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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．（2025八上·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于轴对称.
（1）画出点的位置，并求点的坐标.
（2）连接，求的面积.
（3）将点向右平移个单位得到点，连接CD，若，请你直接写出的值.
2．（2025八上·麦积期末）习题、试题解答不能盲目套用例题的解答方法，因为习题、试题与例题有时候看起来很像，但多少会发生一些变化．“不变”的地方说明解题方法或有相似之处，解答问题（1）（2）．
例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2．
（1）代数式的最小值是___，此时x的值是___；
（2）求代数式的最小值．
3．（2025八上·上城期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元．
（1）求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
4．（2024八上·慈溪期末）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过3000kg．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同．
（1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少kg；
（2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为82kg和78kg，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
5．（2025八上·定海期末）如图在中，为锐角，作交的延长线于点D．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）已知， ，求的值．
6．（2025八上·广州期末）如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，．
（1）若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由：
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
7．（2025八上·宁波期末）如图，AB⊥CD于点D，E为CD上一点，连结AE，BC，AE=BC，DE=BD
（1）求证：△ADE≌△CDB：
（2）若AD=6，BD=2，求CE的长，
8．（2025八上·武安期末）如图，在中，，平分，，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
9．（2024八上·叙州期末）如图，台风“海葵”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
10．（2025八上·镇海区期末）已知一次函数的图象经过点．
（1）求此一次函数的表达式．
（2）判断点是否在该函数图象上，并说明理由．
11．（2025八上·西湖期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点，都在该函数的图象上．
①当时，求的取值范围．
②请判断，的大小关系，并说明理由．
12．（2025八上·河源期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2025八上·诸暨期末）解下列不等式 （组）．
（1）解不等式；
（2）解不等式组
14．（2024八上·常德期末）超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元
（2）超市将两批干果按相同的标价销售，最后的500千克按标价的八折优惠售出，如果两批干果全部售出后，利润率不低于（不考虑其他因素），那么超市销售这批干果的标价至少是多少元
15．（2024八上·钱塘期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．
（1）若，求一次函数的表达式．
（2）当时，该一次函数的最大值为6，求k的值．
（3）若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围．
16．（2024八上·青山期末）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，．
求证：
（1）；
（2）．
17．（2024八上·江北期末）解方程组或解不等式组．
（1）解方程组：
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．（2024八上·衢江期末）本学期我们学习了三角形与特殊三角形的相关知识，老师设计了“研数学——三角形篇项目作业”：如图，在中，，，，请回答下列问题：
（1）求线段的长．
（2）用尺规作图的方法作直线交边于，连接，求的面积．
19．（2024八上·滨江期末）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离y1（单位：km），y2（单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）求甲、乙两车的行驶速度；
（2）求乙车与C地的距离y2与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
（3）求乙车出发多少小时，两车相遇？
20．（2024八上·平果期末） 杆秤是我国的传统计量工具，如图，秤钩上所挂物体的重量不同使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，当秤钩所挂重物为x（kg）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（cm）．已知y是关于x的一次函数，下表是若干次称重时所记录的数据．
x（kg） 0.5 1.5 3
y 1 2.25 3
（1）求y关于x的函数表达式，并将表格补充完整；
（2）当秤钩所挂的重物重量为11kg时，求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离．
21．（2024八上·金东期末）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中.”若赤石标记为点“”，杉树标记为点“”，洞穴标记为点“”.
（1）根据这段记载，应用数学知识描述点与线段之间的关系.
（2）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点、的坐标分别为、，点到线段之间的距离为5（单位长度），求出洞穴到赤石的距离.
22．（2024八上·新都期末） 如图，已知，，
（1）求证∶；
（2）若平分， ，求的长度
23．（2024八上·双辽期末）如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足．
（1）若，则的度数为 ，的角度为 ；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）当是等边三角形时，求的度数．
24．（2024八上·宁乡市期末）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，
求证：
（1）；
（2）．
25．（2024八上·通道期末）某时装店老板预测一款应季T恤衫能畅销市场，就用3000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求，该店又用6600元及时购进了第二批这款T恤衫，但每件进价比前一批每件进价贵了3元，第二批的件数是第一批件数的二倍．
（1）求：两批T恤衫的进价分别是多少？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠出售，要使两批T恤衫全部售完后利润不低于80%（不考虑其它因素的影响），那么这批T恤衫每件应至少标价多少（结果取整数）．
26．（2024八上·嘉兴期末）在解不等式时，小马同学给出了如下解法：
解：去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以，得．
判断小马同学的解法是否有错误？若有错误，请写出正确的解答过程．
27．（2024八上·七星关期末） 为迎接党的二十大，助力乡村振兴，实现群众增产增收，某商场设立专柜，在乡村地区直接采购农副产品，架起对口农户与消费者之间的桥梁，实现农副产品直产直销．该专柜负责人欲查询两种商品的进货数量，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品 进价/（元/件） 数量/件 金额/元
绩溪山核桃 45
黄山毛峰 75
商品采购员李经理对采购情况回忆如下：两种商品共采购了100件．
（1）若采购花费的总金额为5700元，问绩溪山核桃和黄山毛峰的进货数量分别为多少？
（2）在进价不变的情况下，由于市场火爆，该专柜负责人计划再次安排采购这两种商品共100件，假设黄山毛峰的进货数量为x（件），所花费的总金额为y（元）．
①求出y与x的函数关系式；
②若李经理用不超过5000元采购这两种商品，问他最多能购买黄山毛峰多少件？
（3）若绩溪山核桃每件的售价为80元，黄山毛峰每件的售价为100元，商场规定黄山毛峰的进货数是为a（35≤a≤40）件，请问应怎样进货才能使商场在销售完这批货物时获利最多？此时利润为多少元？
28．（2024八上·义乌期末）解下列一元一次不等式(组)：
（1），
（2）并把它的解集表示在数轴上；
29．（2024八上·凉州期末）如图所示，四边形的对角线与相交于O点，
（1）若，，求证：；
（2）若，，求证：．
30．（2024八上·九台期末）党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山．某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，，．
（1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度；
（2）若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？
31．（2024八上·蛟河期末）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置，并求△ABC的面积
（2）在平面直角坐标系中画出△A′B′C′，使它与△ABC关于x轴对称，并写出△A′B′C′三顶点的坐标
（3）若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写出这点在△A′B′C′内部的对应点M′的坐标．
32．（2024八上·平湖期末）已知在平面直角坐标系中，点，直线与轴的交点为．
（1）求过点且与平行的直线的函数表达式；
（2）求线段的垂直平分线的函数表达式．
33．（2024八上·和田地期末）已知：如图△ABC中AC=6cm，AB=8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
34．（2024八上·上城期末）燃油车和新能源车是人们在购车过程中的两个不同选择，方方调查了两款售价相同的燃油车和新能源车的相关数据．燃油车每千米的行驶费用为0.6元，若行驶距离均为600km，燃油车的花费比新能源车多300元．
（1）求新能源车每千米的行驶费用；
（2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为6000元和9000元，问：每年行驶里程超过多少千米后，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
35．（2023八上·惠州期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，其中点A、B均在格点上
（1）请在给定的网格中找一个格点C，使得三角形ABC为轴对称图形；
（2）符合条件（1）的格点C有几个？
36．（2023八上·湖北期末）如图，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，若的平分线交于点C，则 ；
（2）如图2，若的平分线交于点C，则 ；
（3）如图2，若的外角的平分线交于点D，求与之间的数量关系，并求出的度数．
37．（2024八上·广西期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
38．（2023八上·会宁期末）在平面直角坐标系内的位置如图所示．
（1）分别写出点，，的坐标．
（2）将三个顶点的横坐标不变，纵坐标分别乘，在图中连接对应点所得的各点，记为．与有怎样的位置关系？
39．（2024八上·婺城期末）已知实数x，y满足．
（1）用含x的代数式表示y，则 ．
（2）若等腰三角形的腰长为x，底边长为y，该等腰三角形的周长为l．
①求l关于x的函数表达式；
②求l的取值范围．
40．（2024八上·宁波期末）已知关于的一次函数．当时，；当时，．
（1）求的值；
（2）若是该函数图象上的两点，求证：．
41．（2025八上·杭州期末）如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D．
（1）求直线的函数关系式；
（2）点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2025八上·成都期末）如图1，在中，，点是上一点，且，点为延长线上一点，且，设．
（1）用含的代数式表示的度数；
（2）求的长；
（3）如图2，在延长线上有一点，满足，连接，与交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．
43．（2025八上·玉环期末）已知正数，，，，满足，．
（1）当，时，请用含的式子表示；
（2）已知，，满足；
①求证：；
②若，求的取值范围．
44．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
45．（2024八上·河北期末）已知中，，，点为的中点．
（1）如图，点、分别为线段、上的点，当时，易得为 三角形；
（2）如图，若点、分别为、延长线上的点，且，其他条件不变，则中的结论仍然成立，请证明这个结论；
（3）如图，若把一块三角尺的直角顶点放在点处转动，三角尺的两条直角边与线段、分别交于点、，请判断的形状，并证明你的结论．
46．（2024八上·斗门期末）在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．
（1）如图1，若点为的中点，求证：；
（2）如图2，若点为上任意一点，求证：．
47．（2024八上·开化期末）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长．
48．（2024八上·扶余期末）如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接.
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，为中边上的高，试猜想，，之间的关系，并证明你的结论.
49．（2024八上·海曙期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
50．（2023八上·期末） 设两个不同的一次函数y1=ax+b，y2=bx+a(a，b是常数，且ab≠0)．
（1）若函数y1的图象经过点(2，1)，且函数y2的图象经过点(1，2)，求a，b的值．
（2）写出一组a，b的值，使函数y1，y2图象的交点在第四象限，并说明理由．
（3）已知a=1，b=-1，点A(p，m)在函数y1的图象上，点B(q，n)在函数y2的图象上，若p+q=2，判断m和n的大小关系．
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级上册期末总复习
1．（2025八上·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于轴对称.
（1）画出点的位置，并求点的坐标.
（2）连接，求的面积.
（3）将点向右平移个单位得到点，连接CD，若，请你直接写出的值.
【答案】（1）解：如下图，点.
（2）∵ ，.
∴BC=4
∴
即的面积
（3）
【解析】【解答】（3）根据题意，画出图形
若，则△BEC是等腰直角三角形
由此可以判断出△ADE也是等腰直角三角形
故D（4，2）
因此，将点向右平移8个单位得到点
故答案为：.
【分析】（1）根据关于y轴对称的点坐标特征，即可解答；
（2）在平面坐标系内，根据点的坐标表示线段长，再利用三角形的面积公式解答即可；
（3）根据题意，画出图形，利用等腰三角形的判定及性质即可确定点D的坐标，再由点的平移规律即可求得n的值.
2．（2025八上·麦积期末）习题、试题解答不能盲目套用例题的解答方法，因为习题、试题与例题有时候看起来很像，但多少会发生一些变化．“不变”的地方说明解题方法或有相似之处，解答问题（1）（2）．
例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2．
（1）代数式的最小值是___，此时x的值是___；
（2）求代数式的最小值．
【答案】（1），
（2）解：，
因为，
所以，
所以代数式的最小值是．
【解析】【解答】（1）解：，
因为，
所以，
所以代数式有最小值，最小值是3，此时x的值是，
故答案为：，．
【分析】（1）根据题意，结合完全平方公式化简即可求出答案.
（2）提公因数，结合完全平方公式化简，再根据偶次方的非负性即可求出答案.
（1）解：，
因为，
所以，
所以代数式有最小值，最小值是3，此时x的值是，
故答案为：，．
（2）解：，
因为，
所以，
所以代数式的最小值是．
3．（2025八上·上城期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建个A种光伏车棚需投资万元，个种光伏车棚需投资万元，若修建，两种光伏车棚共个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．设修建种光伏车棚个，修建车棚总费用为万元．
（1）求出（万元）关于（个）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】（1）解：由题意可得，，
∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．
∴，
解得：，
即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）；
（2）解：由（1）知：，
∴随的增大而增大，
∵且为整数，
∴当时，取得最小值，此时，
故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元．
【解析】【分析】（1）设修建A种光伏车棚x个，则修建B种光伏车棚(20-x)个，从而根据单价乘以数量等于总价及“修建车棚总费用等于修建x个A种光伏车棚的费用+修建(20-x)个B种光伏车棚的费用”可以写出（万元）关于（个）的函数关系式，然后根据“要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍”列出不等式，求出x的取值范围；
（2）根据x的取值范围及一次函数的性质，可以求得的最小值，以及此时的值．
（1）解：由题意可得，，
∵要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的倍．
∴，
解得：，
即（万元）关于（个）的函数关系式是（且为整数）；
（2）解：由（1）知：，
∴随的增大而增大，
∵且为整数，
∴当时，取得最小值，此时，
故修建个种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为万元．
4．（2024八上·慈溪期末）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过3000kg．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同．
（1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少kg；
（2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为82kg和78kg，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
【答案】（1）解：设1个甲部件质量为，1个乙部件质量为，则
，解得
答：1个甲部件，1个乙部件．
（2）解：设电梯一次装运套设备，由题意得
解得
因为为正整数，所以取最大整数为7，即货运电梯一次最多装运7套设备．
【解析】【分析】（1）列一元一次方程解决配套问题，只需找准选题关系；
（2）列不等式解应用题的关键，是确定不等关系，同时需要结合实际情况，可能需要对解集进行适当改变.
5．（2025八上·定海期末）如图在中，为锐角，作交的延长线于点D．
（1）若，求的度数．
（2）求证：．
（3）已知， ，求的值．
【答案】（1）（1）
解： ∵，∴，
又∵ ，
∴，
∴
（2）证明：设，∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
（3）图下图，过C作于E，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴
【解析】【分析】本题是考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的综合应用题型，解题核心是掌握等腰三角形(等边对等角)，直角三角形内角和以及勾股定理的应用，准确分析角与角，边与边之间的关系.
（1）利用直角三角形的内角和求出的度数，再根据等边对等角，得出即可求出∠BAC的度数；
（2）设，结合等腰三角形和直角三角形的角的关系，证明∠BAC=2∠D；
（3）过C作垂线，构造为等腰直角三角形，根据题意得到和，再利用勾股定理计算即可．
（1）解： ∵，
∴，
又∵ ，
∴，
∴；
（2）证明：设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）图下图，过C作于E，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
又∵ ，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
6．（2025八上·广州期末）如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，．
（1）若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由：
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，
∵．
∴，
即，
∴是等边三角形.
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据等边三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定方法求出垂直平分，再根据平行线的性质求出，最后根据等边三角形的性质计算求解即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵为等边三角形，
∴，
∵．
∴，即，
∴是等边三角形，
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
7．（2025八上·宁波期末）如图，AB⊥CD于点D，E为CD上一点，连结AE，BC，AE=BC，DE=BD
（1）求证：△ADE≌△CDB：
（2）若AD=6，BD=2，求CE的长，
【答案】（1）证明：AB⊥CD，
∠ADE=∠BDC=90°
AE=BC，DE=BD，
∴△ADE≌△CDB(HL)
（2）解：∵△ADE≌△CDB，
∴AD=CD=6，
∵DE=BD=2，
∴CE=CD-DE=6-2=4
【解析】【分析】(1)根据 得 和 都是直角三角形，然后可依据“HL”判定 和 全等；
(2)根据全等三角形的性质得 进而根据 即可得出答案.
8．（2025八上·武安期末）如图，在中，，平分，，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】（）利用三角形内角和定理先求得的度数，再根据角平分线的定义即可求解；
（）根据，得出，由直角三角形的两锐角互余，求得∠CAD的度数，再由角度和差即可求解．
（1）解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．（2024八上·叙州期末）如图，台风“海葵”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：海港C受台风台风影响．
理由：
，
，
是直角三角形，
过点C作于D，
是直角三角形，
，
，
，
以台风台风中心为圆心以内为内为受影响区
海港C受台风影响．
（2）解：当时，正好影响C港口，
，
台风风的速度25千米/小时
（小时）．
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理结合题意得到是直角三角形， ，过点C作于D，进而根据三角形的面积结合题意计算出CD，从而即可求解；
（2）先根据勾股定理求出DE，进而结合题意即可求解。
10．（2025八上·镇海区期末）已知一次函数的图象经过点．
（1）求此一次函数的表达式．
（2）判断点是否在该函数图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：把点A(-1，2)代入y=x+b得：2=-1+b，
解得：b=3，
故一次函数表达式为y=x+3；
（2）解：当x=-2时，y=-2+3=1，
故点(-2，1)在该函数图象上．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把x=－2代入y=x+3，得y=1，即可判断点在函数图象上.
11．（2025八上·西湖期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点，都在该函数的图象上．
①当时，求的取值范围．
②请判断，的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：(1)∵一次函数y=(a+1)x+a-2(a为常数，a≠-1)的图象过点(-2，4)，
∴4=-2a-2+a-2，
解得a=-8，
∴一次函数的表达式为：y=-7x-10.
（2）解：(2)①由一次函数解析式y=-7x-10可知：
当-1②因为一次函数k=-7<0，y随x的增大而减小，
又∵m∴y1>y2.
【解析】【分析】(1)将点(-2，4)坐标代入直线解析式求出a值，还原解析式即可；
(2)①根据-1②根据一次函数的增减性判定即可.
（1）解：根据题意，将点代入一次函数中，
则，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：①由（1）知一次函数的表达式为，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，则，
当时，则，
∴当时，的取值范围为；
②，理由如下：
由①知一次函数，随的增大而减小，
∵，
∴．
12．（2025八上·河源期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，，即；当时，，
解得，，
∴，
∴，
∴的长为5；
（2）解：由折叠的性质可知，，，
∴，即；
设，则，，
∴，即，
解得，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
解得，，
∴存在，点坐标为或．
【解析】【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后根据平面上两点间距离公式计算即可；
（2）设，根据折叠和勾股定理得到，求出a值即可；
（3）根据得关于BP的方程求出BP长解题即可．
（1）解：当时，，即；
当时，，
解得，，
∴，
∴，
∴的长为5；
（2）解：由折叠的性质可知，，，
∴，即；
设，则，，
∴，即，
解得，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
解得，，
∴存在，点坐标为或．
13．（2025八上·诸暨期末）解下列不等式 （组）．
（1）解不等式；
（2）解不等式组
【答案】（1）解：移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：
（2）解：
解得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1解题即可；
（2）求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分即可．
（1）解：移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：
（2）解得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
14．（2024八上·常德期末）超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元
（2）超市将两批干果按相同的标价销售，最后的500千克按标价的八折优惠售出，如果两批干果全部售出后，利润率不低于（不考虑其他因素），那么超市销售这批干果的标价至少是多少元
【答案】（1）解：设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
∴该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）解：设超市销售这批干果的售价为每千克m元，
第一次购进（千克），
第二次购进（千克），
由题意得：，
解得：．
∴超市销售这批干果的售价至少为每千克元．
【解析】【分析】（1）先根据题意列出分式方程，进行求解即可；
（2）根据利润率不低于列出不等式，求解即可．
（1）解：设该种干果第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）解：设超市销售这批干果的售价为每千克m元，
第一次购进（千克），
第二次购进（千克），根据题意得：
，
解得：．
答：超市销售这批干果的售价至少为每千克元．
15．（2024八上·钱塘期末）已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点．
（1）若，求一次函数的表达式．
（2）当时，该一次函数的最大值为6，求k的值．
（3）若该一次函数的图象经过第一象限，且，求S的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∵当时，该一次函数的最大值为6，
∴当时，，
∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：根据题意：，即，
∴，
∵一次函数的图象经过第一象限，且，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）将点代入一次函数（k，b为常数，且）得到，再结合，解二元一次方程组求得k、b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）由一次函数自变量的系数k＜0可得一次函数y随x的增大而减小，进而可得当时，，结合一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，解二元一次方程组求得k、b的值；
（3）由一次函数图象经过点（-1，2）得，进而得到，再根据一次函数的图象经过第一象限且k＜0，可得到，由不等式的性质即可解答．
（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∵当时，该一次函数的最大值为6，
∴当时，，
∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：根据题意：，即，
∴，
∵一次函数的图象经过第一象限，且，
∴，
∴，
∴．
16．（2024八上·青山期末）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
（2）证明：在与中，
，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】(1)由HL证明即可得出结论；
(2)由HL证明，得，即可解决问题.
17．（2024八上·江北期末）解方程组或解不等式组．
（1）解方程组：
（2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：，
由①-②得：，
，
，
把代入①得：，
∴方程组的解为
（2）解：，
由①得：，
，
由②得：，
，
∴不等式组无解．
表示在数轴上为
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组，由①-②消去y，即可计算x的值，再把x代入①解出y的值，即可得到方程组的解；
（2）先把①、②两个不等式分别解出来，再取两解的公共部分，即为不等式组的解；在数轴上表示时，取等号为实心，没有等号则为空心；大于，解集线方向向右，小于，解集线方向向左，在数轴上表示出来即可.
18．（2024八上·衢江期末）本学期我们学习了三角形与特殊三角形的相关知识，老师设计了“研数学——三角形篇项目作业”：如图，在中，，，，请回答下列问题：
（1）求线段的长．
（2）用尺规作图的方法作直线交边于，连接，求的面积．
【答案】（1）解：在中，，，，∴；
（2）解：依题意，，设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积为．
【解析】【分析】（1）运用勾股定理解题即可；
（2）根据作图可得，设，然后利用勾股定理可得，进而求得长，然后计算面积即可．
（1）解：在中，，，，
∴；
（2）解：依题意，，设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积为．
19．（2024八上·滨江期末）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车与C地的距离y1（单位：km），y2（单位：km）与甲车行驶时间t（单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）求甲、乙两车的行驶速度；
（2）求乙车与C地的距离y2与甲车行驶时间t之间的函数关系式；
（3）求乙车出发多少小时，两车相遇？
【答案】（1）甲车行驶速度是240÷4＝60（km/h），乙车行驶速度是200÷（﹣1）＝80（km/h），
∴甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h；
（2）当0≤t≤1时，y2＝200；
当1＜t≤时，设y2＝kt+b，
∵图象过点（1，200），（，0），
∴，
∴，
∴y2＝﹣80t+280；
当＜t≤4时，
∵（4﹣）×80＝40（km），
∴图象过点（4，40），
设y2＝kt+b，
∵图象过点（4，40），（，0），
∴，
∴，
∴y2＝80t﹣280．
∴y2＝；
（3）设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得：
80m+60（m+1）＝200+240，
解得：m＝．
∴乙车出发小时，两车相遇．
【解析】【分析】（1）根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）设乙车出发m小时，两车相遇，根据总路程＝两个人的路程和列方程解题即可；
20．（2024八上·平果期末） 杆秤是我国的传统计量工具，如图，秤钩上所挂物体的重量不同使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，当秤钩所挂重物为x（kg）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（cm）．已知y是关于x的一次函数，下表是若干次称重时所记录的数据．
x（kg） 0.5 1.5 3
y 1 2.25 3
（1）求y关于x的函数表达式，并将表格补充完整；
（2）当秤钩所挂的重物重量为11kg时，求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离．
【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为
把和分别代入上式得．
解得 ，
∴.
补全表格如下表
x（kg） 0.5 1.5 3 4.5
y 1 1.5 2.25 3
（2）解：把代入，
解得：.
答：当秤钩所挂的重物重量为11kg时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为6.25cm．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再将x、y的值分别代入解析式并将表格补充完整即可；
（2）将x=11代入解析式求出y的值即可.
21．（2024八上·金东期末）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中.”若赤石标记为点“”，杉树标记为点“”，洞穴标记为点“”.
（1）根据这段记载，应用数学知识描述点与线段之间的关系.
（2）若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点、的坐标分别为、，点到线段之间的距离为5（单位长度），求出洞穴到赤石的距离.
【答案】（1）解：点在线段的垂直平分线（中垂线）上
（2）解：点坐标，点坐标，
两点间的距离为8，
到中点的距离为4
到中点的距离为5，
【解析】【分析】（1）根据题意结合垂直平分线的性质即可求解；
（2）根据题意得到：AB两点间的距离为8，B到AB中点的距离为4，最后根据勾股定理计算即可.
22．（2024八上·新都期末） 如图，已知，，
（1）求证∶；
（2）若平分， ，求的长度
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
则．
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合利用等角的补角相等可得，从而证出；
（2）结合，利用等角的余角相等可得，利用等角对等边的性质及等量代换可得，最后利用勾股定理求出即可.
23．（2024八上·双辽期末）如图，在中，，D是的中点，，，点E、F分别为垂足．
（1）若，则的度数为 ，的角度为 ；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）当是等边三角形时，求的度数．
【答案】（1）40°；50°
（2）证明：∵，D是的中点，
∴，
∵，，
∴
在和中
∴
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：∵为等边三角形，
∴
∵，
∴
∵，，
∴
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵DF⊥AC，
∴∠FDC=90°-∠C=50°；
故答案为：40°；50°.
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质求解即可；
(2)首先根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，BD=CD，然后证明出△DEB≌△DFC(AAS)，得到DE=DF，即可证明出△DEF为等腰三角形；
(3)首先根据等边三角形的性质得到∠EDF=60°，然后根据全等三角形的性质得到∠EDB=∠FDC=60°，利用垂直得到∠DEB=∠DFC=90°，然后由三角形的内角和定理解答即可.
24．（2024八上·宁乡市期末）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
，
即．
（2）解：，
，
即．
，，
≌，
．
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及等量代换可得；
（2）先利用“ASA”证出≌，再利用全等三角形的性质可得.
25．（2024八上·通道期末）某时装店老板预测一款应季T恤衫能畅销市场，就用3000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求，该店又用6600元及时购进了第二批这款T恤衫，但每件进价比前一批每件进价贵了3元，第二批的件数是第一批件数的二倍．
（1）求：两批T恤衫的进价分别是多少？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠出售，要使两批T恤衫全部售完后利润不低于80%（不考虑其它因素的影响），那么这批T恤衫每件应至少标价多少（结果取整数）．
【答案】（1）解：设第一批T恤衫的进价是每件元，
根据题意列方程得：，
解得：，
∴，
∴第一批和第二批T恤衫的进价分别是每件30元、33元；
（2）解：两批T恤衫的件数是：（件），
设T恤衫的标价是每件元，
根据题意不等式得：，
解得：，
∴，
∴两批T恤衫每件应至少标价60元．
【解析】【分析】（1）设第一批T恤衫的进价是每件元，根据题意即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）设T恤衫的标价是每件元，根据题意即可列出不等式，进而即可求出y的取值范围。
26．（2024八上·嘉兴期末）在解不等式时，小马同学给出了如下解法：
解：去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以，得．
判断小马同学的解法是否有错误？若有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解：有错误．
正确解答如下：
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
解得
【解析】【分析】观察发现该一元一次不等式带括号，那么需要注意去括号过程是否系数和每一项都相乘；括号前面是减号，去掉括号时是否变号了，另外也要注意移项时是否变号.
27．（2024八上·七星关期末） 为迎接党的二十大，助力乡村振兴，实现群众增产增收，某商场设立专柜，在乡村地区直接采购农副产品，架起对口农户与消费者之间的桥梁，实现农副产品直产直销．该专柜负责人欲查询两种商品的进货数量，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品 进价/（元/件） 数量/件 金额/元
绩溪山核桃 45
黄山毛峰 75
商品采购员李经理对采购情况回忆如下：两种商品共采购了100件．
（1）若采购花费的总金额为5700元，问绩溪山核桃和黄山毛峰的进货数量分别为多少？
（2）在进价不变的情况下，由于市场火爆，该专柜负责人计划再次安排采购这两种商品共100件，假设黄山毛峰的进货数量为x（件），所花费的总金额为y（元）．
①求出y与x的函数关系式；
②若李经理用不超过5000元采购这两种商品，问他最多能购买黄山毛峰多少件？
（3）若绩溪山核桃每件的售价为80元，黄山毛峰每件的售价为100元，商场规定黄山毛峰的进货数是为a（35≤a≤40）件，请问应怎样进货才能使商场在销售完这批货物时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】（1）解：设黄山毛峰的进货数为b件，则绩溪山核桃进货数为（100﹣b）件，
依题意得75b+45（100﹣b）＝5700，
解得：b＝40，100﹣40＝60，
答：黄山毛峰的进货数为40件，则绩溪山核桃进货数为60件；
（2）解：①设黄山毛峰的进货数为x件，则绩溪山核桃进货数为（100﹣x），
依题意得y＝75x+45（100﹣x）＝30x+4500；
②依题意得30x+4500≤5000，
解得：，
答：最多能购买黄山毛峰16件；
（3）解：设黄山毛峰的进货数为a件，则绩溪山核桃进货数为（100﹣a）件，利润为w元．
依题意得w＝（100﹣75）a+（80﹣45）（100﹣a）＝﹣10a+3500，
∵k＝﹣10＜0，
∴w随a的增大而减少，
∵35≤a≤40，
∴当a＝35时，w取最大值，100﹣35＝65，最大值为3150元，
答：黄山毛峰的进货数为35件，则绩溪山核桃进货数为65件，商场在销售完这批货物时获利最多，最大利润是3150元．
【解析】【分析】（1）典型的用一元一次方程解决销售或采购问题，设出一种采购数量为未知数，根据采购总价列等量关系式；（2）在上一问的基础上，可直接写出y与x的关系式，根据不超过5000元列出不等式，求解即可，注意得数要符合实际；（3）总利润=A商品单件利润件数+B商品单件利润件数，列出总利润w与A商品进货数a的关系式，得到w与a是递减关系，即当a取最小值时，w有最大值，代入计算即可。
28．（2024八上·义乌期末）解下列一元一次不等式(组)：
（1），
（2）并把它的解集表示在数轴上；
【答案】（1）解：
.
（2）解不等式①，得，x≤1；
解不等式②，x＞-5；
故不等式组的解集为：-5＜x≤1．
数轴表示如下：
【解析】【分析】（1）利用移项、合并同类项即可求解；
（2）分别解两个不等式，然后根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"据此即可求出原方程组的解集，然后在数轴上表示即可.
29．（2024八上·凉州期末）如图所示，四边形的对角线与相交于O点，
（1）若，，求证：；
（2）若，，求证：．
【答案】（1）证明：在和中，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案；
（2）根据全等三角形的判定定理可得，再根据全等三角形性质即可求出答案.
30．（2024八上·九台期末）党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山．某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，，．
（1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度；
（2）若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？
【答案】（1）在中，由勾股定理得，
，
答：小路的长为15米．
（2）解：在中，
为直角三角形，且
答：改造这片空地共需花费17100元．
【解析】【分析】（1）根据题意，由勾股定理计算得到AC的长度；
（2）根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，继而由三角形的面积公式求出答案即可。
31．（2024八上·蛟河期末）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题：
（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置，并求△ABC的面积
（2）在平面直角坐标系中画出△A′B′C′，使它与△ABC关于x轴对称，并写出△A′B′C′三顶点的坐标
（3）若M（x，y）是△ABC内部任意一点，请直接写出这点在△A′B′C′内部的对应点M′的坐标．
【答案】（1）解：描点如图，由题意得，AB∥x轴，且AB=3﹣（﹣2）=5，
∴S△ABC=×5×2=5
（2）解：如图；A′（﹣2，﹣1）、B′（3，﹣1）、C′（2，﹣3）
（3）解：M'（x，﹣y）．
【解析】【分析】（1）根据点的坐标，直接描点，根据点的坐标可知，AB∥x轴，且AB=3﹣（﹣2）=5，点C到线段AB的距离3﹣1=2，根据三角形面积公式求解；
（2）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点A'、B'、C'，然后顺次连接A′B′、B′C′、A′C′，并写出三个顶点坐标；
（3）根据两三角形关于x轴对称，写出点M'的坐标．
32．（2024八上·平湖期末）已知在平面直角坐标系中，点，直线与轴的交点为．
（1）求过点且与平行的直线的函数表达式；
（2）求线段的垂直平分线的函数表达式．
【答案】（1）解：设与直线平行的直线的函数表达式为，
过点的直线与直线平行，
，
直线过点，
，
．
过点且与平行的直线的函数表达式为；
（2）解：直线：与轴的交点为，
，
(，
的中点为，
如图所示，过点作轴的垂线垂足为，可得，
是等腰直角三角形，
垂直平分
设的解析式为
解得：
线段的垂直平分线的函数表达式为
【解析】【分析】（1）根据平行得到k=，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先得到点的坐标，然后过点作轴的垂线垂足为，可得C点坐标，利用中点坐标求得的中点，根据待定系数法求函数解析式即可．
（1）解：设与直线平行的直线的函数表达式为，
过点的直线与直线平行，
，
直线过点，
，
．
过点且与平行的直线的函数表达式为；
（2）直线：与轴的交点为，
，
(，
的中点为，
如图所示，过点作轴的垂线垂足为，可得，
是等腰直角三角形，
垂直平分
设的解析式为
解得：
线段的垂直平分线的函数表达式为
33．（2024八上·和田地期末）已知：如图△ABC中AC=6cm，AB=8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【答案】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠DCB，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∵AC＝6cm，AB＝8cm，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF
＝AE+ED+FD+AF
＝AE+EB+FC+AF
＝AB+AC
＝8+6
＝14（cm）．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，再利用角平分线的定义及等量代换可得∠FDC＝∠FCD，利用等角对等边的性质可得FD＝FC，即可证出△DFC是等腰三角形；
（2）先利用角的等量代换求出∠EDB＝∠EBD，利用等角对等边的性质可得ED＝EB，再利用三角形的周长公式及等量代换求出△AEF的周长即可．
34．（2024八上·上城期末）燃油车和新能源车是人们在购车过程中的两个不同选择，方方调查了两款售价相同的燃油车和新能源车的相关数据．燃油车每千米的行驶费用为0.6元，若行驶距离均为600km，燃油车的花费比新能源车多300元．
（1）求新能源车每千米的行驶费用；
（2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为6000元和9000元，问：每年行驶里程超过多少千米后，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）解：设新能源车每千米的行驶费用是x元，由题意得：
0.6×600=300+600x
解得：x=0.1
答：新能源车每千米的行驶费用为0.1元；
（2）解：设每年行驶里程超过y千米后，新能源车的年费用更低，由题意得
0.6y+6000>0.1y+9000
解得：y>6000
答：每年行驶里程超过6000千米后，新能源车的年费用更低．
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系：燃油车行驶600千米的费用=新能源车行驶600千米的费用+ 300，据此列方程求解即可；
（2）根据题意可得不等关系：燃油车的行驶费用+6000>新能源车的行驶费用+9000，据此列不等式方程求解即可.
35．（2023八上·惠州期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，其中点A、B均在格点上
（1）请在给定的网格中找一个格点C，使得三角形ABC为轴对称图形；
（2）符合条件（1）的格点C有几个？
【答案】（1）解：如图1，点C即为所求作的点
∵，
∴
∴是等腰三角形
∴是轴对称图形
∴点C为所求作的点
（2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作弧交格点于点、、
以点B为圆心，为半径作弧与交格点于点、、、、
以为底的等腰三角形顶点不在格点上
∴符合条件（1）的格点C有8个
【解析】【分析】这道题主要考查了轴对称图形和等腰三角形的性质，以及在网格中运用圆规作图的方法来寻找符合条件的点；
（1）通过计算线段AB的长度，然后在网格中寻找点C，使得AC的长度等于AB的长度，从而得到等腰三角形，因为等腰三角形是轴对称图形，所以找到这样的点C即可；
（2）分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，找到与格点相交的点C；同时排除以AB为底的等腰三角形顶点不在格点上的情况，最后统计符合条件的格点C的个数.
（1）解：如图1，点C即为所求作的点，
∵，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是轴对称图形，
故点C为所求作的点；
（2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作弧交格点于点、、，以点B为圆心，为半径作弧与交格点于点、、、、，以为底的等腰三角形顶点不在格点上，
∴符合条件（1）的格点C有8个，
36．（2023八上·湖北期末）如图，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，若的平分线交于点C，则 ；
（2）如图2，若的平分线交于点C，则 ；
（3）如图2，若的外角的平分线交于点D，求与之间的数量关系，并求出的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵分别是和的角平分线，
∴，，
∴，
∴，即，
同理：，
∵四边形内角和等于360°，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵的平分线交于点C，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：在中，，
∵的平分线交于点C，
∴，
即，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）先利用角平分线的定义及角的运算求出，再求出即可；
（2）先利用角平分线的定义及角的运算求出，再求出即可；
（3）先利用角平分线的定义及角的运算求出，即，，再利用四边形的内角和求出，再结合，最后求出即可.
37．（2024八上·广西期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【答案】（1）解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
每件甲种商品的进价为：．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．
由题意得：．
解得．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）解：由（2）知，，
解得：．
∵y为整数，，
∴或25．
答：共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【解析】【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，根据题意，得，解分式方程并检验即可；
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．“根据进两种商品的总数量不超过95个”列出不等式，即可求解；
（3）由（2）知，，可得或25，然后写出两种不同的方案即可．
38．（2023八上·会宁期末）在平面直角坐标系内的位置如图所示．
（1）分别写出点，，的坐标．
（2）将三个顶点的横坐标不变，纵坐标分别乘，在图中连接对应点所得的各点，记为．与有怎样的位置关系？
【答案】（1）解：由图可得：，，；
（2）解：将三个顶点的横坐标不变，纵坐标分别乘，
，，，
如图，即为所求，
由图可得：，与关于轴对称．
【解析】【分析】（1）根据图形，结合平面直角坐标系中点的坐标的写法，可直接写出坐标，得到答案；
（2）根据题意，先得出，，，画出即可，结合图形即，得出与的位置关系，即可得到答案．
（1）解：由图可得：，，；
（2）解：将三个顶点的横坐标不变，纵坐标分别乘，
，，，
如图，即为所求，
由图可得：，与关于轴对称．
39．（2024八上·婺城期末）已知实数x，y满足．
（1）用含x的代数式表示y，则 ．
（2）若等腰三角形的腰长为x，底边长为y，该等腰三角形的周长为l．
①求l关于x的函数表达式；
②求l的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：①等腰三角形的周长，
由（1）得，
②由三角形三边关系定理得，，
∴，
解得，
又∵，
∴，
解得，
自变量x的取值范围
当x=16时
当x=6时
因变量I的取值范围是
．
【解析】【解析】解：（1），
移项得：，
化系数为1得：，
故答案为：。
【分析】此题考查求函数解析式，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键：
（1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可得出y与x的关系式；
（2）①根据三角形周长的计算公式解答即可；
②根据两边之和大于第3边，即2x＞y，且y＞0，解不等式组先求出自变量x的取值范围，继而确定因变量l的取值范围．
（1）解：，
，
∴，
故答案为：；
（2）①由题意得，等腰三角形的周长，
由（1）得，
∴；
②由三角形三边关系定理得，，
∴，
解得，
又∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
40．（2024八上·宁波期末）已知关于的一次函数．当时，；当时，．
（1）求的值；
（2）若是该函数图象上的两点，求证：．
【答案】（1）解：由题意得
解得
（2）解：把分别代入得
，
．
【解析】【分析】（1）把两组对应的x，y代入解二元一次方程组，求得k，b
（2）把代入函数解析式，再相减即可证明
41．（2025八上·杭州期末）如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D．
（1）求直线的函数关系式；
（2）点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 直线：经过点，与x轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线的函数关系式为；
（2）解：，
解得：，
∴点的坐标为；
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，此时的最小值为，
则点即为所作，其坐标为，
∵，
∴，
∵，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴当的值为时，的值最小．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式即可求出、；
（2）先求出直线和直线交点的坐标，再求出的面积，从而得到的面积，再根据三角形面积计算公式，求出点P的纵坐标即可；
（3）先利用待定系数法求出其解析式，再根据点在直线上求出的值．
（1）解：∵点，点在直线：上，
∴，
解得：，
∴直线的函数关系式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴点的坐标为；
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，此时的最小值为，
则点即为所作，其坐标为，
∵，
∴，
∵，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵在直线上，
∴，
解得：，
∴当的值为时，的值最小．
42．（2025八上·成都期末）如图1，在中，，点是上一点，且，点为延长线上一点，且，设．
（1）用含的代数式表示的度数；
（2）求的长；
（3）如图2，在延长线上有一点，满足，连接，与交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过A作于H，如图1，则，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
由得，
解得，即；
（3）解：．理由：在上截取，连接FM，如图2，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∴，即．
【解析】【分析】（1）利用等边对等角得，，由三角形的内角和定理求得，最后再根据等边对等角可得；
（2）过A作于H，利用等腰三角形的三线合一得BH=CH=3，由勾股定理算出，设，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可；
（3）在AE上截取AF=AD，连接FM，由邻补角及等角的补角相等得，用“SAS”证，得到，，再利用等边对等角、（1）中结论及等式性质得，用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得到，进而可得结论．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：过A作于H，如图1，则，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，
由得，
解得，即；
（3）解：．理由：
在上截取，连接，如图2，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∴，即．
43．（2025八上·玉环期末）已知正数，，，，满足，．
（1）当，时，请用含的式子表示；
（2）已知，，满足；
①求证：；
②若，求的取值范围．
【答案】（1）解：当，时，
，，
所以，
整理得，，
所以；
（2）①证明：由得，
，．
因为，
所以，
整理得，．
因为为正数，
所以，
所以，
即，
所以．
②解：由得，
．
又因为，，
所以，
即，
整理得，．
因为为正数，
所以．
又因为，
所以．
【解析】【分析】（1）由b是c的2倍可得，再用含的式子表示即可；
（2）①先由已知分别用含a、m、n的代数式表示出b和c，再代入到已知等式中可得 ，由于a是正数，可利用等式的性质对等式变形得完全平方式，即有；
②先把和代入到不等式中得关于n的不等式并求解得，再结合已知可得．
（1）解：当，时，
，，
所以，
整理得，，
所以．
（2）①证明：由得，
，．
因为，
所以，
整理得，．
因为为正数，
所以，
所以，
即，
所以．
②解：由得，
．
又因为，，
所以，
即，
整理得，．
因为为正数，
所以．
又因为，
所以．
44．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∴.
（2）证明：如图，在的延长线上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可；
（2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。
45．（2024八上·河北期末）已知中，，，点为的中点．
（1）如图，点、分别为线段、上的点，当时，易得为 三角形；
（2）如图，若点、分别为、延长线上的点，且，其他条件不变，则中的结论仍然成立，请证明这个结论；
（3）如图，若把一块三角尺的直角顶点放在点处转动，三角尺的两条直角边与线段、分别交于点、，请判断的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）等腰直角
（2）中结论成立．
理由：如图中，连接．
，，，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形．
（3）结论：是等腰直角三角形．
理由：如图中，连接．
，，，
，，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰直角三角形．
【解析】【解答】解：如图中，连接．
，，，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角
【分析】（1）如图1中，连接AD，得，，，，证明，可得结论；
（2）连接AD，由已知条件得出 ，， ，进一步得出，，证明出≌，即可解答；
（3）连接AD，由已知条件得出 ，， ，进一步得出，，证明ABDE△ADF(ASA)，可得结论。
46．（2024八上·斗门期末）在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．
（1）如图1，若点为的中点，求证：；
（2）如图2，若点为上任意一点，求证：．
【答案】（1）证明：∵为等边三角形，点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点E作交于H，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】 （1）通过等边三角形的内角及三线合一得出是等腰三角形，进而求出答案；
（2）证明线段相等，最常用办法是通过全等得到，可以构造平行线得到等边三角形，进而为下一步全等提供条件.
47．（2024八上·开化期末）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长．
【答案】（1）证明：是边上的中线（证全等亦可）
又是等腰直角三角形
（2）解：是等腰三角形
（同角的余角相等）
是边上的中线（等腰三角形三线合一）
是等腰直角三角形
，即
是等腰三角形
（3）解：①
（证亦可）
设，则
，解得，即
②
作，同理可证
设，则
，解得
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，由有两边相等的直角三角形是等腰直角三角形可求解；
（2）△ABP是等腰三角形.理由：由同角的余角相等可得∠CAD=∠PBE，由等腰三角形的三线合一可得∠BAD=∠CAD，则∠BAD=∠PBE，由等腰直角三角形的性质可得∠EAD=∠E=45°，结合角的构成可得∠BAP=∠BPA，由等腰三角形的判定可求解；
（3）由题意分两种情况：
①若∠PCE=90°，由题意用角角边可证△ABD≌△BPC，由全等三角形的性质可得BC=AD可求解；
②若∠CPE=90°，作PF⊥CE，同理可证△ABD≌△BPF，由全等三角形的性质可得BF=AD，设EF=x，则CF=x，CD=4-2x=BD，BC =8-4x，BF=8-3x，根据BF=AD可得关于x的方程，解方程即可求出x的值，然后根据CE=2x可求解.
48．（2024八上·扶余期末）如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接.
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，为中边上的高，试猜想，，之间的关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵，
∴.
∵，
，
∴.
∵，都是等腰三角形，
∴，.
在和中，
∴（SAS）.
∴.
（2）解：.理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴.
∴和都是等腰直角三角形.
∴.
由（1）可知，
∴.
【解析】【分析】（1）从问题入手，证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，根据已知条件可得到两组对应边相等，而它们的夹角，是两个80°的顶角与同一个角的差，因此对应的夹角也相等，故可以用SAS定理证明全等，整理思路即可；（2）结论中的三条线段不在一个三角形或一条边上，由题中给定的等腰直角三角形易推出DE=2CF，根据等量代换的思想，BE与AD可互相代换，可推出AE=AD+DE=BE+2CF。
49．（2024八上·海曙期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
（1）求∠ECF的度数；
（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．
【答案】（1）解：由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCB'＝90°，
∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°，
即∠ECF＝45°；
（2）解：由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1，
∴∠EFC＝45°＝∠ECF，
∴CE＝EF＝4，
∴BE＝4+1＝5，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC＝
设AE＝x，则AB＝x+5，
∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2，
Rt△ABC中，AC2＝AB2-BC2，
∴AE2+CE2＝AB2-BC2，
即x2+42＝（x+5）2-41，
解得：x＝，
∴AE＝，AB＝AE+BE＝+5＝
∴S△ABC＝
【解析】【分析】⑴、由折叠（轴对称）知，三角形ACE和三角形DCE全等，三角形CBF全等于三角形B CF，所以∠ACE等于∠DCE，∠BCF等于∠B CF，故可知∠ECF等于二分之一的∠ACB，所以∠ECF可求；
⑵、由折叠知∠AEC等于∠DEC等于90度，且∠ECF等于45度，所以三角形ECF是等腰直角三角形，故EF等于EC等于4，所以EB等于5，直角三角形中由勾股定理可求CB长；三角形ABC是直角三角形且CB已经知道，所以求出AC的长，就可以求面积，利用共边直角三角形AEC和ACB，设 AE长从而建立方程求解，再求得AC长，从而求出三角形ABC的面积。
50．（2023八上·期末） 设两个不同的一次函数y1=ax+b，y2=bx+a(a，b是常数，且ab≠0)．
（1）若函数y1的图象经过点(2，1)，且函数y2的图象经过点(1，2)，求a，b的值．
（2）写出一组a，b的值，使函数y1，y2图象的交点在第四象限，并说明理由．
（3）已知a=1，b=-1，点A(p，m)在函数y1的图象上，点B(q，n)在函数y2的图象上，若p+q=2，判断m和n的大小关系．
【答案】（1）解：由题意得
解得，
故.
（2）解：(答案不唯一)，理由如下，
令，解得，
函数和的图象的交点的横坐标为1，
交点坐标为（1，a+b）.
若交点在第四象限，则需要，
可以取.
（3）解：若，则，
点在函数的图象上，点在函数的图备上，
①可变形为，整理得③，
③-②，得.
【解析】【分析】（1）将点(2，1)代入y1=ax+b，将点(1，2)代入y2=bx+a，可得关于字母a、b的方程组，求解即可得出a、b的值；
（2）开放性命题，答案不唯一；联立两函数解析式求解可得其交点坐标为（1，a+b），进而根据第四象限点的纵坐标为负数可得a+b＜0，从而即可写出符合题意的a、b的值；
（3）将a=1、b=-1分别代入两个函数解析式得y1=x-1，y2=-x+1，然后将点A的坐标代入y1=x-1得p-1=m①，将点B的坐标代入y2=-x+1得-q+1=n②，由已知可得p=2-q，从而代入①得-q+1=m，由等量代换可得m=n.
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