15.3.2 等边三角形 课件（47页ppt）2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册
15.3.2 等边三角形
第十五章 轴对称
1.通过画图活动和折纸活动，进一步体会等边三角形的对称性，训练学生的直观想象能力.
2.通过学生自主探究掌握含30°角的直角三角形的性质，会运用性质进行计算与证明，培养学生解决问题的能力.
3.通过学生猜想和归纳结论的过程，渗透转化思想，培养数学抽象能力和逻辑推理能力.
2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
想一想:
a. 量一量这个三角板的短直角边和斜边的长度.
说一说你发现了什么？
短直角边：6.9 cm
斜边：13.8 cm
短直角边的长是斜边长的一半
b. 将两个全等的含 30°角的直角三角尺摆在一起. 你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？
C
A
B
D
猜测：
理由：①△ABD为等边三角形；
②△ADC与△ABC关于直线AC轴对称.
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，测量∠A 所对的直角边 BC 与斜边 AB，你能得到什么结论？
探究新知
含 30° 角的直角三角形的性质
探 究
A
B
C
30°
再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？
仍然成立.
你能证明你的结论吗？
已知：如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：
分析：
2BC = AB
构造长为 2BC 的线段
构造长为 ???????? AB 的线段
?
A
B
C
30°
构造线段
A
B
C
30°
D
A
B
C
30°
D
证明：如图，延长 BC 到 D，使 CD = BC，连接 AD，则 AC 是 BD 的垂直平分线.
所以 AB = AD.
又因为∠B = 90° –∠BAC
= 90° – 30° = 60°，
所以△ABD 是等边三角形，
所以 BD = AB.
方法①
A
B
C
30°
D
又 BD = 2BC，所以 BC = ???????? AB.
?
∴∠B = 90° – 30° = 60°.
又 BD = BC，∴△BCD 是等边三角形.
∴BD = CD = BC，∠BCD = 60°.
∵∠ACB = 90°，∴∠ACD =∠ACB –∠BCD = 30°.
又∠A = 30°，∴∠A =∠ACD.
∴AD = CD = BC = BD.
证明：如图，在 AB 边上截取 BD = BC，连接 CD.
在 Rt△ABC 中，
∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，
A
B
C
30°
D
方法②
含 30° 角的直角三角形的性质
所以 BC = ???????? AB.
?
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，∠A = 30°，
∴ BC = ???????? AB.
?
几何语言：
A
B
C
30°
针对训练
1. 在 Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 2∠A，∠B 和∠A 各是多少度？边 AB 与 BC 之间有什么关系？
教材P84练习 第1题
解：∵ ∠C = 90°，∠B = 2∠A，∠A +∠B +∠C = 180°，
∴ ∠A + 2∠A + 90° = 180°.
∴ ∠A = 30°.
∴ ∠B = 2∠A = 60°.
∴ AB = 2BC.
针对训练
2. 在 Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 2BC，∠B 和∠A 各是多少度？
教材P84练习 第2题
A
B
C
D
解：如图，延长 BC 至点 D，使 CD = BC，连接 AD，则 BD = 2BC.
∵ AB = 2BC，∴ AB = BD.
∵∠ACB = 90°，CD = BC，
∴ AC 是 BD 的垂直平分线.
∴ AD = AB = BD. ∴ △ABD 是等边三角形.
∴ ∠B = 60°. ∴ ∠CAB = 90° – ∠B = 30°.
教材P83例题
例5 图中是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°. 求立柱 BC，DE 的长.
教材P83例题
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
∴BC = ?????????AB，DE = ?????????AD.
∴BC = ?????????×7.4 =3.7(m) .
又 AD = ?????????AB，∴DE = ?????????AD = ?????????×3.7 =1.85(m).
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
?
1.（1）等腰三角形的一个角是 110°，它的另外两个角是多少度？
【教材P84习题15.3 第1题】
解：（1）∵等腰三角形的一个角是110°，内角和为180°， ∴这个角只能是顶角.
∴它的另外两个底角的度数为
(180° – 110°)÷2 = 35°.
（2）等腰三角形的一边长是 8，周长是 18，它的另外两边长是多少？
（2）分两种情况讨论：
①当长是8的边为底边时，两腰长均为(18 – 8)÷2 = 5，此时三边长为 5，5，8，符合三角形三边关系；
②当长是 8 的边为腰时，底边长为 18 – 8×2 = 2，此时三边长为8，8，2，符合三角形三边关系.
综上所述，它的另外两边长分别是 5，5 或 2，8.
2. 如图，AD // BC，BD 平分∠ABC.
求证 AB = AD.
【教材P84习题15.3 第2题】
证明：∵AD // BC，
∴∠CBD = ∠ADB.
∵BD 平分∠ABC，
∴∠CBD =∠ABD.
∴∠ADB =∠ABD.
∴AB = AD(等角对等边).
3. 如图，五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是 36°. 求∠AMB的度数 .
【教材P84习题15.3 第3题】
解：如图. ∵五角星的五个角都是
顶角为 36°的等腰三角形，
∴∠A = 36°.
∴∠AMN = (180°– 36°)÷2 = 72°.
∴∠AMB = 180° –∠AMN = 180° – 72° = 108°.
4. 如图，在△ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，AB = AC，AD = AE. 求证 BD = CE.
【教材P84习题15.3 第4题】
证明：∵AB = AC，∴∠B =∠C.
∵AD = AE，∴∠ADE =∠AED，
∴∠ADB =∠AEC.
∴△ABD≌△ACE（AAS）.
∴BD = CE.
5. 如图，∠A =∠B = 60°，CE // DA，CE 交AB 于点 E. 求证：△CEB 是等边三角形 .
【教材P84习题15.3 第5题】
证明：∵CE // DA，
∴∠CEB =∠A = 60°.
又∠B = 60°，
∴∠BCE =∠B =∠CEB = 60°.
∴△CEB 是等边三角形.
6. 如图，AB = AC，∠A = 40°，AB的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D. 求∠DBC 的度数 .
【教材P84习题15.3 第6题】
解：∵AB = AC，∠A = 40°，
∴∠ABC =∠ACB = (180° – 40°)÷2 = 70°.
∵MN 是 AB 的垂直平分线，
点 D 在 MN 上，
∴DA = DB.
∴∠ABD =∠A = 40°.
∴∠DBC =∠ABC –∠ABD = 70°– 40° = 30°.
7. 如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 AB = AC，立柱 AD ⊥ BC，顶角∠BAC = 120°. AD 与 AB 有什么数量关系？
【教材P85习题15.3 第7题】
解：∵AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B =∠C = ????????(180°–∠BAC) = 30°.
∵AD⊥BC，∴∠ADB = 90°.
∴AD = ?????????AB.
?
8. 某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：
【教材P85习题15.3 第8题】
综合运用
在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的. 他们的方法对吗？为什么？
解：他们的方法是对的. 理由：
∵等腰直角三角尺的斜边贴在房梁上，O 是 AB 的中点，线绳经过点 C，
∴OC 是等腰直角三角形 ABC 的中线，且OC⊥AB（房梁）.
又 OC 是铅垂线，它垂直于地面，
∴房梁平行于地面，即房梁是水平的.
∴他们的方法是对的.
9. 上午 8 时，一条船从海岛 A 出发，以 15 n mile/h 的速度向正北航行，10 时到达海岛 B 处 . 从 A，B 望灯塔 C，测得∠NAC = 42°，∠NBC = 84°. 求海岛 B 与灯塔 C 的距离 .
【教材P85习题15.3 第9题】
解：∵船从海岛 A 出发，2 h 后到达海岛 B，
∴ AB = (10 – 8)×15 = 30 (n mile).
∵∠NAC = 42°，∠NBC = 84°，
且∠NBC 是△ABC 的一个外角，
∴∠BCA =∠NBC –∠NAC = 84° – 42° = 42°.
∴∠NAC =∠BCA.
∴BC = AB = 30 n mile.
答：海岛 B 与灯塔 C 的距离是 30 n mile.
10. 如图， △ABC 是等边三角形，E 是边 AC 上的点，且∠1 =∠2，CD = BE. 判断△ADE 的形状，并说明理由.
【教材P85习题15.3 第10题】
解：△ ADE 是等边三角形. 理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB = AC，∠BAE = 60°.
又∠1 =∠2，BE = CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴AE = AD，∠CAD =∠BAE = 60°.
∴△ADE 是等边三角形.
11. 如图，△ ABD，△AEC 都是等边三角形 . 求证 BE = DC.
【教材P85习题15.3 第11题】
证明：∵△ABD，△AEC 都是等边三角形，
∴AD = AB，AC = AE，∠DAB =∠CAE = 60°.
∴∠DAB +∠BAC =∠CAE +∠BAC，
即∠DAC =∠BAE.
在△DAC 和△BAE 中，
AD = AB，
∠DAC = ∠BAE，
AC = AE，
∴△DAC≌△BAE（SAS）.
∴BE = DC.
12. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 30°，AD⊥AB，交 BC 于点 D. 若 AD = 2，求 BC 的长 .
【教材P86习题15.3 第12题】
解：∵AD⊥AB，∴∠BAD = 90°.
又∠B = 30°，
∴BD = 2AD = 2×2 = 4，∠ADB = 60°.
∵AB = AC，∴∠C =∠B = 30°.
∴∠DAC =∠ADB –∠C = 30°=∠C.
∴CD = AD = 2.
∴BC = BD + CD = 4 + 2 = 6.
13. 如图，P，Q 是△ABC 的边 BC 上的两点， 并且 BP = PQ = QC = AP = AQ. 求∠BAC 的度数.
【教材P86习题15.3 第13题】
解：∵PQ = AP = AQ，
∴△APQ 为等边三角形.
∴∠PAQ = ∠APQ =∠AQP = 60°.
又 BP = AP，∴∠B = ∠BAP.
∵∠B +∠BAP =∠APQ = 60°，
∴∠BAP = 30°.
同理可得，∠CAQ = 30°，
∴∠BAC =∠BAP +∠PAQ +∠CAQ
= 30° + 60° + 30° = 120°.
14. 等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论. 你还能发现其他结论吗？
【教材P86习题15.3 第14题】
解：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等.
其他结论：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等；等腰三角形两底角的平分线与底边可形成一个等腰三角形（答案不唯一）.
下面证明第一个结论.
已知：如图，在△ABC中，AB = AC，BE，CD 分别平分∠ABC，∠ACB. 求证：CD=BE.
证明：∵AB = AC，∴∠DBC =∠ECB.
又 BE，CD 分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1 = ????????∠ABC，∠2 = ????????∠ACB.
∴∠1 =∠2.
?
在△BDC 和△CEB 中，
∠DBC = ∠ECB，
BC = CB，
∠2 = ∠1，
∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴CD = BE.
15. 如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户 . 如果∠C = 90°，∠B = 30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来 .
【教材P86习题15.3 第15题】
解：如图，作∠CAB 的平分线，交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥ AB，垂足为 E.
则△ABC 就分成了三个大小、形状都相同的三角形，即△AED，△ACD 和△BED.
D
E
1. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3?m处折断倒下，倒下的部分与地面成30? 角，这棵树在折
断前的高度为( )
?
B
（第1题）
A. 6?m B. 9?m
C. 12?m D. 15?m
?
返回
（第2题）
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90? ，∠B=15? ，AB的垂直平分线交BC 于点
D，连接AD.若BD=6，则AC 的长为( )
?
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 母题教材P84练习T1 在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3 ，
且BC=6，则AB 等于( )
?
D
A. 2 B. 3 C. 9 D. 12
（第4题）
4.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB=14?cm ，
则阴影部分的面积是___cm2 .
?
492
?
【点拨】∵∠ACB=90? ,∠B=30? ,
∴AC=12AB=7?cm .
?
∵∠AED=∠ACB=90? , ∴BC//DE.∴∠AFC=∠D=45? .
∴∠CAF=45?=∠AFC.∴CF=AC=7?cm.
∴S阴影=12×7×7=492(cm2).
?
返回
5.如图，Rt△ABC的斜边AC//x轴，点B的坐标是(1,0) ，
∠A=30? ，则AC= ___.
?
4
（第5题）
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6.［2025北师大附中期中］某市在旧城改造中，计划在一块如
图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境.
已知∠BAC=150? ，AB=20?m，AC=30?m ，这种草皮每平方米
售价a元，则购买这种草皮至少需要______元.（用含a 的代数
式表示）
?
150a
?
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内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
①分清30 °的角所在的直角边
②作辅助线，构造直角三角形
注意
前提条件：直角三角形中
证题方法
倍长法
截半法
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
30°
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看
Thank you