18.1.2勾股定理的应用- 课件（共31张PPT）-沪科版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）
文档属性
| 名称 | 18.1.2勾股定理的应用- 课件（共31张PPT）-沪科版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-11 21:32:21 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
18.1.2勾股定理的应用
第18章 勾股定理及其逆定理
授课教师： .
班 级： .
时 间： 2026.01.09 .
1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题.
2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题.
问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB.
D C
A B
思考
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗
(1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长，
然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
(2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗
(2)边AD垂直于边AB.
因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500，
所以AD2+AB2= BD2，
所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°，
所以AD⊥AB.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗
(3)他能检验边AD是否垂直于边AB.
如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度，
若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB；
否则，边AD不垂直于边 AB.
同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
B′
D′
(第1题)
1.如图，将长为的梯子 斜靠在墙
上，使其顶端距离地面 ，则梯子
底端距离墙底端的距离 为( )
A
A. B. C. D.
2．[莆田月考]如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为( )
A．10 m B．15 m C．18 m D．20 m
C
跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ，
所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形.
思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗
知识点2 勾股定理的应用
A E D
F
G
B C
解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm.
因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3，
所以DF的长为3 cm.
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)
题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。
知识点2 勾股定理的应用
解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺.
由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.
在Rt△OAC中，由勾股定理，得
AC +OA =OC ，
即 5 +x =(x+1) .
解得 x=12.
12+1=13.
因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
知识点2 勾股定理的应用
3. (真实情境)如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，已知AC＝12 m，BC＝9 m．为了避免行人继续踩踏草坪(走线段AB)，小梅分别在A，B处挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
D
4. (创新题·新题型)如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100 m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点作同心圆，并将同心圆平均分成十二份．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是( )
A．5 m B．400 m
C．500 m D．300 m
C
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1)读懂题意，分析已知、未知间的关系；
(2)构造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解决实际问题.
知识点2 勾股定理的应用
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地面的高度为 尺.
知识点2 勾股定理的应用
解析：设折断处离地面的高度AC为x尺，则AB=(10-x)尺.
由题意可得AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC +BC =AB ，
即x +4 =(10-x) ，解得x=，
所以折断处离地面的高度为尺.
知识点2 勾股定理的应用
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地
面的高度为 尺.
知识点2 勾股定理的应用
5.如图，在高为，斜坡长为 的
楼梯台阶上铺地毯，则需要地毯的总
长是___ .
7
6.(跨学科·语文)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________________.
7. 某校在一次消防演练中，消防队员
需要通过攀爬长的云梯，到 高的宿
舍楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如图所示
停放，云梯的底端距离地面，与宿舍外墙 的
距离是 .请问云梯够长吗？说明理由.
解：够长，理由如下：
如答图，过点作于点,于点 ，
连接，则 ,
,, ，
，
.
， 云梯够长．
2星题 中档练
8.(数学文化 无锡模拟)《九章算术》中“折竹”问题(如图)：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．(1丈＝10尺)问：竹子折断处离地面有几尺？”答：竹子折断处离地面有( )
A．3尺 B．4尺
C．4.55尺 D．5尺
C
9.(数学文化淮南二模)我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地
的垂直高度CF＝2.5 m，它的绳索
始终拉直，则绳索AC的长是
________m.
3.25
10. (真实情境)刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，一把长为15 cm的牙刷置于底面直径为6 cm，高为8 cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是________.
5≤h≤7
(第10题)
11.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯
子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离
为，顶端距离地面 .如果保持梯子底
端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距
离地面.则小巷的宽度为____ .
22
12．[安徽模拟]如图，甲、乙两船同时从
码头开出，45分钟后，甲船到达 码头，乙船
到达 码头；已知甲船航行的速度是12海里/时，
乙船航行的速度是16海里/时，甲船航行的方向
15 n mile
是北偏东 ，乙船航行的方向是南偏东 ，则甲、乙两
船之间的距离 是________.
3星题 提升练
13. (立德树人·弘扬传统文化)在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些数学问题，他设计了如下的方案：如图，先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m，牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m．已知点A，B，C，D在同一平面内．(8分)
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则易得AE＝BD＝15 m，AB＝DE＝1. 5 m，
∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，由勾股定理得CE＝
即风筝离地面的垂直高度CD为9. 5 m.
(2)在余线仅剩7.5 m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12 m，请问能否成功？请说明理由．
解：不能成功，理由如下：
假设能上升12 m，如图，延长DC至点F，使CF＝12 m，连接AF，∴EF＝CE＋CF＝8＋12＝20(m)．
在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝
∵AC＝17 m，余线仅剩7. 5 m，而17＋7. 5＝24. 5<25，∴不能上升12 m，即不能成功．
沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
18.1.2勾股定理的应用
第18章 勾股定理及其逆定理
授课教师： .
班 级： .
时 间： 2026.01.09 .
1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题.
2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题.
问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB.
D C
A B
思考
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗
(1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长，
然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
(2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗
(2)边AD垂直于边AB.
因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500，
所以AD2+AB2= BD2，
所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°，
所以AD⊥AB.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗
(3)他能检验边AD是否垂直于边AB.
如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度，
若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB；
否则，边AD不垂直于边 AB.
同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
B′
D′
(第1题)
1.如图，将长为的梯子 斜靠在墙
上，使其顶端距离地面 ，则梯子
底端距离墙底端的距离 为( )
A
A. B. C. D.
2．[莆田月考]如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为( )
A．10 m B．15 m C．18 m D．20 m
C
跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ，
所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形.
思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗
知识点2 勾股定理的应用
A E D
F
G
B C
解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm.
因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3，
所以DF的长为3 cm.
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)
题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。
知识点2 勾股定理的应用
解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺.
由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.
在Rt△OAC中，由勾股定理，得
AC +OA =OC ，
即 5 +x =(x+1) .
解得 x=12.
12+1=13.
因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
知识点2 勾股定理的应用
3. (真实情境)如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，已知AC＝12 m，BC＝9 m．为了避免行人继续踩踏草坪(走线段AB)，小梅分别在A，B处挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
D
4. (创新题·新题型)如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100 m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点作同心圆，并将同心圆平均分成十二份．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是( )
A．5 m B．400 m
C．500 m D．300 m
C
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1)读懂题意，分析已知、未知间的关系；
(2)构造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解决实际问题.
知识点2 勾股定理的应用
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地面的高度为 尺.
知识点2 勾股定理的应用
解析：设折断处离地面的高度AC为x尺，则AB=(10-x)尺.
由题意可得AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC +BC =AB ，
即x +4 =(10-x) ，解得x=，
所以折断处离地面的高度为尺.
知识点2 勾股定理的应用
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地
面的高度为 尺.
知识点2 勾股定理的应用
5.如图，在高为，斜坡长为 的
楼梯台阶上铺地毯，则需要地毯的总
长是___ .
7
6.(跨学科·语文)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________________.
7. 某校在一次消防演练中，消防队员
需要通过攀爬长的云梯，到 高的宿
舍楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如图所示
停放，云梯的底端距离地面，与宿舍外墙 的
距离是 .请问云梯够长吗？说明理由.
解：够长，理由如下：
如答图，过点作于点,于点 ，
连接，则 ,
,, ，
，
.
， 云梯够长．
2星题 中档练
8.(数学文化 无锡模拟)《九章算术》中“折竹”问题(如图)：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．(1丈＝10尺)问：竹子折断处离地面有几尺？”答：竹子折断处离地面有( )
A．3尺 B．4尺
C．4.55尺 D．5尺
C
9.(数学文化淮南二模)我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地
的垂直高度CF＝2.5 m，它的绳索
始终拉直，则绳索AC的长是
________m.
3.25
10. (真实情境)刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，一把长为15 cm的牙刷置于底面直径为6 cm，高为8 cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是________.
5≤h≤7
(第10题)
11.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯
子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离
为，顶端距离地面 .如果保持梯子底
端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距
离地面.则小巷的宽度为____ .
22
12．[安徽模拟]如图，甲、乙两船同时从
码头开出，45分钟后，甲船到达 码头，乙船
到达 码头；已知甲船航行的速度是12海里/时，
乙船航行的速度是16海里/时，甲船航行的方向
15 n mile
是北偏东 ，乙船航行的方向是南偏东 ，则甲、乙两
船之间的距离 是________.
3星题 提升练
13. (立德树人·弘扬传统文化)在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些数学问题，他设计了如下的方案：如图，先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m，牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m．已知点A，B，C，D在同一平面内．(8分)
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则易得AE＝BD＝15 m，AB＝DE＝1. 5 m，
∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，由勾股定理得CE＝
即风筝离地面的垂直高度CD为9. 5 m.
(2)在余线仅剩7.5 m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12 m，请问能否成功？请说明理由．
解：不能成功，理由如下：
假设能上升12 m，如图，延长DC至点F，使CF＝12 m，连接AF，∴EF＝CE＋CF＝8＋12＝20(m)．
在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝
∵AC＝17 m，余线仅剩7. 5 m，而17＋7. 5＝24. 5<25，∴不能上升12 m，即不能成功．