2025-2026学年辽宁省沈阳市东北育才高一12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

东北育才学校高中 2025—2026 学年度上学期
高一年级数学科第二次月考试卷
答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：卜阳 校对人：牟欣
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A x∣y x 1 ,B 3, 2, 1,0,1,2 ，则 (CRA) B （ ）
A． 1,0,1,2 B． 1, 2, 3 C． 0,1,2 D． 2, 3
2 3．函数 f x x 3x x 的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
2
3．若关于 x的不等式ax b 0的解集是 , 2 ax bx，关于 x的不等式 0的解
x 1
集为（ ）
A．( ,0] (1,2] B．( ,0] [1,2] C．[0,1) [2， ） D．[0,1] [2， ）
4．函数 y 2025 x x 2024 的值域是（ ）
A． 0, 2 B． 0,2 C． 1, 2 D． 1,2
5．下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（ ）
x 1 x 2A． f x B． f (x)
x | x 3 | | 4 x |
x
C f x e e
x
． D． f x ln x2 1 xex e x
6．已知 x2 (2 a)x 4 2a 0 对任意 x ( 2, )恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． ( , 2] B．[ 6,2] C． ( , 6] [2, ) D．[ 6, )
1
7．已知 k 1，函数 f (x) 2x 1 k的零点分别为 x
3 1
, x2 (x1 x2 )，函数
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g(x) 2x 1 k 的零点分别为 x3, x4 (x3 x2k 1 4
)，则 x4 x2 (x3 x1 ) 的最小值为（ ）
A．1 B． log2 3 C． log2 6 D．3
x
8．设函数 f (x) ln x2 1 2 1 x 2x ，若存在 x使不等式 f ax f ( x a) 0成立，1 2
则实数 a的取值范围是（ ）
1 ,0 1 1 A．
2
B． , C． , D． ( 1, )
2 2
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为 4，则这组数据的方差是 5
B．数据 27，12，14，30，15，17，19，23的第 70百分位数是 23
C．若样本 x1, x2 , , x10的平均值为 8，则 2x1 1,2x2 1, , 2x10 1 的平均值为 15
D．某校高一年级有学生 400人，高二年级有学生 360人，现采用分层抽样的方法从
全校学生中抽出 58人，其中从高一年级学生中抽出 20人，则从高三年级学生中抽取的
人数为 20人
10．已知函数 f x 的定义域为 R， f x y 2xy f x f y ， f 1 2，则下列说法
正确的是（ ）
A． f 0 0 B． f 2 10
C． y f x x2是奇函数 D． y f x x2是偶函数
2x 1, x 0
11．已知函数 f (x) x2 4 3, x 0，若关于
x的方程 f (x) f (2 x) m 0有四个不相

等的实根，则m的值可以是（ ）
1
A． 2 B． 1 C． D．0
2
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三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
4 x2
12．函数 f x
lg x x 的定义域为 .
x2 y2 x
13．已知 x 0， y 0， 2x y 1，则 的最小值为 ．
xy
14．函数 f x ax 2ax 2 的定义域为 A，值域为 B，若区域 :{ x, y | x A, y B}表
示一个正方形区域，则该区域的面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13分）
设命题 p：对任意 x 0,1 ，不等式 2x 3 m 2 4m恒成立，命题 q：存在 x 1,1 ，使
得不等式 x2 2x m 1 0成立．
（Ⅰ）若 p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题 p与命题 q一真一假，求实数m的取值范围.
16．（本小题满分 15分）
用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血
浆内的总浓度）随时间变化的函数符合 c1(t) N0 (1 2
kt )，其函数图象如图所示，其中 N0
为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在 4到 15之间，当达到上
kt
限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合 c2 t c 2 ，其
中 c为停药时的人体血药浓度．
（Ⅰ）求出函数 c1 t 的解析式；
（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为
保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？
（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）
参考数据： lg 2 0.30, lg 3 0.48
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17．（本小题满分 15分）
已知函数 f (x) lg(ax 2 x a) . 记：使函数 f (x)的定义域为 R的实数a的所有取值的
集合为 A，使函数 f (x)的值域为 R的实数 a的所有取值的集合为 B，使函数 f (x)在
(2, )上单调递增的实数 a的所有取值的集合为M ，求 (A B) (CRM ) .
18．（本小题满分 17分）
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的
最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为
提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文
明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100份
作为样本，将样本的成绩（满分 100分，成绩均
为不低于 40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，
，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中 a的值及样本成绩的第 75百分位数；
（Ⅱ）求样本成绩的中位数和平均数；
（III）已知落在[50,60)的平均成绩是 54，方差是 7，落在[60,70)的平均成绩为 66，方差
是 4，求两组成绩合并后的平均数 z 和方差 s2．
19．（本小题满分 17分）
设函数 f (x) loga (x 3a)(a 0,且a 1)，当点 P(x, y) 是函数 y f (x)图象上的点
时，点Q(x 2a, y)是函数 y g(x)图象上的点．
（Ⅰ）写出函数 y g(x)的解析式；
（Ⅱ）把 y g(x)的图象向左平移 a个单位得到 y h(x)的图象，函数
F (x) [a h(x) ]2 2a h(x) ,是否存在实数m,n(m n)，使函数 F (x)的定义域为 (m,n)，
值域为 (m,n)，如果存在，求出m,n的值；如果不存在，说明理由；
（III）若当 x [a 2,a 3]时，恒有 | f (x) g(x) | 1，试确定 a的取值范围.
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东北育才学校高中 2025—2026 学年度上学期
高一年级数学科第二次月考试卷
答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：卜阳 校对人：牟欣
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 A x∣y x 1 ,B 3, 2, 1,0,1,2 ，则 (CRA) B （ ）
A． 1,0,1,2 B． 1, 2, 3 C． 0,1,2 D． 2, 3
【答案】D
2．函数 f x x3 3x x 的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
ax23 bx．若关于 x的不等式ax b 0的解集是 , 2 ，关于 x的不等式 0的解
x 1
集为（ ）
A．( ,0] (1,2] B．( ,0] [1,2] C．[0,1) [2， ） D．[0,1] [2， ）
【答案】A
4．函数 y 2025 x x 2024 的值域是（ ）
A． 0, 2 B． 0,2 C． 1, 2 D． 1,2
【答案】C
5．下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（ ）
2
A． f xx 1 x B． f (x)
x | x 3 | | 4 x |
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ex e xC． f x D． f x ln x2 1 x
ex e x
【答案】D
6．已知 x2 (2 a)x 4 2a 0 对任意 x ( 2, )恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． ( , 2] B．[ 6,2] C． ( , 6] [2, ) D．[ 6, )
【答案】A
f x x2 a 2【详解】令 (2 a)x 4 2a，则函数关于 x 对称，
2
a 2
当 ( 2, )时，即a 2时，
2
f x f a 2 a 2
2 a 2
则 2 2
2 a 4 2a 0，
2
即 a2 4a 12 0，则 a 6 a 2 0，即 6 a 2∴ a 2,2 .
a 2
当 ( 2, )时，即a 2时，函数 f x 在 ( 2, )上单调递增，
2
即 f x f 2 4 2a 4 4 2a 4 0恒成立，∴ a , 2 .
综上所述 a , 2 .
故选：A.
1
7．已知 k 1，函数 f (x) 2x 1 k的零点分别为 x1, x (x x3 2 1 2
)，函数
g(x) k 2x 1 的零点分别为 x3, x4 (x3 x4 )，则 x4 x2 (x3 x1 ) 的最小值为（ ）2k 1
A．1 B． log2 3 C． log2 6 D．3
【答案】B
x k k
【详解】试题分析：由题意知： 2x1 1 k， 2x2 1 k， 2 3 1 x， 2 4 1 ，2k 1 2k 1
2x2 x 1 k∴ 1 ， 2x x
3k 1
4 3 ，∴ ，又 ，
1 k k 1
3 4∴ [3, )，∴ ，∴ (x
1 k 4
x3 ) (x2 x1)的最小值
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为 log2 3 .
x
8 1 2．设函数 f (x) ln x2 1 x ，若存在 x使不等式 f ax2 f ( x a) 0成立，1 2x
则实数 a的取值范围是（ ）
1 1 1
A． ,0 B． , C． , D． ( 1, ) 2 2 2
【答案】B
【详解】函数 f x 定义域为R ，定义域关于原点对称，
2 1 2 x 1 2x 1
由于 f ( x) ln x 1 x x ln x f x 1 2 ， x2 1 x 2 1
所以函数 f x 为奇函数，
y ln x2 1 x ln 1 1 2x 1 2x 2又因为函数 和 y 1 2x2 1 x x 均为1 2 1 2x 1 2x
x
R 上的减函数，所以 f (x) ln x2 1 2 1 x x 为R 上的减函数，1 2
2
所以存在 x使不等式 f ax f ( x a) 0成立，
即 f ax2 f x a 成立，等价于存在 x使不等式 ax2 x a 0成立，
1
当 a 0时显然满足；当 a 0时，则△ 1 4a2 0，即 a 0，
2
综上可得实数 a
1
的取值范围是 , ，
2
故选：B.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为 4，则这组数据的方差是 5
B．数据 27，12，14，30，15，17，19，23的第 70百分位数是 23
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C．若样本 x1, x2 , , x10的平均值为 8，则 2x1 1,2x2 1, , 2x10 1 的平均值为 15
D．某校高一年级有学生 400人，高二年级有学生 360人，现采用分层抽样的方法从
全校学生中抽出 58人，其中从高一年级学生中抽出 20人，则从高三年级学生中抽取的
人数为 20人
【答案】BCD
10．已知函数 f x 的定义域为 R， f x y 2xy f x f y ， f 1 2，则下列说法
正确的是（ ）
A． f 0 0 B． f 2 10
C． y f x x2是奇函数 D． y f x x2是偶函数
【答案】ABC
【详解】令 x y 0，可得 f 0 0，故 A正确；
令 x y 1，可得 f 2 2，令 x 2， y 2，可得 f 0 8 f 2 f 2 ，
则 f 2 10，故 B正确；
由 f x y 2xy f x f y ，可得 f x y x y 2 f x x2 f y y2，令
g x f x x2，
则 g x y g x g y ，令 x y 0，可得 g 0 0，令 y x，
则 g 0 g x g x 0，所以 g x 是奇函数，即 y f x x2是奇函数，
故 C正确；
2 2
因为 f 2 22 f 2 2 ，所以 y f x x 不是偶函数，故 D不正确.
2x 1, x 0
11．已知函数 f (x) 2 ，若关于 x的方程 f (x) f (2 x) m 0x 4 3, x 0 有四个不相
等的实根，则m的值可以是（ ）
1
A． 2 B． 1 C． D．0
2
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【答案】BC
2x 1, x 0 5 2x, x 2

【详解】由题设， f (x) 1 x 2,0 x 2 f (2 x)
2
，∴ 3 4x x , 0 x 2，
x2 7, x 2 x2 4x 3, x 0
x2 2x 2, x 0

f (x) f (2 x) 2x2 4x 2,0 x 2，可得函数图象

x
2 7, x 2
如下：要使 f (x) f (2 x) m有四个不相等的实根，即
f (x) f (2 x)与 y m有 4个交点，
由图知： 2 m 0 .
故选：BC
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
4 x2
12．函数 f x
lg 的定义域为 .x x
1 1
【答案】 0, , 2
2 2

4 x2 0 2 x 2
4 x2
【详解】要使 f x 有意义，只需满足
x x 0 x 0lg x x
lg x x 0 x 1
2
1 1 1
解得 0 x 2且 x ，所以 f x 定义域为 0, , 2 ，2 2 2

故答案为： 0,
1 1 , 2 .
2 2
y 0 2x y 1 x
2 y2 x
13．已知 x 0， ， ，则 的最小值为 ．
xy
【答案】 2 3 1
【详解】因为 x 0, y 0， 2x y 1，所以
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x2 y2 x x y 1 x y 2x y x y 2x 1
xy y x y y x y y x y
3x y 1 2 3x y 1 2 3 1，
y x y x
3x y
当且仅当 y x ，即 y 3x，又
2x y 1，所以 x 2 3， y 2 3 3时，等号成立.
x2 y2 x
故 的最小值为 2 3 1 .
xy
14．函数 f x ax 2ax 2 的定义域为 A，值域为 B，若区域 :{ x, y | x A, y B}表
示一个正方形区域，则该区域的面积为 ．
【答案】6
【详解】由区域 :{ x, y | x A, y B}表示一个正方形区域，知a 0 .
由 ax2 2ax 2 a x 1 2 2 a 2 a，得 B 0, 2 a
令 ax2 2ax 2 0，则 4a2 8a
2
记 ax2 2ax 2 0的解集为 x | x1 x x2 , x1 x2 2, x1x2 ，a
则 x x x x 22 1 2 1 4 x1x2 4
8

a
8
所以 4 2 a，解得 a 4 .
a
2
所以该区域的面积为 2 a 6 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13分）
设命题 p：对任意 x 0,1 ，不等式 2x 3 m 2 4m恒成立，命题 q：存在 x 1,1 ，使
得不等式 x2 2x m 1 0成立．
（Ⅰ）若 p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题 p与命题 q一真一假，求实数m的取值范围.
【详解】（Ⅰ）当 p为真命题时，
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令 f x 2x 3，则 f x f 0 2 0 3 3min
m2 4m 3 1 m 3
m的取值范围是 1,3 ............45分
（Ⅱ）当 q为真命题时，
h x x2令 2x m 1，则对称轴为 x 1，所以h 1 0成立
解得m 2， 实数m的取值范围是 , 2 ............8分
①当 p为真命题， q为假命题时，实数m的取值范围是 2,3 ............10分
②当 p为假命题， q为真命题时，实数m的取值范围是 ,1 ............12分
综上，若命题 p与命题 q一真一假，则实数m的取值范围是 ,1 2,3 ............13分
16．（本小题满分 15分）
用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血
浆内的总浓度）随时间变化的函数符合 c1(t) N (1 2
kt
0 )，其函数图象如图所示，其中 N0
为与环境相关的常数，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在 4到 15之间，当达到上
kt
限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合 c2 t c 2 ，其
中 c为停药时的人体血药浓度．
（Ⅰ）求出函数 c1 t 的解析式；
（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为
保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？
（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）
参考数据： lg 2 0.30, lg 3 0.48
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N0 1 2 4k 8
【详解】（Ⅰ） 图象经过 (4,8)， (8,12) ............2分
N 1 2 8k 0 12
N
0
16 1 t
解得 1 c1 t 16 1 2 4 ............5分
k 4
（2）由题意，浓度为 15时为最迟停止注射时间，
1 t
故 c1 t 16 1 2 4 15，解得 t 16 ............8分

浓度从 15降到 4为最长间隔时间，
1 1
故 t
t 4
c 4 ，即 2 4 2 (t) 15 2 4 15
1
t
两边同时取以 2为底的对数，则 log 2 4 log 42 2 ，15
1
即 t log 4 log 15 2 lg15
lg(3 10 ) 2 lg3 1 lg 2 2 0.48 1 0.3 2 2 2
2 1.93
4 lg 2 lg 2 lg 2 0.3
所以 t 1.93 4 7.7 ............13分
所以最迟隔 16小时停止注射，为保证治疗效果，
最多再隔 7.7小时开始进行第二次注射．............15分
17．（本小题满分 15分）
已知函数 f (x) lg(ax 2 x a) . 记：使函数 f (x)的定义域为 R的实数a的所有取值的
集合为 A，使函数 f (x)的值域为 R的实数 a的所有取值的集合为 B，使函数 f (x)在
(2, )上单调递增的实数 a的所有取值的集合为M ，求 (A B) (CRM ) .
【详解】函数 y lg(ax 2 x a)的定义域为 R，等价于 x R,ax 2 x a 0
a 0
a 1所以 2 ，解得 ， A (
1
, ) ............4分
1 4a 0 2 2
函数 y lg(ax 2 x a)的值域为 R，则
（i）当 a 0时， y lg( x)值域显然是 R； ............5分
a 0 1
（ii）当 a 0时，只需满足 ，解得0 a
1 4a
2 0 2
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1
综合(i)、(ii), 函数 y lg(ax 2 x a)的值域为 R的 a的取值范围是0 a .
2
B [0, 1] ............9分
2
a 0
1 2
若函数 y lg(ax 2 x a)在 (2, )单调递增，则只需 2 ，解得 a .
2a 5
5a 2 0
M [2 , ) ............13分
5
所求 (A B) (CRM ) [0,
2) ............15分
5
18．（本小题满分 17分）
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的
最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为
提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文
明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100份
作为样本，将样本的成绩（满分 100分，成绩均
为不低于 40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，
，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求频率分布直方图中 a的值及样本成绩的第 75百分位数；
（Ⅱ）求样本成绩的中位数和平均数；
（III）已知落在[50,60)的平均成绩是 54，方差是 7，落在[60,70)的平均成绩为 66，方差
是 4，求两组成绩合并后的平均数 z 和方差 s2．
【详解】（Ⅰ）由每组小矩形的面积之和为 1，得 0.05 0.1 0.2 10a 0.25 0.1 1，解得
a 0.030 ............3分
成绩在[40,80)内的频率为0.05 0.1 0.2 0.3 0.65，在 [40,90)内的频率为
0.05 0.1 0.2 0.3 0.25 0.9 ，
显然第 75百分位数m (80,90)，由0.65 (m 80) 0.025 0.75，解得m 84，
所以第 75百分位数为 84. ............6分
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（Ⅱ）成绩落在[40,70)内的频率为0.05 0.1 0.2 0.35，
成绩落在[40,80)内的频率为0.05 0.1 0.2 0.3 0.65，
0.5 0.35
故中位数在[70,80)内，由70 10 75，得样本成绩的中位数为 75............9分
0.65 0.35
由 45 0.05 55 0.1 65 0.2 75 0.3 85 0.25 95 0.1 74 .
得样本成绩的平均数为 74. ............12分
（III）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)的市民人数为100 0.1 10，成绩在[60,70)的
市民人数为100 0.2 20，
z 54 10 66 20所以 62，............14分
30
2 1 2
总方差为 s 10 7 (54 62) 20 4 (66 62)2 37 .............17分10 20
19．（本小题满分 17分）
设函数 f (x) loga (x 3a)(a 0,且a 1)，当点 P(x, y) 是函数 y f (x)图象上的点
时，点Q(x 2a, y)是函数 y g(x)图象上的点．
（Ⅰ）写出函数 y g(x)的解析式；
（Ⅱ）把 y g(x)的图象向左平移 a个单位得到 y h(x)的图象，函数
F (x) [a h(x) ]2 2a h(x) ,是否存在实数m,n(m n)，使函数 F (x)的定义域为 (m,n)，
值域为 (m,n)，如果存在，求出m,n的值；如果不存在，说明理由；
（III）若当 x [a 2,a 3]时，恒有 | f (x) g(x) | 1，试确定 a的取值范围.
【详解】（Ⅰ）设点Q的坐标为 (x ', y ')，则 x ' x 2a, y ' y，即 x x ' 2a, y y '。
∵点 P(x, y)在函数 y loga (x 3a) 图象上∴ y ' loga (x ' 2a 3a) y ' log
1
，即 a x ' a
∴ g(x) log 1a x a ............4分
（Ⅱ） F (x) x2 2x（x 0)， F (x) ( ,1]
(m,n) ( ,1]， n 1 ............7分
F (m) m
F (x)在 (m,n)

上单调递增， ， m、n为 F (x) x的两相异的非负实根
F (n) n
由 x2 2x x，解得m 0,n 1 ............10分
（III） f (x)的定义域为 (3a, )， g(x)的定义域为 (a, )
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a 2 3a
∴ 0 a 1 ............12分
a 2 a
由 | f (x) g(x) | 1 1 log (x2得， a 4ax 3a
2 ) 1
设 u(x) log 2 2a (x 4ax 3a )，则u(x)在 [a 2,a 3]上为减函数，
u(a 3) 1
...........14分
u(a 2) 1

(a 3)2
1
4a(a 3) 3a2 0
a
(a 2)
2 4a(a 2) 3a2 a 0
解得 0 9 57 a
12
a的取值范围 (0, 9 57 ] ............17分
12
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