第 17 章 一元二次方程及其应用【章末复习】- 课件（共30张PPT）-沪科版八年级数学下册同步培优备课课件（新教材）

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沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件
小结与复习
第 17 章 一元二次方程及其应用
授课教师： .
班 级： .
时 间： 2026.01.09 .
一、一元二次方程的基本概念
1. 定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0)
3. 项数和系数：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中，
一次项：ax2 一次项系数：a
二次项：bx 二次项系数：b
常数项：c
4. 注意事项：
(1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为2；
(3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程．
二、一元二次方程的解法
1. 直接开平方法
2. 配方法
一般地，对于可化为 x2 = p 的方程，
(1) 当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
(2) 当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 p < 0 时，所以方程无实数根。
x2 + px + ( )2 = (x + )2.
二次项系数为 1 的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方。
3. 公式法
4. 因式分解法
当 b2 - 4ac≥0 时，
当 b2 - 4ac＜0 时，此时方程无实数根。
通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法。
ax2 + bx + c = 0
a( x + x1 )( x + x2 ) = 0
5.一元二次方程的各种解法及适用类型
一元二次方程 的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
三、一元二次方程的实际应用
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
验
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系；
（2）设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法；
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节至关重要，决定着能否顺利解决实际问题；
（4）解方程：用适当的方法求出方程的根；
（5）检验：一验所得根是否方程的根，二验是否符合题意和实际；
（6）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
解决有关图形面积问题时，除了掌握所学面积公式，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解.
（注：这里的横坚斜小路的的水平宽度都相等）
平移转化
方法归纳
1.已知关于的方程 .
(1)当 ______时，此方程是一元一次方程；
(2)当 ______时，此方程是一元二次方程，二次项系数、一
次项系数和常数项分别为_________________；
(3)若是该一元二次方程的根，则 ____.
，，0
2.选择适当的方法解下列方程：
(1) ；
解：因为，所以，即 ，
所以, .
(2) ；
解：，， ，
，, .
(3) ；
解：因为，所以 .
所以.所以 .
所以.所以, .
(4) .
解：因为 ，
所以 ，
所以，所以, .
3．[阜阳二模]关于x的一元二次方程4x2－3x＋1＝0的根的情况是(　　)
A．必有两个相等的实数根
B．必有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．必有实数根
C
－1
5．等腰三角形ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝5.若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．(8分)
解：因为关于的方程 有两个相等
的实数根，
所以 ，
即,解得， (舍去).
①当为底边长，为腰长时，因为 ，
所以不能构成三角形，故此种情况不成立；
②当为底边长， 为腰长时，
因为 ,所以能构成三角形，
此时的周长为 .
综上， 的周长为12.
6．已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.(8分)
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
证明：因为 ，
所以方程有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实数根为，，且 ，
求 的值.
解：根据一元二次方程根与系数的关系，
得， .
因为 ，
所以 ，
解得， ，
所以 的值为1或2.
7. (真实情境)如图，点点所在社区将举办广场舞比赛，在一块正方形绿地上搭建临时舞台(阴影部分)．若舞台中间空白部分的面积为216 m2，则正方形绿地的边长为(　　)
A．24 m B．20 m C．18 m D．16 m
A
8.(真实情境合肥三模)网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元的售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价．设降价x元．(8分)
(1)每天可以售出____________箱．(用含x的代数式表示)
(2)若果农们想要每天纯利润达到2 550元，那么每箱的售价应该定为多少？
(100＋10x)
解：由题意，得(26－2－x)(100＋10x)－300＝2 550，
解得x1＝5，x2＝9.
70－5＝65(元)，70－9＝61(元)．
答：每箱的售价应该定为65元或61元．
9. (整体思想)已知(x2＋y2)2＋5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2的值为________.
1
10. (转化思想)已知a，b是方程x2－3x－5＝0的两根，则式子2a3－6a2＋b2＋7b＋1的值为________.
36
11. (分类讨论思想)有一边长为3的等腰三角形，它的其他两边长是方程x2－4x＋k＝0的两根，则k的值为__________.
3或4
点拨：①若等腰三角形的底边长为3，则方程x2－4x＋k＝0的两根为腰长，两根相等，
所以Δ＝(－4)2－4k＝0，得k＝4，当k＝4时，方程为x2－4x＋4＝0，两根为x1＝x2＝2，符合要求；
②若等腰三角形的腰长为3，则方程两根中有一个根为3，将x＝3代入方程，得9－12＋k＝0，解得k＝3，
此时方程为x2－4x＋3＝0，两根为x1＝3，x2＝1，符合要求．综合可得k＝3或k＝4.
12．[安徽中考]下列方程中，有两个不相等的实数根的是(　　)
A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0
C．x2＋x＋1＝0 D．x2＋x－1＝0
D
13．[宣城二模]阅读材料，解决下列问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点，….(12分)
(1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为________；
(2)总结：前n行的点数之和为________(用含n的式子表示，n为正整数)；
(3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第n串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球．
21
45
设这种装饰方案一共需要悬挂x串气球．由题意得2＋4＋6＋…＋2(x－1)＋2x＝650，
即2(1＋2＋3＋…＋x)＝650.
整理，得x2＋x－650＝0，
解得x1＝25，x2＝－26(舍去)．
答：这种装饰方案一共需要悬挂25串气球．
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程；②一元；③二次
一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式：Δ = b2 - 4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
几何问题、数字问题
一元二次方程
一元二次方
程的定义
一元二次方程的解法