17.2.3 因式分解法- 课件（共33张PPT）-沪科版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）

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沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
17.2.3 因式分解法
第 17 章 一元二次方程及其应用
授课教师： .
班 级： .
时 间： 2026.01.09 .
学习目标
1. 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；(重点)
2. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想. (难点)
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的初速度竖直上抛，那么经过 a s 物体离地面的高度为 (10a - 4.9a2) m. 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到 0.01 s)
分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x - 4.9x2 = 0. ①
因式分解法解一元二次方程
1
解：
解：
∵a = 4.9, b = -10, c = 0,
∴b2 - 4ac = (-10)2 - 4×4.9×0
=100.
公式法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0.
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 4.9x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
x = 0
1．[蚌埠期中]用求根公式解一元二次方程3x2－2x＝1时，a，b，c的值是(　　)
A．a＝3，b＝－1，c＝－2 B．a＝3，b＝－2，c＝1
C．a＝3，b＝－2，c＝－1 D．a＝3，b＝2，c＝1
C
2.当用公式法解方程 时，
的值为( )
C
A.2 B. C.17 D.
D
A．3x2＋2x－1＝0 B．2x2＋4x－1＝0
C．x2－2x＋3＝0 D．3x2－2x－1＝0
通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤：
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解。
简记歌诀：
右化零，左分解；
两因式，各求解.
知识要点
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 5) = 0；
(1) x1 = 0， x2 = 5.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
(2) y1 = -2，y2 = 3.
(3) (3x + 6)(2x - 4) = 0；
(3) x1 = -2，x2 = 2.
核心必知
1.一般地，对于一元二次方程 ，如
果 ，那么方程的两个根为_ ______________，
这个公式叫作一元二次方程的求根公式．利用求根公式
解一元二次方程的方法叫作公式法．
2．用公式法解一元二次方程
典例精析
例1 解方程：x2 - 2x = 0.
解 提取公因式，得 x(x - 2) = 0.
因此，有 x = 0 或 x - 2 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 2.
例2 解方程：( x + 4 ) ( x -1 ) = 6.
解 将原方程化为一般形式，得 x + 3x -10 = 0.
把方程左边分解因式，得 ( x + 5 )( x -2 ) = 0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x - 2 = 0.
所以原方程的根是 x = -5，x = 2.
4.［知识初练］用公式法解方程： .
解：将方程化为一般形式，得_________________，
所以___，____， ____，
所以 ____，
所以_ _____ ____，
所以_________________.
3
49
，
5. [2024·泉州期末] 下面是小明同学解方
程 的过程：
因为，， ，(第一步)
所以 ，(第二步)
所以 ，(第三步)
所以， .(第四步)
小明是从第____步开始出错的.
一
思考 方程两边同除以 x ，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1. 这样做对吗 为什么
例3 解方程：x = x.
解 移项、提取公因式，得 x( x -1 ) = 0.
因此，有 x = 0 或 x - 1 = 0.
所以原方程的根是 x1 = 0，x2 = 1.
例4 解下列方程：
解：(1) 因式分解，得
∴ x - 2 = 0 或 x + 1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
(x - 2)(x + 1) = 0.
(2) 移项、合并同类项，得 4x2 - 1 = 0.
因式分解，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0.
∴ 2x + 1 = 0 或 2x - 1 = 0.
解得
6.用公式法解下列方程：
(1) ；
解：因为，， ，
所以 ，
所以 ,
所以, .
(2) ;
解：因为，， ，
所以 ，
所以
，
所以， .
例5 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)；
分析：方程左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快.
灵活选用适当的方法解方程
2
解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
解得
(2) (5x + 1)2 = 1；
解：开平方，得 5x + 1 = ±1.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解得 x1 = 0，x2 =
(3) x2 - 12x = 4；
解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62，即 (x - 6)2 = 40.
开平方，得
解得 x1 = ，x2 =
分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快.
(4) 3x2 = 4x + 1.
解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0.
∵ b2 - 4ac = 28 > 0，
分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法.
(3) ;
解：整理，得 .
因为，， ，
所以 ，
所以原方程无实数根.
2星题 中档练
7.[北京期末] 方程的一较小根为 ，
下面对 的估计正确的是( )
C
A. B.
C. D.
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型。
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0, n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0, b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
归纳总结
1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，宜选用直接开平方法；
2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，宜选用因式分解法；
3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法。系数含根式时也可选公式法。
一元二次方程的解法选择基本思路
8.［数形结合思想］如图，在一次函数
的图象上取点，作
轴，垂足为，作轴，垂足为 ，
若长方形 的面积为2，则这样的点
共有___个.
4
9. (创新题·新考法深圳月考)对于任意实数a，b，定义一种运算：a b＝2ab－1，若x (x－2)＝1，则x的值为________________.
10.【一题多解】用两种方法解方程： .
(1)配方法：
解：移项，得，配方，得 ,
即，开平方，得 ，
所以， .
(2)公式法：
解：因为，，，所以 ，
所以 ，
所以， .
11.用公式法解下列方程：
(1) ；
解：因为，， ，
所以 ，
所以 ，
所以， .
(2) .
解：化简，得 ，
所以,, ，
所以 ，
所以 ，
所以, .
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b);
a2±2ab + b2 = (a±b)2;
a2 - b2 = (a + b)(a - b).