沪科版八年级数学上册同步练习
15.3等腰三角形
一．选择题（共10小题）
1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）21·cn·jy·com
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
3．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．5 B．6 C．7 D．8
4．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60°
C．∠A=20°，∠B=80° D．∠A=40°，∠B=80°
5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若AB=12，BC=8，AC=10，则△AEF的周长为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
6．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
7．下列三角形：①有两个内角是60°的三角形；②有两边相等且是轴对称的三角形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，则∠BAC等于（ ）
A．60° B．75° C．90° D．135°
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC= ．21教育网
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．21·世纪*教育网
13．如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点O作OE∥AB，OF∥AC，交边BC于点E、F，如果BC=10，那么C△OEF等于 ．
14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移得距离等于 ．
三．解答题（共6小题）
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．
16．求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．21世纪教育网版权所有
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
18．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC=45°．求证：△AEF≌△BCF．21cnjy.com
沪科版八年级数学上册同步练习
15.3等腰三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
C
D
C
C
A
C
B
解析：
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）21教育网
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D=∠A=×30°=15°．
故选A．
3．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）21·cn·jy·com
A．5 B．6 C．7 D．8
解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．
∴AB=2，
①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有4个交点（含B点），即满足△ABC是等腰三角形的P点有3个；【来源：21·世纪·教育·网】
②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的P点有2个；www-2-1-cnjy-com
③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
在一条直线上的要舍去，
所以点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有 5个．
故选A
4．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60°
C．∠A=20°，∠B=80° D．∠A=40°，∠B=80°
解；当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，
当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°
所以A选项错误．
当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，
当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，
所以B选项错误．
当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，
所以C选项正确．
当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，
当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°
所以D选项错误．
故选C．
5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，若AB=12，BC=8，AC=10，则△AEF的周长为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB，
同理可证得DF=FC，
∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=22，
即△AEF的周长为22，
故选D．
6．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
解：P1=1+1+1=3，
P2=1+1+=，
P3=1+++×3=，
P4=1+++×2+×3=，
…
∴p3﹣p2=﹣==，
P4﹣P3=﹣==，
则Pn﹣Pn﹣1==．
故选C．
7．下列三角形：①有两个内角是60°的三角形；②有两边相等且是轴对称的三角形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） 21*cnjy*com
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解：①两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；【来源：21cnj*y.co*m】
②有两边相等且是轴对称的三角形可能是等腰三角形，
③如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，则它是等腰三角形，而有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；【出处：21教育名师】
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，
正确的有①③④，
故选C．
8．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，则∠BAC等于（ ）
A．60° B．75° C．90° D．135°【版权所有：21教育】
解：连结BC，如图，
∵AB、AC和BC都是正方体的三个面的对角线，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°．
故选：A．
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，又CD是高，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD=4cm，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC=8cm，
故选：C．
10．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、中作∠B的角平分线即可；
C、过A点作BC的垂线即可；
D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；
只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选B．
二．填空题（共4小题）
11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC= 5 ．2-1-c-n-j-y
解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴BF=CF=BC，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BD=AD=4，
设DF=x，
∴BF=4+x，
∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，
即16﹣x2=36﹣（4+x）2，
∴x=1，
∴CD=5，
故答案为：5．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 3，6或6.5或7.2 时，△ACP是等腰三角形．2·1·c·n·j·y
解：由题意可得，
第一种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，21教育名师原创作品
∴CP=6cm，
∴t=6÷2=3秒；
第三种情况：当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，21*cnjy*com
∴AP=6cm，AB=10cm，
∴t=（CB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；
第四种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，
作CD⊥AB于点D，
∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A==，
∴，AB=10cm，
设CD=4a，则AD=3a，
∴（4a）2+（3a）2=62，
解得，a=，
∴AD=3a=，
∴t==7.2s
故答案为：3，6或6.5或7.2．
13．如图，在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点O作OE∥AB，OF∥AC，交边BC于点E、F，如果BC=10，那么C△OEF等于 10 ．
解：OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线
∴∠ABO=∠OBF，∠ACO=∠OCF
∵OE∥AB，OF∥AC
∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF
∴△BOE和△OCF为等腰三角形
∴BE=EO，OF=FC
∴△OEF的周长=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=10．
故答案为：10
14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=8，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移得距离等于 2 ．21·世纪*教育网
解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=AB=4，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于8，
∴AC?BE=8，即4BE=8，
∴BE=2，
即平移距离等于2．
故答案为：2．
三．解答题（共6小题）
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠B=60°．
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB=30°，
∴BC=2BD．
∴AB=2BC=4BD．
16．求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．
求证：BC=AB．
证明：
证法一：如答图所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD，
∴BC=CD=AB，即BC=AB．
证法二：如答图所示，取AB的中点D，
连接DC，有CD=AB=AD=DB，
∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=AB，即BC=AB．
证法三：如答图所示，在AB上取一点D，使BD=BC，
∵∠B=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DCB=60°，∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣60°=30°=∠A．
∴DC=DA，即有BC=BD=DA=AB，
∴BC=AB．
证法四：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，
连DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，
∴△DBC为等边三角形，
∴BC=DB=DA=AB，即BC=AB．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．www.21-cn-jy.com
（1）求证：AE=2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°，
在Rt△ABC中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∵∠ABC=60°，
∴△BCD是等边三角形．
18．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠BOC=180°﹣80°=100°．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C==70°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠ABC=35°，
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E，∠BAC=45°．求证：△AEF≌△BCF．21世纪教育网版权所有
解：∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
