2025-2026学年人教版八年级数学上册期末复习卷 （含详解）

期末复习卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册
一、单选题
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．根据尺规作图可用判定，得
B．
C．
D．的最小值是的长
10．如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，连接AD，BE交于点P，过点B作BQ⊥AD，Q为垂足，PQ＝2，则BP的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．已知，则 ．
12．已知，，则的值是 ．
13．已知关于的方程无解，则的值为 ．
14．有两个正方形A，B，边长分别为a，b，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后得图乙，则图乙中阴影部分的面积为 ，（用a，b有关的代数式表示）；若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6，则正方形A，B的面积之和为 ．
15．如图，在中，与的三等分线交于点O1，O2，则　　　　(用含∠A的代数式表示)；若为等分(内部有个点，且为整数)，则　　　　(用含n及∠A的代数式表示).
16．如图，已知，，，，若，则的度数为 ．
17．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
18．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，一动点从点出发以1厘米/秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动 秒时，与全等．
三、解答题
19．（1）计算：；（2）因式分解：．
20．先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值．
21．解方程：
(1)； (2)．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．
（1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请直接写出、关于直线的对称点、的坐标：______、______；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______；
（3）已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹）
23．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
（1）若，，求的度数．
（2）若的面积为，，求的长．
24．观察下列式子的因式分解的做法：
①
②
③_____．
④
……
（为正整数，且）
(1)观察以上结果，直接写出_____．
(2)根据以上结论，则_____．
(3)根据以上结论，求（为常数）的值．
25．【发现】当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．
【验证】（1）当两个不同的正整数为，时，，能被整除，请把与的积写成两个正整数的平方差的形式．
【探究】（2）设【发现】中两个正整数分别为，，请论证【发现】中的结论正确．
26．某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
27．阅读下列材料，并解答问题：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1：；
方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数），
，
对于任意x，上述等式均成立，
，解得，
．
，
这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5．
(1)分式是 分式（填“真”或“假”）；
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；
(3)当时，求分式的最大值．
28．【问题初探】
（1）如图，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．猜想，，有何数量关系，并给予说明；
【变式探究】
（2）如图，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由．
．
参考答案
1．【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可．
【详解】解：选项A中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形；
故选A．
2．【答案】B
【分析】本题考查了分式的性质，分式的变形，掌握分式的性质是解题的关键．
根据分式的性质变形即可求解．
【详解】解：，
故符合的只有B选项，
故选B．
3．【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方运算求解即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合同意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合同意；
D、，故该选项错误，不符合同意．
故选B．
4．【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，，，∴，故选项A不符合题意；
B、∵，∴，故选项B不符合题意；
C、∵，∴，故选项C不符合题意；
D、∵，∴不能判定，故选项D符合题意；
故选D．
5．【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键．
因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，依次逐项判断即可．
【详解】解：A：，是整式乘法，不是因式分解；
B：，右边不是积的形式，不是因式分解；
C：，右边是积的形式，属于因式分解；
D：，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解；
故选C．
6．【答案】C
【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边．通过计算每组中较小两边的和与第三边比较，判断是否能组成三角形．
【详解】根据三角形三边关系：
∵A．，等于第三边11，∴不能组成三角形；
∵B．，∴不能组成三角形；
∵C．，∴能组成三角形；
∵D．，∴不能组成三角形．
故选C．
7．【答案】A
【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可．
【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的，
，
，
，
解得：，，
故选．
8．【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可．
【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，
根据题意，可得．
故选：A．
9．【答案】A
【分析】根据角的平分线的基本作图，圆的性质，垂线段最短，角的平分线性质定理判断解答即可．
本题考查了角的平分线基本作图，三角形全等的判定和性质，圆的性质，垂线段最短，角的平分线性质定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A. 根据尺规作图可用判定，得，错误，符合题意；
B. ，同圆的半径相等，正确，不符合题意；
C. ，根据得，正确，不符合题意；
D. 的最小值是，根据角的平分线性质定理，得点D到的距离等于，
根据垂线段最短，得的最小值是的长，正确，不符合题意；
故选A．
10．【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ＝30°，根据直角三角形的性质即可得到．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
在△BAE和△ACD中，
AB＝CA，∠BAE＝∠ACD， AE＝CD，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝4．
故选B．
11．【答案】
【分析】本题主要考查的是同底数幂的除法、幂的乘方，逆用公式是解题的关键．
利用指数运算的性质，将表示为，再代入已知条件计算．
【详解】解：，
．
12．【答案】
【分析】利用直接提取公因式进行分解因式，然后将已知代入即可得出答案．
【详解】解：∵，．
∴
．
13．【答案】或
【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程得出，再由分式方程无解得出当整式方程无解时，；当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，分别求解即可得出答案．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵关于的方程无解，
∴当整式方程无解时，，解得，
当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，解得；
综上所述，的值为或.
14．【答案】；29
【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
对于第一空，先求出阴影部分的长与宽，再求面积即可；
对于第二空，先根据题意列方程，，再根据等式性质求得，进而求出a，b的值，即可求出所求面积．
【详解】解：由题意，阴影部分的长为b，宽为，所以图乙中阴影部分的面积为．
图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6，
，，
得，
得，
即，
，
，
由②得，，
，
，
，
正方形A，B的面积之和为．
15．【答案】；.
【详解】第一空：；
第二空：由第一空的式子可类推，
.
16．【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，同理可得，，依此类推得，其中为正整数，据此解答即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
同理可得：，，
依此类推得：，其中为正整数，
∴，
又∵，
∴.
17．【答案】
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴．
过点B作于点Q，交于点P，如图所示．
则此时取最小值，最小值为的长，
∵
∴．
18．【答案】4，8，12
【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段上时，②当E在射线上时； 再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出 与全等，然后分别计算的长度即可．
【详解】解：①当E在线段上，时，，
，，
，
，
∴点E的运动时间为（秒）；
②当E在上，时，，
，
，
，
∴点E的运动时间为（秒）；
③当E在线段上，时，，
这时E在A点未动，不合题意舍去；
④当E在上，时，，
，
点E的运动时间为（秒）.
19．【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先化简绝对值，计算零次幂，负指数幂的结果，再根据实数的混合运算计算即可；
（2）先提取公因式，再运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：（1）；
；
（2）
．
20．【答案】，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将有意义的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：
，
∵，
∴整数的值为，，，
∵，
∴，
∴原式．
21．【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：
去分母：方程两边同乘：
移项得，
即．
经检验是原方程的解；
（2）解：
去分母：方程两边同乘：
移项得，
即．
经检验是原方程的解．
22．【答案】（1），；
（2）；
（3）见详解．
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的求解问题，以及求最短距离的问题．
分别作出点、关于直线的对称点、，根据网格可知点的坐标是，点的坐标是；
由可知当直线是第一、三象限的角平分线，关于直线对称的两个点的坐标，只需将该点横纵坐标互换即可得到对称点；
根据将军饮马问题，求点到两点之间距离之和最小，点关于直线的对称点，连接，交直线于点，当点、、三点共线时，的值最小.
【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、关于直线的对称点、，
根据网格可知点的坐标是，点的坐标是.
（2）解：由可知，坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为.
（3）解：如下图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，
由对称可知，
，
当点、、三点共线时，的值最小.
23．【答案】（1）
（2）8
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高以及角平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质．
（1）由三角形外角的性质可得，，得到，根据角平分线的定义可得，，再根据为高可得，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）由是中线可得，再根据面积求解即可．
【详解】（1）解：由三角形外角的性质可得，，
∴，
平分，
，
为高，
，
；
（2）解：∵是中线，
∴，即，
则，解得．
24．【答案】(1)
(2)63
(3)
【分析】本题考查数字类规律探究，因式分解的应用．
（1）根据已有等式，推出规律进行求解即可；
（2）根据已有等式，推出规律进行求解即可；
（3）根据已有等式，推出规律进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：；
故答案为；
（2）解：由题意可知：；
故答案为63；
（3）解：由题意可知，；
故答案为．
25．【答案】（1）；（2）见详解
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练应用完全平方公式．
（1）根据题意直接列式即可．
（2）由，，是正整数，得出一定能被整除；进而得到，结合，同为偶数或同为奇数，且，即可得证．
【详解】（1）解：．
（2）证明：
．
，是正整数，
一定能被整除．
由上面的算式可知，
．
正整数，同为偶数或同为奇数，且，
，均为偶数，
与都是正整数，
一定能表示为两个正整数的平方差．
26．【答案】（1）种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元．
（2）甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；
（1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，
∴，
解得：，
∴，
答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元．
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根且符合题意，
答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
27．【答案】(1)真
(2)
(3)最大为1
【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键．
（1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断．
（2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案．
（3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值．
【详解】（1）解：是真分式．
（2）解：设，
则 ，
解得，
.
（3）解：考虑，求其最小值，
∵，，
当时，最小为1
最大为1．
28．【答案】（1）；说明见详解（2），见详解（3），理由见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键：
（1）利用证明，再利用全等三角形的性质以及线段的和差关系即可求解；
（2）利用证明，即可得出结论；
（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：（1）直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
∴，，
∵，
∴．
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
是的外角，
，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，
∴；
（3）大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
．
第 page number 页，共 number of pages 页