沪科版八年级数学上册同步练习
15.4角的平分线
一．选择题（共10小题）
1．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）21教育网
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
2．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）2·1·c·n·j·y
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．8 B．6 C．4 D．2
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
5．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（ ）21cnjy.com
A．18 B．16 C．14 D．12
6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．4 B．3 C．6 D．5
7．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）2-1-c-n-j-y
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正确的是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=3，则AB与CD之间的距离为（ ）www.21-cn-jy.com
A．3 B．3.5 C．4 D．6
10．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（ ）21·世纪*教育网
A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④
二．填空题（共4小题）
11．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= ．
12．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
13．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．【出处：21教育名师】
14．如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为45，50，60，其中三条角平分线相交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= ． 21*cnjy*com
三．解答题（共6小题）
15．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．【版权所有：21教育】
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，
求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．21·cn·jy·com
17．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）求证：∠PCD=∠PDC；
（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．
18．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠ABC的角平分线上．21世纪教育网版权所有
19．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．
20．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．
沪科版八年级数学上册同步练习
15.4角的平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
B
C
B
D
D
D
D
解析：
1．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）21cnjy.com
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
2．如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）21·cn·jy·com
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理成立，
B．OC=OD，根据SAS判定定理成立，
C．∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理成立，
D．PC=PD，根据SSA无判定定理不成立，
故选D．
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）21世纪教育网版权所有
A．8 B．6 C．4 D．2
解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30．
故选B．
5．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（ ）www.21-cn-jy.com
A．18 B．16 C．14 D．12
解：∵BC=32，BD：DC=9：7
∴CD=14
∵∠C=90°，AD平分∠BAC
∴D到边AB的距离=CD=14．
故选C．
6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（ ）2·1·c·n·j·y
A．4 B．3 C．6 D．5
7．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）21·世纪*教育网
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
解：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选D．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正确的是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，
∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；
AD平分∠CDE，故④正确；
∵∠B+∠BAC=90°，
∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选D．
9．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=3，则AB与CD之间的距离为（ ）2-1-c-n-j-y
A．3 B．3.5 C．4 D．6
解：如图，过点O作OF⊥AB于点F，延长FO交CD于点G，
∵AB∥CD，
∴OG⊥CD，
又∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACD，
∴OE=OF=OG=3，
∴FG=6，
故选：D．
10．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．仅①② B．仅③④ C．仅①②③ D．①②③④
解：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，
∴DE=DF，且AD上任一点到AB、AC的距离相等；
又AB=AC，根据三线合一的性质，
可得AD垂直平分BC
∴BD=CD，
AD上任一点到B、C的距离相等．
故选D．
二．填空题（共4小题）
11．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．【来源：21·世纪·教育·网】
解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），【出处：21教育名师】
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
12．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是 PQ≥2 ． 21*cnjy*com
解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，
∴点P到OM的距离等于2，
而点Q是射线OM上的一个动点，
∴PQ≥2．
故答案为PQ≥2．
13．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 30 ．【版权所有：21教育】
14．如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为45，50，60，其中三条角平分线相交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 9：10：12 ．21教育网
解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，
∵点O是三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
则S△ABO：S△BCO：S△CAO=×AB×OD：×BC×OE：×AC×OF
=AB：BC：AC
=45：50：60
=9：10：12，
故答案为：9：10：12．
三．解答题（共6小题）
15．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．21教育名师原创作品
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB
求证： PD=PE ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
解：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD=PE．
故答案为：PD=PE．
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS），
∴PD=PE．
如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．21*cnjy*com
解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，
∵∠1=∠2，AD⊥BC，
∴EH=ED（角平分线的性质）
∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EFGD是矩形，
∴ED=FG，
∴EH=FG，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AHE=∠FGC=90°，
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴AE=CF．
17．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）求证：∠PCD=∠PDC；
（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．
解：（1）∠PCD=∠PDC．
理由：∵OP是∠AOB的平分线，
且PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC；
（2）OP是CD的垂直平分线．
理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC=OD，
由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，
从而OP是线段CD的垂直平分线．
18．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠ABC的角平分线上．www-2-1-cnjy-com
证明：作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H，
∵∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P，
∴PF=PG，PH=PG，
∴PF=PH，又PF⊥AB，PH⊥AC，
∴点P在∠CAB的角平分线上．
19．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．
（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF．
（2）答：AG=3DG．
理由：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=30°，
∴AD=2DE，∠EDA=60°，
∵AD⊥EF，∴∠EGD=90°，
∴∠DEG=30°
∴DE=2DG，
∴AD=4DG，
∴AG=3DG．
20．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．
证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．
