2025~2026学年度第一学期高二年级六校联合学业质量检测
数学科试题
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
3. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线，互相平行，且之间的距离为，则（ ）
A. 或3 B. 或4 C. 或5 D. 或2
5. 设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知为正方形的中心，分别为的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论不正确的是（ ）
A. 点在曲线上
B. 点在上，则
C. 点在椭圆上，若，则
D. 过作轴的垂线交于两点，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下命题中，正确的有（ ）
A. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
B. 对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面
C. 直线的方向向量可以是
D. 直线与直线垂直，则
10. 若实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，正方体的棱长为2，点在侧面的边界及其内部运动.下列说法正确的是（ ）
A. 若点为线段上的动点，当时，
B. 若点为线段上的动点，当时，点到平面的距离为
C. 若点为底面的中心，且，则面积的最大值为
D. 若，则点的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是__________.
13. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．
14. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其方程为.已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，则动点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为________（用含的式子表示）；若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为.
（1）求的中垂线的一般方程；
（2）求底边的另一个端点的轨迹.
16. 如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若底面为正方形，且，，，与相交于点，求点到直线的距离.
17. 已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
（3）若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．
18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，.
（1）证明：；
（2）若点，，，都在半径为的球的表面上.
（i）求；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值.
19. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知双曲线与椭圆是“姊妹”圆锥曲线，分别为和的离心率，.
（1）求椭圆的方程；
（2）试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；
（3）若，是椭圆上的两动点（两点不关于轴对称），为坐标原点，的斜率分别为，问是否存在非零常数，使得时，的面积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2025~2026学年度第-学期高二年级六校联合学业质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
c
C
A
A
D
B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号
9
10
11
答案
AB
ABD
ACD
1.B
2.C圆C:x2+y2一2x一4y十4=0，即(x-1)2+(y-2)2=1,表示以C(1,2)为圆心，半径等于1的圆，圆
C2:(x一1)2+(y十2)2=9，表示以C2(1,一2)为圆心，半径等于3的圆，∴.两圆的圆心距d=
√(1一1)2+(2+2)7=4，，4=3+1，.两个圆外切.
3.C向量a=(0,1,1)b=(1,1,0),
则a·b=0×1+1×1+1×0=1,|a=√02+1+1平=√2，
所以向量b在向量a上的投影向量为冷。=名a=(0,令，名）人故选C
4A由么/么可得2Xm-1X4.解得m-2.则直线么的方程为2x十y一2=0，由2-35，即
√5
|n十2|=3，解得n=1或n=-5,故m十n=2+1=3或m十n=2-5=-3,即m十=士3.故选A.
5.D易知长半轴长a=2,因为过F,的直线交椭圆于A,B两点，所以由椭圆的定义知：|BF:|+|AF2|+
|BF|+|AF=4a=8,所以|BF2|+|AF2|=8-(|BF,|+|AF|)=8-|AB|,
当AB⊥x轴时，|AB|最小，|BF2|+|AF2|的值最大，此时|AB为椭圆的通径，由通径公式可得|AB=
张=-F所以8-P=5,解得=月所以c=V瓜-F=1,e=台=子故选D
a
6.A如图所示，易知OA1BD,OCLBD,所以结合已知有Oi1O成.O心⊥Od,(Oi,OD=x,易知O=O成+0心.0亦=20i+0心)，
设正方形边长为2，所以OA=OB=OC=OD=√2，OE=OF=1,
cosO°.0亦=
O元.O
5=10成.0i+0i.0ò+0心.oi+0心.o0
B
1O1·1O14
1×1
-0-241+0-子，故选A
4
7.D依题意得C(-1,-1),半径r=2,设M点坐标为(x,y),
易知直线l41:m.x十y-m一3=0恒过点E(1,3),直线l2:x一my十m-3=0恒过点F(3,1),
因为1·m-m·1=0,所以⊥2，则ME⊥MF,即M·MF=0,
所以点M的轨迹是以EF为直径的圆，EF的中点为（生，3生）=(2.2.
|EFL(1-3)+(3-1)7
2
2
2
故点M的轨迹为圆G:(x-2)2+(y-2)2=2,但是去掉点(1,1)，
其中G(2,2),若点D为弦AB的中点，位置关系如图：
MA+Mi=2Md,连接CD,由|AB|=23,易知|CD=√22-(W3)=1,
【高二年级六校联合学业质量检测·数学卷参考答案第1页（共6页）】
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