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人教版2025—2026学年九年级上册期末名校热题精选卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·柳州期末）如图，为直径，弦于点，，，则长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
2．（2024九上·青县期末）在一个不透明的袋子里装有若干个形状和大小均相同的红、绿、白三种颜色的小球，现从袋中任意摸出一个球，其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为，已知红色小球的个数为3，那么袋子里共有小球（ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
3．（2024九上·永年期末）如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．或
4．（2024九上·鄞州期末）四边形ABCD内接于，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·威远期末）用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·桦甸期末）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料.图中的管道中心线的长为（单位：m）（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·绿园期末）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·嵊州期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·黔东南期末）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
10．（2024九上·滨江期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·衡阳期末）如图，已知与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是、、、在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内侧边线多 米结果保留．
12．（2024九上·乾安期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为
13．（2024九上·越秀期末）通过对数据的记录、整理和分析，发现飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间近似存在一个函数关系，测得一些数据（如下表）：
滑行时间t/秒 0 1 2 3 4
滑行距离s/米 0 58.5 114 166.5 216
根据表中的数据，从一次函数和二次函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映滑行距离与滑行时间之间的函数关系，并根据所选的函数模型估计飞机着陆后滑行 秒时停下来．
14．（2024九上·随县月考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限．
15．（2024九上·长沙期末）水稻育秧前都要提前做好发芽试验，特别是高水分种子，确保发芽率达到以上，保证成苗率，现有，两种新水稻种子，为了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同的种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量
发芽率
发芽率
下面有两个推断：
当实验种子数量为时，两种种子的发芽率均为，所以，两种新水稻种子发芽的概率一样；
随着实验种子数量的增加，种子发芽率在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率是．其中合理的是 ．
16．（2025九上·安州期末）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·广东期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2024九上·红桥期末）如图，为的直径，切于点C，交的延长线于点D．
（1）如图①，若，求的大小；
（2）如图②，若，求的大小．
19．（2024九上·宁波期末）已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）当时，请根据图象直接写出的取值范围．
20．（2024九上·潮州期末）有一个直径为的圆形喷水池，如图1，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱在距水池中心处到达最高，高度为．
（1）如图2，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，求石柱右侧抛物线的函数解析式；
（2）求出石柱的高度．
21．（2024九上·昭通期末）如图，AB是⊙O的直径，E、C是⊙O上的两点，且，连接AE、AC，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
22．（2024九上·馆陶期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示．
（1）若所捂的部分为0，求x的值；
（2）若所捂的部分是常数a，若该方程有实数根，求a的取值范围．
23．（2024九上·桥西期末）某超市销售品牌的纯牛奶，进价是元箱根据前段时间的销售经验，每天的售元箱与销售量箱有如下关系：
每箱售价元
每天销量箱
已知与之间的函数关系是一次函数．
（1）求与的函数解析式；
（2）若该超市每天销售这种纯牛奶盈利元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？
（3）销售价格不能低于元箱，不能高于元箱，请你直接写出当品牌的纯牛奶的销售价格定为多少元箱时，超市一天的总盈利最大．
24．（2024九上·阜平期末）小明对他击羽毛球的路线进行分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若小明选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若小明选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）通过分析发现，上面两种击球方式均能使球过球网．要使球的落地点到点C的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式；
（3）小明在点P处再次以吊球的方式击球，此次羽毛球飞行路线的形状与的相同，且恰好落到点C处，则此次羽毛球飞行到最高点时与y轴的水平距离比 （填“大”或“小”）．
25．（2025九上·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，⊙O与边AB相交于点D，E为的中点，连接CE，与AB相交于点F.
（1）若∠B=40°，求∠BCE的度数；
（2）求证：AC=AF；
（3）若AC=4，CF=2EF，求⊙O的半径长.
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人教版2025—2026学年九年级上册期末名校热题精选卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·柳州期末）如图，为直径，弦于点，，，则长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：连接
设的半径为，则，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即，
故答案为：A
【分析】连接，设的半径为，则，根据垂径定理求出，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可求出答案.
2．（2024九上·青县期末）在一个不透明的袋子里装有若干个形状和大小均相同的红、绿、白三种颜色的小球，现从袋中任意摸出一个球，其中摸出白色小球的概率为，摸出绿色小球的概率为，已知红色小球的个数为3，那么袋子里共有小球（ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得摸出红球的概率为，
∵红色小球的个数为3，
∴那么袋子里共有小球个，
故答案为：C
【分析】先根据题意求出摸出红球的概率，进而根据红色小球的球数即可求解。
3．（2024九上·永年期末）如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：由图可得：
图象关于直线x=2对称，与x轴一交点横坐标为5
∴图象关于x轴另一交点横坐标为x=-1
∴当不等式是，对应的函数图象在x轴下方，即x<-1或x>5
故答案为：D
【分析】根据二次函数的对称性可求出图象与x轴另一交点的横坐标，再根据当不等式是，对应的函数图象在x轴下方，结合图象即可求出答案.
4．（2024九上·鄞州期末）四边形ABCD内接于，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 四边形ABCD内接于，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=80°.
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质即可求出∠D度数.
5．（2024九上·威远期末）用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵一元二次方程，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法分析求解即可.
6．（2024九上·桦甸期末）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料.图中的管道中心线的长为（单位：m）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据弧长的计算公式结合题意即可得到的长。
7．（2024九上·绿园期末）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：将点绕原点逆时针旋转得到点，如下图所示，
过点作轴，轴，
则，，
∴，
∴，，
∴点坐标为，
故答案为：A
【分析】将点绕原点逆时针旋转得到点，如图所示，过点作轴，轴，则，，进而根据旋转的性质得到，再根据三角形全等的性质结合题意即可得到点的坐标。
8．（2024九上·嵊州期末）如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
四边形内接于，
，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质得到解题．
9．（2024九上·黔东南期末）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。
10．（2024九上·滨江期末）如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理得到，即可得到，然后根据圆内接四边形的性质求出，利用等边对等角得到，即可求出，进而得到，即可得到结论解题即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·衡阳期末）如图，已知与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是、、、在同一直线上，公路宽米，则弯道外侧边线比内侧边线多 米结果保留．
【答案】
【解析】【解答】解：设，则，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据弧长公式表示出与的长，再相减即可．
12．（2024九上·乾安期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为
【答案】
【解析】【解答】设有人参加活动，由题可得 ，
故答案为： .
【分析】设有人参加活动，根据每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次， 即可列出方程.
13．（2024九上·越秀期末）通过对数据的记录、整理和分析，发现飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间近似存在一个函数关系，测得一些数据（如下表）：
滑行时间t/秒 0 1 2 3 4
滑行距离s/米 0 58.5 114 166.5 216
根据表中的数据，从一次函数和二次函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映滑行距离与滑行时间之间的函数关系，并根据所选的函数模型估计飞机着陆后滑行 秒时停下来．
【答案】20
【解析】【解答】解：从表格数据看：s、t不是线性变化，故不是一次函数关系，则为二次函数关系，
∴，，
设函数表达式为：，
将点、代入上式得
，解得：
∴函数的表达式为：，
∴当时，s取的最大值600，即飞机着陆后滑行20秒时停下来，
故答案为：20．
【分析】由题意设函数表达式为：，根据待定系数法将点、，结合二次函数的性质即可求出答案.
14．（2024九上·随县月考）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限．
【答案】三
【解析】【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与x轴有两个交点，
顶点横坐标为：，
开口向上，顶点纵坐标：，
∴抛物线顶点在第三象限，
故答案为：三．
【分析】根据题意抛物线与x轴有两个交点，再根据开口向上及对称轴可得，抛物线顶点在第三象限，即可得到答案．
15．（2024九上·长沙期末）水稻育秧前都要提前做好发芽试验，特别是高水分种子，确保发芽率达到以上，保证成苗率，现有，两种新水稻种子，为了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同的种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量
发芽率
发芽率
下面有两个推断：
当实验种子数量为时，两种种子的发芽率均为，所以，两种新水稻种子发芽的概率一样；
随着实验种子数量的增加，种子发芽率在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率是．其中合理的是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为500，数量太少，不可用于估计频率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加，种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率是0.97．故②推断合理．
故答案为：②
【分析】根据用频率估计概率的知识结合题意即可求解。
16．（2025九上·安州期末）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，
设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设，
，
，
，
，
，
延长交于点，
，，
，，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值；由点的坐标的特征求得线段，，用三角形的面积关系求得的半径，延长交于点，利用矩形的性质和勾股定理求得的长度，然后由线段的构成可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·广东期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，∴，
即或，
解得：，；
（2）解：，∴．
∴或，
∴，．
【解析】【分析】（1）根据题意直接开平方，进而即可求解；
（2）根据题意运用十字相乘法计算即可求解。
（1）解：，
∴，
即或，
解得：，；
（2）解：，
∴．
∴或，
∴，．
18．（2024九上·红桥期末）如图，为的直径，切于点C，交的延长线于点D．
（1）如图①，若，求的大小；
（2）如图②，若，求的大小．
【答案】（1）解：连接．
是的切线，
．
．
．
．
．
（2）解：连接．
是的切线，
．
．
．
．
．
．
【解析】【分析】
（1）连接．由切线的性质得到．求出．由等边对等角得到．则，从而求出；
（2）连接．根据等腰三角形性质“等边对等角”得，再又，结合切线的性质即可求得．则．即可得到．
（1）解：连接．
是的切线，
．
．
．
．
．
（2）连接．
是的切线，
．
．
．
．
．
．
19．（2024九上·宁波期末）已知二次函数 （ 为常数） 的图象经过点 和 ．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）当时，请根据图象直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把，代入到中得，∴，
∴二次函数表达式为，即，
∴顶点坐标 为
（2）解：在中，当时，解得或，∴由函数图象可知，当时，的取值范围为
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）将y=3代入函数解析式可得到对应的x的值，观察函数图象，可得到y≥3时x的取值范围.
（1）解：把，代入到中得，
∴，
∴二次函数表达式为，即，
∴顶点坐标 为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴由函数图象可知，当时，的取值范围为．
20．（2024九上·潮州期末）有一个直径为的圆形喷水池，如图1，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱在距水池中心处到达最高，高度为．
（1）如图2，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，求石柱右侧抛物线的函数解析式；
（2）求出石柱的高度．
【答案】（1）解：选择图中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，
由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数关系式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线对应的函数关系式为，
（2）解：当时，
，
即石柱的高度为．
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出图中第一象限抛物线的解析式。
（2）根据解析式，令x=0，求出Y值即可。
21．（2024九上·昭通期末）如图，AB是⊙O的直径，E、C是⊙O上的两点，且，连接AE、AC，过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，BC，BE，
∵，
∴OC⊥CE，BF＝EF，∠COE＝∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴DE＝CF，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝2，
∴AC＝＝2，
∵∠BAC＝∠CAD＝30°，
∴CD＝AC＝，
在Rt△OEF中，OE＝AB＝2，
∴∠OEF＝90°﹣∠COE＝30°，
∴OF＝OE＝1，
∴CF＝OC﹣OE＝1＝DE，
∴EF＝＝＝CD，
∴S梯形OCDE＝（OE+OC） CD＝，
S扇形OCE＝，
∴图中阴影部分的面积＝S梯形OCDE﹣S扇形OCE＝．
【解析】【分析】（1） 连接OC， 根据圆周角定理和等腰三角形的性质可得 ∠CAD＝∠ACO ，根据平行线的性质和垂线的定义可得 OC⊥CD ，根据切线的判定定理求证即可；
（2）根据垂直定理和圆周角定理可得 ∠COE＝60°，根据直径的性质可证 四边形DEFC是矩形， 根据30度直角三角形的性质可得CD和OC的长，最后利用扇形面积公式求解即可。
22．（2024九上·馆陶期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示．
（1）若所捂的部分为0，求x的值；
（2）若所捂的部分是常数a，若该方程有实数根，求a的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：，
，
∴
∴，
即x的值为：0或；
（2）解：由题意得：，
整理，得：
∵方程有实数根，
∴
解得：．
【解析】【分析】（1）根据题意运用因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）先根据题意得到进而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
23．（2024九上·桥西期末）某超市销售品牌的纯牛奶，进价是元箱根据前段时间的销售经验，每天的售元箱与销售量箱有如下关系：
每箱售价元
每天销量箱
已知与之间的函数关系是一次函数．
（1）求与的函数解析式；
（2）若该超市每天销售这种纯牛奶盈利元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？
（3）销售价格不能低于元箱，不能高于元箱，请你直接写出当品牌的纯牛奶的销售价格定为多少元箱时，超市一天的总盈利最大．
【答案】（1）解：设与之间的函数关系是：，
根据题意可得，
解得，
故与之间的函数关系是：；
（2）解：由题意可得：每箱利润为：x-40
∴
解得：
∵要使顾客获得实惠
∴每箱售价为52元
（3）解：设超市一天的总盈利元，
根据题意得：，
销售价格不能低于元箱，不能高于元箱，
，
当时，最大，最大为，
答：当品牌的纯牛奶的销售价格定为元箱时，超市一天的总盈利最大．
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系是：，根据待定系数法带入两点坐标，解方程即可求出答案.
（2）根据总利润=单件利润×总销售量，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
（3）设超市一天的总盈利元，根据总盈利=单件盈利×总销售量，列出关系式，再根据二次函数的性质即可求出答案
24．（2024九上·阜平期末）小明对他击羽毛球的路线进行分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若小明选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若小明选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）通过分析发现，上面两种击球方式均能使球过球网．要使球的落地点到点C的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式；
（3）小明在点P处再次以吊球的方式击球，此次羽毛球飞行路线的形状与的相同，且恰好落到点C处，则此次羽毛球飞行到最高点时与y轴的水平距离比 （填“大”或“小”）．
【答案】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，
解得：（不合题意，舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
（3）大
【解析】【解答】（3）解：∵，，
∴，
∴点C的坐标为，
设抛物线的解析式为，把点P和点C的坐标代入得到，
解得，
即此时抛物线的解析式为，
∴此次飞行路线的最高点是，
∴此次羽毛球飞行到最高点时与y轴的水平距离为，
即此次羽毛球飞行到最高点时与y轴的水平距离比大．
故答案为：大
【分析】（1）对于一次函数，令x=0，可求得点P的坐标，再代入二次函数即可求得的值；
（2）由题意可知OC=5，令y=0，代入两个函数的解析式，建立方程，即可求得落地点到O点的距离，即可判断谁更近；
（3）用待定系数法求出此时抛物线的解析式，确定此次飞行路线的最高点的坐标，即可得到答案．
25．（2025九上·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC是⊙O的直径，⊙O与边AB相交于点D，E为的中点，连接CE，与AB相交于点F.
（1）若∠B=40°，求∠BCE的度数；
（2）求证：AC=AF；
（3）若AC=4，CF=2EF，求⊙O的半径长.
【答案】（1）解：如图所示，连接CD.
是的直径
答：∠BCE=25°
（2）证明：如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵BE平分∠BCD
∴∠BCE=∠DCE，
∵∠AFC=∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE=∠ACF，
∴AC=AF
（3）解：如图所示，过点A作CE的垂线段AG，连接BE.
是直径
，即
，即⊙O的半径为
【解析】【分析】
（1）由于直径所对的圆周角是直角，因此连接CD可得，则由直角三角形两锐角互余可得，由于点E平分，再由圆周角定理的推论可得；
（2）由（1）知，是由同角的余角相等可得∠ACD=∠B，再由（1）知∠BCE=∠DCE，则由三角形的外角性质结合角的和差关系可得∠AFC=∠ACF，再利用等角对等边即可；
（3）由于等腰三角形三线合一，则可过点A作CF的垂线段AG，则CF=2FG，又已知CF=2EF，即EF=FG，再由圆周角定理可得，则可利用ASA可证明，则AF=BF，即AB=8，再利用勾股定理求出直径BC的长即可.
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