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【50道解答题·专项集训】人教版数学八年级上册期末总复习
1．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数．
2．如图，在 和 中， ， ， .求证 .
3．如图，在 中， 是高， 是角平分线， ， 交于点F， ＝ 0°， ＝70°，求 的度数
4．完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：
若，求的值．
解：∵，∴，
∴，∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）①若，则_________；
②若，则________；
（2）如图，是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求的面积．
5．如图，已知∠ACB
= ∠DCE，AC = BC，CD = CE，AD交BC于点F，连接BE，求证∠A
= ∠B.
6．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线便是的角平分线．请完成下列问题：
（1）这种做法的依据是 （填序号）．
①②③④
（2）请证明平分．
7．佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%.已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个.请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？
8．如图，是等边三角形，、分别是、上的点，且，与交于点．求的度数．
9．某服装店用6000元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2800元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2600元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
10．为赓续中华优秀文脉，促进文明交流互鉴，某社区准备聘请甲、乙两支施工队参与布置一条长为1200米的宣传长廊．已知甲队单独布置完成工程比乙队单独布置完成工程多用10天，乙队每天布置的数量是甲队每天布置的数量的1.5倍．
（1）求甲、乙两支施工队每天分别布置完成多少米宣传长廊？
（2）现将宣传长廊布置任务交给乙队并要求25天内完成．乙队布置若干天后因接到其它布置任务，经社区同意将余下布置任务全部交给甲队完成．求在转交给甲队之前乙队至少要布置多少天才能按时完成全部任务？
11．如图，在中，分别以，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点，，直线交边于点，交边于点，连接．
（1）请根据以上尺规作图为依据，结合图形写出两个正确的结论： ▲ ， ▲ ；（不添加字母和线段）
（2）若，求证：为等腰三角形．（上题所写正确结论可作为已知条件）
12．“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五 一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：
请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
13．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元．
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上(不与点A、点C重合)，连结BD，BD=AB．
（1）设∠C=α，∠ABD=β．
①当α=50°时，求β．
②直接写出β与α之间的等量关系及α的取值范围．
（2）若AB=5，BC=6，求AD的长．
15． 如图，，点E，F分别在AB，CD上，且， 和互余.
（1）比较和的大小关系，并说明理由；
（2）若，求的度数.
16．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下：
甲 （分成两组）=x（x-y）+4（x-y）（直接提公因式）=（x-y）（x+4） （分成两组）（直接运用公式）=（a+b-c）（a-b+c）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：
（2）若a-b=-5，b-c=3，求式子 ab-bc+ ac-a2的值.
17．先化简，再求值：，其中x满足．
18．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.
（1）若在a克糖水里面含糖b克（），则该糖水的甜度为 ；
（2）现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了.
请用所学的数学知识解释这一现象.（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如所以，同样如果，就说明）
19．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN过点O交AB于点M，交AC于点N，且MN∥BC，BM＝6，CN＝7.求MN的长.
20．当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗？说明理由．
21．如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝6.8dm，r＝1.6dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π）.
22．如图，在中，的平分线与三角形外角的平分线CO交于点，过点作交AB于，交AC于F，EF与BE，CF之间有怎样的数量关系 并给予证明.
23．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAB=∠EAD．试说明：CE=BD．
24．星期六，小明与妈妈到离家12km的张家界市博物馆参观.小明从家骑自行车先走，1h后妈妈骑摩托车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈骑摩托车的平均速度是小明骑自行车平均速度的3倍，求妈妈骑摩托车的平均速度.
25．A，B 两种型号机器人搬运原料. 已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运
10kg，且 A 型机器人搬运 100kg 所用时间与 B 型机器人搬运 80kg 所用时间相等， 求这两种机器人每小时分别搬运多少原料
26．我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为
解决下列问题：
（1）已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”；
（2）已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值.
27．如图，已知∠AOB，请用尺规作图法，在∠AOB上方作∠COA，使得∠COA＝∠AOB．（保留作图痕迹，不写作法）
28．先化简，再求值：（ ﹣a﹣1）÷ ，其中a＝﹣2．
29．如图，，，与全等吗？为什么？
30．在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，，要满足的条件．请解答下列问题：
（1）经过讨论，小郑同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：
①；②；③___________．
（2）若，求的值．
31．先化简，再求值：，其中．
32．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数：
（1）若a，b，c满足|a-b|+|b-c|=0，试判断△ABC的形状，请说明理由：
（2）若a=2，b=5，且c是奇数，求△ABC的周长
33． 如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F。 已知∠AFE=64°，求∠FEC的度数。
34．A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍，已知水流速度为4千米/时．求：该轮船在静水中的速度多少？
35．某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个．求这两款书签的单价．
36．甲、乙两地相距360千米，一辆贩毒车从甲地往乙地接头取货，警方截取情报后，立即组织干警从甲地出发，前往乙地缉拿这伙犯罪分子，结果警车与贩毒车同时到达，将犯罪分子一网打尽．已知贩毒车比警车早出发1小时15分，警车与贩毒车的速度比为4∶3，求贩毒车和警车的速度．
37．某公司计划购买A、B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．求A、B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料？
38．如图，已知CA=CB，点E，F在射线CD上，且∠BEC=∠CFA，∠BEC+∠ACB=180°．
（1）求证：△BCE≌△CAF．
（2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由．
39．几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用350元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：小芳：今天看演出，如果我们每人一张票，会差两张票的钱.
小明：过两天就是“儿童节”了，到时票价会打七折，我们每人一张票，还能剩35元钱呢！根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
40．如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．
41．如图，在中，．
（1）若的长是偶数，直接写出的值；
（2）若点A在的延长线上，点E、F在的延长线上，且求的度数．
42．【教材呈现】鲁教版八年级上册数学教材15页有“读一读”：
根据多项式的乘法法则，可知．
那么，反过来，也有
这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式．
例如，因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角：再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
这样，我们也可以得到．
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
于是有：．
（1）填空：因式分解；
（2）化简：；
（3）化简：．
43．如图，△ABC≌△ADE，已知点C和点E是对应点，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC=10°，∠B＝∠D=25°，∠EAB=120°，试求∠DFB和∠DGB的度数．
44．如图，是等边三角形，在，且，点是的中点，连接，交于点．
（1）求的度数；
（2）问：，，之间的数量关系，并说明理由．
45．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
46．如果一个三角形中最大角是最小角的4倍，求它的最小角的取值范围．
47．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
48．某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式
（3）在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.
49．如图，中，平分，平分，，垂足为F.
（1）当，则 度；
（2）当，则 度；
（3）当，则 度；
（4）请写出与的数量关系，并证明.
50． 如图，直线，一副三角板，，，按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．
（1）求的度数．
（2）如图②，若将△绕点以每秒°的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转的对应点为当边FG与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值．
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【50道解答题·专项集训】人教版数学八年级上册期末总复习
1．如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE= ∠BAC=40°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=10°．
答：∠DAE的度数是10°．
【解析】【分析】根据三角形的内角和等于180°，角平分线的定义及三角形的外角的性质进行作答即可。
2．如图，在 和 中， ， ， .求证 .
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
， ，
∴ （AAS），
∴ .
【解析】【分析】由等边对等角得∠B=∠C，∠D=∠E，根据平行线的性质、等量代换及等角的补角相等得∠AMD=∠ANE，利用AAS证明 ，可得 .
3．如图，在 中， 是高， 是角平分线， ， 交于点F， ＝ 0°， ＝70°，求 的度数
【答案】解：∵ 是高线，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵ 是角平分线，
∴ ＝ ＝ ，
在 中， ＝ ＝ ＝ ．
【解析】【分析】根据高线的定义可得 ＝ ，然后根据直角三角形两锐角互余求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
4．完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：
若，求的值．
解：∵，∴，
∴，∴．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）①若，则_________；
②若，则________；
（2）如图，是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求的面积．
【答案】（1）①4；②4
（2）解：设，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【解析】【解答】（1）①解：∵
∴，
②
，
故答案为：①4；②4.
【分析】（1）①利用完全平方公式的定义及计算方法分析求解即可；
②利用完全平方公式的定义及计算方法分析求解即可；
（2）设，先求出，则，再结合，求出，最后求出即可．
（1）①解：∵
∴
②
（2）设，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
5．如图，已知∠ACB
= ∠DCE，AC = BC，CD = CE，AD交BC于点F，连接BE，求证∠A
= ∠B.
【答案】解：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB＋∠DCB＝∠DCE＋∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
∴∠A = ∠B.
【解析】【分析】根据∠ACB＝∠DCE，可以得到∠ACD＝∠BCE，再根据题目中的条件，利用SAS可以证明结论成立.
6．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线便是的角平分线．请完成下列问题：
（1）这种做法的依据是 （填序号）．
①②③④
（2）请证明平分．
【答案】（1）④
（2）证明：由题可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分．
【解析】【分析】（1）根据题意判断求解即可；
（2）利用SSS证明 ，再利用全等三角形的性质求出， 最后证明求解即可。
7．佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%.已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个.请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？
【答案】解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋 个，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是所列分式方程的解，且符合题意，
∴ .
答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个。
【解析】【分析】 设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋 个， 则A种笔袋的单价为元，B种笔袋的单价为元，根据A种笔袋的单价比B种袋的单价低10% 列出方程求解并检验即可.
8．如图，是等边三角形，、分别是、上的点，且，与交于点．求的度数．
【答案】解：是等边三角形，
，，
∵AP=CQ，
∴AC－AP=BC－CQ，即BQ=PC.
在和中，
，
，
，
．
【解析】【分析】利用等边三角形的性质和AP=CQ可证明BQ=PC，于是可利用证明，利用全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得到结论．
9．某服装店用6000元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2800元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2600元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
【答案】（1）解：设第一次购进这种衬衫件，则第二次购进这种衬衫件，由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
答：第一次购进这种衬衫件，则第二次购进这种衬衫件．
（2）解：设第二次衬衫每件要售元，由题意，得：
，
解得：；
∴第二批衬衫每件至少要售170元．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2600元，求出， 最后作答求解即可。
10．为赓续中华优秀文脉，促进文明交流互鉴，某社区准备聘请甲、乙两支施工队参与布置一条长为1200米的宣传长廊．已知甲队单独布置完成工程比乙队单独布置完成工程多用10天，乙队每天布置的数量是甲队每天布置的数量的1.5倍．
（1）求甲、乙两支施工队每天分别布置完成多少米宣传长廊？
（2）现将宣传长廊布置任务交给乙队并要求25天内完成．乙队布置若干天后因接到其它布置任务，经社区同意将余下布置任务全部交给甲队完成．求在转交给甲队之前乙队至少要布置多少天才能按时完成全部任务？
【答案】（1）解：设甲支施工队每天布置完成x米宣传长廊，则乙支施工队每天布置完成1.5x米宣传长廊，
由题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60，
答：甲支施工队每天布置完成40米宣传长廊，乙支施工队每天布置完成60米宣传长廊.
（2）解：设在转交给甲队之前乙队要布置y天才能按时完成全部任务，
由题意得：40（25 y）＋60y≥1200，
解得：y≥10，
∴y的最小值为10，
答：在转交给甲队之前乙队至少要布置10天才能按时完成全部任务．
【解析】【分析】（1）设甲支施工队每天布置完成x米宣传长廊，则乙支施工队每天布置完成1.5x米宣传长廊，根据“ 甲队单独布置完成工程比乙队单独布置完成工程多用10天 ”列出方程，再求解即可；
（2）设在转交给甲队之前乙队要布置y天才能按时完成全部任务，根据“ 甲、乙两支施工队参与布置一条长为1200米的宣传长廊 ”列出不等式40（25 y）＋60y≥1200，再求解即可.
11．如图，在中，分别以，为圆心，适当长度为半径作弧，两弧相交于点，，直线交边于点，交边于点，连接．
（1）请根据以上尺规作图为依据，结合图形写出两个正确的结论： ▲ ， ▲ ；（不添加字母和线段）
（2）若，求证：为等腰三角形．（上题所写正确结论可作为已知条件）
【答案】（1）垂直平分；（答案不唯一）
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACE+∠BCE=90°.
∵MN垂直平分BC，
∴BE=CE.
∴∠B=∠BCE.
∴∠A=∠ACE.
∴CE=AE，
∴△ACE是等腰三角形.
【解析】【解答】解：（1）由作图可得：直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴MN垂直平分BC，
∵点E为直线MN上一点，
∴BE=CE.
故答案为：MN垂直平分BC；BE=CE.
【分析】（1）根据作图痕迹可得直线MN是线段BC的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质即可即可得到结论：
（2）由直角三角形两锐角互余和角的和差得∠A+∠B=90°，∠ACE+∠BCE=90°.由线段垂直平分线的性质得B=∠BCE，继而可得∠A=∠ACE，即可得到结论.
12．“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五 一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：
请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
【答案】解：设租用的B种客房每间客房的租金为元，则租用的A种客房每间客房的租金为元，由题意得
整理得
解得
经检验，是所列方程的解，且符合题意
答：租用的B种客房每间客房的租金为160元，则租用的A种客房每间客房的租金为200元．
【解析】【分析】 设租用的B种客房每间客房的租金为元，则租用的A种客房每间客房的租金为元，根据2000元租到A客房与用1600元租到B客房的数量相等，列出方程并解之即可.
13．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元．
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器
【答案】（1）解：设乙种滑动变阻器的单价是x元，
根据题意得：
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
∴（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元．
（2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个．
根据题意得：．
解得：．
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
【解析】【分析】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，
根据题意得：
解得：．
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
∴（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元．
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个．
根据题意得：．
解得：．
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上(不与点A、点C重合)，连结BD，BD=AB．
（1）设∠C=α，∠ABD=β．
①当α=50°时，求β．
②直接写出β与α之间的等量关系及α的取值范围．
（2）若AB=5，BC=6，求AD的长．
【答案】（1）解：①，
，
.
，
，
.
②α的取值范围是
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，
设，则，
∴AB=5，BC=6，
BN2=AB2-AN2=BC2-CN2，
∴，
∴，
∴.
【解析】【解答】解：（1）②∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
∴
又∵AB=AC，
∴，
∴∠A=180°-2∠C=180°-2α，
∴
=4α-180°.
∴∠A=∠ADB， ∠ADB>∠C，
∴180°-2a>a，
∴α<60°，
又∵4α-180°>0.
∴α>45°，
∴α的取值范围是
【分析】(1)①先等腰三角形的性质可得，进而求出∠A，即可求得β.
②根据等腰三角形的性质先得到∠A=∠ADB，进而表示出来β与α之间的等量和α的取值范围即可.
(2)过点B作BN⊥AC于点N，根据勾股定理表示出关系，计算求得长度即可.
15． 如图，，点E，F分别在AB，CD上，且， 和互余.
（1）比较和的大小关系，并说明理由；
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解：∠AEF=∠2.理由如下：
已知AB∥CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠CFE+∠AEF=180°，
已知EF⊥GF，根据垂直的意义，得∠GFE=90°，
因为∠CFE=∠1+∠GFE，所以∠1+∠GFE+∠AEF=180°，
所以∠1+∠AEF=180°-90°=90°，
根据互余的意义，得∠1和∠AEF互余.
又已知∠1和∠2互余，
根据“同角的余角相等”，得∠AEF=∠2
（2）解：已知∠1和∠2互余，根据互余的意义，得∠1+∠2=90°，
因为∠1=28°，所以∠2=90°-∠1=62°，
由(1)得，∠AEF=∠2=62°，
根据平角的意义，得∠AEF+∠2+∠BEP=180°，
所以∠BEP=180°-∠AEF-∠2=56°
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，可以推断出，∠CFE+∠AEF=180°，根据垂直的定义，∠GFE=90°，根据角度的关系，∠1+∠AEF=90°，根据已知条件，根据互余的定义，∠1和∠2互余，可判断出∠AEF=∠2；
（2）根据（1）可知，∠AEF=∠2，已知∠1=28°，计算出∠2，根据平角的定义，计算出∠BEP的度数.
16．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下：
甲 （分成两组）=x（x-y）+4（x-y）（直接提公因式）=（x-y）（x+4） （分成两组）（直接运用公式）=（a+b-c）（a-b+c）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：
（2）若a-b=-5，b-c=3，求式子 ab-bc+ ac-a2的值.
【答案】（1）解：
（2）解：c(a-b)=(a-b)(c-a)；
∵a-b=-5，b-c=3，
∴c-a=2，
∴原式=(a-b)(c-a)=-5×2=-10.
【解析】【分析】（1）先利用完全平方公式，将，然后利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先将原式分成两组，即，然后分别提取公因数a和c，最后再进一步进行因式分解，代入计算即可。
17．先化简，再求值：，其中x满足．
【答案】解：
；
∵，
∴，其中，
∴原式．
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而结合题意代入即可求解。
18．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.
（1）若在a克糖水里面含糖b克（），则该糖水的甜度为 ；
（2）现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了.
请用所学的数学知识解释这一现象.（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如所以，同样如果，就说明）
【答案】（1）
（2）解：设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：，
∵
，
∵，，
∴，，，
∴，∴，
∴向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，糖水更甜.
【解析】【解答】（1）解：∵糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度
∴a克糖水里面含糖b克（），则该糖水的甜度为
【分析】本题考查分式加减的应用。
（1）根据题中”甜度“的定义，可得a克糖水里面含糖b克（），则该糖水的甜度为；
（2）设往杯中加入c克糖，则此时糖水的甜度为：，作差法得，由，得，，则，可解释这一现象。
19．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN过点O交AB于点M，交AC于点N，且MN∥BC，BM＝6，CN＝7.求MN的长.
【答案】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠CBO＝∠BOM，
∴∠ABO＝∠BOM，
∴BM＝OM，
同理可得：∠ACO＝∠CON，
∴CN＝ON，
∴MN＝OM+ON＝BM+CN＝6+7＝13.
【解析】【分析】由角平分线和平行线的性质分别可推理出∠ABO＝∠BOM 和∠ACO＝∠CON ，再根据等角对等边得出BM＝OM和CN＝ON，由此可求得MN的长度.
20．当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗？说明理由．
【答案】解：(n+7)2-(n-5)2=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]=24n，当n为自然数时，24n就是24的倍数．
【解析】【分析】 原式利用平方差公式进行因式分解，然后整理得出结果为24n，据此判断即可.
21．如图所示，小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R＝6.8dm，r＝1.6dm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗？请写出求解过程（结果保留π）.
【答案】解：根据题意有：剩余部分的面积＝圆形板材的面积﹣四个小圆的面积.
剩余部分的面积＝πR2﹣4πr2＝π（R2﹣4r2）＝π（R+2r）（R﹣2r）
将R＝6.8dm，r＝1.6dm代入上式得：
剩余部分的面积＝π（R+2r）（R﹣2r）＝π（6.8+3.2）（6.8﹣3.2）＝36π.
答：剩余部分的面积为：36πdm2
【解析】【分析】根据剩余部分的面积＝圆形板材的面积﹣四个小圆的面积即可求解.
22．如图，在中，的平分线与三角形外角的平分线CO交于点，过点作交AB于，交AC于F，EF与BE，CF之间有怎样的数量关系 并给予证明.
【答案】解：EF=BE-CF；理由如下：
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠DCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠DCO，
∴∠EOB=∠ABO，∠FOC=∠ACO，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OE-OF=BE-CF.
【解析】【分析】由角的平分线可得∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO；根据两直线平行，内错角相等可得∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠DCO，推得∠EOB=∠ABO，∠FOC=∠ACO，由等角对等边得OE=BE，OF=CF，进而根据线段的和差即可得出结论.
23．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAB=∠EAD．试说明：CE=BD．
【答案】解：∵∠CAB=∠EAD，
∴∠CAE=∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE=BD．
【解析】【分析】要证CE=BD，只需SAS证明△AEC≌△ADB即可．
24．星期六，小明与妈妈到离家12km的张家界市博物馆参观.小明从家骑自行车先走，1h后妈妈骑摩托车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈骑摩托车的平均速度是小明骑自行车平均速度的3倍，求妈妈骑摩托车的平均速度.
【答案】解：设小明自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈骑摩托车的速度为3xkm/h，根据题意得，
，
解得，x=8，
经检验，x=8是原方程的根，
∴3x=3×8=24（km/h）
答：妈妈骑摩托车的平均速度是24km/h.
【解析】【分析】 设小明自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈骑摩托车的速度为3xkm/h， 根据骑自行车的时间比摩托车的时间多用1小时，列出方程并解之即可.
25．A，B 两种型号机器人搬运原料. 已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运
10kg，且 A 型机器人搬运 100kg 所用时间与 B 型机器人搬运 80kg 所用时间相等， 求这两种机器人每小时分别搬运多少原料
【答案】解：设B机器人每小时搬运x千克原料，则A机器人每小时搬运（x+10)千克。
根据题意得： = ，
去分母得：100x=80(x+10)，
∴100x=80x+800，
∴20x=800，
∴x=40；
经检验得x=40是原方程的解
∴x=40 ，
∴x+10=50；
答：A机器人每小时搬运50千克，B机器人每小时搬运40千克.
【解析】【分析】设B机器人每小时搬运x千克原料， 则A机器人每小时搬运（x+10)千克 ，根据A型机器人搬运 100kg 所用时间与B型机器人搬运 80kg 所用时间相等 ，列出方程，求解即可.
26．我们定义：若两个分式A与B的和为一个分式C，且分式C的分子为常数，分母为关于x的一次整式，则称A与B是“合分式”，这个常数称为A与B关于C的“合值”.例如：分式，，，则A与B是“合分式”，A与B关于C的“合值”为
解决下列问题：
（1）已知分式，，判断E与F是不是“合分式”.若不是，请说明理由；若是，请证明，并求出E与F关于C的“合值”；
（2）已知分式其中a是常数，且，，M与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，求常数a的值.
【答案】（1）解：与F是“合分式”，理由如下：
，
则E与F关于C的“合值”为3；
（2）解：
，
与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，
【解析】【分析】（1）根据分式的加法化简，再根据“合分式”的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据分式的加法化简，再根据“合分式”的定义即可求出答案.
（1）解：与F是“合分式”，理由如下：
，
则E与F关于C的“合值”为3；
（2）解：
，
与N是“合分式”，且M与N关于C的“合值”为1，
27．如图，已知∠AOB，请用尺规作图法，在∠AOB上方作∠COA，使得∠COA＝∠AOB．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示，∠COA即为所求．
【解析】【分析】通过已知分析可以得到：此题是一个作图问题，就是做一个角等于已知角，且需要以点O为顶点，以OA为一边，在∠AOB的外部。然后按照这个思路，在∠AOB的外部左∠AOC=∠AOB即可.
28．先化简，再求值：（ ﹣a﹣1）÷ ，其中a＝﹣2．
【答案】解：原式= ；
把a＝﹣2代入得：原式= ．
【解析】【分析】根据分式的基本性质化简求值，代入a的值即可。
29．如图，，，与全等吗？为什么？
【答案】解：．
理由：在和中，
因为，，，
所以．
【解析】【分析】利用三角形全等的判定方法证明即可。
30．在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，，要满足的条件．请解答下列问题：
（1）经过讨论，小郑同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：
①；②；③___________．
（2）若，求的值．
【答案】（1）1
（2）解：当时，；
当时，；
此时指数为偶数，符合题意．
当时，，
此时，符合题意．
综上所述或0或
【解析】【解答】解：，n为任意整数时，，
故答案为：1；
【分析】（1）利用有理数的乘方及零指数幂的意义解题即可．
（2）分，，三种情况，利用有理数的乘方及零指数幂的意义解答即可．
31．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
∴当时，原式.
【解析】【分析】先通分计算括号里的减法，同时将被除式的分子分母分别分解因式，再将除法转化为乘法，进而约分化简，再将x的值代入化简结果计算即可.
32．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数：
（1）若a，b，c满足|a-b|+|b-c|=0，试判断△ABC的形状，请说明理由：
（2）若a=2，b=5，且c是奇数，求△ABC的周长
【答案】（1）解：∵a，b，c 满足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC 的形状是等边三角形
（2）解：由题意3则c=5，
周长为2+5+5=12
【解析】【分析】（1）几个非负数相加为0，各项均为0，由此得到a=b=c，从而进行判断；
（2）根据三角形三边关系且c为奇数，c只能是5，从而得到周长.
33． 如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F。 已知∠AFE=64°，求∠FEC的度数。
【答案】解：∵EF∥BC，
∴∠ACB=∠AFE=64°，
又∵CE是 的角平分线，
又∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠ECB=32°.
【解析】【分析】根据平行线可得∠ACB=∠AFE=64°，然后根据角平分线求出∠BCE的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可.
34．A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍，已知水流速度为4千米/时．求：该轮船在静水中的速度多少？
【答案】解：设轮船在静水中的速度是x千米/时，由题意得：
2×=
解得：x=12，
经检验x=12是所列方程的解，而且也符合题意，
答：轮船在静水中的速度为12千米每小时。
【解析】【分析】 设轮船在静水中的速度是x千米/时， 根据顺流航行的速度等于船在静水中的速度+水速得出顺流航行的速度为：（x+4）千米每小时， 逆流航行的速度等于船在静水中的速度-水速得出逆流航行的速度为：（x-4）千米每小时，根据路程除以速度等于时间得出，船顺流航行的时间为：小时，船逆流航行的时间为：小时，根据逆流返回所用时间是顺流航行所用时间的2倍 ，列出方程，求解并检验即可。
35．某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个．求这两款书签的单价．
【答案】解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是x元，
根据题意得：3，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意，
∴x16＝20（元）．
答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元．
【解析】【分析】设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 元，利用数量=总价÷单价，结合用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，可列出关于x的分式方程，解之可得出x的值 (即乙款书签的单价)，再将其代入 中，即可求出甲款书签的单价.
36．甲、乙两地相距360千米，一辆贩毒车从甲地往乙地接头取货，警方截取情报后，立即组织干警从甲地出发，前往乙地缉拿这伙犯罪分子，结果警车与贩毒车同时到达，将犯罪分子一网打尽．已知贩毒车比警车早出发1小时15分，警车与贩毒车的速度比为4∶3，求贩毒车和警车的速度．
【答案】解：设警车的速度为4xkm/h，则贩毒车的速度为3xkm/h，
根据题意得： ，
解得：x=24，
经检验，x= 24 是原方程的根，
∴原方程的根为x=24．
∴警车的速度为：4×24 = 96（km/h），贩毒车的速度为：3×24 =72（km/h）．
答：警车的速度为96 km/h，贩毒车的速度为72km/h．
【解析】【分析】设警车的速度为4xkm/h，则贩毒车的速度为3xkm/h，根据警车与贩毒车之间的时间关系建立方程求出其解，即可得出结果．
37．某公司计划购买A、B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．求A、B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料？
【答案】解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意．
当时，，
答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料．
【解析】【分析】会根据题意列分式方程解决问题，别忘记验根。
38．如图，已知CA=CB，点E，F在射线CD上，且∠BEC=∠CFA，∠BEC+∠ACB=180°．
（1）求证：△BCE≌△CAF．
（2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠BEC+∠ACB=180°，∠ACB=∠ECB+∠ACF，
∴∠BEC+∠ECB+∠ACF=180°.
∵∠BEC+∠ECB+∠B=180°，
∴ ∠ACF=∠B.
又∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴ △BCE≌△CAF(AAS).
（2）解：EF+AF=BE.
理由如下：∵△BCE≌△CAF，
∴CE=AF，CF=BE，
∴ CE+EF=AF+BE.
∵CF=CE+EF，
∴ BE=CF=CE+EF=AF+EF.
【解析】【分析】（1）先证明∠ACF=∠B，再利用AAS证明△BCE≌△CAF.
（2）先猜想 EF+AF=BE ，利用全等三角形的性质得出 CE=AF与CE=AF ，利用线段的和证明结论成立.
39．几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用350元购买门票．下面是两个小伙伴的对话：小芳：今天看演出，如果我们每人一张票，会差两张票的钱.
小明：过两天就是“儿童节”了，到时票价会打七折，我们每人一张票，还能剩35元钱呢！根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数．
【答案】解：设小伙伴人数是x人，
由题意得， ，
解得，x=9
经检验，x=9是原方程的根
答：小伙伴人数是9人.
【解析】【分析】 设小伙伴人数是x人，则门票未打折时的价格为：元，儿童节时门票的单价为：元，根据儿童节的门票单价是原价打7折，列出方程，求解并检验即可。
40．如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）解：证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝44°，
∴∠C＝∠EDC＝68°，
∴∠BDE＝∠C＝68°
【解析】【分析】（1）∠A=∠B，AE=BE，∠1=∠2，再根据角的转化，利用全等三角形（ASA）证明三角形AEC≌△BED.
（2）由AEC≌△BED，的出CE=DE，∠C=∠BDE，再根据等腰三角形的性质的出角C的度数，即可求出∠BDE的度数.
41．如图，在中，．
（1）若的长是偶数，直接写出的值；
（2）若点A在的延长线上，点E、F在的延长线上，且求的度数．
【答案】（1）解：在中，，，
，
的长是偶数，
的长为4或6．
故答案为：4或6；
（2）解：，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系求出CD的取值范围，再根据偶数的定义确定取值；
（2）利用平行线的性质求出∠CBD的度数，根据三角形外角的性质求出∠BDE的度数，再求∠C的度数即可．
42．【教材呈现】鲁教版八年级上册数学教材15页有“读一读”：
根据多项式的乘法法则，可知．
那么，反过来，也有
这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式．
例如，因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角：再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
这样，我们也可以得到．
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
于是有：．
（1）填空：因式分解；
（2）化简：；
（3）化简：．
【答案】（1）3；2
（2）解：
；
（3）解：
．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
故答案为：3；2；
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简计算即可求出答案.
（3）根据分式的加减，结合完全平方公式化简计算即可求出答案.
（1）解：∵，
∴；
故答案为：3；2；
（2）解：
；
（3）解：
．
43．如图，△ABC≌△ADE，已知点C和点E是对应点，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC=10°，∠B＝∠D=25°，∠EAB=120°，试求∠DFB和∠DGB的度数．
【答案】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE.
∵∠EAB＝∠BAC＋∠DAC＋∠DAE，∠DAC＝10°，∠EAB＝120°，
∴∠BAC＝∠DAE＝55°.
∴∠BAD＝∠CAD＋∠BAC＝65°.
∵∠DFB是△ABF的一个外角，
∴∠DFB＝∠BAF＋∠B＝65°＋25°＝90°.
又∵∠DFB是△DFG的一个外角，
∴∠DFB＝∠D＋∠DGB，
∴∠DGB＝∠DFB－∠D＝90°－25°＝65°
【解析】【分析】 因为△ABC≌△ADE，对应角∠BAC和∠DAE相等，结合∠DAC＝10°，∠EAB＝120°，求出∠BAC＝∠DAE＝55°，于是∠BAD的度数可求，因为∠DFB是△FAB的一个外角，根据三角形外角的性质求出∠DFB；再由∠DFB是△DFG的一个外角，从而求出∠DGB的度数。
44．如图，是等边三角形，在，且，点是的中点，连接，交于点．
（1）求的度数；
（2）问：，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：是等边三角形，
，．
，，
，，
．
∵，
．
，点是的中点，
，．
．
在中，
．
（2）解：结论：，理由如下：
在上截取，连接．
，，，
．
，．
∵．
是等边三角形，
．
．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，根据角之间的关系可得∠BAD，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ABD，根据等腰三角形三线合一性质可得，，再根据角之间的关系可得∠BAF，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：是等边三角形，
，．
，，
，，
．
∵，
．
，点是的中点，
，．
．
在中，．
（2）解：结论：，理由如下：
在上截取，连接．
，，，
．
，．
∵．
是等边三角形，
．
．
45．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
【解析】【分析】（1）结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可证明；
（2）由题意得到等腰直角△CEB，求得EF长度，结合勾股定理求得CF长度，利用等面积法求得EG长度，从而得到CG，进而求解.
46．如果一个三角形中最大角是最小角的4倍，求它的最小角的取值范围．
【答案】解：设∠A是它的最小角，∠C是最大角，∠B是中间的角，则∠A≤∠B≤∠C，又∠C=4∠A．由可得∠A＋∠A＋4∠A≤180°，即么A≤30°．可得∠A＋4∠A＋4∠A≥180°，即∠A≥20°．所以最小角的取值范围为20°≤4≤30°．
【解析】【分析】设∠A≤∠B≤∠C，根据题意知∠C=4 ∠A，再由三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，列出方程组，代入可得：∠A＋∠A+4∠A≤180°，或∠A＋4∠A＋4∠A≥180°，解之即可得出最小角的取值范围.
47．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间有x名工人，则乙车间有（50-x）名工人，根据题意得，
25x×20+30（50-x）×20=27000，
解得：x=30，则50-x=20，
即甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与生产
（2）解：①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，
由题意， 得，
解得 . 经检验， 是原方程的解， 且符合题意
. 乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：18（天）
选择方案一需增加的费用为 +1500=17700（元）
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）
∵17700<18000，∴选择方案一更节省开支.
【解析】【分析】（1）设甲车间的工人为x名，则乙车间为（50-x）名，根据总生产任务为27000件产品，列出方程，解方程即可；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，根据两种方案中企业完成生产任务的时间相同列出分式方程，解方程，验根，即可求解；
②先计算出企业完成生产任务所需的时间，再分别计算方案一和方案二的费用，最后作比较，即可求得方案一更节省开支.
48．某客商准备采购一批特色商品，下面是甲、乙两人的一段对话：
（1）根据对话信息，求一件A，B型商品的进价分别为多少元；
（2）若该客商购进A，B型商品共160件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于78件，已知型商品的售价为240元/件，型商品的售价为220元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方式
（3）在第(2)问的条件下，哪种进货方式利润最大，并求出最大利润.
【答案】（1）解：设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，
∴
∴
∴一件B型商品的进价分别为150元，则一件A型商品160元.
（2）解：设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，
∴
∴
∴共有3种进货方式：
方式1：购进型商品78件，型商品82件；
方式2：购进型商品79件，型商品81件；
方式3：购进型商品80件，型商品80件；
（3）解：方式一：
方式二：
方式三：
∵
∴购进型商品80件，型商品80件获得利润最大，最大利润为12000元.
【解析】【分析】（1）设一件B型商品的进价分别为x元，则一件A型商品x+10元，根据题意列出分式方程：解此方程即可求解；
（2）设购进A型商品y件，则购进B型商品160-y件，则，进而得到：据此即可知共有3种进货方式，分别写出来即可；
（3）结合（2）分别计算出三种进货方式所获得利润，进而即可求解.
49．如图，中，平分，平分，，垂足为F.
（1）当，则 度；
（2）当，则 度；
（3）当，则 度；
（4）请写出与的数量关系，并证明.
【答案】（1）40
（2）45
（3）55
（4）解：.
证明：在中，根据三角形的内角和可知，. ，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴
【解析】【解答】解：(1)
. ，
∵平分，平分，
∴，，
∴
故第一空填：40
（2）
. ，
∵平分，平分，
∴，，
∴
故第二空填：45
（3）
. ，
∵平分，平分，
∴，，
∴
故第三空填：55
【分析】（1）从问题入手，想求 度数，它在直角三角形内，可以根据互余先求；是三角形BCE的外角，根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和，再根据角平分线的定义，这两个内角和是三角形ABC的两个内角和的一半，根据三角形内角和定理和已知的可求三角形ABC的这两个内角，至此整理思路，求解即可；
（2）思路相同，的度数变了，的度数也随之变了；
（3）思路相同，的度数变了，的度数也随之变了；
（4）在前例的基础上，找到和之间的数量关系，证明思路相同。
50． 如图，直线，一副三角板，，，按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．
（1）求的度数．
（2）如图②，若将△绕点以每秒°的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转的对应点为当边FG与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值．
【答案】（1）解：∵∠ACB=45°
∴∠ACN=135°
∵CE平分∠ACN
∴∠ECN=67.5°
∵PQ∥MN
∴∠QEC=180°－∠ECN=180°－67.5°=112.5°
∵∠DEC=60°
∴∠DEQ=∠QEC－∠DEC=112.5°－60°=52.5°
（2）解：①①∵∠DCE=30°
∴∠DCN=67.5°－30°=37.5°
∵BG∥CD
∴∠CBG=∠DCN
∴3t=37.5°
∴t=12.5秒
②当FG∥HK
t1=16.5s
t2=52.5s
当FG∥EK
T3=34.5s
当FG∥HE
t4=22.5s
t5=58.5s
故答案为：16.5s，22.5s，34.5s，52.5s，58.5s
【解析】【分析】（1）根据邻补角的性质求出∠ACN的度数，再由角平分线确定∠ECN的度数，利用平行线的性质即可求解；
（2）①根据题意得出∠DVN=37.5°，再由平行线的性质得出∠CBG=∠DCN，即可求解；
②分三种情况：当FG∥HK时时，当FG∥EK，当FG∥HE，分别作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可．
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