17.4 一元二次方程的根与系数的关系- 课件（共31张PPT）-沪科版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）

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沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
第 17 章 一元二次方程及其应用
授课教师： .
班 级： .
时 间： 2026.01.09 .
学习目标
1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点)
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点)
一元二次方程的根与系数的关系
思考 我们知道，一元二次方程 ax + bx + c = 0
( a≠0 , 且 b2 - 4ac ≥ 0 )的两根为：
观察 x1 ，x2 表达式的特点 ，你有什么发现
x1 = , x2 =
1
证一证：
当 b2 - 4ac≥0 时，方程两根之和：
方程两根之和：
1．[知识初练]不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋2x－1＝0：x1＋x2＝____；x1x2＝____；
(2)－x2＋6x－2＝0：x1＋x2＝____；x1x2＝____；
(3)3x2＋x＝6x＋7：x1＋x2＝____；x1x2＝____；
(4)(x＋1)(x－2)＝2：x1＋x2＝____；x1x2＝____．
－2
－1
6
2
1
－4
2．已知m，n是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个根，则m＋n－mn的值为________.
6
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么
这个关系通常称为韦达定理.
知识要点
思考与提升
(1) 如果将一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的二次项系数化为 1 ，能化成什么样的形式
因为 a≠0， 将 ax2 + bx + c = 0 的两边同时除以 a，得
这样就可以把原方程化成 x2 + px + q = 0 的形式.
归纳总结 对于二次项系数为 1 的一元二次方程
x2 + px + q = 0, x1 + x2 = -p, x1·x2 = q
(x - x1)(x - x2) = 0
x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = -p, x1·x2 = q
(2) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
有关韦达定理的常见的求值式子如下：
一元二次方程的根与系数的关系的应用
2
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2 + 7x + 6 = 0， (2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
解： (1) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理，
得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6.
(2) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理，
得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1.
典例精析
3．[知识初练][马鞍山三模]已知方程x2－5x＋k＝0的一个根为1，则方程的另一个根为________.
4
4.[天津二模] 已知一元二次方程 的两个
根分别为，，且，，则， 的值
分别是( )
B
A.， B.，
C.， D.，
想一想：本题还有别的解法吗？
解 设方程的另一个根是 x2，则
例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根
是 -4，求它的另一个根及 k 的值.
-4 + x2 =
-4x2 =
解方程组，得
x2 = ，
k = 7.
答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7.
解 将 x = –4 代入方程，得
2×( –4 )2 + (–4 )k – 4 = 0.
解得 k = 7.
将 k = 7 代入方程，得
2x2 + 7x – 4 = 0，
例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根
是 -4，求它的另一个根及 k 的值.
解得
x1 = ，
x2 = –4.
例3 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值。
解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0，
即 -8k + 4≥0，
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2
= 2k2 - 8k + 4 = 4.
解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0.
5.已知、是一元二次方程 的两个根，则
的值是( )
B
A. B. C. D.6
6.若方程的两个根为 ，
，则 的值为( )
C
A.2 B. C. D.
例4 方程 2x - 3x - 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，
求 x1 - x2 的值.
( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4x1x2
解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ，x1x2 = .
∴ x1 - x2 =
= ( ) + 4×
= .
数学拓展
二次三项式 ax + bx + c ( abc≠0 ，a，b，c 为常数 ) 在实数范围内的因式分解 ，还可利用求一元二次方程 ax + bx + c = 0 的根来进行 .
若 ax + bx + c = 0 有两个根 x1 ，x2 ，则由根与系数的关系可知
二次三项式的因式分解
7. 已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2＋mn＋2m的值．(8分)
思维过程
(1)分析问题：观察m2＋mn＋2m与x2＋2x－5＝0中的哪些整体或部分有关？
(2)写出解题过程．
解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，
所以mn＝－5，m2＋2m－5＝0，
所以m2＋2m＝5，
所以m2＋mn＋2m＝(m2＋2m)＋mn＝5－5＝0.
已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2－2mn－2n＋1的值．
解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，所以m＋n＝－2，mn＝－5，n2＋2n－5＝0，所以n2＋2n＝5.
所以m2－2mn－2n＋1＝m2－2mn＋n2－n2－2n＋1＝(m－n)2－(n2＋2n)＋1＝(m＋n)2－4mn－(n2＋2n)＋1＝(－2)2－4×(－5)－5＋1＝20.
8. (真实情境)兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程可能是(　　)
A．x2＋7x－12＝0 B．x2－7x－12＝0
C．x2＋7x＋12＝0 D．x2－7x＋12＝0
B
2星题 中档练
9．[合肥模拟]已知关于x的方程2x2－3x＋k＝0的两根分别为x1和x2，若4x1＋x2＝0，则k的值为(　　)
B
10．[蚌埠三模]已知两个不相等的实数m，n满足m2－4＝2m，n2＝4＋2n，则 (m－n)2＝________.
20
11. (分类讨论思想)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
解：根据题意得 ，
解得，， ，
因为 ，
即 ，
所以 ，
整理,得，解得， ，
因为，所以 的值为6.
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．(8分)
当腰长为7时，则 是一元二次方程
的一个解，记 ,
把代入方程得 ，
整理,得，解得， .
当时， ，
解得x2＝15，而7＋7<15，故舍去；
当m＝4时，x1＋x2＝2(m＋1)＝10，
解得x2＝3，此时符合三角形的三边关系，
所以这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
当7为等腰三角形的底边长时，x1＝x2，所以m＝2，
方程可化为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3，
而3＋3<7，故舍去．
所以这个三角形的周长为17.
根与系数的关系 (韦达定理)
内 容
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么
应 用
……