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【50道解答题·专项集训】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．（2025九上·鄞州期末）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，，风筝的骨架由3条竹棒、、组成，其中，分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究：
（1）设筝面的面积为，骨架的长度为，求关于的函数关系式；
（2）在图3中画出（1）中关于的函数图象；
（3）利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围．
2．（2025九上·上虞期末）如图，，，，四张卡片上分别写有，，，四个实数．
（1）从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率．
（2）从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率．
3．（2025九上·安州期末）元宵节是中国的传统节日，起源于多年前的西汉．元宵以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰果仁等为馅用糯米粉包成球形，寓意团团圆圆．某班学生在元宵节前组织了一次综合实践活动，制作爱心元宵送给敬老院的老人．将规定时间内所制作的不同馅的元宵的数量进行了统计，并绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图（其中，，，D，E，F分别表示以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰和果仁为馅的元宵）．请解答下列问题：
（1）请你补全上面两个统计图；（不写过程）
（2）求出扇形统计图中种类E所对应的圆心角的度数；
（3）现取A，B两种元宵各两个放入清水中煮，煮熟后，小明随机取出两个进行品尝，用列表或画树状图的方法说明馅料不同的概率．
4．（2025九上·东阳期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当点在第二象限内时，求的取值范围．
（3）若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围．
5．（2025九上·西湖期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④．
（1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长．
6．（2025九上·湖州期末）如图，在中，半径，．
（1）求扇形的面积．
（2）求的度数．
7．（2024九上·永康期末）手工艺品作为非物质文化遗产的物质性代表，蕴含着中华民族的智慧和艺术精神．以下是几幅金华市非遗手工艺品的图片：武义大漆（记作），永康锡雕（记作），磐安竹编（记作），浦江剪纸（记作）
（1）小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是_________．
（2）小金和小华分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传金华的非物质文化遗产，请用树状图或列表法分析，求两人恰好选中同一幅图的概率．
8．（2024九上·凉山期末）在中，，点是线段上一个动点（不与点重合），，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求的大小（用含的代数式表示）；
（2）探究线段之间的数量关系，并证明．
9．（2024九上·惠州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点O，B对应点分别是E，F．
（1）请在图中画出；
（2）求出点B所经过的路径；
（3）求扫过的面积．
10．（2024九上·越秀期末）如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB、CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB//MN，CD⊥MN．
（1）如果像高MN是35mm，焦距CL是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物的距离LD是多少？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？
11．（2024九上·四平期末）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
12．（2024九上·嵊州期末）有一个转盘如图，让转盘自由转动．
（1）若转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率．
（2）若转盘转动两次，求一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率（用树状图或列表法表示）．
13．（2024九上·上城期末）二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为．
（1）求点的坐标和的值；
（2）当时，直接写出的取值范围．
14．（2024九上·八步期末） 近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”．某头盔专卖店购进一批成本为30元的头盔、在销售中，通过分析销售行情发现这种头盔的月销售量（个）与售价（元/个）满足一次函数，当售价为45元时，销售量为110件，当售价为60元时，销售量为80件．
（1）设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为元，求与之间的函数解析式；
（2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润为多少元？
15．（2024九上·乐山期末）如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．
（1）设，矩形的周长为，求关于的函数解析式；
（2）当为正方形时，求正方形的面积．
16．（2024九上·石家庄期末）图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子，、、、、、分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．
（1）小球经过通道的概率是 ；
（2）如果向放入一个同样的小球，小球落在三个小槽中的概率分别是多少？用列表或画树状图的方法进行说明．
17．（2024九上·吴桥期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
18．（2024九上·蓬江期末）为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住，如图所示．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为．
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是多少？
19．（2024九上·金昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为 ；
（2）求AC＝8，BC＝6，求AF的长．
20．（2024九上·渠县期末）如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，四边形的面积等于，求的长
21．（2024九上·绵阳期末）2025年四川将迎来首届不分文理的“3+1+2”新高考，其中“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语3门为必考科目；“1”为首选科目，考生从物理与历史2门学科中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，考生的文化总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择考科目成绩组成，总分750分．
（1）在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中随机选择2门，恰好有地理学科的概率是多少？（用列举法进行分析）
（2）由首选和再选科目组成的选择考3门学科共有 种不同的组合；
（3）小明同学对物理和生物很有兴趣，若在选择考3门学科的所有组合中随机选择一种组合，则该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率是 ．
22．（2024九上·耒阳期末）某品牌的服装进价为每件50元，调查市场发现，售价不低于50元销售时，日销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，相关数据如下表：
售价x（元/件） 55 60 65 70 …
日销售量y（件） 70 60 50 40 …
请根据题意，完成下列问题：
（1）销售该品牌服装每件的利润是 元（用含有x的式子表示）；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）设销售该品牌服装的日利润为w元，那么售价为多少时，当日的利润最大，最大利润是多少？
23．（2024九上·温江期末）如图，在中，，，为上的点，与，分别交于点，，，作，垂足为，交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求的长．
24．（2024九上·威远期末）如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且．
（1）求证：；
（2）若与的周长之比是，，求的长．
25．（2024九上·九台期末）如图，四边形、、都是正方形．
（1）求证：；
（2）求的度数．
26．（2024九上·中山期末）随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙墙的最大可用长度为米，用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为平方米，求此时边的长；
（2）可以围成的菜地面积最大是多少？
27．（2024九上·金平期末）已知一品牌月饼的成本价每盒80元，市场调查发现中秋节前，该种月饼每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：（）.设这种月饼每天的销售利润为w元.
（1）求w与x的函数关系式；
（2）若该商店销售这种月饼要想每天获得销售利润1400元，应如何定价？
（3）该种月饼的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
28．（2024九上·封开期末）2024年春节即将到来，小娜家购买了4个灯笼，灯笼上分别写有“欢”、“度”、“春”、“节”（外观完全一样）．
（1）小娜抽到“2024年”是 事件，“欢”字被抽中的是 事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）．小娜从四个灯笼中任取一个，取到“春”的概率是 ；
（2）小娜从四个灯笼中先后取出两个灯笼，请用列表法或画树状图法求小娜恰好取到“春”、“节”两个灯笼的概率．
29．（2024九上·曲靖期末）某商场销售一批衫每件成本为30元，销售人员经调查发现销售单价为 80元时，每月的销售量为40件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本
（1）求该衫每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的数关系式；（不需要写出x取值范围）
（2）商场的销售人员发现：当该衬衫每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况请你测算一下，该商场如何定价，可使每月利润最大？
30．（2024九上·桐乡市期末）如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
31．（2024九上·双阳期末）抛物线y＝ax2+bx﹣4上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 …
根据上表填空或求值：
（1）抛物线与y轴的交点坐标是 ；
（2）求a和b的值；
（3）当x＝﹣3时，则y的值为 ．
32．（2024九上·都江堰期末）如图，点分别在三边上，且，．
（1）求的长；
（2）若的面积为4，求四边形的面积．
33．（2024九上·揭阳期末）已知：如图，四边形ABCD中，为对角线BD的中点，点在边AD上，CF交BD于点.
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2），求证：.
34．（2024九上·双辽期末）如图，矩形中，，，为边中点，，绕点旋转，其中点，在矩形的边上.在旋转过程中，请探究：
（1）矩形的边落在内部的线段长的和是否发生变化？为什么？
（2）矩形与重叠部分的面积是否发生变化？为什么？
35．（2024九上·惠城期末）“十一”期间，某花店以每盆20元的价格购进一批花卉、市场调查反映：该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆、若涨价销售，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆．
（1）若该花卉每天的销售利润为200元，且销量尽可能大，每盆花卉售价是多少元？
（2）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过6元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？
36．（2024九上·贵州期末） 已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
37．（2024九上·惠东期末）图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示．
（1）的度数为 ；
（2）在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长；
（3）请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度．
38．（2024九上·临海期末）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标．
（3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
39．（2024九上·济南期末）如图，，交⊙于点、，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
40．（2024九上·瑞安期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，．
（1）求的度数．
（2）若，，求阴影部分的面积．
41．（2024九上·杭州期末）已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
42．（2024九上·湘潭期末）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与相交于点，且点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求的面积；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式．
43．（2024九上·仁寿期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．
（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．
44．（2024九上·宁波期末）如图，在中，，，，D为AB边上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F.
（1）求证：.
（2）若，求与的面积比.
（3）设，四边形DEFB的面积为y，求y关于x的函数表达式并求其最大值.
45．（2024九上·河东期末）落实五育并举，加强劳动教育，某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜成本为50元.乙种蔬菜的种植成本与其种植面积之间的关系如下图所示.设乙种蔬菜种植成本为（元），乙种蔬菜的植面积为（其中）.
（1）根据题意，填写下表：
种植面积 200 400 500 600 700
乙种蔬菜种植成本（元） 20 ① ② 40 ③
（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？
46．（2023九上·楚雄期末）已知抛物线经过点．与y轴交于点A．其顶点为B．设k是抛物线与x轴交点的横坐标，
（1）求b的值．
（2）求的面积．
（3）求代数式的值．
47．（2025九上·北仑期末） 已知二次函数 (a为常数且a≠0).
（1）当函数图象经过点(4，0)，求该二次函数的表达式.
（2）若a>0，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明.
（3）若该函数图象上有两点 其中 若 求证：
48．（2024九上·南山期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点 D 作 DE // AC，交 AB 于点 E，在 AC 上取一点 F， 连接 DF，使得∠FDC=∠B。
（1）求证：四边形 AEDF 是菱形。
（2）若 FC＝4，BE＝25，AD＝12，求 AE 的长度和四边形 AEDF 面积。
49．（2024九上·红塔期末）已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
（1）求的值；
（2）若点（其中）在抛物线上，求的值．
50．（2024九上·乾安期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元， 每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使得利润最大？
小明同学， 为了完成以上问题，小明分析： 调整价格包括涨价和降价两种情况．小明先探索了涨价的情况， 下面是小明的思路， 请你帮助小明完善以下内容：
（1）假设每件涨价x元，则所得利润y与x的函数关系式为 ； 其中x的取值范围是 ； 在涨价的情况下，定价 元时，利润最大，最大利润是 ．
（2）请你参考小明（1）的思路继续思考，在降价的情况下，求最大利润是多少？
（3）在（1）（2）的讨论及现在的销售情况，回答商家如何定价能使利润能达到最大？
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学九年级上册期末总复习
1．（2025九上·鄞州期末）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，，风筝的骨架由3条竹棒、、组成，其中，分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究：
（1）设筝面的面积为，骨架的长度为，求关于的函数关系式；
（2）在图3中画出（1）中关于的函数图象；
（3）利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围．
【答案】（1）解：，
是的垂直平分线，
分别是和的中点，
，
；
（2），函数图象如图所示，
（3）当时，
，解得或48，
由得，，解得，
当时，箏面的面积不超过．
【解析】【分析】本题考查了二次函数的几何应用，涉及函数关系式的建立、函数图象的绘制及利用图像分析问题.
（1）根据题意可得是的垂直平分线，根据筝形的面积公式，结合竹棒总长的条件建立二次函数关系式；
（2）根据二次函数的性质绘制函数图象；
（3）根据筝面的面积为，即，求出x的值，结合函数图象和题目条件，分析得出骨架BD的长度范围，确定x的值即可.
（1）解：，
是的垂直平分线，
分别是和的中点，
，
；
（2），函数图象如图所示，
（3）当时，
，解得或48，
由得，，解得，
当时，箏面的面积不超过．
2．（2025九上·上虞期末）如图，，，，四张卡片上分别写有，，，四个实数．
（1）从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率．
（2）从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率．
【答案】（1）解：∵，，，四个实数中，无理数有，，共2个，∴从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率为；
（2）解：列表如下：
乘积
∴共有12种等可能得情况，其中乘积是负数的有8种，
∴从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率．
【解析】【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，无理数的概念以及概率公式的应用．
（1）先根据无理数的概念判断无理数的个数，再用概率公式计算即可；
（2）通过列表或树状图列出所有取两张卡片的可能情况，找出乘积为负数的情况数，最后用概率公式求解．
（1）解：∵，，，四个实数中，无理数有，，共2个，
∴从中任取一张卡片，求取到的卡片上的数是无理数的概率为；
（2）解：列表如下：
乘积
∴共有12种等可能得情况，其中乘积是负数的有8种，
∴从中任取两张卡片，求取到的卡片上的数的乘积是负数的概率．
3．（2025九上·安州期末）元宵节是中国的传统节日，起源于多年前的西汉．元宵以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰果仁等为馅用糯米粉包成球形，寓意团团圆圆．某班学生在元宵节前组织了一次综合实践活动，制作爱心元宵送给敬老院的老人．将规定时间内所制作的不同馅的元宵的数量进行了统计，并绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图（其中，，，D，E，F分别表示以芝麻、豆沙、核桃仁、枣泥、玫瑰和果仁为馅的元宵）．请解答下列问题：
（1）请你补全上面两个统计图；（不写过程）
（2）求出扇形统计图中种类E所对应的圆心角的度数；
（3）现取A，B两种元宵各两个放入清水中煮，煮熟后，小明随机取出两个进行品尝，用列表或画树状图的方法说明馅料不同的概率．
【答案】（1）解：规定时间内所制作的不同馅的元宵的数量为：（个），
则（个），
，
，
补全两个统计图如下：
；
（2）解：扇形统计图中种类所对应的圆心角的度数为；
（3）解：画树状图如图：
共有12种等可能的情况，其中馅料不同的情况有8种，
∴馅料不同的概率为．
【解析】【分析】
（1）根据样本容量=频数÷百分比并结合A组的频数和百分比可求出制作元宵的总数，根据样本容量等于各小组频数之和求得C组的频数；根据百分比等于频数÷样本容量可分别求得C组、E组的百分比，然后可将条形图和扇形图补充完整；
（2）求扇形统计图中所对应的圆心角度数，先算出的占比，再用乘以该占比，即由条形图知的数量是，占比为，所以圆心角为；
（3）求随机取出两个馅料不同的概率，用列表或画树状图的方法列出所有可能的结果，再找出馅料不同的结果数，最后根据概率公式计算即可求解．
（1）解：规定时间内所制作的不同馅的元宵的数量为：（个），
则（个），
，
，
补全两个统计图如下：
；
（2）解：扇形统计图中种类所对应的圆心角的度数为；
（3）解：画树状图如图：
共有12种等可能的情况，其中馅料不同的情况有8种，
∴馅料不同的概率为．
4．（2025九上·东阳期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当点在第二象限内时，求的取值范围．
（3）若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合，
∴，点Q的横坐标为3，
∴，
将代入得，，
抛物线的函数表达式；
（2）解：令，则．
或．
解得，．
所以抛物线与轴的交点坐标为，．
点在第二象限，
，
，
点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
当时，，当时，，
；
（3）解：令，
解得或，
，
，
解得，
，
所以符合条件的两种情况如图所示：
①当点、位于对称轴两侧时，如图1，
∴
解得，
∴；
②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2
，
解得：，
综上所述：或．
【解析】【分析】（1）由题易得，再代入二次函数y=ax2-2ax+3求出a的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，可得点A、B的坐标，由P在第二象限可知，进而根据不等式性质得到，再根据增减性求解即可；
（3）由易得0，再分类讨论，①当点、位于对称轴两侧时，②当点P、Q位于对称轴同侧时，利用增减性和对称性建立不等式求解即可．
（1）∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合，
∴，点Q的横坐标为3，
∴，
将代入得，，
抛物线的函数表达式；
（2）解：令，则．
或．
解得，．
所以抛物线与轴的交点坐标为，．
点在第二象限，
，
，
点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
当时，，当时，，
；
（3）令，
解得或，
，
，
解得，
，
所以符合条件的两种情况如图所示：
①当点、位于对称轴两侧时，如图1，
∴
解得，
∴；
②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2
，
解得：，
综上所述：或．
5．（2025九上·西湖期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④．
（1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长．
【答案】（1）解：选择①，
∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】
（1）由AA判定三角形相似知，可选择①即可得证；
（2）由题意可得，，再由相似比可得，再代入计算即可．
（1）解：若选择①，
∵，，
∴；
若选择②，
∵，，
∴，
∵，
∴；
若选择③，
∵，
∴，
∵，
∴；
若选择④，
∵，而夹角不一定相等，
∴与不一定相似；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．（2025九上·湖州期末）如图，在中，半径，．
（1）求扇形的面积．
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴扇形的面积为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可；
(2)根据圆周角定理进行计算即可.
7．（2024九上·永康期末）手工艺品作为非物质文化遗产的物质性代表，蕴含着中华民族的智慧和艺术精神．以下是几幅金华市非遗手工艺品的图片：武义大漆（记作），永康锡雕（记作），磐安竹编（记作），浦江剪纸（记作）
（1）小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是_________．
（2）小金和小华分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传金华的非物质文化遗产，请用树状图或列表法分析，求两人恰好选中同一幅图的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下，
A B C D
A
B
C
D
共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种，
两人恰好选中同一幅图的概率为．
【解析】【解答】
（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中磐安竹编的结果有种，
小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是；
【分析】
（1）直接利用简单事件的概率计算公式求解即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中磐安竹编的结果有种，
小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是；
（2）解：列表如下，
A B C D
A
B
C
D
共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种，
两人恰好选中同一幅图的概率为．
8．（2024九上·凉山期末）在中，，点是线段上一个动点（不与点重合），，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求的大小（用含的代数式表示）；
（2）探究线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴
（2）解：线段之间的数量关系是．证明如下：
如图：过点D作，交于点F，
∵在中，，
∴，
∴中，，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
由（1）易知，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴线段，，之间的数量关系是
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，因为CD绕D旋转了90°得到DE，即∠CDE=90°，根据角度之间的等量关系即可解答；
（2）要探究线段的数量关系，需要将其放入同一个三角形或同一个线段上来探究，通过过点D作， 根据等腰三角形的性质、旋转的性质以及（1）的结论证得，得到BD=DF，BE=CF，而AC=BC=CF+BF=BE+BD.
（1）解：∵在中，，，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴．
（2）解：线段之间的数量关系是．
证明：如图：过点D作，交于点F，
∵在中，，
∴，
∴中，，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
由（1）易知，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴线段，，之间的数量关系是．
9．（2024九上·惠州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点O，B对应点分别是E，F．
（1）请在图中画出；
（2）求出点B所经过的路径；
（3）求扫过的面积．
【答案】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
由旋转的性质可得，
由题意得点B的运动路径长是以点A为圆心，长为半径且圆心角度数为的扇形弧长
点所经过的路径长为；
（3）解：如图所示，由题意得，扫过的面积即为扇形的面积加上的面积，由旋转的性质可得的面积等于的面积，
∴扫过的面积．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，利用网格即可得出点E、F，再顺次连接A，E，F即可；（2） 点B所经过的路径也就是以AB为半径，90°角为圆心角所对的弧长，首先根据网格由勾股定理可得出，根据旋转性质得出圆心角为90°，进而根据弧长计算公式即可求得点B所经过的路径；
（3）扫过的面积即为扇形的面积加上的面积，进而根据割补法即可得出扫过的面积．
（1）解：如图所示，就是所求作的三角形；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
由旋转的性质可得，
由题意得点B的运动路径长是以点A为圆心，长为半径且圆心角度数为的扇形弧长
点所经过的路径长为；
（3）解：如图所示，由题意得，扫过的面积即为扇形的面积加上的面积，
由旋转的性质可得的面积等于的面积，
∴扫过的面积．
10．（2024九上·越秀期末）如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB、CD为水平视线，根据物体成像原理知：AB//MN，CD⊥MN．
（1）如果像高MN是35mm，焦距CL是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物的距离LD是多少？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？
【答案】解：如图，
∵AB//MN，
∴△LMN∽△LBA，
∴．
（1）∵像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，
，解得LD=7，
∴拍摄点距离景物7米.
（2）拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，
∴，解得LC=70，
∴相机的焦距应调整为70 mm．
【解析】【分析】（1）根据AB//MN得△LMN∽△LBA，可得，再根据像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，代入可得答案.
（2）根据摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，得解出即可.
11．（2024九上·四平期末）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【答案】（1）解：由题意可得：y=4-0.5（x-2）=-0.5x+5（2≤x≤8），
∴（，且x为整数）.
（2）解：设每平方米种植的小番茄的产量为Mkg，
则M=（-0.5x+5）x==，
∴当x=5时，M取得最大值，最大值为12.5kg，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克.
【解析】【分析】（1）根据“每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克”，即可得求得函数表达式；
（2）设每平方米小番茄产量为M千克，由“产量=每平方米种植株数×单株产量”列出函数表达式，再根据二次函数的性质即可得出结论．
（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
（2）解：设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
12．（2024九上·嵊州期末）有一个转盘如图，让转盘自由转动．
（1）若转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率．
（2）若转盘转动两次，求一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率（用树状图或列表法表示）．
【答案】（1）解：转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率；
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一次落在白色，另一次落在灰色区域的有4种，
所以，一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率为．
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可．
（2）画树状图，得到所有的等可能结果，找到符合题意的结果数，根据概率公式解答即可．
（1）解：转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率；
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一次落在白色，另一次落在灰色区域的有4种，
所以，一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率为．
13．（2024九上·上城期末）二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为．
（1）求点的坐标和的值；
（2）当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：二次函数的对称轴为直线，点坐标为，
点的坐标为，
把点坐标代入得，，
（2）解：∵，二次函数的图象与轴交点为和，
当时，的取值范围为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）结合函数图象则可得到图象在x轴上方的自变量的值解题．
14．（2024九上·八步期末） 近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”．某头盔专卖店购进一批成本为30元的头盔、在销售中，通过分析销售行情发现这种头盔的月销售量（个）与售价（元/个）满足一次函数，当售价为45元时，销售量为110件，当售价为60元时，销售量为80件．
（1）设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为元，求与之间的函数解析式；
（2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式，
把代入解析式得：，
解得，
与之间的函数关系式；
；
（2）解：
，抛物线开口向下，
当时，，
当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润为2450元．
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出月销售量的函数解析式，再利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式即可；
（2）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，再求解即可.
15．（2024九上·乐山期末）如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．
（1）设，矩形的周长为，求关于的函数解析式；
（2）当为正方形时，求正方形的面积．
【答案】（1）解：设交于点，
矩形，
，，
，
，
关于的函数解析式为
（2）解：当为正方形时，
，
由（1）得：，，
，
，
，
即．
正方形的面积.
【解析】【分析】（1）设交于点，先根据矩形的性质得到，，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而代入数值得到，再结合题意即可求解；
（2）先根据正方形的性质得到，由（1）得，，进而即可列出一元一次方程，从而即可求解。
16．（2024九上·石家庄期末）图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆面表示钉板上的钉子，、、、、、分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．
（1）小球经过通道的概率是 ；
（2）如果向放入一个同样的小球，小球落在三个小槽中的概率分别是多少？用列表或画树状图的方法进行说明．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有4中等可能性的结果数，其中小球落到、、的结果数分别有1种，2种，1种，
∴小球落到、、的概率分别为。
【解析】【解答】解：由题意得小球经过通道的概率是，
故答案为：
【分析】（1）根据题意得B类型通道只有、，进而根据简单事件的概率即可求解；
（2）先根据题意画树状图，进而得到一共有4中等可能性的结果数，其中小球落到、、的结果数分别有1种，2种，1种，再根据等可能事件的概率即可求解。
17．（2024九上·吴桥期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD.
（2）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∴EC＝BC－BE＝5－3＝2，
∵△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴CD＝.
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°，进而结合题意进行角的运算得到∠BAE＝∠DEC，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BE，进而即可得到EC，从而根据相似三角形的性质得到CD。
18．（2024九上·蓬江期末）为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住，如图所示．若设绿化带的边长为，绿化带的面积为．
（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是多少？
【答案】（1）解：由题意得：，
∵且，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∵，且，
∴当时，绿化带的面积最大，最大值为；
答：当时，满足条件的绿化带面积最大，最大面积是．
【解析】【分析】（1）设绿化带的边长为，绿化带的面积为，先根据图形结合“绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住”即可得到y与x的二次函数关系式，且得到x的取值范围；
（2）根据题意求出二次函数的最值即可。
19．（2024九上·金昌期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为 ；
（2）求AC＝8，BC＝6，求AF的长．
【答案】（1）50°
（2）解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，∴AE＝AB－BE＝10－6＝4，
∴．
【解析】【解答】解：（1）在中，，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得的度数，根据旋转的性质，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）根据勾股定理求得AB的长主度，根据旋转的性质求出EF和AE的长度，再根据勾股定理求解即可．
20．（2024九上·渠县期末）如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，四边形的面积等于，求的长
【答案】（1）证明：是对角线的垂直平分线，
，，
∵，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：∵，菱形的面积等于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的定义可得，，再利用AAS证得，进而可得AE=CF，即可判断四边形是菱形；
（2）先根据菱形的面积计算公式求出EF的长，进而得到OF的长，再利用勾股定理求出CF的长，再证 得 ，代入数值计算出AB的长即可.
21．（2024九上·绵阳期末）2025年四川将迎来首届不分文理的“3+1+2”新高考，其中“3”为全国统考科目，即语文、数学、外语3门为必考科目；“1”为首选科目，考生从物理与历史2门学科中自主选择1门；“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门学科中自主选择2门，考生的文化总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择考科目成绩组成，总分750分．
（1）在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中随机选择2门，恰好有地理学科的概率是多少？（用列举法进行分析）
（2）由首选和再选科目组成的选择考3门学科共有 种不同的组合；
（3）小明同学对物理和生物很有兴趣，若在选择考3门学科的所有组合中随机选择一种组合，则该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率是 ．
【答案】（1）解：共有6种情况，思想政治、地理；思想政治、化学；思想政治、生物；地理、化学；地理、生物；化学、生物；
恰好有地理学科的情况有3种，
恰好有地理学科的概率是；
（2）12
（3）
【解析】【解答】解：（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种结果，
共有12种不同的组合.
故答案为：12.
（3）由（2）的树状图可知，恰好符合小明学科兴趣要求的由3种结果，
该组合恰好符合小明学科兴趣要求的概率为：.
故答案为：.
【分析】（1） 用列举法列出所有可能出现的结果，找出符合要求的结果即可求出恰好有地理学科的概率.
（2）画出树状图列出所有可能出现的结果即可求解.
（3）根据（2）中的树状图找出含物理和生物结果数，再利用概率公式计算即可.
22．（2024九上·耒阳期末）某品牌的服装进价为每件50元，调查市场发现，售价不低于50元销售时，日销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，相关数据如下表：
售价x（元/件） 55 60 65 70 …
日销售量y（件） 70 60 50 40 …
请根据题意，完成下列问题：
（1）销售该品牌服装每件的利润是 元（用含有x的式子表示）；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）设销售该品牌服装的日利润为w元，那么售价为多少时，当日的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：设直线的解析式为，根据题意，得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式．
（3）解：设销售该品牌服装的日利润为w元，根据题意，得
∵，
∴w有最大值，
∵，
故当时，w取得最大值，最大值为（元），
答：当销售单价为70元时，每天获利最大，最大获利800元．
【解析】【解答】解：（1） 销售该品牌服装每件的利润=售价-进价= (x-50)元，
故答案为：（x-50）；
【分析】（1）根据利润=售价-进价直接求解即可；
（2）任意选出x，y的对应值，代入一次函数表达式解二元一次方程组即可；
（3）由 日利润 =每件利润×日销售量可以列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可。
23．（2024九上·温江期末）如图，在中，，，为上的点，与，分别交于点，，，作，垂足为，交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
，，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：的半径，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
令，，
，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
【解析】【分析】(1)连接BE，根据圆周角定理得∠BEC=∠BDC=45°，由∠ACB=90°，得到△BCE是等腰直角三角形，即可求解；
(2)根据等腰直角三角形的性质求出， 利用同角的余角相等得∠BCG=∠A，因此tan∠BCG=tanA=，得到，令BG=x，CG=2x，由勾股定理得到，求出，得，，因为△DCG是等腰直角三角形，得到，因此，根据圆心角、弧、弦的关系得到BD=CF，因此得CF=BD=.
24．（2024九上·威远期末）如图，中，点，分别在边，上，平分，交，于点，，且．
（1）求证：；
（2）若与的周长之比是，，求的长．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
∴；
（2）解：由（1）知：
，
，
，
，
与的周长之比是，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再结合即可证出；
（2）先证出可得，再结合 与的周长之比是， 求出，最后将AE的长代入求出AC的长即可.
25．（2024九上·九台期末）如图，四边形、、都是正方形．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：设正方形的边长为，则，∴，
又∵，
∴；
（2）由得：，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）设正方形的边长为，根据勾股定理可得，则，可得出，再根据相似三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形的性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
26．（2024九上·中山期末）随着劳动教育的开展，某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙墙的最大可用长度为米，用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端设计了两个宽米的小门，便于同学们进入．
（1）若围成的菜地面积为平方米，求此时边的长；
（2）可以围成的菜地面积最大是多少？
【答案】（1）解：设菜地的宽为米，
则菜地的长为米．
根据题意得，
解得，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：此时宽为米；
（2）解：设菜地的面积为平方米，则：
依题意得，
因为，解得；
当时，取最大值，此时．
即花圃的最大面积为平方米．
【解析】【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设菜地的面积为平方米，根据题意求出S关于x的函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
27．（2024九上·金平期末）已知一品牌月饼的成本价每盒80元，市场调查发现中秋节前，该种月饼每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：（）.设这种月饼每天的销售利润为w元.
（1）求w与x的函数关系式；
（2）若该商店销售这种月饼要想每天获得销售利润1400元，应如何定价？
（3）该种月饼的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：由题意得：
w=（x-80） y
=（x-80）（-2x+320）
=-2x2+480x-25600
∴w与x的函数关系式为：w=-2x2+480x-25600；
（2）解：当w=1400时，
-2x2+480x-25600=1400．
解得：x1=90，x2=150．
∵80≤x≤145，
∴x=90．
∴要想每天获得销售利润1400元，应定价为90元每盒；
（3）解：w=-2x2+480x-25600
=-2（x-120）2+3200
∵-2＜0，80≤x≤145，
∴当x=120时，w有最大值，w的最大值为3200元．
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×总销售量即可求出答案.
（2）将w=1400代入函数关系式，解方程即可求出答案.
（3）将函数关系式转换为顶点式，根据二次函数的性质即可求出答案.
28．（2024九上·封开期末）2024年春节即将到来，小娜家购买了4个灯笼，灯笼上分别写有“欢”、“度”、“春”、“节”（外观完全一样）．
（1）小娜抽到“2024年”是 事件，“欢”字被抽中的是 事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）．小娜从四个灯笼中任取一个，取到“春”的概率是 ；
（2）小娜从四个灯笼中先后取出两个灯笼，请用列表法或画树状图法求小娜恰好取到“春”、“节”两个灯笼的概率．
【答案】（1）不可能；随机；
（2）解：画树状图如下：
共12种等可能情况，其中“春”，“节”被抽中的有2种．
∴“春”，“节”被抽中的概率是：．
【解析】【解答】解：（1）小娜抽到“2019年”是不可能事件，“欢”字被抽中是随机事件．小娜从四个灯笼中任取一个，取到“春”的概率是．
故答案为：不可能，随机，
【分析】（1）根据事件的分类结合简单事件的概率即可求解；
（2）先画出树状图，进而得到共12种等可能情况，其中“春”，“节”被抽中的有2种，再根据等可能事件的概率即可求解。
29．（2024九上·曲靖期末）某商场销售一批衫每件成本为30元，销售人员经调查发现销售单价为 80元时，每月的销售量为40件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本
（1）求该衫每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的数关系式；（不需要写出x取值范围）
（2）商场的销售人员发现：当该衬衫每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况请你测算一下，该商场如何定价，可使每月利润最大？
【答案】（1）解：根据题意知：每月销售单价降低为元，每月多售出件，
则每月销售量
（2）解：设每月总利润为w，根据题意得：
，此图象开口向下，
∴当时，w有最大值为4205元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为59元．
【解析】【分析】（1）先根据题意求出每月销售单价降低为元，每月多售出件，再求出每月销售量即可；
（2）设每月总利润为w，利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
30．（2024九上·桐乡市期末）如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：如图，∵正方形，旋转到的位置，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，
根据题意，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到：，即可得到：，，进而利用割补法即可求出阴影部分面积；
（2）连接，由题意得：，，进而求出CE的长度，最后根据勾股定理即可求解.
31．（2024九上·双阳期末）抛物线y＝ax2+bx﹣4上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 …
根据上表填空或求值：
（1）抛物线与y轴的交点坐标是 ；
（2）求a和b的值；
（3）当x＝﹣3时，则y的值为 ．
【答案】（1）（0，﹣4）
（2）解：∵当时，，当时，，
∴，
解得，
∴a和b的值分别为2和2；
（3）8
【解析】【解答】解：（1）观察表格可得，当时，y=-4，
∴抛物线与y轴的交点坐标是；
故答案为：；
（3）由（2）得，
∴当时，则y的值为．
故答案为：8．
【分析】（1）抛物线与y轴的交点的横坐标是0，在表中找出x值为0对应的函数值即可；
（2）在表格中确定两组值，利用待定系数法建立方程组求解即可；
（3）把代人所求的解析式，计算求出y的值．
32．（2024九上·都江堰期末）如图，点分别在三边上，且，．
（1）求的长；
（2）若的面积为4，求四边形的面积．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合BC的长求出BF的长，最后利用线段的和差求出CF的长即可；
（2）先证出可得，再求出，再证出可得，再求出，最后利用割补法求出即可.
33．（2024九上·揭阳期末）已知：如图，四边形ABCD中，为对角线BD的中点，点在边AD上，CF交BD于点.
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2），求证：.
【答案】（1）证明：∵∠BAD＝90°，E为BD的中点，
∴AE＝DE＝BD，
∵CF＝BD，
∴AE＝CF＝DE，
∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCD＝90°，E为BD的中点，∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形AECF为菱形，
∴AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠DCG＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DCG，
∵AE∥CF，∴∠EAD＝∠CFD，∴△ADE∽△FCD，
∴∴CF DE＝AD CD，
∵AE＝CF＝DE，∴AE2＝AD DC．
【解析】【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再利用直角三角斜边中线的性质可得AE=CE，根据菱形的判定即证；
（2）先证△ADE∽△FCD，利用相似三角形的性质可得，继而得解.
34．（2024九上·双辽期末）如图，矩形中，，，为边中点，，绕点旋转，其中点，在矩形的边上.在旋转过程中，请探究：
（1）矩形的边落在内部的线段长的和是否发生变化？为什么？
（2）矩形与重叠部分的面积是否发生变化？为什么？
【答案】（1）解：矩形的边落在内部的线段长的和不变．
理由：过点作于点，
矩形中，，，为边中点，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，
≌，
，
（2）解：矩形与重叠部分的面积不变．
理由：≌，
，
．
【解析】【分析】（1）过点作于点，先根据矩形的性质结合中点的性质得到，再根据正方形的性质得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明≌即可得到，再结合题意进行线段的计算即可求解；
（2）先根据三角形全等得到，进而结合题意即可求解。
35．（2024九上·惠城期末）“十一”期间，某花店以每盆20元的价格购进一批花卉、市场调查反映：该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆、若涨价销售，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆．
（1）若该花卉每天的销售利润为200元，且销量尽可能大，每盆花卉售价是多少元？
（2）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过6元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？
【答案】（1）解：设该花卉每盆售价是x元，由题意得
（x﹣20）[25﹣（x﹣25）]＝200，
化简得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30，x2＝40，
∵销量尽可能大，
∴＝30．
答：每盆花卉售价是30元；
（2）解：设每盆售价是x元，利润为y元，则有y=（x﹣20）[25﹣（x﹣25）]
整理得，
∵ 每盆花卉涨价不超过6元， ∴x≤31，
∵当x≤35时，y随x的增大而增大，∴x=31时，y最大。此时y=209
∴ 该花卉一天最大的销售利润是 209元
【解析】【分析】（1）设该花卉每盆售价是x元，则每盆利润为x-20元，销售量为25-(x-25)盆，根据利润为200元列方程进行求解即可。特别要注意的是要求 销量尽可能大， 所以要选择使销售量较大的售价.
（2）设每盆售价是x元，利润为y元，列出关系式，根据题意确定x的范围，再根据关系式求出最大值即可.
36．（2024九上·贵州期末） 已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
当时，，
解得：，
画出函数图象，如下图：
（2）由题意得当时，的取值范围为．
【分析】（1）根据二次函数的图象与性质求出顶点坐标、于坐标轴的交点即可画出图像；
（2）直接观察图像即可求解。
37．（2024九上·惠东期末）图1是某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆O，直径，倒汤时，，如图3所示．
（1）的度数为 ；
（2）在图3中，通过计算比较直径与的长度哪个更长；
（3）请在图3中画出线段，用其长度表示汤（阴影部分）的最大深度（不说理由），并求汤的最大深度．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴的长度更长；
（3）解：如图，过圆心作于点，交圆于点，则为汤的最大深度，且，
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，即汤的最大深度为．
【解析】【解答】（1）解：∵，∠CAB=60°
∴ ∠COB=2∠CAB=120°
【分析】本题考查圆的圆周角定理和圆心角的数量关系、垂径定理、30°的直角三角形和弧长公式等知识。
（1）根据同圆中，同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得∠COB=2∠CAB=120°；
（2）根据弧长公式（弧长=，n为弧所对的圆心角度数）计算 的长，与AB比较大小即可；
（3）根据垂径定理，过圆心O作ON⊥BC于点M，交圆O于点N，则MN为汤的最大深度，得BM=CM；由圆心角∠COB=120°，得．则OM=OB，得MN=ON-OM．
38．（2024九上·临海期末）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标．
（3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线，
∴，解得，
∴该二次函数的解析式为.
（2）解：∵ 图象上的点称为函数的不动点，
∴，
解得：，，
∴这个函数不动点的坐标为和.
（3）解：∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线，，
∴当时，y有最小值，
当时，y有最大值5，
∴的最大值与最小值的差为．
【解析】【分析】（1）先根据点（4，-1）及对称轴，得到关于b，c的方程组求解，再代回解析式，求得函数表达式；
（2）将点代入解析式中，得到关于x的方程求解，求出不动点的坐标；
（3）先将解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可．
（1）解：由题意，，解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：将代入中，得，
即，
解得，，
∴这个函数不动点的坐标为和；
（3）解：由（2）知，，
∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y有最小值，
当时，y有最大值5，
∴的最大值与最小值的差为．
39．（2024九上·济南期末）如图，，交⊙于点、，是半径，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，于点，
∴，
∵是的半径，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵是的半径，，，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴的半径为．
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可得，利用等腰三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）连接，设的半径为，则，利用勾股定理可得，即，再求出r的值即可.
（1）证明：∵，于点，
∴，
又∵是的半径，，
∴，
∴，
即．
（2）解：如图，连接，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵是的半径，，，
∴，
在中，，即，
解得，
∴的半径为．
40．（2024九上·瑞安期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，．
（1）求的度数．
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：是半圆的直径，
，
，
又∵，
∴；
（2）解：连接，，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
∴阴影部分的面积；
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°得，根据圆内接四边形的对角互补得∠ACD+∠CAD+∠CAB=90°，即可求解；
（2）连接OD、OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOD=30°，由角的和差求出∠BAC=30°，由三角形的内角和定理得∠BOC=60°，再由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OCB是等边三角形，由等边三角形三边相等求出该圆的半径长，最后根据扇形面积计算公式及等腰直角三角形面积计算公式，由阴影部分面积为扇形面积减去等腰直角三角形的面积求解即可.
（1）解：是半圆的直径，
，
，
，
；
（2）解：连接，，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
阴影部分的面积；
41．（2024九上·杭州期末）已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
【答案】（1）函数，，
二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为，
二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大，
，
（2）点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
，，
，
，
，
时，有最大值；
，
，
，
，
，
整理得，，
即，
，，
时，始终有，
的值不会随的变化而变化，
【解析】【分析】(1)分别求出两个函数的对称轴，建立方程求解即可；
(2)①先表示出，，再利用x2=2x1+1代入n表达式中，然后表示出，利用二次函数最值求解即可；
②同①表示出n-m=-2tx1-2x1-t2+2t=3t，建立关于t的方程求解即可.
42．（2024九上·湘潭期末）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与相交于点，且点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）求的面积；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式．
【答案】（1）解：∵矩形的顶点，点D是对角线的中点，
∴，
把点代入反比例函数得：，
∴反比例函数解析式为：.
（2）解：连接，点E在上，∴当时，求得，
∴，，，
∴.
（3）解：连接、，设，∴，，
∵，∴，代入中，得，即，
∵根据折叠性质，∴，
在中，，即，解得：，∴，
过点H作，垂足为点M，由折叠可知，
则，又，
∴，又，
∴，∴，
设，∴，，∴，解得：，∴，
设直线的函数关系式为，
代入和得：，解得，
∴直线的函数关系式为：．
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式求出点D的坐标为，继而可得反比例函数的关系式；
（2）利用矩形性质和点B的横坐标，得到点，，，根据三角形面积公式计算即可；
（3）设利用勾股定理求出，得到，在利用得到，求出m值得到，利用待定系数法求出直线的函数关系式即可．
（1）解：∵矩形的顶点，点D是对角线的中点，
∴，
把点代入反比例函数得：，
∴反比例函数解析式为：；
（2）连接，点E在上，
∴当时，求得，
∴，，，
∴；
（3）连接、，设，
∴，，
∵，
∴，代入中，
得：，即，
∵根据折叠性质，
∴，
在中，，
即，解得：，
∴，
过点H作，垂足为点M，由折叠可知，
则，又，
∴，又，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的函数关系式为，
代入和得：
，解得，
∴直线的函数关系式为：．
43．（2024九上·仁寿期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．
（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：如图，是相似．
证明：延长FE，与CD的延长线交于点G．
在Rt△AEF与Rt△DEG中，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED．
∵∠AEF＝∠DEG，
∴△AFE≌△DGE．
∴∠AFE＝∠DGE．
∴E为FG的中点．
又CE⊥FG，
∴FC＝GC．
∴∠CFE＝∠G．
∴∠AFE＝∠EFC．
又△AEF与△EFC均为直角三角形，
∴△AEF∽△EFC．
（2）解：① 存在．
如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．
证明：当＝时，＝，
∴∠ECG＝30°．
∴∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．
∴∠BCF＝90°－60°＝30°．
又△AEF和△BCF均为直角三角形，
∴△AEF∽△BCF．
② 因为EF不平行于BC，
∴∠BCF≠∠AFE．
∴不存在第二种相似情况．
【解析】【分析】（1）延长FE，与CD的延长线交于点G，由E为AD的中点，易证得△AFE≌△DGE （ASA），所以∠AFE＝∠DGE ，EF=EG，再根据EF⊥EC可得FC＝GC，所以∠CFE＝∠G ，等量代换可得∠AFE＝∠CFE，进而可证得△AEF与△EFC 相似；
（2）由题可知，在△AEF与△BFC 中，已有∠A=∠B=90°，故可分两种情况讨论，当∠BCF＝∠AEF时，AE：BC=AF：BF，由点E是AD的中点，可得BC=2AE，故BF=2AF，即AB=3AF，设AF=x，则CD=AB=3x，GD=x，由题易得，故，即，，则BC=AD=2DE=，故可得时，可使得△AEF与△BFC相似；因为EF不平行于BC，不存在第二种相似情况.
44．（2024九上·宁波期末）如图，在中，，，，D为AB边上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F.
（1）求证：.
（2）若，求与的面积比.
（3）设，四边形DEFB的面积为y，求y关于x的函数表达式并求其最大值.
【答案】（1）解：由题意：，，
∴，，
∴
（2）(2)∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC.
∴△ADE与△ABC的面积比，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF，
∵DE：CF=2：3，
∴DE：BC=2：5，
∴△ADE与△ABC的面积比=4：25
（3）(3)过点A作AH⊥BC于点H，如图，
∵∠C=60°，
∴∠HAC=30°，
∴，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∵FE∥AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴，
∴，
∴
，
∴y关于x的函数表达式为，
∵，
∴四边形DEFB的面积的最大值为.
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可；
(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可；
(3)过点A作AH⊥BC于点H，利用勾股定理求得AH，则△ABC的面积可求；利用相似三角形的判定与性质求得△ADE，△EFC的面积，则y=S△ABC-S△ADE-S△EFC，再利用配方法求得面积的最大值.
45．（2024九上·河东期末）落实五育并举，加强劳动教育，某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2024年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜成本为50元.乙种蔬菜的种植成本与其种植面积之间的关系如下图所示.设乙种蔬菜种植成本为（元），乙种蔬菜的植面积为（其中）.
（1）根据题意，填写下表：
种植面积 200 400 500 600 700
乙种蔬菜种植成本（元） 20 ① ② 40 ③
（2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？
【答案】（1）解：①30，②35，③40；
（2）解：当时，
，
，抛物线开口向上，
当时，有最小值，最小值为42000，
此时，，
当时，，
，当时，有最小值为：.
，
当种植甲种蔬菜的种植面积为.乙种蔬菜的种植面积为时，最小.
【解析】【解答】解：（1）当时，设，
将代入得，，
解得，，
∴，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
填表如下：
种植面积x（）
乙种蔬菜种植成本y（元/）
【分析】（1）当时，利用待定系数法求解析式为，即，分别求时，时，时的值，然后填表即可；
（2）分别求当时，当时的的表达式，再根据一次函数，二次函数的性质求最值，最后判定即可．
46．（2023九上·楚雄期末）已知抛物线经过点．与y轴交于点A．其顶点为B．设k是抛物线与x轴交点的横坐标，
（1）求b的值．
（2）求的面积．
（3）求代数式的值．
【答案】（1）解：将点代入中，
得，
解得
（2）解：如图，
由（1）知抛物线的表达式为，
将代入中，得，
∴点，
∴．
∵顶点的横坐标为，
∴，
∴．
（3）解：∵k是抛物线与轴交点的横坐标，∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
∴
．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查待定系数法、二次函数的图象和性质、代数式的求值.（1）将点代入中，可列出方程，解方程可求出b的值；
（2）令，通过计算可求出点A的坐标，据此可求出OA， 利用对称轴公式可求出点B的横坐标，据此可求出，利用三角形的面积计算公式进行计算可求出的面积；
（3）由k是抛物线与轴交点的横坐标，据此可得：，通过变形可得：
，两边同时平方可得：，进而可推出，将上式代入T—2进行化简可得：T—2，再根据，再进行变形化简可求出答案.
（1）解：将点代入中，
得，
解得．
（2）解：如图，
由（1）知抛物线的表达式为，
将代入中，得，
∴点，
∴．
∵顶点的横坐标为，
∴，
∴．
（3）解：∵k是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
∴
．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
47．（2025九上·北仑期末） 已知二次函数 (a为常数且a≠0).
（1）当函数图象经过点(4，0)，求该二次函数的表达式.
（2）若a>0，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明.
（3）若该函数图象上有两点 其中 若 求证：
【答案】（1）解：将(4，0)代入
得16a-16a+4a+4=0，
解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为
（2）解：该二次函数图象与x轴无交点.
证明：令
16a=-16a<0，
∴方程 无实数解，
∴该二次函数图象与x轴无交点.
（3）证明：∵该函数图象上有两点 ， y2)，
+4a+4，
即
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可.
(2)令 可得 -4a(4a+4)=-16a<0，则方程 4a+4=0无实数解，即该二次函数图象与x轴无交点.
(3)由题意得 则可得 ( 即可得到答案.
48．（2024九上·南山期末）如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点 D 作 DE // AC，交 AB 于点 E，在 AC 上取一点 F， 连接 DF，使得∠FDC=∠B。
（1）求证：四边形 AEDF 是菱形。
（2）若 FC＝4，BE＝25，AD＝12，求 AE 的长度和四边形 AEDF 面积。
【答案】（1）证明：∵∠FDC=∠B，
∴AB∥DF，
∵AC∥DE，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC．
又∵AC∥DE，
∴∠ADE＝∠DAC．
∴∠ADE＝∠BAD．
∴EA＝ED．
∴四边形AEDF是菱形．
（2）解：∵四边形AEDF是菱形，
∴OA=OD=2 1 AD=6，
设菱形AEDF的边长为x，则AB＝x+25，AC＝x+4，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
解得x=10或x=-10，
经检验，x=10是原方程的解，
∴AE＝10，即菱形AEDF的边长为10，.
（法一）连接EF，交AD于点O，
在菱形AEDF中，AD⊥EF，OE=OF，
，
∴ EF=2OE=16，
∴ S菱形AEDF＝
（法二）过A作AM⊥DF，垂足为M，过F作FO⊥AD，垂足为O，
∵AF=DF，FO⊥AD
∵∠DOF=∠DMA=90°，∠ADM=∠FDO，
∴△AMD∽△FOD
∴S菱形AEDF=
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得AB∥DF，根据平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，根据角平分线定义可得∠BAD＝∠DAC，再根据直线平行性质可得∠ADE＝∠DAC，则∠ADE＝∠BAD，根据等角对等边可得EA＝ED，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得OA=OD=2 1 AD=6，设菱形AEDF的边长为x，则AB＝x+25，AC＝x+4，根据相似三角形判定定理可得△BED∽△BAC，则，代值计算可得x=10，则AE＝10，即菱形AEDF的边长为10，（法一）连接EF，交AD于点O，根据勾股定理可得OE，再根据菱形面积即可求出答案；（法二）过A作AM⊥DF，垂足为M，过F作FO⊥AD，垂足为O，根据等腰三角形性质可得DO，再根据勾股定理可得OF，根据相似三角形判定定理可得△AMD∽△FOD，则，代值计算可得AM，再根据菱形面积即可求出答案.
49．（2024九上·红塔期末）已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
（1）求的值；
（2）若点（其中）在抛物线上，求的值．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，∴
∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴抛物线对称轴为：，∴，解得：．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为：．
∵点在抛物线上，∴．
原式，将代入可得，
原式
，
∴的值为．
【解析】【分析】（1）将点（0，-3）代入解析式求出c的值，再利用二次函数的对称轴公式可得，再求出b的值即可；
（2）将点P代入解析式求出，再将其代入求解即可.
50．（2024九上·乾安期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元， 每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使得利润最大？
小明同学， 为了完成以上问题，小明分析： 调整价格包括涨价和降价两种情况．小明先探索了涨价的情况， 下面是小明的思路， 请你帮助小明完善以下内容：
（1）假设每件涨价x元，则所得利润y与x的函数关系式为 ； 其中x的取值范围是 ； 在涨价的情况下，定价 元时，利润最大，最大利润是 ．
（2）请你参考小明（1）的思路继续思考，在降价的情况下，求最大利润是多少？
（3）在（1）（2）的讨论及现在的销售情况，回答商家如何定价能使利润能达到最大？
【答案】（1）；；65；6250元
（2）解：设每件降价元，则每星期售出商品的利润元，
则，
函数的对称轴为，
当（元时，则（元；
（3）解：，
∴用涨价方式比降价方式获得利润大，
当定价为65元时，利润最大．
【解析】【解答】(1)y=（60-40+x）×（300-10x)=-10x2+100x+6000，
又300-10x≥0且x＞0，
∴0≤x≤30；
∵-10＜0，
∴当x=时，函数y的值最大，最大值=（元），
此时定价为：60+5=65（元）；
故第1空答案为：y=-10x2+100x+6000；第2空答案为：0≤x≤30；第3空答案为：65；第4空答案为：6250元；
【分析】（1）根据利润=单件利润×销量，可得利润y=-10x2+100x+6000；根据题意得出自变量x的取值范围；利用二次函数的性质，即可求得定价为65元时，利润最大，且最大利润为6250元；
（2）设每件降价元，则每星期售出商品的利润元， 根据利润=单件利润×销量，即可得出：， 根据二次函数的性质，即可得出当（元）时， 最大利润为6125元 ；
（3）根据（1）、（2）的结果，可知用涨价方式比降价方式获得利润大，当定价为65元时，利润最大．
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