2024-2025学年辽南协作校高一期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024—2025 学年度上学期期末考试高一数学参考答案
一、单选：1--5．CACDB 6--8.DCA
二、多选：9.ACD 10．ABD 11．ABD
7
三、填空：12．-4； 13． ； 14.(-4,3)．
8
四．解答题
15.（13 分）
x - 2 0
解：(1)由 解得 2 x 16,
16 x 0
即A 2,16
由2 x 8 0解得 2 x 8 2 3 , x 3
即B ,3 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 2分
故A B 2，3 ，A B ，16 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....4分
（2）CRA={x|x>16或 x≤ 2}...................................................................................................5分
因为（ C R A） B B，所以 B C A
...........................................................................7分
R
①若 B ，因为 2x>0,m 0时，2x+m>0,则 2x+m≤0 解为 .所以 m≥ 0；...................... .9分
②若 B ，则m 0，
由2 x m,所以x log 2 ( m),
又B CRA,所以 log 2 (-m) 2 log 2 4,
因此0 m 4，即 4 m 0.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....11分
故m 4.
综上所述，实数 m的取值范围为 4， .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........13分
16.（15 分）
解:(1)记事件 A:“在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组””,事件 B:“甲答对两题,乙答
对一题”,事件 C:“甲答对一题,乙答对两题”,事件 D:“甲、乙都答对两题”......2 分
因为事件 B、C、D 彼此互斥，
3
又 P(B)=( )2 ×2× ( 1 ) × (1 1 )= 9 3 3 1 3 3 1，P(C)=2× ( ) × (1 ) × ( )2= ,P(D)=( )2 × ( )2= 9
4 2 2 32 4 4 2 32 4 2 64
A B C D..............................................................5 分
P(A) P(B C D) P(B) P(C) P(D) 9 3 9 33
32 32 64 64
所以在第一轮竞赛中，该组成为“优秀小组”的概率为 33 .....................7分
64
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(2)由题知甲、乙小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率为 P
则P P 21 2P2 (1 P2 ) 2P1 (1 P
2
1 )P2 P
2
1 P
2
2 P1P2 2P1 (1 P2 ) 2(1 P1 )P2 P1P2
P1P2 2(P1 P2 ) 3P1P2
...........................................................................8 分
因 为 P 31 + P2 = ,所以 P
3 3
2 P1，又 0 P1 1,0 P2 1,则 0 P2 2 2 1
1
1
即 P1 1 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 10分2
而P 3 1 91P2 = P1( - P1)

,

2 2 16
令t P 1 9 21.P2 , ,则P 3t 3t 3(t
1 3 3 3
)2 ，P的最大值为
2 16 2 4 4 4
1 1
当且仅当t 时等号成立，此时p1 , p2 1或p
1
2 , p1 1.................................................12分2 2 2
t 9 P 189 3当 时， 的最小值为 ，此时p1 p2 ........................................................................14分16 256 4
3 189
所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值为 ，最小值为 ...................15分
4 256
17.（15 分）
解：（1）法一、由向量的线性运算法则，

可得 AM AB BM ，①

AM AD DC CM ，②.................................................2 分

因为 M为线段 AB中点，则CM BM ，

联立①②得： 2AM AB AD DC 3 AB AD ，
2
3 1
整理得： AM AB AD .
4 2
3 1 3 1 .......................4 分
则DM AM AD AB AD AD AB AD
4 2 4 2
1 1
法二、因为DM = DC +CM = AB+ CB①
2 2
1 1
CB = AB - AC = AB - (AD+ DC) = AB - AD - AB = AB - AD②...........................2分
2 2
1 1 1 3 1
故②代入①得DM = AB+ AB - AD = AB - AD...............................................4分
2 4 2 4 2
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3 AN t AM t AB 1
3t t
(2)由 AM 与 BD 交于点 N，设 AD
AB AD ③
4 2 4 2
④
设BN BD得 AN AB (AD AB),即AN (1 ) AB AD
．.....................................................................7 分
3t
1
由③④得 4 ,消λ得 t
4

t

5
2
4
所以 AN AM
5
AN 4．.............................................................9 分
即
3NM 3

（3）由题意，可设DP mAB 0 m
1
，..................................10 分
2

代入 AC xDB yAP中并整理可得

AC x AB AD y AD DP x ym AB y x AD．

又 AC AD DC 1 AB AD ，
2

x ym
1
3
故 2，可得： x y 1， y 2 m 1 ．.............................12 分
y x 1
因为0 m
1
，所以1
3
y ．
2 2
x(y 2) (y 1)(y 2) (y 3)2 1
2 4
而x(y 2)在 1, 3 单调递减，...............................................................................................14分 2
则当 y=1 时，x（y 2） =0,
y 3当 时，x(y 1 2)
2 min
,
4
1
所以x(y-2)的取值范围为 4 ,0 .....................................................................................15分
注：其他解法酌情给分.
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18.（17 分）
(1) f (x)在R上单调递增；.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...1分
证明： f (x)的定义域为 R.任取x1, x2 R,不妨设x1 x2 ,
则f (x1) f (x2 ) (3
x1 3 x1 ) (3x2 3 x2 ) (3x1 3x2 ) (3 x1 3 x2 ) (3x 1 11 3x2 ) ( )
3x1 3x2
(3x1 3x 12 )(1 )......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....3分
3x1 x2
因为x x ，所以0 3x1 3x1 2 2 ,即3
x1 3x2 0,1 1 0,
3x1 x2
所以f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ),
故f (x)在R上单调递增 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........4分
(2)由题意 f (3x) mf (x) 0,即（33x 3 3x ) m(3x 3 x ) 0
则（3x 1 x）（[ 3
x )2 1 1 ( ）2 1] m（3x ） 0
3 3x 3x
(3x 1 ) （3x）2 1 （ ）2 1 m 0，易知f (x)在 1,2 上单调递增，
3x 3x
3x 1 3 1 8所以 0,.
3x 3 3
1
所以（3x )2 1 m 0即m 1 1 (3x )2在x 1,2 上恒成立....................................6分
3x 3x
令y 3x 1 ,故m 1 y 2min
3x
令t 3x , y 1则 t ，t 3,9 单调递增，当t 3 y 1 10时， min 3 ................................8分t 3 3
故m 1 y 2 100 min 即m
91

9 9
m 91 所以实数 的取值范围为 ， .....................................................................................10分 9
（3）假设存在正实数t满足题意，易知f (x)在 a,b 上单调递增，

f (a) 3
a 1 t3a t
3a
所以

f (b)
1
3b t3b t
3b
所以a,b为关于x的方程3x 1 t3x t的两个不等实数根,
3x
令u 3x 0，即关于u的一元二次方程(t 1)u 2 tu 1 0有两个不等正根u1,u2 ,...........13分
（ t）2 4(t 1) 0

u1 u
t
2
0
t 1
所以 ，解得t 1且t 2
u1u
1
0
2 t 1
t 1 0
所以存在正实数t满足题意，t的取值范围 t |t 1且t 2 .................................................17分
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19.（17 分）
1+
解：（1）当 m=2,时，f(x)=log4( )在[2,3]上是“接近”的.................................1 分
f(x)=log ( 1+ )=log ( 1+2 ) =log ( 14 4 4 + 2)，
因为 t=1+ 2 5 7在[2,3]上单调递减，f(x)=log
4
t 在[ , ]上单调递增，
2 3
故 f x 在[2,3]上单调递减。
则 f x 5max=f(2)= 42， f x
7
min=f(3)= 43....................................................................3 分
f x 5 7 15所以 0< max- f x min=f(2)-f(3)= 42 43 = 414 < 1
即 x1, x2 ∈[2,3]，有 f x1 f x2 1，
所以当 m=2,时，f(x)=log ( 1+ 4 )在[2,3]上是“接近”的。...............................................5 分
（2）依题意可得 f(x)=log ( 1+ 4 )=log ( 1 + )在[a,a+1]（1 a 2）上单调递减， 4 ≤ ≤
假设函数 f x 在区间[a,a+1]（1≤a≤2）上是“不接近”的，则 x1,x2∈ [a, a + 1]（1 ≤ a ≤ 2）,
使|f( 1)-f( 2)|>1 成立。
即|f( 1)-f( 2)|max>1 恒成立..................................................................................................7 分
而 f x max=f(a)=log 14( + )， f x min=f(a+1)=log ( 14 + )， +1
则有|f( 1)-f(
1
2)|max= f x max f x min=log4( + ) log
1
4( + ) > 1， +1
即 log4(
1 + ) >log 144( + ). +1
1 1 1 4
又 + > 4( + ) > 0，可得 3m< （1 a 2）恒成立，
+1 +1 ≤ ≤
1(1 4
1 3
即 m< )=3( 2+ )，...................................................................................................9 分3 +1
由 1≤a≤2
令 k=1-3a∈[-5,-2]，则 a=1 ，3
1 3 9 9
则 2
2+ = 2 +1+1 = 2
=
5 +4 +4 5，
9 3
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9
令 H（k）= 4 +4 5，k∈[-5,-2]，令 h(k)= + 5, k∈[-5,-2]，
任取 k1,k2∈[-5,-2]，不妨设 k14 ( )( 4)
h(k1)-h(k2)= +
4 5-( + 4 5)= + 41 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 1 =( 2 1 2)(1 1 )=2 1 2
因为( 1 2)<0,( 1 2 4) >0, 1 2 >0，所以 h(k1)-h(k2)<0
即 h(k1)4
2 ，所以函数 5在[-5,-2]单调递增，..........................................11 分
h(k) 54 54 5max=h(-2)= 9, h(k)min=h(-5)= ,h(k)∈[ , 9],即 H（k）5 5 ∈[ 1, ]6
1 3
当 k=-5，a=2 时,H(k) 5 5取最大值 ，此时
6 3( 2+ )取最大值－ ，18
1 3
当 k=-2，a=1 1时,H(k)取最小值 1，此时3( 2+ )取最小值－ ，3
1
故 m<－ ..................................................................................................................................13 分
3
1 1
又对于任意的 x∈[a,a+1]， + > 0恒成立，即 > 恒成立，
1 1 1
因为 1≤a≤2，所以 ≤ ≤ ，2 +1 3
即 m>( 1－ )max=
1
，所以 m> 1 m+1，此时 >0，...............................................................15 分
+1 3
1
由 m<－ 且 m> 1可得解集为空集。
3 3
故不存在实数 m,使函数 f x 在区间[a,a+1]（1≤a≤2）上是“不接近”的。...................17 分.
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