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【50道单选题·专项集训】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．（2024九上·雨花期末）如图，分别是边上的点，，若，则的长是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024九上·萧山期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同.给出下列说法：
①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；
②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；
③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球.
其中正确的是( )
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
3．（2024九上·湘潭期末）大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P是线段的黄金分割点，且，，则的长约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·清苑期末）抛物线的顶点坐标（ ）
A．（1，3） B．（）
C．（） D．（）
5．（2024九上·井陉期末）抛物线的顶点在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024九上·四平期末）下列说法错误的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4
D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
7．（2024九上·深圳期末）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（ ）
①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024九上·越秀期末）小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·凤山期末）如图，已知是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是（ ）
A．48mm B．80mm C．20mm D．46mm
10．（2024九上·鹿寨期末）铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B．8m C．10m D．12m
11．（2024九上·潮阳期末）如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024九上·哈尔滨期末）如图，在中，，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024九上·惠城期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，．若∠CBD＝35°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
14．（2024九上·江门期末）若三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024九上·天河期末）如图，已知中，，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点，．若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
16．（2024九上·杭州期末）某小组在“中国扇中的数学美”的项目化实践中发现，某折扇（如图）张开的角度为时，扇面面积为；该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2024九上·长沙期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心
18．（2024九上·福州期末）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．经过有信号灯的路口，遇到红灯
B．打开电视频道，正在播体育新闻
C．掷一次骰子，向上一面点数大于0
D．射击运动员射击一次，命中十环
19．（2024九上·五华期末）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25° B．35° C．15° D．20°
20．（2023九上·期末）已知二次函数y=ax2+2ax +3a2+ 3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且当- 2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）．
A．1 B．或 C． D．1-2
21．（2022九上·翁源期末）如图，抛物线的对称轴为直线，经过点．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点和，则；⑤（为任意实数）．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2025九上·慈溪期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是 ，则该正多边形边数是（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
23．（2025九上·定西期末）如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ）
A． B． C． D．
24．（2024九上·拱墅期末）如图，中，，，射线平分，交边于点，过，作射线的垂线，垂足分别是点，，将的面积设为，那么的面积是（ ）
A． B． C． D．
25．（2024九上·八步期末）如图，菱形对角线相交于原点点坐标为，点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
26．（2024九上·百色期末）定义：若两个函数图象与x轴有一个共同点的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”.如与的图象与x轴的共同交点为（2，0），那么这两个函数就是“共根函数”.若与为“共根函数”，则m的值为 （ ）
A．1 B．1或2 C．1或3 D．2或3
27．（2024九上·织金期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的五个点A，B，C，D，E都在横线上，若线段，则线段CD的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
28．（2024九上·黔东南期末）抛物线与x轴的公共点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
29．（2024九上·禅城期末）在平面直角坐标系中，已知A(6，-3)，B(3，9)，连接OA、OB、AB，以原点O为位似中心，位似比为，把△OAB缩小，则点B 的对应点B'的坐标为（ ）
A．(1，3) B．(-1，-3)
C．(1，3)或(-1，-3) D．(2，-1) 或(-2，1)
30．（2024九上·南山期末）下面说法正确的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B．对于反比例函数，y随x的增大而减小
C．关于x的方程是一元二次方程
D．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形
31．（2024九上·昭通期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（ ）
A．AB＝4 B．b2﹣4ac＞0 C．ab＜0 D．a﹣b+c＜0
32．（2024九上·红塔期末）在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为，每次试验该事件的概率为．下列说法错误的是（ ）
A．的值为0.5
B．随着试验次数的增加，的值可能发生变化
C．当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定
D．试验次数越多，的值越大
33．（2024九上·朝天期末）如图，已知是的弦，，连接并延长交于点，则的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
34．（2024九上·蓬江期末）已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．（2024九上·桂林期末）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
36．（2024九上·封开期末）下列函数在第一象限中，的值随着的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
37．（2024九上·乌鲁木齐期末）已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若， 则 ＝（ ）
A． B． C．6 D．8
38．（2024九上·昌邑期末）为备战中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，藏文试卷3张，英语试卷1张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是（ ）
A． B． C． D．
39．（2024九上·汝城期末）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，随的增大而增大
40．（2024九上·市南区期末）将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
41．（2024九上·杭州期末）如图，已知，，，是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，，若的半径为，则在，值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
42．（2024九上·凉山期末）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
43．（2024九上·南山期末） 如图，在矩形 ABCD 中，以 A 为圆心，AD 长为半径画圆弧，交 BC 于点 E，以 E 为圆心 AE 长为 半径画圆弧与 BC 的延长线交于点 F，连接 AF 分别与 DE、DC 交于点 M、N，连接 DF，下列结论 中下列结论中错．误．的是（ ）
A．四边形 AEFD 为菱形 B．CN=CE
C．ΔCFN ∽ ΔDAN D．ΔABE ≌ΔDC
44．（2024九上·鄞州期末）如图，点G是的重心，过点G作分别交AB，AC于点M，N，过点N作交BC于点D，则四边形BDNM与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
45．（2024九上·番禺期末）抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．在下列四个结论中：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则；其正确结论的序号是（ ）．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
46．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点若，的面积是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
47．（2024九上·江夏期末）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A． B．4 C． D．
48．（2024九上·绍兴期末）如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
49．（2024九上·仙居期末）已知m，n为整数，抛物线（b为常数）经过点，．现有两个命题：①若，则与可能相等；②若，则与可能相等．则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都是真命题 B．①，②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
50．（2024九上·绍兴期末）如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
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【50道单选题·专项集训】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．（2024九上·雨花期末）如图，分别是边上的点，，若，则的长是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即，
解得， ，
故选：C．
【分析】根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
2．（2024九上·萧山期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同.给出下列说法：
①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；
②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；
③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球.
其中正确的是( )
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】A
【解析】【解答】解：①由于箱子中没有黑球，所以从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件，原表述正确；
②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，原表述正确；
③由于箱子中红球个数大于白球，所以从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球，原表述正确；
故答案为：A .
【分析】根据确定性事件与不确定性事件的概念及可能性大小的判定即可得出答案.
3．（2024九上·湘潭期末）大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P是线段的黄金分割点，且，，则的长约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：为的黄金分割点，
，
故答案为：B．
【分析】利用黄金分割的定义及黄金分割值列出算式求解即可.
4．（2024九上·清苑期末）抛物线的顶点坐标（ ）
A．（1，3） B．（）
C．（） D．（）
【答案】C
【解析】【解答】解：由，
根据，顶点坐标是，
可知顶点坐标为．
故选：C．
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质.根据题意可得二次函数的性质可得：顶点坐标为．据此可选出答案.
5．（2024九上·井陉期末）抛物线的顶点在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线的顶点为，
顶点在第三象限．
故选：C．
【分析】本题考查二次函数的性质、点所在的象限.根据二次函数的顶点式求出顶点坐标为，再根据横纵坐标的正负可判断顶点所在的象限．
6．（2024九上·四平期末）下列说法错误的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4
D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
【答案】C
【解析】【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项不符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项不符合题意；
C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查统计与概率的概念辨析，逐一分析选项，结合调查方式、频率与概率、平均数与方差的变化规律、事件类型的定义判断.灯泡寿命调查用抽样调查判定A正确；试验次数增加，频率趋近概率判定B正确；根据平均与方差计算公式，方差不变判定C错误；367人至少2人生日同一天是必然事件判定D正确．
7．（2024九上·深圳期末）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（ ）
①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵D，E，F是、、的中点，
∴，又、、相交于O，
∴与位似，故①正确.
∴，故④正确.
∴与的相似比为，
∴与周长比为，与面积比为，故②正确，③错误.
综上，说法正确的有3个，.
故答案为：C．
【分析】根据D，E，F是、、的中点，得，又根据、、相交于O，得与位似，，与的相似比为，
与周长比为，与面积比为，即可得答案.
8．（2024九上·越秀期末）小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形(阴影)区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为，圆的半径为，
记圆的圆心为点，过作于，连接、、，
是正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】设扎到阴影区域的正三角形的概率为，圆的半径为，记圆的圆心为点，过作于，连接、、，根据等边三角形的性质、三角形的外接圆得，进一步得，再根据，可得.
9．（2024九上·凤山期末）如图，已知是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是（ ）
A．48mm B．80mm C．20mm D．46mm
【答案】A
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x（ mm），
则AI=AD-x=80-x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴
即：
解得x=48mm，
故答案为：A．
【分析】通过证明△AEF∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例求解.
10．（2024九上·鹿寨期末）铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B．8m C．10m D．12m
【答案】C
【解析】【解答】解： ，
当y=0时，则，
解得x1=10，x2=-2，
∵x＞0，
∴x=10.
故答案为：C.
【分析】求出抛物线与x轴交点的横坐标，即令y=0求出x的正数值即可.
11．（2024九上·潮阳期末）如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵函数图象开口向下且与y轴交于正半轴，
∴
∴则①不正确，
∵二次函数的图象经过点，，
∴二次函数对称轴为：
∴
∵当x=-1时，
∴则②正确，
∵当x=1时，函数有最大值为：
当x=m时，
∴则③不正确，
∵当时，y随x的增大而增大，则④不正确，
综上所述，正确的有②，共一个，
故答案为：A.
【分析】根据函数的图象得到a和c的正负即可判断①；根据题意得到二次函数的对称轴，进而得到根据函数过即可判断②；根据在x=1时，函数取最大值，即可判断③；根据函数图象即可判断④.
12．（2024九上·哈尔滨期末）如图，在中，，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，，
∵AD=2，DB=3，则AB=2+3=5，
∴A、，此选项不符合题意；
B、≠，此选项符合题意；
C、=，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式、、，结合已知依次判断即可求解.
13．（2024九上·惠城期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，．若∠CBD＝35°，则∠ABD的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
则∠COD＝2∠CBD＝35°×2＝70°，
∵．
∴∠COB＝∠COD＝70°
∴∠DOB＝∠COD+∠COB＝70°+70°＝140°。
∵∠ODB+∠ABD＝180°-∠DOB＝180-140°＝40°
∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABD，
∴2∠ABD＝40°
∴∠ABD＝20°.
故答案为：A
【分析】连接OC，OD，根据圆周角定理及角与弧间的关系推导出∠BOD的度数，再根据等边对等角及三角形内角和定理和得出∠ABD的度数.
14．（2024九上·江门期末）若三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵三点都在二次函数的图象上，且，
∴；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
15．（2024九上·天河期末）如图，已知中，，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点，．若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接、，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为，
故答案为：B．
【分析】连接、，由等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，再由圆周角定理可得，再根据补角可得，再由弧长公式计算即可求出答案.
16．（2024九上·杭州期末）某小组在“中国扇中的数学美”的项目化实践中发现，某折扇（如图）张开的角度为时，扇面面积为；该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解∶设该扇子外圆所在圆的半径为，内圆所在圆的半径为，
，
，
该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
，
，
，
，
是的正比例函数，
，
它的图象是过原点的一条线段，
故答案为∶ C．
【分析】设扇子所在圆的半径为，根据扇面的面积表示出，然后表示n°的扇面面积，得到m与n的关系解题即可．
17．（2024九上·长沙期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心
【答案】B
【解析】【解答】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故此选项错误，不符合题意；
B、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故此选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故此选项错误，不符合题意；
D、平分弧的弦不一定经过圆心，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据圆心相同，半径不相等的圆同心圆，可对A作出判断；利用等圆的定义，可对B作出判断；再根据在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，可对C作出判断；利用垂径定理的推论，可对D作出判断.
18．（2024九上·福州期末）下列事件，是必然事件的是（ ）
A．经过有信号灯的路口，遇到红灯
B．打开电视频道，正在播体育新闻
C．掷一次骰子，向上一面点数大于0
D．射击运动员射击一次，命中十环
【答案】C
【解析】【解答】解：A、经过有信号灯的路口，遇到红灯为随机事件，则本项不符合题意；
B、打开电视频道，正在播体育新闻为随机事件，则本项不符合题意；
C、掷一次骰子，向上一面点数大于0为必然事件，则本项符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中十环为随机事件，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据必然事件的定义：在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，则该事件叫作必然事件，据此逐项分析即可.
19．（2024九上·五华期末）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25° B．35° C．15° D．20°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠CAB=25°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=25°，
故答案为：A．
【分析】根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，从而得出∠CAB=25°，即可得解。
20．（2023九上·期末）已知二次函数y=ax2+2ax +3a2+ 3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且当- 2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）．
A．1 B．或 C． D．1-2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+2ax +3a2+ 3 =a（x+1）2+3a2 -a+ 3(其中x是自变量) ，
∴对称轴是直线x=-1.
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴a＞0.
∴当-2≤x≤1时，y随x的增大而减小.
∵当-2≤x≤1时，y的最大值为9，
∴当x=1时，y取得最大值，即y=a+2a+3a2+3=3a+3a2+3=9.
整理可得3a2+3a-6=0，解得a=1或a=-2（不合题意，舍去).
故答案为：A.
【分析】先写出二次函数的顶点式，然后求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断a＞0，接着当-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得到当x=1时，y=3a+3a2+3=9，最后即可求出a的值．
21．（2022九上·翁源期末）如图，抛物线的对称轴为直线，经过点．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点和，则；⑤（为任意实数）．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
当时，，
，错误；
抛物线与轴有两个交点，
，正确；
抛物线经过点， 对称轴为直线，
抛物线经过点，
，
，
，正确；
观察图象可得当时，有最大值，
，
，错误；
当时，，
当时，，
当时，有最大值，
，
，正确，
故答案为：C.
【分析】由抛物线图象的开口方向可得a<0，利用对称轴可得b>0，再根据抛物线图象与y轴的交点坐标得到c>0，从而证得错误；由抛物线图象与x轴有两个交点可得可判定正确；根据抛物线图象的对称性得到抛物线经过点，将点坐标代入函数解析式求得3a+c=0，判定正确；利用抛物线图象的增减性可判定错误；观察图象可得当x=1时，y有最大值，进而判定正确.
22．（2025九上·慈溪期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是 ，则该正多边形边数是（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得，
，
解得n=9，
经检验，n=9是原方程的解，
∴这个正多边形是正九边形，
故答案选：B.
【分析】根据正多边形的性质，可知正多边形的每条边所对的圆心角都相等，即可求解.
23．（2025九上·定西期末）如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点．
由旋转的性质可知四边形为长方形，
，
，
，
，
旋转角可以为，
故选：A．
【分析】
由旋转和矩形的性质知，再由两直线平行同旁内角互补得即可．
24．（2024九上·拱墅期末）如图，中，，，射线平分，交边于点，过，作射线的垂线，垂足分别是点，，将的面积设为，那么的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵平分，
，
又∵，
，
，
，，
，
∴，
∵的面积，
∴的面积．
故答案为∶．
【分析】先根据从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，得出，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，即可求解.
25．（2024九上·八步期末）如图，菱形对角线相交于原点点坐标为，点在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD对角线相交于原点O，∠DAB＝120°，
∴∠BAO＝∠BAD＝60°，∠AOB＝90°，
∴，
过点A作AN⊥x轴，垂足为N，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，如图所示：
∵∠AON＝∠OBM，∠ANO＝∠OMB＝90°，
∴△ANO∽△OMB，
∴，
∵S△OMB＝×2×3＝3，
∴S△ANO＝S△OMB＝×3＝1，
∴|k|＝2S△ANO＝2，
∵图象在二象限，
∴k＝ 2，
故答案为：B．
【分析】过点A作AN⊥x轴，垂足为N，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，先证出△ANO∽△OMB，可得，再求出S△ANO＝S△OMB＝×3＝1，利用k的几何意义可得|k|＝2S△ANO＝2，最后求出k的值即可.
26．（2024九上·百色期末）定义：若两个函数图象与x轴有一个共同点的交点，我们就称这两个函数为“共根函数”.如与的图象与x轴的共同交点为（2，0），那么这两个函数就是“共根函数”.若与为“共根函数”，则m的值为 （ ）
A．1 B．1或2 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【解析】【解答】解：令=0，则x=0或x=2，
∴函数与x轴的交点为(0，0)，(2，0)，
当两个函数同时过点(0，0)时，有0=0 0+m 1，解得m=1，
当两个函数同时过点(2，0)时，有0=4 6+m 1，解得m=3，
故答案为：B
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点得到函数与x轴的交点为(0，0)，(2，0)，进而根据二次函数图象上的点的坐标特征结合题意即可求解。
27．（2024九上·织金期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的五个点A，B，C，D，E都在横线上，若线段，则线段CD的长是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】【解答】过点A作平行横线的垂线，交点E所在的平行横线于点F，交点D所在的平行线于点G，交点C所在的平行线于点H，如图所示：
∴，
∴，
解得：AD=6，
∴CD=AD-AC=6-4=2，
故答案为：B.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得AD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可.
28．（2024九上·黔东南期末）抛物线与x轴的公共点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】【解答】将y=0代入可得，
∵△=b2-4ac=42-4×（-1）×（-4）=16-16=0，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
∴抛物线与x轴的公共点个数是1个，
故答案为：B.
【分析】将二次函数与x轴的交点个数的问题转换为一元二次方程根的判别式分析求解即可.
29．（2024九上·禅城期末）在平面直角坐标系中，已知A(6，-3)，B(3，9)，连接OA、OB、AB，以原点O为位似中心，位似比为，把△OAB缩小，则点B 的对应点B'的坐标为（ ）
A．(1，3) B．(-1，-3)
C．(1，3)或(-1，-3) D．(2，-1) 或(-2，1)
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
点B 的对应点B'的坐标为或
即 (1，3)或(-1，-3)
故答案为：C
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
30．（2024九上·南山期末）下面说法正确的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B．对于反比例函数，y随x的增大而减小
C．关于x的方程是一元二次方程
D．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形
【答案】D
【解析】【解答】解：A 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，故A项不符合题意；
B 对于反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B项不符合题意；
C 关于x的方程，当a≠0时，才是一元二次方程，故C项不符合题意；
D 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形，故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可判断A；根据反比例函数的性质可判断B；根据一元二次方程的定义可判断C；根据菱形的判定可判断D.
31．（2024九上·昭通期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论中，不正确的是（ ）
A．AB＝4 B．b2﹣4ac＞0 C．ab＜0 D．a﹣b+c＜0
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），
∴A（﹣3，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以选项A正确，不合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以选项B正确，不合题意；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴ab＞0，所以选项C不正确，符合题意；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以D正确，不合题意．
故答案为：C．
【分析】抛物线与x轴有2个交点时b2-4ac>0，可判定B；根据抛物线的对称性质确定A点坐标，可判定A；由抛物线开口向上得到a>0，结合对称轴可判定C；根据x=-1时，y<0可判定D．
32．（2024九上·红塔期末）在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为，每次试验该事件的概率为．下列说法错误的是（ ）
A．的值为0.5
B．随着试验次数的增加，的值可能发生变化
C．当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定
D．试验次数越多，的值越大
【答案】D
【解析】【解答】解：A、P的值为0.5，故选项不符合题意；
B、随着试验次数的增加，的值可能发生变化，故选项不符合题意；
C、当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定，故选项不符合题意；
D、试验次数越多，在附近摆动，并趋于稳定，故选项符合题意.
故选：D.
【分析】大量反复试验的时候，某个事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小有可能发生.
33．（2024九上·朝天期末）如图，已知是的弦，，连接并延长交于点，则的度数是（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，，，
，，
，
，
故答案为：C
【分析】如图，连接AO，根据等腰三角形的性质可得，，进而可得的度数，再根据圆周角定理即可求解。
34．（2024九上·蓬江期末）已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∵该二次函数的开口向上，对称轴为直线，且只经过三个象限，
∴，即，
∴m的取值范围为；
故答案为：A
【分析】先根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程根的判别式得到，从而得到，再根据二次函数的图象即可得到该二次函数的图象与y轴交于正半轴或过原点，进而求出，从而即可求解。
35．（2024九上·桂林期末）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵
∴
故答案为：C
【分析】先根据黄金分割点得到，进而根据正方形和长方形的面积即可求解。
36．（2024九上·封开期末）下列函数在第一象限中，的值随着的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、对于，第一象限中，y的值随着x的增大而增大，不符合题意；
B、对于，第一象限中，y的值随着x的增大而减小，符合题意；
C、对于，第一象限中，y的值随着x的增大而增大，不符合题意；
D、对于，第一象限中没有函数图象，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质结合题意对选项逐一判断即可求解。
37．（2024九上·乌鲁木齐期末）已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1是它们的对应中线，若， 则 ＝（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解： ∵△ABC∽△A1B1C1 ， B1D1 和BD是它们的对应中线，
∴ △ABC，△A1B1C1的相似比为
∴
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的对应边上的中线比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可。
38．（2024九上·昌邑期末）为备战中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷2张，藏文试卷3张，英语试卷1张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是，
故答案为：B
【分析】根据简单事件的概率结合题意即可求解。
39．（2024九上·汝城期末）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【解析】【解答】解：
A、函数图象的开口向上，A不符合题意；
B、函数图象的顶点坐标是，B不符合题意；
C、该函数无最大值，C不符合题意；
D、当时，随的增大而增大，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意即可求解。
40．（2024九上·市南区期末）将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据“左加右减、上加下减”的原则，
将抛物线 向左平移1个单位所得直线解析式为：
，∴ ；
再向下平移3个单位为： ，∴ ．
故答案为：D
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解。
41．（2024九上·杭州期末）如图，已知，，，是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，，若的半径为，则在，值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，如图所示：
∵，
∴，
∴∠E+∠F=90°，
∵AE，BF是⊙O的直径，⊙O的半径是10，
∴AE=BF=20，∠ADE=∠FCB=90°，
∴∠E+∠A=90°，
∴∠A=∠F，
在△ADE和△FCB中，
∴△ADE≌△FCB(AAS)，
∴DE=BC=x，
在Rt△ADE中，AD=y，DE=x，AE=20，
由勾股定理得：DE2+AD2=AE2，
即x2+y2=400，
∴在x，y值的变化过程中，代数式x2+y2的值不变，
故答案为：C.
【分析】过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，依题意得∠E+∠F=90°，∠E+∠A=90°，则∠A=∠F，由此可依据“AAS”判定△ADE和△FCB全等，则DE=BC，然后在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出答案.
42．（2024九上·凉山期末）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，即，故①错误；
∴，故②正确；
∵二次函数的图象过点，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，故③正确；
④若点在该函数图象上，则；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴在图象上的对称的点坐标为，
∵当时，y随x的增大而减小，且，
∴，故④正确；
∵，
∴二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，
∵方程的两根是二次函数与直线的两个交点的横坐标，如图：
由函数图象可知：，故⑤正确；
综上，正确的结论有4个．
故选：C．
【分析】根据函数图象可得二次函数的图象开口向下，则，与y轴的交点在y轴的正半轴，即当x=0时，得到的函数值，再抛物线的对称轴为直线，则，根据a，b，c的符号情况，可判定①②；
由图象过点可得，从而可得，再结合可得，然后代入即可判定③；
先根据对称性可得在图象上的对称的点坐标为，再利用二次函数的增减性，当x大于2时，y随着x的增大而减小，即可得④；方程的两根是二次函数与直线的两个交点的横坐标，结合函数图象即可判断⑤是正确的．
43．（2024九上·南山期末） 如图，在矩形 ABCD 中，以 A 为圆心，AD 长为半径画圆弧，交 BC 于点 E，以 E 为圆心 AE 长为 半径画圆弧与 BC 的延长线交于点 F，连接 AF 分别与 DE、DC 交于点 M、N，连接 DF，下列结论 中下列结论中错．误．的是（ ）
A．四边形 AEFD 为菱形 B．CN=CE
C．ΔCFN ∽ ΔDAN D．ΔABE ≌ΔDC
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意知：EF=AE=AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥EF，∠BCD=∠ABC =90°，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE =FE，
∴四边形AEFD是菱形，
故A不符合题意；
若CE=CN，
∵四边形AEFD是菱形，
∴FM⊥DE，
∴∠EDC+∠DEC=∠CFN+∠DEC =90°
∴∠EDC=∠CFN，
∵∠ECD=∠NCF=90°，
∴△DEC≌△FNC(AAS)，
∴DC = CF，
但DC和CF不一定相等，
因此△DEC和△FNC不一定全等，
∴CE和CN不一定相等，
故B符合题意；
∵AD∥CF，
∴△CFN∽△DAN，
故C不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠DCF=180°-90°=90°，
∴∠ABE=∠DCF=90°，
∵四边形AEFD是菱形，
∴AE= DF，
∵AB =DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质推出AD∥EF，∠BCD=∠ABC=90°，AB=CD，由作图得到EF=AE=AD，由菱形的判定，推出四边形AEFD是菱形，由△DEC和△FNC不定全等，得到CE和CN不一定相等，由AD∥CF，推出△CFN∽△DAN，由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF.
44．（2024九上·鄞州期末）如图，点G是的重心，过点G作分别交AB，AC于点M，N，过点N作交BC于点D，则四边形BDNM与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
连接AG并延长交BC于E，连接BG交AC于F，连接EF，
∴EF是中位线，
∴EF//AB，AB=2EF.
∴∠GAB=∠GEF，∠GBA=∠GFE，
∴△ABG∽△EFG.
∴，
∴
∵MN//BC，
∴∠ANM=∠ACB，∠AMN=∠ABC，∠AGM=∠AEB，
∴△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.
∴，
∴
∵ND//AB，
∴∠CND=∠CAB，∠CDN=∠CBA，
∴△CND∽△CAB.
∴
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】根据 点G是的重心，可得AG：GE=2：1，根据MN//BC，得△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.，根据ND//AB，得△CND∽△CAB.于是可得，，根据相似三角形面积比=相似比的平方，得到几个三角形的面积比，从而可得四边形BDNM和△ABC的面积比.
45．（2024九上·番禺期末）抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．在下列四个结论中：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则；其正确结论的序号是（ ）．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵图象经过(1，1)，
∴a+b+c=1>0
故①正确
∵c<0
抛物线与y轴的负半轴有交点，
如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在（1，0）的左侧
∵(n，0)中，n≥3
∴抛物线与x轴的一个交点一定在(3，0)或(3，0)的右侧，
∵抛物线的开口一定向下，即a<0
把(1，1)代入y=ax2+bx+c得：a+b+c=1
即b=1-a-c
∵a<0，c<0，
∴b>0
∴
∴方程ax2+bx+c=0的两根之积大于0
即mn >0
∵n≥3，
∴m>0
∴
即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点（1，1)的上方或者右上方
∴
∵4a<0，
∴，②正确
∵m>0.
∴当n＝3时，
∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴（1，1)到对称轴的距离大于(2，t)到对称轴的距离
∵a<0，抛物线开口向下
∴距离抛物线越近的函数值越大
∴t>1，③错误
方程ax2+bx+c=x可变为ax2+(b-1)x+c=0
∵方程有两个相等的实数解，
∴△=(b-1)2-4ac=0
∵把(1，1)代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1-b=a+c
∴（a+c)2-4ac=0
即a2+2ac+c2-4ac =0，
∴(a-c)2=0
∴a=c
∵（m，0)，(n，0)在抛物线上，
m，n为方程ax2+bx+c=0的两个根
∴
∴
∵n≥3
∴，解得：，④正确.
综上，正确的结论有：①②④
故答案为：B
【分析】根据二次函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
46．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标系中，点、都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，作轴于点，连接、，并延长交轴于点若，的面积是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据题意，设 B的坐标为（m，）
即
故选：C
【分析】根据题意设B的坐标，根据已知三角形的面积列出等量关系式，三角形的高即是B的横坐标，可求出三角形的底CE的表达式，根据平行线平分线段成比例定理，由已知AB=2BC的关系式可推导出B的纵坐标和底边CE的比例关系，k值可求。
47．（2024九上·江夏期末）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得：此方程的根的判别式 ，
解得 ，
是一元二次方程 的一个根，
，即 ，
对于任意实数m， 均成立，
令 ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为 ，
即 的最大值等于 ，
故答案为：A.
【分析】由 x=m是方程的根和一元二次方程根的判别式可得m，n的范围和，根据二次函数的性质可得最大值.
48．（2024九上·绍兴期末）如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴由①+②得：，
当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，
过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在等腰中，由勾股定理得，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴
∴，
∴，
由对称性可知：当点在右侧时，此时，如图：
则，
故答案为：D
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆的判定，勾股定理． 取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则 ，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，， 再利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可推出：，进而可推出当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，过点作于点，利用勾股定理可推出， 再通过计算可得：， 再结合， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，由勾股定理得，故，则，由对称性可知：当点在右侧时，此时， 则，进而可选出答案．
49．（2024九上·仙居期末）已知m，n为整数，抛物线（b为常数）经过点，．现有两个命题：①若，则与可能相等；②若，则与可能相等．则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都是真命题 B．①，②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，①当时，，，
若，则，
∴，即，
∵时，等式不成立，
∴，
∵m，n为整数，
∴若，则，不合题意，舍去；
若，则，不合题意，舍去，
综上，若，则与不可能相等，故①是假命题；
②当时，，，
若，则，
∴，即，
∵时，等式不成立，
∴，
∵m，n为整数，
∴若，则，符合题意；
若，则，符合题意，
综上，若，则与可能相等，故②是真命题；
故选：D．
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组、判断命题的真假. 当时，，， 根据题意可列出方程， 通过因式分解可得， 进而可推出， 分两种情况：若，若，解方程可求出m和n的值，再结合 m，n为整数， 可确定m和n的值，据此可判断说法 ① ； 当时 ，根据题意可列出方程， 通过因式分解可得， 进而可推出， 分两种情况：若，若，解方程可求出m和n的值，再结合 m，n为整数， 可确定m和n的值，据此可判断说法 ② ，再结合选项可选出答案.
50．（2024九上·绍兴期末）如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹为以为直径的，连接，
∵，
∴当点在的延长线上时，的值最大，
∵是的直径，，弦，
∴，
∴是等边三角形，
，
取的中点，连接，
则，，
在中，，
，
，
∴的最大值为，
故答案为：A．
【分析】连接，首先得到点在以为直径的上运动，连接，即可得到当点在的延长线上时，的值最大，然后根据勾股定理求出长解题．
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