17.5一元二次方程的应用- 课件（共32张PPT）-沪科版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）

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沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
17.5一元二次方程的应用
第 17 章 一元二次方程及其应用
授课教师： .
班 级： .
时 间： 2026.01.09 .
学习目标
1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点)
2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点)
填空：1. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次后价格为 24.3 元，则这次降价的降价率是______，如果按这个降价率再降价一次，则这时候这个药品的价格为______元。
10 %
21.87
平均变化率问题与一元二次方程
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元.该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% )
1
2. 原来每盒 27 元的一种药品，降价一次，设下降率
是 x，则这种药品的价格是_________元，保持这个下降率再降价一次，那么这种药品的价格是_________元.
下降率x
原价
27 ( 1 - x )
27
下降率x
第一次降价后的价格
27( 1 - x )( 1 - x )
27( 1 - x )2
27(1 - x)
27(1 - x)2
第二次降价后的价格
解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x．
例1 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元. 该药品两次降价的平均降价率是多少？( 精确到 1% )
典例精析
答：该药品两次降价的平均降价率约是 42%.
x ≈ 1.58 不合题意，所以 x ≈ 0.42 = 42%.
解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈0.42.
整理，得 (1 - x)2 = .
根据题意，得 27(1 - x )2 = 9.
1.如图，观光茶园有一块正方形的空地，计划改造
为长方形平台(空白部分)，搭建一个休息亭，剩余
区域建造宽为和 的小路(阴影部分)，供游客
A
A. B.
C. D.
活动，若平台的面积为 ，求原正方形空地的边长.设原
正方形空地的边长为 ，则可列方程为 ( )
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。
解：设这个增长率为 x.根据题意，得
答：这个增长率为 50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950.
整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0.
解得 x1 = -3.5 (舍去)，x2 = 0.5.
注意：增长率不可为负，但可以超过 1.
2.如图，观光茶园计划在一块长为
，宽为 的长方形观赏游
乐区的四周修建同样宽度的通道，
设通道宽为 .如果通道所占面积
与观赏游乐区的面积相等，则此时
通道的宽度为______.
分析： 设新品种花生产量的增长率为 x , 则新品种花生出油率的增长率为 x ，根据“ 新品种花生每公顷产量×新品种花生出油率 = 1 980 kg ” 可列出方程.
例3 一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3000 kg，出油率为 50% ( 即每 100 kg 花生可加工出花生油 50 kg ).现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1 980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 . 求新品种花生产量的增长率.
300( 1 + x ) · [50%(1+ x )] = 1 980.
整理，得 25x2 + 75x -16 = 0.
解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = -3.2.
x = -3.2 不合题意， 所以 x = 20%.
答：新品种花生产量的增长率为 20%.
解 设新品种花生产量的增长率为 x ，根据题意，得
建立一元二次方程模型
实际问题
分析数量关系
设出未知数
实际问题的解
解一元二次方程
一元二次方程的根
检 验
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
方法归纳
几何图形与一元二次方程
例4 如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为 20 cm、容积为 2880 cm2 的开口方盒，原金属片的边长是多少？ (单位：cm)
x
x-40
20
20
分析 设原金属片的边长为 x cm，则方盒的底边长是 _______ cm.
方盒的容积 =
___________________________ .
底边长×底边长×方盒的高
( x -40 )
2
解 设原金属片的边长为 x cm,
则方盒的底边长是 ( x -40 ) cm.
根据题意，得 20( x -40 )2 = 2880.
整理，得 ( x -40 )2 = 144.
解方程，得 x1 = 52，x2 = 28 .
x2 = 28 不合题意，所以 x = 52 .
答：原金属片的边长是 52 cm .
x
x-40
20
20
3.如图，为方便游客停车，观光
茶园设计了如下的停车场平面示
意图(示意图为长方形)，停车场
外围的长为，宽为 ，
若停车位总占地面积为 ，
停车场内车道的宽都相等，求车道的宽.
解：设车道的宽为 ，
根据题意，
得 ，
解得，
(不符合题意，舍去).
答：车道的宽为 ．
在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键.如果图形不规则，利用割补法转化为规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.
方法归纳
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm ？
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，
CQ = 2x cm.
解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm .
整理，得
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ的面积为 9 cm .
则有
例6 如图，在一块长为 92 m，宽为 60 m 的长方形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个长方形小块. 水渠应挖多宽？
解：设水渠宽为 x m，将所有耕地拼在一起，变成一个新的长方形，则其长为 (92 - 2x) m，宽为 (60 - x) m. 则有
(92 - 2x)(60 - x) = 6×885.
解得 x1 = 105(舍去)，x2 = 1.
注意：结果应符合实际意义
答：水渠应挖 1 m 宽.
我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条水渠移动一下，使列方程更容易些( 目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路 )。
方法归纳
例7 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？
分析：设原来这组学生的人数是 x，则可把题中信息整理成下表：
总费用/元 人数 每人费用/元
原来
现在
解：设原来这组学生的人数是 x，由题意得
两边同乘 x(x + 2)，整理，得
x2 + 2x - 80 = 0.
解这个方程，得
x1 = -10， x2 = 8.
检验：x1 = -10，x2 = 8 都是原方程的根，
但 x = -10 不符合题意，所以取 x = 8.
答：原来这组学生是 8 人.
4.为了增加游客体验感和弘扬中国茶
文化，观光茶园计划利用一面墙
(墙的最大可利用长度为 )，用栅
栏围成一个长方形宣传区
(靠墙一面不用栅栏)，中间再用栅栏分隔成两个小长方形，
且在如图所示的位置留两个 宽的小门，一个区域用来给
游客提供制茶、品茶服务，另一个区
域用来讲解茶道文化.若所用栅栏的
总长度为，设栅栏 的长为
，解答下列问题：
(1)__________(用含 的代数
式表示)；
(2)若要围成面积为 的长方形
宣传区，则栅栏 的长为
______；
(3)长方形宣传区的面积能不能等于 ，请说明理由.
解：不能.理由：依题意，
得 ，整理，
得 ，
，
所以方程无实数根.
所以长方形宣传区 的面积不能等于
．
5.观光茶园计划设计一个专属特色茶叶包装盒，设计师先用
一张长为，宽为 的长方形硬纸板进行尝试.具体
方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方
形，折成一个如图②所示的有盖长方体包装盒，和 两
边恰好重合且无重叠部分.
(1)若包装盒的高为，求该包装盒的底面 的边
， 的长；
解：由题意知， ，
由题意知 ，
，解得 ，
所以该包装盒的底面的边，的长分别为 ，
.
(2)若包装盒的底面积为
.求该包装盒的高.
设该包装盒的高为 ，
则 ，
，
所以，所以 ，
依题意，得 ，
解得或 (舍去).
所以该包装盒的高为 ．
一元二次方程的应用
增长率
a(1 + x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量
降低率
a(1 - x)2 = b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量。 注意 1 与 x 位置不可调换
平均变化率问题
几何图形
其他类型问题
常见几何图形面积是等量关系