2025~2026学年度第一学期高二12月质量检测
6.已知平面a的一个法向量n=(1,2,一1)，A(0,1,1)是平面a内一点，P(2,1,2)是平面a外一
点，则点P到平面。的距离是
数学(A卷)
A吾
n
c
D.6
7.已知抛物线C:y2=8x,点M(3,0),过点（一3,0）的直线l与C交于A,B两点，且AM⊥BM,
则1的斜率为
考生注意：
1.本试卷分选择通和非逃择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
A士0
B.±√15
C土项
2
D.土0
5
2.答题前，考生务必用直径0.5毫来黑色墨水鉴字笔将密封线内项日填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择題每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对
8.已知圆C:x2+y+2x一2y-7=0,点A(3,0),点B为直线L:y=-4上的动点，过点B作圆
应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
C的切线，切点为P,则|AB引+|PB引的最小值为
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册。
A.45
B.3√5
C.42
D.32
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
题目要求的
1菊圆C号+号-1的焦距为
9.已知椭圆G:芳+苦-1和椭圆G:苔+芳-1，则
A两椭圆有相同的焦点
A.2
B.22
C.3
D.23
B.两椭圆的离心率相等
2.抛物线C:y2=6x的焦点到其准线的距离为
C.两椭圆有相同的顶点
A是
B是
C.3
D.6
D.两椭圆有相同的对称轴和对称中心
3.若直线4：x一2ay十3=0和l2:4x十y一1=0互相垂直，则a的值是
10.已知点P在圆C1:x2+y2=4上，点Q在圆C:x2十y2一6x+8y十9=0上，则
A0
B.2
C.0或-2
D.0或2
A两圆相交
B.圆C与x轴相切
2
4已知方程一千写一1表示双曲线，则m的取值范围为
CIPQ|的取值范固为[3,7]
D.△PCC面积的最大值为6
A.(-3,1)
B.(1,3)
山.已知点r,R分别是双曲线C爱-y=1(a>0)的左，右焦点，RR=4,点P,Q分别是
C.(-co,-3)U(1,+∞)
D.(-∞，1)U(3,+c∞)
C左、右支上一点，过点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为M,则下列说法正确的是
5已知A(-3,0),BC3,0),直线AP,BP相交于点P,且直线AP与直线BP的斜率之积为-子
则点P的轨迹方程为
AC的离心率为3智
A号-苦-1x≠土3)
B亏+号-1x≠士3)
BC的焦点到其渐近线的距离为1
C若PF⊥PF2,则△PF,F2的面积为2
c-
=1(x≠土3)
D.若+号-1(x≠士3)
D.若P,M都位于第二象限，且F1,P,M三点共线，则|QF|+IMQ≥√13+2√3
【高二12月质量检测·数学(A卷)第1页（共4页）】
26-X-279B
【高二12月质量检测·数学(A卷)第2页（共4页）】
26-X-279B
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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. B 2. C. 3. B. 4. C. 5. D. 6. A. 7. D.
8. A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. BD. 10. AB. 11. ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 4 2 .
13. 1
4
14. .
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
x2 y2
15. （1）依题意，设双曲线方程为 1，由该双曲线过点2 2 (2, 2), ( 3,2 3)，a b
4 2
a2
b2
1 2 2
得 ，解得 a2 3,b2 6
x y
，所以所求双曲线标准方程为
9 12 1
.
1 3 6
a2 b2
x2 y2 x2 y2
（2）设与双曲线 1有相同的渐近线的双曲线方程为 ( 0)，
9 4 9 4
3 2 (3 2 )2
由该双曲线过点 A( , 2)，得 2 2 2 1
，
2 9 4 2
2 2
x2 y2 1 y x 1
所以所求双曲线的标准方程为 ，即 9 .
9 4 2 2 2
16. 2（1）因为抛物线C : y 2px p 0 的焦点 F 在 x轴正半轴上，
对于直线 x 4y 2 0，令 y 0，可得 x 2，
p
可知焦点 F 2,0 ，即 2，可得 p 4，
2
所以抛物线C的方程为 y2 8x .
（2）由题意可知：直线MN的斜率可能不存在，且不为 0，
设直线MN的方程为 x my 2，M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
x my 2
联立方程 2 ，消去 y可得 y
2 8my 16 0，
y 8x
则 64m2 64 0，可得 y1 y2 8m， y1y2 16，
则 y y y 2 y 2 21 2 1 2 4y1y2 64m 64 8 m 1 ，
1
可得 OMN 的面积 S OMN y1 y2 2 8 m
2 1 8，
2
当且仅当m 0时，等号成立，
所以 OMN 的面积最小值为 8.
17. （1）证明
由题意可知：BC CD，平面 PCD 平面 ABCD，平面 PCD 平面 ABCD CD，BC 平面 ABCD，
则 BC 平面 PCD，且 PD 平面 PCD，可得 BC PD，
又因为 PD PC， BC PC C ， BC,PC 平面 BCP，
可得 PD 平面 BCP，且 PD 平面 ADP，
所以平面 ADP 平面 BCP.
（2）取 AB,CD的中点分别为 E,O，在半圆弧C D上取点 F ，使得OF CD，
可知OE / /BC，且 BC 平面 PCD，则OE 平面 PCD，
以O为坐标原点，OE,OC,OF 分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
π
若C P 2P D，则 POD ，3
可得 A 1, 1,0 ,C 0,1,0 ,D 0, 1,0 ,P 0, 1, 3 2 2 ，
DP 0, 1 , 3
可知平面 BCP的一个法向量为 ，
2 2
因为 AC 1,2,0 ,CP 3 3 0, , ，
2 2
n AC x 2y 0
设平面 ACP的法向量为 n x, y, z ，则 3 3 ，
n CP y z 0
2 2
令 y 1，则 x 2, z 3，可得 n 2,1, 3 ，
π
设平面 ACP与平面 BCP的夹角为 0, ，
2
n
DP
则 cos cos n,DP
2 2
π
，可得 ，
n DP 2 2 1 2 4
π
所以平面 ACP与平面 BCP的夹角的大小为 .
4
18.
（1）
设直线 l的方程为 y k x 3 ，当直线 l与圆相交于 A，B两点时，
y kx 3k 2
得 2 2 有两组不同的解，消去 y得 x
2 kx 3k 4，
x y 4
2 2 2 2
化简得 k 1 x 6k x 9k 4 0，
2 2 5 2 5
可知Δ 6k 2 4 k 2 1 9k 2 4 0，化简得 20k 2 16 0，解得 k ，
5 5
2 5 2 5
所以直线 l的斜率的取值范围是 ,5 5
.
x 3 x 2 1
（2）设 A x1, y1 ,B x , y P 3,0
2 2 ，已知 ，当 A是线段 BP
2
的中点时，可得 ，
y y1 2 2
2x1 x2 3
化简得 ，
2y1 y2
由（1）可知 x1, x k 2 1 x22为方程 6k 2x 9k 2 4 0的两个解，
2
x 6k 20k
2 16 ,x 6k
2 20k 2 16
则 1 2 ，2 k 1 2 2 k 2 1
6k 2 20k 2 16 6k 2 20k 2 16
当 2x1 x2 3时， 2 32 k 2 ， 1 2 k 2 1
化简得 20k 2 16 2，解得 k
15
，
5
所以直线 l的方程 y 15 x 3 15 y 15 x 3 15 或 .
5 5 5 5
（3）证明 设 A x1,kx1 3k ,B x2 ,kx2 3k ，已知 P 3,0 ，
则 PA x 2 2 2 21 3 kx1 3k x1 3 k 2 1, PB x2 3 kx 3k x 3 k 22 2 1 ，
则 PA PB x 21 3 k 1 x2 3 k 2 1 k 2 1 x1x2 3 x1 x2 9 ，
6k 2 9k 2 4
由（2）可知 x1 x2 2 ,x x ，k 1 1 2 k 2 1
2
PA PB k 2 1 9k 4
2
则 2 3
6k
2 9 5，
k 1 k 1
所以 PA PB 为定值．
2
19. （1）对于圆 E : x2 y 1 4，
令 x 0，可得 y 1 2 4，解得 y 3或 y 1，可知椭圆C的上顶点为 0,3 ；
令 y 0，可得 x2 1 4，解得 x 3，可知椭圆C的焦点为 3,0 ；
则b 3， c 3 ，则 a b2 c2 2 3，
2 2
所以椭圆 C x y的标准方程为 1 .
12 9
（2）由题意可知： F 3,0 ，圆 E的圆心为 E 0,1 ，直线 AB与椭圆 C必相交，
3
则 kEF ，可得直线 AB的斜率 kAB 3，3
则直线 AB的方程为 y 3 x 3 ，
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
y 3
x 3 8 3
联立方程 x2 y2 ，消去 y可得 5x
2 8 3x 0，解得 x 0或 x ，
1 5
12 9
AB 1 3 8 3 16 3所以 0 .
5 5
（3）由题意可知：直线 FM 的斜率存在且不为 0，
设直线 FM : x ny 3,n 0，则直线 FN : x ny 3 ，
x ny 3
2 2 3 3n 6 3 n2 1
联立方程 x2 y2 ，消去 x可得 3n 4 y 6 3ny 27 0，解得 y ，
1 3n2 4
12 9
y 3 3n 6 3 n
2 1 y 3 3n 6 3 n
2 1
即 ，同理可得M ，3n2 4 N 3n2 4
y y 12 3 n
2 1 6 3n
则
M N ， ，3n2
y y
4 M N 3n2 4
6 3n
m yM yN yM yN yM y
2
N 3n 4 1可得
xM xN ，nyM 3 nyN 3 n y 2 2M yN 12 3n n 1 2 n 1
3n2 4
1
因为 n2 1 1，则0 1，n2 1
m 1 0, 1所以
2 2 .2 n 1
