子振动周期的平方与砝码质量为线性关系。
(6)在图线上找T2=0.880 s2的点,对应横坐标为0.120 kg。
(7)换一个质量较小的滑块做实验,滑块和砝码总质量较原来偏小,要得到相同的周期,应放质量更大的砝码,对应坐标点应右移,则所得图线与原图线相比将沿纵轴负方向移动。
10.(2024·黑吉辽卷)图甲为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图,不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D,其中对蓝色积木的某次测量如图乙所示,从图中读出D= cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上,设置积木左端平衡位置的参考点O,将积木的右端按下后释放,如图丙所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了 个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作,测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系,可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究,数据如下表所示:
颜色 红 橙 黄 绿
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65
颜色 青 蓝 紫
ln D 2.197 … 1.792
lnT -0.78 -0.92 -1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图丁所示,则T与D的近似关系为 。
A.T∝ B.T∝D2
C.T∝ D.T∝
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施: 。
【答案】 (1)7.55(7.54～7.56均可) (2)10
(3)A (4)换更光滑的硬质水平桌面
【解析】 (1)刻度尺的分度值为0.1 cm,需要估读到分度值下一位,读数为D=7.55 cm。
(2)积木左端两次经过参考点O为一个周期,当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了10个周期。
(3)由题图丁可知,ln T与ln D成正比,斜率为0.5,即ln T=0.5ln D,整理可得ln T=ln ,则T与D的近似关系为T∝。
(4)为了提高实验精度,可换更光滑的硬质水平桌面。
机械振动 检测试题
(分值:100分)
一、单项选择题:共8小题,每小题3分,共24分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1.如图所示,下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 简谐运动是物体在跟位移大小成正比,方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动。其中只有选项C中,物体在两侧斜面上受到的力均为恒力,不与位移的大小成正比,所以一定不是简谐运动。选项C正确。
2.如图所示是一水平弹簧振子,设向右为正方向,O为平衡位置,则( )
[A]A→O时,位移为负,速度为正
[B]O→B时,位移为正,加速度为负
[C]B→O时,位移为负,速度为正
[D]O→A时,位移为负,加速度为正
【答案】 C
【解析】 位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段,加速度方向总是指向平衡位置,而速度方向要具体看弹簧振子的运动以及正方向的规定,规定向右为正方向,A→O或O→B速度为负,O→A或B→O速度为正,所以C正确。
3.在古代典籍中有大量关于共振现象的记录,《庄子》中记载了中国古代的乐器的各弦间发生的共振现象。关于受迫振动与共振现象,下列说法正确的是( )
[A]仿古盥洗用的脸盆,用手摩擦盆耳到一定节奏时会溅起水花,这是共振现象
[B]受迫振动是共振的一种特殊情况
[C]为消除共振现象,应使驱动力的频率与物体的固有频率相差越小越好
[D]耳朵凑近空热水瓶口能听到嗡嗡的声音不属于共振现象
【答案】 A
【解析】 仿古盥洗用的脸盆,用手摩擦盆耳到一定节奏时会溅起水花,这是共振现象,故A正确;做受迫振动的物体,当驱动力的频率与固有频率相等时,振幅最大的现象叫共振,所以共振是受迫振动的一种特殊情况,故B错误;根据共振条件可知,为消除共振现象,应使驱动力的频率与物体的固有频率相差越大越好,故C错误;热水瓶内的空气柱对应一定的振动频率,符合此频率的声波信号会引起共振而绵延不绝,故能听到嗡嗡的声音,属于共振现象,故D错误。
4.如图所示,两段光滑圆弧轨道的半径分别为R1和R2,圆心分别为O1和O2,所对应的圆心角均小于5°,在最低点O平滑连接。M点和N点分别位于O点左右两侧,MO的距离小于NO的距离。现分别将位于M点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放。关于两小球第一次相遇的位置,下列判断正确的是( )
[A]恰好在O点
[B]一定在O点的左侧
[C]一定在O点的右侧
[D]条件不足,无法确定
【答案】 C
【解析】 由于两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于5°,把两球在圆弧上的运动看作等效单摆,等效摆长等于圆弧的半径,则A、B两球的运动周期分别为TA=2π,TB=2π,两球第一次到达O点的时间分别为tA=TA=,tB=TB=,由于R15.如图所示,一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”,小球可以绕着固定轴OO′垂直于纸面来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内,这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动,轻杆长为L,摆角很小时,细线与轻杆间的夹角为α,轻杆与水平面间的夹角为θ,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
[A]单摆的等效摆长为Lsin θ
[B]单摆的等效摆长为
[C]等效重力加速度为gsin α
[D]等效重力加速度为gsin θ
【答案】 D
【解析】 “杆线摆”相当于单摆在光滑斜面上振动,可知等效重力加速度沿斜面向下,大小为g′=gsin θ,等效摆长为杆长L。故D正确。
6.一个单摆在地球表面做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示,重力加速度g取10 m/s2,则( )
[A]此单摆的固有周期约为0.5 s
[B]此单摆的摆长约为1 m
[C]若摆球的质量增大,单摆的固有频率增大
[D]若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
【答案】 B
【解析】 由题图共振曲线知,此单摆的固有频率为0.5 Hz,则固有周期为2 s,故A错误;由T=2π,得此单摆的摆长约为1 m,故B正确;单摆的固有频率与摆球的质量无关,摆长增大时固有频率减小,则共振曲线的峰将向左移动,故C、D错误。
7.如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。以竖直向上为正方向,在一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是( )
[A]振子在O点受到的弹簧弹力等于零
[B]振子做简谐运动的表达式为x=10sin(πt-) cm
[C]t1=0.25 s和t2=0.75 s时,振子的速度不同,但加速度大小相等
[D]在0.25～0.75 s的时间内,振子通过的路程为5 cm
【答案】 D
【解析】 弹簧振子在平衡位置O时回复力为0,此时弹簧弹力等于小球重力,故A错误;由题图乙可知振子振幅A=5 cm,周期T=2.0 s,则圆频率ω==π rad/s,而初相位φ0=-,故振子做简谐运动的表达式x=5sin(πt-) cm,故B错误;根据简谐运动可知,在t1=0.25 s和t2=0.75 s时,小球位置相对于O点对称,则振子的速度相同,加速度大小相等,故C错误;在t1=0.25 s和t2=0.75 s时,振子位移分别为x1=5sin(π×0.25-) cm=- cm,x2=5sin(π×0.75-) cm= cm,则在0.25～0.75 s的时间内,振子通过的路程s=|x1|+|x2|=5 cm,故D正确。
8.如图甲所示,O点为单摆的固定悬点,在其正下方的P点有一个钉子,现将小球拉开一定的角度后开始运动,小球在摆动过程中的偏角很小,OA绳长1.6 m。从某时刻开始计时,绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2,忽略一切阻力。下列说法正确的是( )
[A]t=t0时小球位于A点
[B]t=2t0时小球位于B点
[C]t0=0.3π s
[D]OP之间的距离为1.2 m
【答案】 D
【解析】 由题图乙可知,t=t0时线的拉力最大,而小球在A、C间运动的过程中,经B点时线速度的大小不变,但在B、C间摆长变小,根据牛顿第二定律有F-mg=,解得F=+mg,由于t0时绳中拉力突然由大变小,说明摆长突然变长,即小球由B点向右运动,故A错误;结合机械能守恒定律,同理可知,2t0时小球应在A点,故B错误;在A、B区间单摆的周期大,设其周期为T1,则有=t0,即T1=4t0,根据单摆周期公式有T1=2π,解得t0=0.2π s,故C错误;同理,在B、C间,设周期为T2,则有=t0,即T2=2t0=0.4π s,代入公式T2=2π,解得lPC=0.4 m,即OP的长度为OP=lOA-lPC=1.2 m,故D正确。
二、多项选择题:共4小题,每小题4分,共16分。每小题有多个选项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
9.某种弹簧振子做简谐运动,动能与弹性势能随时间变化的图像如图所示,下列说法正确的是( )
[A]此弹簧振子在光滑的水平面上振动
[B]t2时刻弹簧振子处在平衡位置
[C]弹簧振子的周期为t2
[D]弹簧振子的周期为4t1
【答案】 AD
【解析】 由Et图像可知,弹簧振子只有动能和弹性势能互相转化,且机械能守恒,即只有弹簧的弹力做功,重力不做功,则弹簧振子在光滑的水平面上振动,故A正确;t2时刻弹簧振子的动能最小,弹性势能最大,则振子处在位移最大处,故B错误;弹簧振子的周期为2t2或4t1,故C错误,D正确。
10.为了使金属小球稳定在同一竖直平面内运动,避免单摆稳定性差的问题。如图所示,用两条长为1.15 m的不可伸长的细线固定一质量为0.1 kg的金属小球,悬挂在水平直杆A、B两端上,小球静止时,A端细线与杆的夹角为60°。当小球受到垂直于纸面方向的扰动做微小摆动时(已知 取1.73,重力加速度g取10 m/s2),则( )
[A]金属小球做简谐运动
[B]摆角变小,周期将变大
[C]金属小球摆动周期约为2 s
[D]金属小球经过最低点时,A端拉力为 N
【答案】 AC
【解析】 金属小球受到垂直于纸面方向的扰动做微小摆动,可知其类似于单摆,则小球做简谐运动,选项A正确;单摆的周期与摆角无关,选项B错误;摆长l=1.15 m×sin 60°=1 m,则金属小球摆动周期约为T=2π=2 s,选项C正确;若金属小球静止在最低点时,A端拉力2FTsin 60°=mg,解得FT= N,当金属小球经过最低点时,因为速度不为零,则2FT′sin 60°=mg+m>mg,可知A端拉力FT′> N,选项D错误。
11.如图甲所示,一单摆做小角度摆动,从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时,相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。对于这个单摆的振动过程,下列说法正确的是( )
[A]单摆的摆长约为1.0 m
[B]单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin πt cm
[C]从t=0.5 s到t=1.0 s的过程中,摆球的重力势能逐渐增大
[D]从t=1.0 s到t=1.5 s的过程中,摆球所受的回复力逐渐减小
【答案】 AB
【解析】 由题图乙可知单摆的周期T=2 s,振幅A=8 cm,由单摆的周期公式T=2π,代入数据可得l≈1.0 m,A正确;由ω=可得ω=π rad/s,则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=Asin ωt=8sin πt cm,B正确;从t=0.5 s到t=1.0 s的过程中,摆球从最高点运动到最低点,重力势能减小,C错误;从t=1.0 s到t=1.5 s的过程中,摆球的位移增大,回复力增大,D错误。
12.如图所示,光滑圆弧槽半径为R(未知),A为最低点,C到A的距离远远小于R,小球B位于A点的正上方,且到A点的距离为H。若同时释放小球B、C,则要使两小球B和C在A点相遇(小球B和C可视为质点),R的可能值为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AD
【解析】 小球C做简谐运动,其周期TC=2π,
到达A点的时间t=(2n+1)×2π(n=0,1,2,…),
对小球B有H=gt′2,若B、C在A点相遇,解得R=(n=0,1,2,…),
当n=0时,有R=,当n=1时,有R=,故A、D正确。
三、非选择题:共6小题,共60分。
13.(6分)某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验。
(1)用游标卡尺测小球的直径时示数如图甲所示,则小球的直径D= cm。
(2)如图乙所示,搭建实验装置时,要用铁夹夹住摆线上端,这样做的主要目的是 。(填字母)
A.便于测量单摆摆长
B.便于测量单摆周期
C.确保摆动时摆长不变
D.确保摆球在竖直平面内摆动
(3)该同学用标准的实验器材和正确的实验方法测量出几组不同摆长l和对应的周期T,然后根据数据描绘T2l图像,进一步计算得到图像的斜率为k,可知当地的重力加速度大小g= 。
【答案】 (1)2.240 (2)C (3)
【解析】 (1)用游标卡尺测小球的直径D=22 mm+0.05 mm×8=22.40 mm=2.240 cm。
(2)搭建实验装置时,要用铁夹夹住摆线上端,这样做的主要目的是确保摆动时摆长不变,故选C。
(3)根据T=2π,可得T2=l,则k=,可得g=。
14.(8分)重力加速度是物理学中一个重要概念,它描述了在地球表面附近自由落体运动的加速度。某探究小组设计了两种方案来测量重力加速度,一是利用单摆测量重力加速度,二是利用平抛运动测量重力加速度。
方案一:利用单摆测量当地重力加速度
(1)甲同学欲利用图1装置测量重力加速度,乙同学分析该装置测量周期时,测量全振动次数较多时摆球容易做圆锥摆运动,于是提议利用图2双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根轻细线长度为L0,两悬点间相距s。当小球通过光电门(平衡位置)时,光电计数器计数1次,同时计时器开始计时。请回答下列问题:
①如图3,为用螺旋测微器测量小球直径d,则d= mm。若计数器显示的计数次数为n,所用时间为t,则双线摆的振动周期T= ,利用图2装置测得当地重力加速度g= (用d、n、t、L0、s表示)。
②若利用图1测量重力加速度,由于摆球做圆锥摆运动,则测量的重力加速度 (选填“偏大”或“偏小”)。
方案二:利用平抛运动测量当地重力加速度
(2)如图4所示,四分之一圆弧轨道固定在水平台面上,在圆弧轨道最低点固定有压力传感器,将小球由圆弧轨道某一高度静止释放,小球经过轨道最低点时压力传感器显示的压力大小为FN,小球离开圆弧轨道后做平抛运动,其圆弧轨道半径为R,小球质量为m,抛出点距离地面的高度为h,经测量小球水平射程为x,则当地的重力加速度测量值g= (用已知量表示)。
【答案】 (1)①4.700 (+) ②偏大
(2)
【解析】 (1)①由题图3可知,螺旋测微器读数为d=4.5 mm+20.0×0.01 mm=4.700 mm;
双线摆的振动周期为T==,等效摆长l=+,根据单摆周期公式T=2π,解得
g=(+)。
②单摆周期公式为T=2π,解得g=l,而圆锥摆中摆长l′=lcos θ,则周期T′=2π(θ为摆线与竖直方向的夹角),可知圆锥摆的周期小于单摆的周期,所以如果测量全振动次数较多时摆球做了圆锥摆运动,测得的周期偏小,由g=l计算得到的g偏大。
(2)小球经过圆弧轨道最低点时有FN-mg=m,此后做平抛运动有h=gt2,x=vt,联立解得 g=。
15.(8分)如图甲所示,弹簧振子做简谐振动,从某一时刻开始计时,规定竖直向上为正方向,弹簧对小球的弹力与运动时间的关系如图乙所示,重力加速度为g,t=t0时弹簧振子处于平衡位置。
(1)求小球的质量;
(2)若弹簧振子的振幅为A,求从计时开始到11t0时,小球运动的路程。
【答案】 (1) (2)33A
【解析】 (1)当弹力最大时,小球处在最低点,题图乙说明小球从处在最低点开始计时,且到达最高点时弹力F1方向竖直向下,由于弹簧振子的回复力在最高点和最低点大小相等、方向相反,根据对称性有F2-mg=mg+F1,
解得m=。
(2)设弹簧振子的周期为T,结合Ft图像可得T=t0,
解得T=t0,
从计时开始到11t0,
则t=11t0=8×t0+t0=8T+T,
则小球的路程为
s=8×4A+A=33A。
16.(12分)如图所示,把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球在水平x轴的光滑杆上,能够在杆上自由滑动,把小球沿x轴拉开一段距离,小球将做振幅为R的振动,O为振动的平衡位置。另一小球B在竖直平面内以O′为圆心,在电动机的带动下,沿逆时针方向做半径为R的匀速圆周运动,O与O′在同一竖直线上。用竖直向下的平行光照射小球B,适当调整B的转速,可以观察到,小球B在x轴上的“影子”和小球A在任何时刻都重合。已知弹簧劲度系数为k,小球A的质量为m,弹簧的弹性势能表达式为Ep=k(Δx)2,其中k是弹簧的劲度系数,Δx是弹簧的形变量。
(1)试证明小球B的运动在x轴上的投影为简谐运动;
(2)求小球B的线速度大小vB;
(3)推导出小球A的周期表达式为TA=2π。
【答案】 (1)见解析 (2)R (3)见解析
【解析】 (1)设小球B做匀速圆周运动的角速度为ω,某时刻t所处位置如图所示,
此时小球与圆心O′连线与竖直方向夹角为ωt,
则小球B的运动在x轴上的位移Δx=Rsin ωt,
即小球B的运动在x轴上的投影的位移x与时间t的关系为正弦函数,说明该运动是简谐运动。
(2)由于小球B在x轴方向上“影子”速度时刻与小球A速度相等,即小球A经过平衡位置O时的速度v与小球B经过最低点的速度(或做匀速圆周运动的线速度)vB相等,设小球A经过平衡位置O时的速度为v,它从平衡位置运动到最大位移处的过程,根据机械能守恒定律有mv2=kR2,
解得v=R,
即小球B做匀速圆周运动的线速度vB=v=R。
(3)小球A做简谐运动的周期与小球B做匀速圆周运动的周期相等,而小球B做匀速圆周运动的周期TB=,即TB=2π,
可知小球A做简谐运动的周期TA=TB=2π。
17.(12分)如图甲所示,一个三角形物块固定在水平桌面上,其光滑斜面的倾角为θ=30°,物体A的质量为mA=0.5 kg,物体B的质量为mB=1.0 kg(A、B均可视为质点),物体A、B并列在斜面上且压着一劲度系数为k=125 N/m的轻弹簧,弹簧的下端固定,上端拴在物体A上,物体A、B均处于静止状态。(g取10 m/s2)
(1)求此时弹簧的压缩量;
(2)将物体B迅速移开,物体A将做周期为0.4 s的简谐运动,若以沿斜面向上的方向为正方向,请在图乙所给的坐标系中作出物体A相对平衡位置的位移随时间的变化曲线图,并在图中标出振幅。
【答案】 (1)0.06 m (2)图见解析
【解析】 (1)物体A、B在斜面上处于平衡状态时,设压缩量为x,
则有(mA+mB)gsin 30°=kx,
解得x==0.06 m。
(2)将物体B移开后,物体A做简谐运动,平衡位置对应弹簧的压缩量x0==0.02 m,
所以物体A振动的振幅为A=x-x0=0.04 m,
已知系统的振动周期为T=0.4 s,振动的位移随时间的变化关系曲线如图。
18.(14分)如图所示,质量分别为m=200 g、M=400 g的两物块a、b用轻弹簧相连,其中b放在水平地面上,a处于竖直光滑的导轨内。今将a向下压一段距离后放手,它就在导轨内上下做简谐运动,且a到达最高点时,b对地面的压力刚好为零。若弹簧的劲度系数为
200 N/m,g取10 m/s2。求:
(1)弹簧的最大形变量;
(2)a的最大加速度的值;
(3)b对地面的最大压力。
【答案】 (1)2 cm (2)30 m/s2
(3)12 N 方向竖直向下
【解析】 (1)由于a到达最高点时,b对地面的压力为零,此时两物块受力分别如图1、2
所示,
由于b受到的弹簧拉力大小等于自身重力,则弹簧的形变量最大,根据胡克定律有
kx=Mg,
代入数据解得x=2 cm。
(2)当弹簧有最大形变量时,弹簧拉力与a的重力方向同向,此时a的加速度最大,则有
F+mg=ma,
其中F=Mg,
代入数据解得a=30 m/s2。
(3)当弹簧压缩到最短时,b对地面的压力最大,此时a、b受力分别如图3、4所示,
根据简谐运动的对称性,此时物块a加速度大小为30 m/s2,方向竖直向上,根据牛顿第二定律有FT-mg=ma,
根据平衡条件,对物块b有FT′+Mg=FN,
而FT=FT′,
联立解得FN=12 N,
由牛顿第三定律可知,b对地面的最大压力FN′=12 N,
方向竖直向下。(共40张PPT)
章末总结
以图入题·构建情境·自主总结·悟透模型
情境提点 模型-规律-方法-结论
热点一 简谐运动的规律
1.(2024·北京卷)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是( )
[A]t=0时,弹簧弹力为0
[B]t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
[C]从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
[D]a随t变化的关系式为a=4sin 2.5πt m/s2
D
C
3.(2024·浙江1月选考卷)如图甲所示,质量相等的小球和点光源,分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上,间距为l,竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l,小球和光源做小振幅运动时,在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向,小球和光源的振动图像如图乙所示,则( )
[A]t1时刻小球向上运动
[B]t2时刻光源的加速度向上
[C]t2时刻小球与影子相位差为π
[D]t3时刻影子的位移为5A
D
【解析】 以竖直向上为正方向,根据题图乙可知,t1时刻,小球位于平衡位置,随后位移为负值,且位移增大,可知t1时刻小球向下运动,故A错误;以竖直向上为正方向,t2时刻光源的位移为正值,光源振动图像为正弦函数图像,表明其做简谐运动,根据F回=-kx=ma可知,其加速度方向与位移方向相反,位移方向向上,则加速度方向向下,故B错误;根据题图乙可知,小球与光源的振动步调总是相反,由于影子是光源发出的光被小球遮挡后,在屏上留下的阴影,可知影子与小球的振动步调总是相同的,即t2时刻小球与影子相位差为0,故C错误;
热点二 单摆及其周期公式
4.(2024·甘肃卷)如图,为某单摆的振动图像,重力加速度g取 10 m/s2。下列说法正确的是( )
[A]摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
[B]摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
[C]摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
[D]摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
C
5.(2024·河北卷)如图,一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动,轻杆一端固定在电动机的转轴上,另一端悬挂一紫外光笔,转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上,沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸,感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m,电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为( )
[A]0.2 rad/s,1.0 m
[B]0.2 rad/s,1.25 m
[C]1.26 rad/s,1.0 m
[D]1.26 rad/s,1.25 m
C
6.(2024·浙江6月选考卷)如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球,两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为1.5 m。小球平衡时,A端细线与杆垂直;当小球受到垂直于纸面方向的扰动做微小摆动时,等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆,重力加速度g取 10 m/s2,
则( )
[A]摆角变小,周期变大
[B]小球摆动周期约为2 s
[D]小球平衡时,A端拉力小于B端拉力
B
热点三 实验:用单摆测量重力加速度和探究振动的周期
7.(2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时,在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中,选择图甲方式的目的是要保持摆动中 不变。
摆长
【解析】 (1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径,测得读数如图丙,则摆球直径为 cm。
1.06
【解析】 (2)摆球直径为d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
(3)若将一个周期为T的单摆,从平衡位置拉开5°的角度释放,忽略空气阻力,摆球的振动可看作简谐运动。当地重力加速度为g,以释放时刻作为计时起
点,则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 。
8.(2023·全国新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先,调节螺旋测微器,拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时,发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐,如图甲所示,该示数为 mm;螺旋测微器在夹有摆球时示数如图乙所示,该示数为 mm,则摆球的直径为 mm。
0.007(±0.001)
20.033(±0.001)
20.026(±0.002)
【解析】 (1)测量前测微螺杆和测砧相触时,题图甲的示数为d0=0 mm+
0.7×0.01 mm=0.007 mm;题图乙的示数为d1=20 mm+3.3×0.01 mm=
20.033 mm,则摆球的直径为d=d1-d0=20.026 mm。
(2)单摆实验的装置示意图如图丙所示,其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处,摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方,则摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角 (选填“大于”或“小于”) 5°。
大于
【解析】 (2)角度盘的大小一定,在规定的位置安装角度盘,测量的摆角准确,但将角度盘固定在规定位置上方时,角度盘到悬挂点的距离变短,同样的角度,摆线在角度盘上扫过的弧长变短,故摆线在角度盘上所指的示数为5°时,实际摆角大于5°。
(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm,则摆长为 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s,则此单摆周期为 s,该小组测得的重力加速度大小为
m/s2。(结果均保留3位有效数字,π2取9.870)
82.5
1.82
9.83
9.(2024·湖南卷)在太空,物体完全失重,用天平无法测量其质量。如图甲,某同学设计了一个动力学方法测量物体质量的实验方案,主要实验仪器包括:气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计时器和待测物体,主要步骤如下:
(1)调平气垫导轨,将弹簧左端连接气垫导轨左端,右端连接滑块。
(2)将滑块拉至离平衡位置20 cm处由静止释放,滑块第1次经过平衡位置处开始计时,第21次经过平衡位置时停止计时,由此测得弹簧振子的振动周期T。
(3)将质量为m的砝码固定在滑块上,重复步骤(2)。
(4)依次增加砝码质量m,测出对应的周期T,实验数据如下表所示,在图乙中绘制T2-m关系图线。
m/kg T/s T2/s2
0.000 0.632 0.399
0.050 0.775 0.601
0.100 0.893 0.797
0.150 1.001 1.002
0.200 1.105 1.221
0.250 1.175 1.381
【答案及解析】 (4)根据表格数据描点连线如图所示。
(5)由T2-m图像可知,弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是
(选填“线性的”或“非线性的”)。
线性的
【解析】 (5)图线是一条倾斜的直线,说明弹簧振子振动周期的平方与砝码质量为线性关系。
(6)取下砝码后,将待测物体固定在滑块上,测量周期并得到T2=0.880 s2,则待测物体的质量是 kg(结果保留3位有效数字)。
0.120
【解析】 (6)在图线上找T2=0.880 s2的点,对应横坐标为0.120 kg。
(7)若换一个质量较小的滑块重做上述实验,所得T2-m图线与原图线相比将沿纵轴 (选填“正方向”“负方向”或“不”)移动。
负方向
【解析】 (7)换一个质量较小的滑块做实验,滑块和砝码总质量较原来偏小,要得到相同的周期,应放质量更大的砝码,对应坐标点应右移,则所得图线与原图线相比将沿纵轴负方向移动。
10.(2024·黑吉辽卷)图甲为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图,不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D,其中对蓝色积木的某次测量如图乙所示,从图中读出D= cm。
7.55(7.54～7.56均可)
【解析】 (1)刻度尺的分度值为0.1 cm,需要估读到分度值下一位,读数为D=7.55 cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上,设置积木左端平衡位置的参考点O,将积木的右端按下后释放,如图丙所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了 个周期。
10
【解析】 (2)积木左端两次经过参考点O为一个周期,当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时,第20次时停止计时,这一过程中积木摆动了10个周期。
(3)换用其他积木重复上述操作,测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系,可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究,数据如下表所示:
颜色 红 橙 黄 绿
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65
颜色 青 蓝 紫
ln D 2.197 … 1.792
lnT -0.78 -0.92 -1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图丁所示,则T与D的近似关系为 。
A
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施: 。
换更光滑的硬质水平桌面
【解析】 (4)为了提高实验精度,可换更光滑的硬质水平桌面。
感谢观看
