沪科版八年级数学上册同步练习
15.2线段的垂直平分线
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）2-1-c-n-j-y
A．65° B．60° C．55° D．45°
2．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ） 21*cnjy*com
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）21cnjy.com
A．13 B．15 C．17 D．19
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（ ）www.21-cn-jy.com
A．24° B．30° C．32° D．36°
7．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．48° B．36° C．30° D．24°
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．斜边AB的垂直平分线交边BC于点D．若BD=5，CD=3，则△ACD的周长是（ ）21·世纪*教育网
A．7 B．8 C．12 D．13
9．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．24° B．30° C．32° D．42°
10．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ ）【出处：21教育名师】
A．50° B．45° C．30° D．20°
二．填空题（共4小题）
11．若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB= ．
12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 ．【版权所有：21教育】
13．如图，点D在AC的垂直平分线上，AB∥CD，若∠ADC=130°，则∠BAC的度数是 ．
14．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有 ．（填序号）．
①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．21教育网
三．解答题（共6小题）
15．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．21教育名师原创作品
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．21·cn·jy·com
17．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．21世纪教育网版权所有
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
18．如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．
（1）求证：AE∥CF；
（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在BC、AB边的垂直平分线，AD平分∠CAB． 2·1·c·n·j·y
（1）写出图中所有相等的线段，并说明相等的理由．
（2）试判断∠CAD与∠B的大小关系，并推理说明你的判断结论（可直接引用（1）中所得的结论）．
20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．www-2-1-cnjy-com
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
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15.2线段的垂直平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
解析：
1．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．65° B．60° C．55° D．45° 21*cnjy*com
解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，
故选A．
2．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，
故选：B．
3．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，AE=CE=AC，
∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴AC=6cm，
∴AE=3cm，
故选A．
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）21教育网
A．13 B．15 C．17 D．19
解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，
∴AD=DC，AE=CE=4，
即AC=8，
∵△ABC的周长为23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23﹣8=15，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，
故选B．
5．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
解：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
故选D．
6．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．24° B．30° C．32° D．36°
解：∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠DBC=∠ECB，
∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，
∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=（180°﹣60°﹣24°）=32°．
故选C．
7．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（ ）【出处：21教育名师】
A．48° B．36° C．30° D．24°
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵∠ACF=48°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠FBC，
∴∠ABC=2∠FCE，
∵∠ACF=48°，
∴3∠FCE=120°﹣48°=72°，
∴∠FCE=24°，
∴∠ABC=48°，
故选：A．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．斜边AB的垂直平分线交边BC于点D．若BD=5，CD=3，则△ACD的周长是（ ）【版权所有：21教育】
A．7 B．8 C．12 D．13
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=5，又CD=3，
由勾股定理得，AC==4，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=12，
故选：C．
9．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（ ）21教育名师原创作品
A．24° B．30° C．32° D．42°
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=21°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°，
故选：C．
10．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ ）2·1·c·n·j·y
A．50° B．45° C．30° D．20°
二．填空题（共4小题）
11．若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB= 5 ．
解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PB=PA=5．
故答案为：5．
12．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 22cm ．21*cnjy*com
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，
∴AC=2AE=8cm，AD=DC，
∵△ABD的周长为14cm，
∴AB+AD+BD=14cm，
∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，
故答案为：22cm
13．如图，点D在AC的垂直平分线上，AB∥CD，若∠ADC=130°，则∠BAC的度数是 25° ．
解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
∵∠D=130°，
∴∠DAC=∠DCA=25°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA=25°．
故答案为：25°．
14．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有 ①③⑤ ．（填序号）．
①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．21·世纪*教育网
解：∵在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确；
∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，
∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误；
当AC2≠AB2+BC2时，∠ABC≠90°．同理∠ADC≠90°．故④错误；
∵AC、BD互相垂直，
∴筝形ABCD的面积为：AC?BO+AC?OD=AC?BD．
故⑤正确；
综上所述，正确的说法是①③⑤．
故答案是：①③⑤．
三．解答题（共6小题）
15．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．21世纪教育网版权所有
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（SAS），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD是BC的中垂线．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．www.21-cn-jy.com
证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠ADE=90°，
∴∠EAB=∠B．
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°．
在Rt△ADE中，
∵∠ADE=90°，
∴∠AED+∠EAB=90°，
∴∠CAB=∠AED．
17．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．21cnjy.com
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm；
（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
18．如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．
（1）求证：AE∥CF；
（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴∠EAM=∠FCM，
∴AE∥CF；
（2）证明：∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM=∠EAM，
又∵∠EAM=∠FCM，
∴∠FAM=∠FCM，
∴△FAC是等腰三角形，
又∵AM=CM，
∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在BC、AB边的垂直平分线，AD平分∠CAB． 21·cn·jy·com
（1）写出图中所有相等的线段，并说明相等的理由．
（2）试判断∠CAD与∠B的大小关系，并推理说明你的判断结论（可直接引用（1）中所得的结论）．
解：（1）AD=BD，AC=AE．
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD；
∵∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，
∴AC=AE．
（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB．
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠DAB=∠CAD，
∴∠B=∠CAD．
20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．2-1-c-n-j-y
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，
∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，
∴BC=6cm；
（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴OA=OC=OB，
∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，
∴OC+OB=16﹣6=10，
∴OC=5，
∴OA=OC=OB=5．
