16.1 二次根式及其性质- 课件（共39张PPT）-沪科版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）

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沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
16.1 二次根式及其性质
第16章 二次根式
授课教师： .
班 级： .
时 间： .
学习目标
1.理解二次根式的概念；掌握二次根式有意义的条件.（重点）
2.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
3.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根 怎么表示它？
如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示.
问题3 什么数有算术平方根
非负数.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1) 如图 的海报为正方形，若面积为 2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m．
(2) 如图 的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m．
图
图
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示 2，S，3 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ．
① 根指数都为 2；
② 被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
二次根式的概念及有意义的条件
1
两个必备特征
① 外貌特征：含有“ ”
② 内在特征：被开方数(式) a ≥0
一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式.“ ”称为二次根号.
注意：a 可以是数，也可以是式.
归纳总结
是
不是
A
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
二次根式的被开方数或式非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
当 a≥0 时， ≥0.
归纳总结
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
典例精析
2.由二次根式的概念可知，的取值范围是 ，即当
时，有意义，是二次根式；当_______时， 无意
义，不是二次根式.
3.(1)___ .
D
4. [苏州期末]若 ，则下列式子一定有意义的是( )
C
A. B. C. D.
例2 实数 x 为何值时下列式子有意义
解：(1) 要使 有意义，则 x + 3≥0.
解这个不等式，得 x≥-3.
所以当 x≥-3 时， 有意义.
(2) 因为 x 为任何实数都有 x2≥0，
所以当 x 为一切实数时， 有意义.
例3 若 ，求 a - b + c 的值.
解：
由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 =0，
解得 a = 2，b = 3，c = 4.
所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.
归纳总结：若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式.
1. 由于 是 2 的算术平方根，根据平方根的意义，应有 ( ) = 2. 类似地，计算：
= ，
二次根式的性质
2
5
0
2.
类似地，计算：
，
= ，
又如 ，再计算
.
= ，
0.5
0
0.5
观察上式，你能得出什么结论呢？
归纳总结
一般地，有
性质1
＝a (a≥0).
性质2
a， (a≥0)，
-a ，(a＜0).
0，(a≥0)，
例4 计算：
； .
解：(1)
(2) 方法一：
方法二：
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
意义
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
核心必知
1.一般地，我们把形如____ 的式子叫做二次根式，
5．实数x为何值时，下列式子有意义？(16分)
解：由题意，知x＋10≥0，所以x≥－10.
(2) ；
解：由题意，
知 且
，
所以 .
(4) .
x为全体实数．
例5 先化简，再求值： ，其中 x = 4.
当 x = 4 时，| x－π |＝| 4－π |.
∵ π＜4， ∴ 4－π＞0.
∴ 当 x＝4 时，原式＝4－π.
6.［知识初练］计算： ___.
5
7.已知,则 的取值范围为_______.
8.计算：
(1) _____；
(2) __；
(3) ____.
9. 把下列正数写成一个数的平方的形式.
(1)7；
解：原式 .
(2)16；
原式 .
(3)0.49；
原式 .
(4) .
原式 .
10.［知识初练］ 等于( )
C
A. B. C.4 D.
【变式题】 已知二次根式的值为4，那么 的值是( )
D
A.4 B.16 C. D.
11.下列计算正确的是( )
A
A. B.
C. D.
12. 计算： ________.
运用时，忽略 .
【变式题】 化简： ___.
1
12.求下列各式的值：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) .
原式 .
2星题 中档练
x>－1且x≠0　
易错点睛：易因考虑不全导致答案不完整而致错.
2
7
17.［数形结合思想］实数和 在数轴上对应点的位置如图
所示，化简 的结果是( )
D
A. B. C. D.
由二次根式的定义可得________≥0，即__________；
由二次根式的非负性可得__________≥0，即__________，所以m＝______.
m＋3
m≥－3
－3－m
m≤－3
－3
二次根式
性质
定义
带有二次根号
被开方数为非负数
＝a (a≥0).
性质1
a，(a≥0)，
-a，(a＜0).
0，(a＝0)，
性质2