微专题3 不等式
【考法探析·明规律】
例1 (1)C (2)M>N [解析] (1)对于A,取a=1,b=2,c=3,d=4,则a-c=-2,b-d=-2,故A不恒成立;对于B,取a=-2,b=-1,c=-3,d=-2,则ac=6,bd=2,故B不恒成立;对于C,因为指数函数y=2x是增函数,所以2a<2b,2c<2d,所以2a+2c<2b+2d,故C恒成立;对于D,取a=-3,b=2,c=-4,d=1,则a2+c2=25,b2+d2=5,故D不恒成立.故选C.
(2)方法一:M-N=-==
=>0,∴M>N.
方法二:令f(x)===+,易知f(x)在R上单调递减,∴f(2023)>f(2024),即M>N.
自测题
AD [解析] 对于A,-==,因为a>b>c,所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,所以<0,所以<,故A正确;对于B,取b=0,则ab2=cb2,故B错误;对于C,取a=-1,b=-2,c=-3,则a+b=c,故C错误;对于D,若b=0,则a2+c2>b2=0,若b>0,则a2+c2>a2>b2,若b<0,则a2+c2>c2>b2,综上所述,只要a>b>c,就一定有a2+c2>b2,故D正确.故选AD.
例2 (1)BD (2)C [解析] (1)方法一:由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3,当且仅当x=y=±1时取等号,所以(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确;因为-≤xy≤,所以-≤x2+y2-1≤,所以≤x2+y2≤2,故C错误,D正确.故选BD.
方法二:由x2+y2-xy=1得+=1,令得故x+y=sin θ+cos θ=2sin∈[-2,2],故A错误,B正确;x2+y2=+=sin 2θ-cos 2θ+=sin+∈,故C错误,D正确.故选BD.
(2)由2x·4y=4xy,得2x·22y=22xy,即x+2y=2xy,则+=1,所以2x+y=(2x+y)=++≥2+=,当且仅当=,即x=y=时等号成立,所以2x+y的最小值是.故选C.
自测题
1.AC [解析] 对于A,ab=a+b+3≥2+3,即(-3)(+1)≥0,即-3≥0,则ab≥9,当且仅当a=b=3时取等号,故A正确;对于B,a2+=(a2+3)+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当a2+3=,即a2+3=2时取等号,显然a的值不存在,故B错误;对于C,因为a+b=9,所以+=+=4++≥4+2=8,当且仅当=,即a=6,b=3时取等号,故C正确;对于D,因为+≤k恒成立,且a>0,b>0,所以k≥恒成立,==
=1+=1+,令t=(t>0),则=1+,令m=4+2t(m>4),则t=,则=1+=1+=1+≤6,当且仅当m=6时取等号,所以k≥,则k的最小值为,故D错误.故选AC.
2.7+4 [解析] 由正态分布的性质可知P(1≤X≤3)=P(3≤X≤5)=a,又P(X>5)=b,所以a+b=,所以=+==(a+b)=+3+4+≥2+7=4+7,当且仅当=,即a=2-,b=时取等号.故的最小值为7+4.
例3 B [解析] 方法一:将等式ab+c=1视作函数c=1-ba,则当a∈[-4,t]时,c∈[1+4b,1-bt],所以则解得-≤t≤-.故选B.
方法二:因为a<0,所以ta-4≤ab+c≤-4a+t,所以ta-4≤1≤-4a+t对任意a∈[-4,t]恒成立,所以t(-4)-4≤1≤(-4)t+t,解得t∈.故选B.
方法三(数形结合):当a∈[-4,t],考虑直线ax+y=1,与正方形区域[-4,t]×[-4,t]有交点,由图知只需考虑端点情况.当a=-4时,只需满足(-4)t-4≤1,得t≥-;当a=t时,只需满足t×(-4)+t≥1,即t≤-.综上,t∈.
自测题
1.C [解析] 方法一:根据椭圆的定义可知,|MF1|+|MF2|=6,所以|MF1|·|MF2|≤=9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立,故|MF1|·|MF2|的最大值为9.
方法二:不妨设F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,则F1(-,0),F2(,0),设M(x,y),则|MF1|==
=
=.因为x≥-3,所以x+3>0,所以|MF1|=3+x,又|MF1|+|MF2|=6,所以|MF2|=6-|MF1|=3-x,则|MF1|·|MF2|==9-x2,-3≤x≤3,所以当x=0时,|MF1|·|MF2|取得最大值9.故选C.
2.C [解析] 由题意,α,β,γ都是锐角,则其三角函数值均为正数,所以0<
sin αcos β≤①,当且仅当sin α=cos β时取等号,同理得0<
sin βcos γ≤②,当且仅当sin β=cos γ时取等号,0sin γcos α三个值不可能都大于.当α=,β=,γ=时,sin βcos γ=×=>,
sin γcos α=×=>,故大于的个数的最大值是2,故选C.限时集训(三)
1.C [解析] 因为A==={x|(x-2)(x+1)≤0且x≠2}={x|-1≤x<2}=[-1,2),B={y|y=x2+1}={y|y≥1}=[1,+∞),所以A∩B=[1,2).
2.D [解析] 对于A,当a=-2,b=-时,满足ab=1,但a+b=-<2,故A错误;对于B,当a=π,b=时,满足a>b,但tan a-tan b=tan π-tan=-<0,故B错误;对于C,当a=1,b=0时,满足a-b>0,但ln(a-b)=0,故C错误;对于D,因为y=x与y=-在(0,+∞)上均单调递增,所以y=x-在(0,+∞)上单调递增,若a>b>0,则a->b-,所以a+>b+,故D正确.故选D.
3.D [解析] 因为x<-1,所以x+1<0,所以-(x+1)>0,则4x+=4(x+1)+-4=--4≤-2-4=-4-4=-8,当且仅当-4(x+1)=,即x=-时,等号成立,所以4x+的最大值为-8.
4.C [解析] 对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误;对于B,D,取a=,b=,此时+=2+4=6<=8=,+=2+4=6>=4=,故B,D错误;对于C,由基本不等式可得a+b≥2>,故C正确.故选C.
5.C [解析] 对于A,y=(x+1)2+3≥3,最小值为3,不符合条件;对于B,令|sin x|=t,则t∈(0,1],y=t+在(0,1]上单调递减,故y=t+≥1+=5,即y=|sin x|+的最小值为5,不符合条件;对于C,y=2x+22-x≥4,当且仅当x=1时等号成立,符合条件;对于D,y=
ln x+没有最小值,不符合条件.故选C.
6.D [解析] 由ax2-2x+3a<0,得a<=,令f(x)=x+,x∈[1,2],由对勾函数的性质可知,f(x)在[1,)上单调递减,在[,2]上单调递增,又f(1)=4,f(2)=,所以f(x)max=4,所以a<=.故选D.
7.D [解析] 因为P(X≤a)+P(X>a)=1,P(X≤a)+P(X≤b)=1,所以P(X>a)=P(X≤b),由正态分布的对称性可得a+b=2.因为=+=(b+a)=≥,所以0<≤,当且仅当=,即a=,b=时,等号成立,所以的最大值为.故选D.
8.AD [解析] 对于A,由0>c>d,得c2b>0,所以0<<,因为0>c>d,所以0<-c<-d,所以-<-,即->0,故D正确.故选AD.
9.ACD [解析] 对于A,2ab≤=,当且仅当2a=b=时等号成立,故A正确;对于B,由2a+b=1,得b=1-2a,则a2+b2=a2+(1-2a)2=5a2-4a+1=5+≥,当a=,b=时等号成立,故B错误;对于C,由1=2a+b≥,得+≤,当且仅当2a=b=时等号成立,故C正确;对于D,+=(2a+b)=5++≥5+2≥9,当且仅当a=b=时,等号成立,故D正确.故选ACD.
10.(-∞,-5]∪[3,+∞) [解析] 因为|x-1|+|x+a|≥|(x+a)-(x-1)|=|a+1|(当且仅当(x-1)(x+a)≤0时取等号),所以|a+1|≥4,解得a≥3或a≤-5,故实数a的取值范围是(-∞,-5]∪[3,+∞).
11.log23 [解析] 由f(a)=f(b)(a≠b),得-lg a=lg=lg b,则ab=1,令z=2a·3b,则ln z=
a·ln 2+b·ln 3≥2=2,当且仅当a·ln 2=b·ln 3,即==log23时取等号.当2a·3b取得最小值时,ln z取得最小值,此时=log23.
12.12 [解析] f(x)=b在[-,0)∪(0,]上有解,设这个解为m(m≠0),则m∈[-,0)∪(0,],则b=m+,即b--m-=0,则点(b,c)在动直线x--m-=0上,则b2+c2可转化为点(b,c)到原点的距离的平方,则≥=,令=t,t∈(1,2],则≥=t+≥2,当且仅当t=,即t=时取等号,此时m=±,所以b2+c2的最小值是(2)2=12.
13.BD [解析] 方法一:由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3,当且仅当x=y=±1时取等号,所以(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确;因为-≤xy≤,所以-≤x2+y2-1≤,所以≤x2+y2≤2,故C错误,D正确.故选BD.
方法二:由x2+y2-xy=1得+=1,令
得故x+y=sin θ+cos θ=2sin∈[-2,2],故A错误,B正确;x2+y2=+=sin 2θ-cos 2θ+=sin+∈,故C错误,D正确.故选BD.
14.ABD [解析] 由题意可知,Ym=A(mK)α(mL)β=AKαLβmα+β,当α+β=1时,Ym=mY,故A正确;当αβ=时,α+β≥2=1,因为m>1,所以Ym=AKαLβmα+β≥AKαLβ=AKαLβm=mY,当且仅当α=β=时取等号,故B正确;当α2+β2=时,因为≥,所以Ym=AKαLβmα+β≤AKαLβ=AKαLβm=mY,当且仅当α=β=时取等号,故C错误;若α,β,L均不变,则Y是关于K的函数,且Y'(K)=ALβαKα-1,因为0<α<1,所以Y'(K)=ALβαKα-1是减函数,故D正确.故选ABD.
15.- [解析] 若sin x取得最小值,则sin x≤0,
∴sin x=-=-=
-≥-=-=-,当且仅当2-2cos2x=1+2cos2x,即cos2x=时取等号,∴sin x的最小值为-.微专题3 不等式
微点1 不等式的性质及应用
例1 (1)[2025·北京丰台区一模] 已知aA.a-cB.acC.2a+2c<2b+2d
D.a2+c2(2)已知M=,N=,则M,N的大小关系为 .
[听课笔记]
【规律提炼】
运用不等式性质比较大小时通常使用作差法或构造函数利用单调性比较大小,但举反例会更快.
自测题
(多选题)[2025·山东临沂二模] 已知a>b>c,则下列不等式正确的是 ( )
A.< B.ab2>cb2
C.a+b>c D.a2+c2>b2
微点2 基本不等式
例2 (1)(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则 ( )
A.x+y<1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2
(2)[2025·黑龙江佳木斯三模] 已知正数x,y满足2x·4y=4xy,则2x+y的最小值是 ( )
A.2 B.9
C. D.13
[听课笔记]
【规律提炼】
1.运用基本不等式求最值时,注意其是否符合结构特征和使用条件;有时候需要进行适当的转化才能使用基本不等式,要树立整体意识,注意“1”的替换.
2.在运用基本不等式求最值时,若需要用两次或两次以上时,要注意等号的取得是否矛盾.
自测题
1.(多选题)[2025·浙江北斗星盟模拟] 已知a>0,b>0,则下列说法正确的是 ( )
A.若ab=a+b+3,则ab≥9
B.a2+的最小值为1
C.若a+b=9,则+的最小值为8
D.若+≤k恒成立,则k的最小值为
2.若随机变量X~N(3,σ2),且P(1≤X≤3)=a,P(X>5)=b,则的最小值为 .
微点3 其他知识与不等式交汇问题
例3 [2025·浙江六校联考] 若负实数t满足:对任意a∈[-4,t],总存在b,c∈[-4,t],使得ab+c=1,则t的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.[-,-4]
[听课笔记]
【规律提炼】
基本不等式经常与其他知识综合,如解析几何、三角、数列、立体几何、函数、向量等,主要用来求最值或范围,注意等号的取得条件.
自测题
1.已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( )
A.13 B.12
C.9 D.6
2.已知α,β,γ是互不相同的锐角,则在sin αcos β,sin βcos γ,sin γcos α三个值中,大于的个数的最大值是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3 限时集训(三)微专题3 不等式
1.若集合A=,B={y|y=x2+1},则A∩B= ( )
A.[-1,2) B.[-1,+∞)
C.[1,2) D.[1,+∞)
2.已知a,b∈R,则下列说法中正确的是 ( )
A.若ab=1,则a+b≥2
B.若a>b,则tan a-tan b>0
C.若a>b,则ln(a-b)>0
D.若a>b>0,则a+>b+
3.已知x<-1,则4x+的最大值为 ( )
A.-4 B.0 C.4 D.-8
4.[2025·北京卷] 已知a>0,b>0,则 ( )
A.a2+b2>2ab B.+≥
C.a+b> D.+≤
5.下列函数中最小值为4的是 ( )
A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x D.y=ln x+
6.对任意的x∈[1,2],不等式ax2-2x+3a<0恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7.[2025·河南新乡二模] 已知随机变量X~N(1,σ2),P(X≤a)+P(X≤b)=1(a>0,b>0),则的最大值为 ( )
A.9 B. C. D.
8.(多选题)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有 ( )
A.c2C.ac0
9.(多选题)[2025·夷陵中学模拟] 若正实数a,b满足2a+b=1,则下列结论正确的是 ( )
A.2ab的最大值为 B.a2+b2的最小值为
C.+的最大值为 D.+的最小值为9
10.[2025·潍坊二模] 已知|x-1|+|x+a|≥4恒成立,则实数a的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=|lg x|,若f(a)=f(b)(a≠b),则当2a·3b取得最小值时,= .
12.[2025·湖南“一起考”一联] 已知f(x)=x+,若f(x)=b在[-,0)∪(0,]上有解,则b2+c2的最小值是 .
13.(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则 ( )
A.x+y<1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≥2 D.x2+y2≤2
14.(多选题)[2025·河南南阳模拟] Cobb-Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一,函数的数学形式为Y=AKαLβ(A>0,K>0,L>0,0<α<1,0<β<1),其中Y是总产出,K是资本存量,L是劳动力,A是技术参数,α,β是资本和劳动的产出弹性.当A不变时,下列说法正确的是 ( )
A.若K与L均变为原来的m(m>0)倍,且α+β=1,则Y变为原来的m倍
B.若K与L均变为原来的m(m>1)倍,且αβ=,则Y最少可变为原来的m倍
C.若K与L均变为原来的m(m>1)倍,且α2+β2=,则Y最少可变为原来的m倍
D.若α,β,L均不变,则函数Y=AKαLβ的增长速度越来越慢
15.sin x的最小值为 . (共35张PPT)
微专题3 不等式
微点1 不等式的性质及应用
微点2 基本不等式
微点3 其他知识与不等式交汇问题
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考查 内容 考题统 计 考情分析 必备知识
不等 式 2021年Ⅰ卷5； 2022年Ⅰ卷8； 2022年Ⅱ卷12 应用基本不等式求最值或范围 1.掌握不等式的性质；
2.掌握基本不等式的条件和应
用：理解“一正二定三等”；
3.会解分式、含绝对值、指对
数、一元二次不等式
微点1 不等式的性质及应用
例1（1）[2025·北京丰台区一模]已知， ，则下列不等式
恒成立的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A,取,,,,
则 ,,故A不恒成立；
对于B,取, ,,,则, ,故B不恒成立；
对于C,因为指数函数是增函数,所以, ,
所以,故C恒成立；
对于D,取, ,,,则, ,
故D不恒成立.
故选C.
（2）已知，，则， 的大小关系为_______.
[解析] 方法一：，
.
方法二：令，
易知在 上单调递减，，即 .
【规律提炼】
运用不等式性质比较大小时通常使用作差法或构造函数利用单调性
比较大小，但举反例会更快.
自测题
（多选题）[2025·山东临沂二模]已知 ，则下列不等式正确
的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，，
因为 ，所以,,，
所以 ，所以，故A正确；
对于B，取，则 ，故B错误；
对于C，取，，，则 ，故C错误；
对于D，若，则，
若 ，则，若，则 ，
综上所述，只要，就一定有，故D正确.
故选 .
微点2 基本不等式
例2（1）（多选题）[2022·新高考全国Ⅱ卷]若实数, 满足
,则( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：由 ,得，
当且仅当 时取等号,所以，即 ,
故A错误，B正确；
因为,所以 ，
所以，故C错误，D正确.
故选 .
√
√
方法二：由得 ，
令得
故,故A错误，B正确；
,故C错误,D正确.
故选 .
（2）[2025·黑龙江佳木斯三模]已知正数，满足 ，则
的最小值是( )
A. B.9 C. D.13
[解析] 由,得,即 ,则 ,
所以 ,
当且仅当,即时等号成立,所以的最小值是 .
故选C.
√
【规律提炼】
1.运用基本不等式求最值时，注意其是否符合结构特征和使用条件；
有时候需要进行适当的转化才能使用基本不等式，要树立整体意识，
注意“1”的替换.
2.在运用基本不等式求最值时，若需要用两次或两次以上时，要注意
等号的取得是否矛盾.
自测题
1.（多选题）[2025·浙江北斗星盟模拟]已知， ，则下列说
法正确的是( )
A.若，则
B. 的最小值为1
C.若，则 的最小值为8
D.若恒成立，则的最小值为
√
√
[解析] 对于A, ,即,
即,则 ,当且仅当 时取等号,故A正确；
对于B, ,
当且仅当,即时取等号,显然 的值不存在,故B错误；
对于C,因为,所以
,当且仅当,即, 时取等号,故C正确；
对于D,因为恒成立,且,,
所以 恒成立,
,
令,则 ,
令,则 ,
则 ,
当且仅当时取等号,所以,则的最小值为 ,故D错误.
故选 .
2.若随机变量,且, ,则
的最小值为_________.
[解析] 由正态分布的性质可知 ,
又,所以 ,所以 ,
当且仅当,即,时取等号.
故 的最小值为 .
微点3 其他知识与不等式交汇问题
例3 [2025·浙江六校联考]若负实数满足：对任意 ,总存
在,,使得，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：将等式视作函数 ，
则当时，，
所以 则解得 .
故选B.
方法二：因为，所以 ，
所以对任意 恒成立，
所以，解得 .
故选B.
方法三（数形结合）当，考虑直线 ，与正方
形区域有交点，由图知只需考虑端点情况.
当 时，只需满足，得；
当 时，只需满足，即.
综上， .
【规律提炼】
基本不等式经常与其他知识综合，如解析几何、三角、数列、立体几
何、函数、向量等，主要用来求最值或范围，注意等号的取得条件.
自测题
1.已知,是椭圆的两个焦点，点在 上，则
的最大值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
√
[解析] 方法一：根据椭圆的定义可知, ,
所以,
当且仅当 时等号成立,故 的最大值为9.
方法二：不妨设,分别为椭圆 的左、右焦点,
则,,
设,则 .
因为,所以,所以 ,
又,所以 ,
则, ,
所以当时, 取得最大值9.
故选C.
2.已知 , , 是互不相同的锐角，则在 , ,
三个值中，大于 的个数的最大值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 由题意， ， ， 都是锐角，则其三角函数值均为正数，
所以,当且仅当 时取等号，
同理得,当且仅当 时取等号，
,当且仅当 时取等号，
由得 ，
故 , , 三个值不可能都大于.
当 ,,时， ,
，故大于 的个数的最大值是2，故选C.
［备选理由］例1是源于书本的“糖水不等式”问题，是不等式的一个
实际运用问题；例2是以向量为包装，考查基本不等式的问题；例3
是不等式在三角计算中求最值的运用；例4考察不等式在实际问题中
的应用.
例1 ［配例1使用］若克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数
为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，
生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不
等式可得出___（用“ ”或“ ”填空）；并写出上述结
论所对应的一个糖水不等式_ ____________.
[解析] 因为 ，
所以.
由 ，得，即 .
例2 ［配例2使用］（多选题）在中，为边 上一点且满足
，若为边上一点，且满足， ，
为正实数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为1 B. 的最大值为
C.的最大值为12 D. 的最小值为4
√
√
[解析] 因为，所以 ，
所以，
因为，， 三点共线，所以，
又 ， 为正实数，所以，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确.
故选 .
例3 ［配例3使用］[2025·江西南昌二模] 已知 , ，若
，当取得最大值时， ____.
[解析] 根据条件可得 ,
即 ,
因为 ,,所以 ,,
等式两边同时除以,得 ,
则.
令 ,因为 ,所以,则 ,
因为,当且仅当,即 时等号成立,
所以,
即当时, 取得最大值.
因为 ,所以当 取得最大值时, .
例4 ［补充使用］[2025·广西南宁模拟] 由杭州深度求索人工智
能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能 的中
国初创公司.其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美 ，一
经推出便成为全球热门话题.利用 进行学习已经成为一种学生自主学习
的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐. 技术人员对个
模型进行测试，测试由道题组成，每个模型都对这 道题逐一进行
求解.若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个 模
型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格.如果测试至少有 个
模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么 的最小值
为( )
A.6 B.9 C.18 D.27
√
[解析] 由题易知，均为3的正整数倍，
当, 时，若3个 模型的答题情况如下表：
题目1 题目2 题目3
√ √ ×
√ × √
√ × ×
则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以 的最小值为9.
故选B.
