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【50道解答题·专项集训】人教版数学九年级上册期末总复习
1．如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？
2．某校举行了某学科实验操作考试，有四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．
（1）小明抽到实验的概率为___________；
（2）小明和小敏都参加了本次考试，用画树状图或列表的方法求小明和小敏抽到同一个实验的概率．
3．已知二次函数图象过点A(2，1)，B(4，1)且最大值为2，求二次函数的解析式．
4．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票(除正面内容不同外，其余均相同)背面朝上，洗匀放好.
（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明 ”的概率是 .
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率(这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示).
5．如图所示，下列第一排表示了不同组成情况的十张牌，任意抽一张，请选择第二排的语言来描述抽到红牌的可能性，并用线连起来.
6． 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交点坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时．若抛物线的最小值为3，求的值．
7． 已知关于x的一元二次方程．
（1）证明：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若，为方程的两个根，且满足，求a的值．
8．已知 ， ，且 ，求 的值.
9．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，∠ACB=120°，AB=2 求⊙O 的半径.
10．某商品的进价为每件元，当售价为每件元使，每个月可卖件．如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件．规定每件售价不能高于元，设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
（3）若在销售过程中，每件商品都有元的其他费用，商家发现，当售价每件不低于元时，每月的销售利润随的增大而减小．求的取值范围．
11．已知二次函数（其中a、b、c为常数，且）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示：
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ．
（2）如果，求此二次函数的解析式及其图像与y轴的交点坐标．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若，当时，求的取值范围；
（2）已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围．
13．在一个不透明的盒子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外，其余都相同．小明和小英做摸球游戏，约定游戏规则是：小英先从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，小明再从中随机摸出一个球．如果两人摸到球的颜色相同，小英赢，否则小明赢．
（1）请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果；
（2）这个游戏规则公平吗？请说明理由．
14．如图，在中，，，将绕顶点C逆时针旋转角得到，DC交AB于点F，DE分别交AB，BC于点G，H．
（1）求证：；
（2）当时，试判断四边形AGEC的形状，并说明理由．
15．已知关于x的方程．
（1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
16．用公式法求抛物线的顶点坐标．
17．如图，某隧道口的横截面是抛物线型，已知隧道底部宽AB为10m，最高点离地面的距离OC为5m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在的直线为y轴，1m为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为3m，求两排灯之间的水平距离．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt ，使点 落在AB边上，连接 ，求 的长 ．
19．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种成本价为50元/盒的有机产品，如果每盒的售价为60元时，每天可以销售200盒，通过市场调查发现，每盒售价每提高1元，每天少卖出10盒．该村办企业要想每天获得2240元利润，该有机产品的售价可以定为多少元/盒？
20． 2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个．
（1）直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，每日销售利润为8960元？
（3）网店为响应“助力竐情防控，回馈社会，共渡难关”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，则的值是多少？
21． 已知x ，x 分别是一元二次方程 0的两个实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）是否存在实数 k，使得等式 成立 如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由.
22．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
23．一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，求该等腰三角形的周长.
24．某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．
（1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？
（2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？
25．当k为何值时，一元二次方程（k-1）x2-6x+9=0总有实数根．
26．已知关于x的一元二次方程 （m为常数），若方程有一个根为3，求m的值及方程的另一个根．
27．用配方法解一元二次方程： .
28．已知：二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，B(2，3)．求：这个二次函数的解析式，及这个函数图象的对称轴．
29．一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次，
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 ．
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
30．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/件） 60 65 70
销售量（件） 1400 1300 1200
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
31． 我们经常遇到需要分类的问题，画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类．
【例题】在等腰三角形ABC中，若∠A＝80°，求∠B的度数．
分析：∠A、∠B都可能是顶角或底角，因此需要分成如图1所示的3类，这样的图就是树形图，据此可求出∠B＝50°、80°或20°．
【问题解决】已知等腰三角形ABC周长为19，AB＝7，仿照例题画出树形图，并直接写出BC的长度．
32．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表所示：
时间：(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售价(元/件) x＋40 90
每天销量(件) 200-2x
已知该商品的进价为每件30元，设该商品的日销售利润为y元.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）销售该商品第几天时，日销售利润最大 最大利润是多少
（3）该商品在销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元 请直接写出结果.
33． 已知二次函数 和一次函数 ．数 ．
（1）二次函数 的图象过点 ， 求二次函数的表达式．
（2） 若一次函数 与二次函数 的图象交于 轴上同一点， 且这个点不是原点．
①求证： ．
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点， 求 的值．
34．一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高OB为，现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门.（忽略其他因素）
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
35．通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性.已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）.
（1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率.
36．某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元，其销售量增加8个，若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种是被售价应定为多少元？
37．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值．
38．随着气温的降低，乌市某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．设每台降价元，则：
（1）每天可销售 台，每台盈利 元（用含的式子表示）
（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？
（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由
39．当 x为何值时，代数式x2﹣13x+16的值与代数式（3x﹣2）（x+3）的值相等？
40．临近六一，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软弹玩具枪，每个水弹玩具枪的进价比每个软弹玩具枪的进价少5元．
（1）求每个水弹玩具枪和每个软弹玩具枪的进价分别是多少元？
（2）这批水弹玩具枪和软弹玩具枪很快被一抢而空，该商店计划再购进一批水弹玩具枪和软弹玩具枪，此时每个水弹玩具枪的进价上涨了m元，购进水弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了8m个；软弹玩具枪的进价不变，购进软弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了个，总花费1100元，求m的值．
41．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x．
（1）求y关于x的表达式及自变量x的取值范围．
（2）求y的最小值．
42．已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值.
43．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点 E，在 上取一点G，连结 CG，DG，AC.
（1）若 求的度数；
（2）求证：∠DGC=2∠BAC；
（3）若⊙O 的半径为5，BE=2，求弦AC 的长.
44．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.，OB=OC=3OA.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
45．如图，AB为⊙O的直径，C是的中点，过点C作射线BD的垂线，垂足为E.
（1）求证：CE是⊙O的切线.
（2）若BE=3，AB=4，求BC的长.
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.
46．在平面直角坐标系中，已知抛物线W：y=m(x-1)2-2的顶点为P，直线L的解析式为：y=x-4，直线L与x轴的交点为C．
（1）当抛物线W的图象经过点C时，求抛物线W与x轴的另一个交点坐标．
（2）若抛物线W上有一点Q，满足∠COQ=45°的点恰有2个，结合图象，求m的取值范围．
（3）设抛物线W和直线L交于点A、B．当AB=时，求m的值．
47．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 0.4 0.6 …
（米） 0 4 6 …
（1）求与的函数关系式；
（2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
（3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为 （直接写出结果）．
48．关于x，y的方程组有两个实数解和.若，求非零常数.
49．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围．
50．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，求∠CAE及∠B的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【50道解答题·专项集训】人教版数学九年级上册期末总复习
1．如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？
【答案】解：设页边距为
则列方程为：，
解得：，（舍去），
答：页边距为1cm．
【解析】【分析】设页边距为xcm，则打印区域的长为（16-2x）cm，打印区域的宽为（10-2x）cm，根据长方形面积的计算公式及 打印区域的面积占纸张的70％列出方程，求解即可.
2．某校举行了某学科实验操作考试，有四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．
（1）小明抽到实验的概率为___________；
（2）小明和小敏都参加了本次考试，用画树状图或列表的方法求小明和小敏抽到同一个实验的概率．
【答案】（1）
（2）解：画出树状图，
，
可知每种结果出现的可能性相同，一共有16种可能出现的结果，小明和小敏抽到同一个试验的有4种，所以小明和小敏抽到同一个试验的概率是．
【解析】【解答】解：（1）一共有A，B，C，D四个试验，小明抽到实验D的概率是．
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，一共有16种可能出现的结果，小明和小敏抽到同一个试验的有4种，根据概率公式得出答案．
（1）解：一共有A，B，C，D四个试验，小明抽到实验D的概率是．
故答案为：；
（2）解：画出树状图，
，
可知每种结果出现的可能性相同，一共有16种可能出现的结果，小明和小敏抽到同一个试验的有4种，所以小明和小敏抽到同一个试验的概率是．
3．已知二次函数图象过点A(2，1)，B(4，1)且最大值为2，求二次函数的解析式．
【答案】解：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，则由已知条件得：
，解得a=-1，b=6，c=-7；
∴所求二次函数解析式为y=-x2+6x-7．
【解析】【分析】设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，再根据题意列出方程组求出a、b、c的值即可。
4．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票(除正面内容不同外，其余均相同)背面朝上，洗匀放好.
（1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明 ”的概率是 .
（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率(这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示).
【答案】（1）
（2）解：树状图如图所示，
结果共有9种，至少有一张是“雨水”的结果有5种，故概率.
【解析】【解答】解：(1)随机抽一张邮票有3种结果，抽到“清明”的概率P=；
【分析】(1)随机抽一张邮票有3种结果，故抽到清明的概率为；
(2)列出树状图知结果共有9种，有雨水的结果有5种，即知其概率.
5．如图所示，下列第一排表示了不同组成情况的十张牌，任意抽一张，请选择第二排的语言来描述抽到红牌的可能性，并用线连起来.
【答案】解：如图，
【解析】【分析】根据可能性大小的比较，在其他条件都相同时，包含情况的数量越多，可能性就越大；A中红牌数量为0，抽到红牌的可能性为0；E中10张都是红牌，一定可以抽到红牌；B、C、D中红牌的数量分别为2、5、8，所以抽到红牌的可能性越来越大.
6． 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交点坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时．若抛物线的最小值为3，求的值．
【答案】（1）解：把，代入.
得，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）根据（1），，
抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线在的图象是随着的增大而增大，
当时，，
解得（舍去）或；
当时，即，此时，抛物线在的图象是随着的增大而减小，
当时，，即，
解得（舍去）或；
当时，即，结合函数的图象，抛物线在的最小值是，
此时，不合题意，
综上所述，当时，若抛物线的最小值为，的值是4或．
【解析】【分析】（1）根据点在 抛物线（为常数） 上，即可得出，进一步即可得出抛物线对应的函数表达式为；
（2） 将交点坐标代入抛物线的一般方程中，解出未知数m。在得到抛物线的解析式后，我们再利用抛物线的性质来求解第二问。具体来说，我们需要确定抛物线在给定区间内的最小值，并通过解析式求解出满足条件的t值。
7． 已知关于x的一元二次方程．
（1）证明：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若，为方程的两个根，且满足，求a的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意，得：，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据，即可得证；
（2）根据根与系数的关系，得到，代入代数式求解即可．
8．已知 ， ，且 ，求 的值.
【答案】解：由 ，可知 ，则 两边同除以 ，
又 ， ，于是 和 可以视为方程 的两个根
，
【解析】【分析】由题意将等式n2+2n-1=0变形得（）2--1=0，于是可知：m和可以看作是方程x2-2x-1=0的两个根，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+=2，m·=-1，将所求代数式变形为原式=m+-，然后整体代换计算即可求解.
9．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，∠ACB=120°，AB=2 求⊙O 的半径.
【答案】解：连接AO 并延长，交⊙O 于点 D，连接BD.
∵∠D+∠C=180°，∠ACB=120°，
∴∠D=60°.在直角三角形ABD 中，∠DAB=30°，
∴BD= AD，由勾股定理，可求AD=4，
∴⊙O 的半径为2.
【解析】【分析】连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD，根据圆内接四边形性质得∠D=60°，根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理即可求解.
10．某商品的进价为每件元，当售价为每件元使，每个月可卖件．如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件．规定每件售价不能高于元，设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
（3）若在销售过程中，每件商品都有元的其他费用，商家发现，当售价每件不低于元时，每月的销售利润随的增大而减小．求的取值范围．
【答案】（1）解：因为进价为每件元，当售价为每件元使，每个月可卖件，售价每上涨元，则每个月少卖件，
设每件商品的售价上涨元（为正整数），
∴，且，为整数，
所以函数的关系式为，其中为整数．
（2）解：根据销售利润的函数可得，
二次函数的系数分别是，，，
函数的对称轴，
∵为整数，∴当时，（元），
当时，（元），
∴当时，销售价格是元，销售利润最大，最大为元，
（3）解：根据题意，可得，
∴二次函数的系数分别是，，，
该函数的对称轴是，
∵当售价每件不低于元时，每月的销售利润随的增大而减小，∴，即，
∵，为整数，∴，即，解不等式得，.
【解析】【分析】（1）设每件商品的售价上涨元，根据上涨元，则销量为件，进而的利润的关系式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，求二次函数的对称轴对应的函数值，由此即可求解；
（3）根据题意，先求出涨价后去除其他费用和进价才是利润，由此可得出二次函数，再根据二次函数的特点即可求出答案．
（1）解：进价为每件元，当售价为每件元使，每个月可卖件，售价每上涨元，则每个月少卖件，设每件商品的售价上涨元（为正整数），
∴，且，为整数，
故答案是：，为整数．
（2）解：根据销售利润的函数可得，
二次函数的系数分别是，，，
函数的对称轴，
∵为整数，
∴当时，（元），
当时，（元），
∴当时，销售价格是元，销售利润最大，最大为元，
故答案是：销售价是元，销售利润最大，最大为元．
（3）解：根据题意得，，
∴二次函数的系数分别是，，，
该函数的对称轴是，
∵当售价每件不低于元时，每月的销售利润随的增大而减小，
∴，即，
∵，为整数，
∴，即，解不等式得，，
故答案是：．
11．已知二次函数（其中a、b、c为常数，且）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示：
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ．
（2）如果，求此二次函数的解析式及其图像与y轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）解：设二次函数解析式为，
把，代入，得
，
∴，
∴，
当时，
，
∴与y轴的交点坐标为．
【解析】【解答】解：（1）∵x=-1和x=3时，y=0，
∴二次函数图象的对称轴是直线．
故答案为：x=1；
【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）先用待定系数法求出函数解析式，再求与y轴的交点坐标。
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若，当时，求的取值范围；
（2）已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
比距离对称轴远，
时，为函数最小值，
当时，为函数最大值，
当时，；
（2）解：对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，函数有最小值，
∴，
∵，
∴，即，
，
解得，
当时，抛物线开口向下，函数有最大值，
∴，
∵，
∴，即，
，
解得，
的取值范围是或．
【解析】【分析】（1）当时，，求出抛物线对称轴为x=1，在之间，所以在对称轴处取得最小值，比距离对称轴远，在x=-2处取得最大值，即可求出答案.
（2）分a>0，或a<0，对称轴为直线，在对称轴处取得最大值或最小值，可得y1，y2，y3之间的关系，再根据绝对值的性质即可求出答案.
13．在一个不透明的盒子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外，其余都相同．小明和小英做摸球游戏，约定游戏规则是：小英先从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，小明再从中随机摸出一个球．如果两人摸到球的颜色相同，小英赢，否则小明赢．
（1）请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果；
（2）这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【答案】（1）解：画树状图为：
共有9种等可能的结果；
（2）解：这个游戏规则不公平．
理由如下：
两球的颜色相同的结果数为5，两球的颜色不相同的结果数为4，
所以小英赢的概率＝，小明赢的概率＝，
因为＞，
所以这个游戏规则不公平．
【解析】【分析】（1）根据题意，将游戏的结果用树状图进行表示；
（2）结合两人赢的概率判断游戏的公平性。
14．如图，在中，，，将绕顶点C逆时针旋转角得到，DC交AB于点F，DE分别交AB，BC于点G，H．
（1）求证：；
（2）当时，试判断四边形AGEC的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵绕顶点C逆时针旋转角a得到，
∴，，，
在和中，，
∴，∴；
（2）解：四边形AGEC是菱形，理由如下：
∵旋转角，，
∴，
∵，，
∴，
∵绕顶点C逆时针旋转角a得到，
∴，，
∴，，
∴，，
∴四边形AGEC是平行四边形，又，
∴四边形AGEC是菱形．
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，再根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得，根据三角形内角和定理可得，再根据旋转性质可得，，再根据直线判定定理可得，，则四边形AGEC是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.
15．已知关于x的方程．
（1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）解：将代入方程得：，
解得：，
将代入方程，整理可得：，
即，
解得：或，
该方程的另一个根．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）先将x=1代入方程求出a的值，再将a的值代入可得，最后求出x的值即可.
16．用公式法求抛物线的顶点坐标．
【答案】解：∵，，，
∴，
，
∴该函数图象的顶点坐标为．
【解析】【分析】由题意先找出a、b、c的值，然后根据抛物线的顶点坐标公式“（，）”计算即可求解.
17．如图，某隧道口的横截面是抛物线型，已知隧道底部宽AB为10m，最高点离地面的距离OC为5m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在的直线为y轴，1m为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为3m，求两排灯之间的水平距离．
【答案】（1）解：由题意知顶点C为（0，5），
∵抛物线经过A（﹣5，0），
设抛物线的函数表达式为y＝ax2+5，
把A（﹣5，0）代入解析式得25a+5＝0，
解得a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+5；
（2）解：把y＝3代入y＝﹣x2+5中，得3＝﹣x2+5，
解得x1＝，x2＝﹣，
∴两排灯之间的水平距离为2m．
【解析】【分析】（1）先根据题意得到点C的坐标，进而设抛物线的函数表达式为y＝ax2+5，将点A代入即可得到抛物线的解析式；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点问题即可求解。
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt ，使点 落在AB边上，连接 ，求 的长 ．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
则AB＝2AC＝2cm，且∠BAC＝60°.
由旋转的性质，得AB＝AB’，∠B’AC‘＝∠BAC＝60°，
∴△ABB’是等边三角形，故BB’＝AB＝2cm.
【解析】【分析】根据直角三角形的性质以及旋转的性质，继而由线段垂直平分线的性质，求出答案即可。
19．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种成本价为50元/盒的有机产品，如果每盒的售价为60元时，每天可以销售200盒，通过市场调查发现，每盒售价每提高1元，每天少卖出10盒．该村办企业要想每天获得2240元利润，该有机产品的售价可以定为多少元/盒？
【答案】解：设每件服装售价提高x元，则每天可售出(200-10x)件，根据题意，得：
(60+x-50)(200-10x)=2240
整理，得：x2-10x+24=0，
解得：x1=4，x2=6，
∴60+x=64或66．
答：该服装每件售价是64元或66元时，商店销售这批服装获利能达到2240元．
【解析】【分析】设每件服装售价提高x元，则每天可售出(200-10x)件，根据题意列出方程(60+x-50)(200-10x)=2240求解即可。
20． 2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个．
（1）直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，每日销售利润为8960元？
（3）网店为响应“助力竐情防控，回馈社会，共渡难关”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，则的值是多少？
【答案】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，
∴，
∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元，
∴，
∴．
即，其中．
（2）解：由题意得：，
整理得，
解得：，
，
，
答：当销售单价为58元时，网店每日销售利润为8960元．
（3）解：设每天扣除捐赠后可以获得利润为元，
则，
，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线，
，
，
当时随的增大而增大，
时，，
即：，
解得：，
∴m的值为3．
【解析】【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用．
（1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，可列出函数解析式：，再根据题意可列出不等式组：，解不等式组可求出x的取值范围；
（2）根据每日销售利润为8960元，可列出方程，解方程可求出答案；
（3）设每天扣除捐赠后可以获得利润为元，得出，求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，利用二次函数的增减性可求出，进而求出m的值．
21． 已知x ，x 分别是一元二次方程 0的两个实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）是否存在实数 k，使得等式 成立 如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ x ，x 分别是一元二次方程0的两个实数根，
∴b2-4ac≥0，即(-2)2-4(k+2)≥0，
解得k≤-1；
∴k的取值范围为k≤-1；
（2）解：存在，理由如下：
∵ x ，x 分别是一元二次方程0的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
经检验，都是该分式方程的根，
又∵k≤-1，
∴k的值为-，
即当k的值为-时， 等式 成立.
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母k的不等式，求解即可得出k的取值范围；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数，求出x1x2及x1+x2的值，然后通分计算已知方程的左边后整体代入可得关于字母k的方程，解方程、检验并结合k的取值范围可得答案.
22．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
【答案】（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
【解析】【分析】（1）设平均增长率为，由题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设降价元，由题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
23．一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，求该等腰三角形的周长.
【答案】解： ，
，
则 或 ，
解得 或 ，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为 .
该等腰三角形的周长是15.
【解析】【分析】先利用因式分解法解一元二次方程，然后分两种情况讨论，即当3是腰时和当6是腰时，先根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形，然后求其周长即可.
24．某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．
（1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？
（2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？
【答案】（1）解：设每个小家电销售定价为x元，
则销量为（个），
依题意得，
解得，
，
答：应降价8元；
（2）解：由题意，得，
整理得：
解得，，
使顾客得到实惠，售价为50元．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用．
（1）设每个小家电销售定价为x元，根据题意列出一元一次方程，解一元一次方程可求出答案；
（2）根据题意可得等量关系：，据此可列出一元二次方程，解一元二次方程可求出销售定价，再根据题意可确定答案．
25．当k为何值时，一元二次方程（k-1）x2-6x+9=0总有实数根．
【答案】解：根据判别式的意义得到＝(-6)2﹣4×(k-1)×9≥0，且k-1≠0，
解得k≤2且k≠1．
【解析】【分析】根据方程总有实数根可得△=b2-4ac≥0且k-1≠0，代入求解可得k的范围.
26．已知关于x的一元二次方程 （m为常数），若方程有一个根为3，求m的值及方程的另一个根．
【答案】解：∵3是方程的一个根，
∴ ，
∴ ．
设方程的另一个根为 ，
∵ ，
∴ ．
∴m的值为 ；方程的另一个根为 ．
【解析】【分析】根据题意求出 ，再根据 ， 计算求解即可。
27．用配方法解一元二次方程： .
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
【解析】【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方“
”，即可配方，再开方解出方程即可.
28．已知：二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，B(2，3)．求：这个二次函数的解析式，及这个函数图象的对称轴．
【答案】解：∵二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，B(2，3)， ∴ 解得 ∴这个二次函数的解析式为y＝2x2﹣3x+1， 这个函数图象的对称轴为直线 ．
【解析】【分析】利用待定系数法把点A（1，0）和B（2，3）代入二次函数y＝2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式，在利用x＝﹣ 求出图象的对称轴；
29．一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次，
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 ．
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】（1）0.3
（2）解：画树状图得，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为．
【解析】【解答】（1）解：3÷10=0.3， 故摸出黄球的频率是 0.3，
故答案为：0.3.
【分析】⑴根据频率的定义计算即可.
⑵利用树状图求事件发生的概率.
30．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元/件） 60 65 70
销售量（件） 1400 1300 1200
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得，，
∴与之间的函数表达式为；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得，，，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：
=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），根据待定系数法将x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式即可求出答案.
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设售价定为x元，根据题意建立函数解析式，结合二次函数的性质即可求出答案.
31． 我们经常遇到需要分类的问题，画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类．
【例题】在等腰三角形ABC中，若∠A＝80°，求∠B的度数．
分析：∠A、∠B都可能是顶角或底角，因此需要分成如图1所示的3类，这样的图就是树形图，据此可求出∠B＝50°、80°或20°．
【问题解决】已知等腰三角形ABC周长为19，AB＝7，仿照例题画出树形图，并直接写出BC的长度．
【答案】解：树形图如下：
BC的长度是5、6或7．
【解析】【解答】解：树形图如下：
当AB为底边，BC为腰时，BC（19﹣7）＝6；
当AB为腰，BC为腰时，BC＝AB＝7；
当AB为腰，BC为底边时，BC＝19﹣2×7＝5．
综上所述，BC的长度是5、6或7．
【分析】先根据题意画出树状图，进而根据等腰三角形的性质分类讨论即可求解。
32．九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表所示：
时间：(天) 1≤x<50 50≤x≤90
售价(元/件) x＋40 90
每天销量(件) 200-2x
已知该商品的进价为每件30元，设该商品的日销售利润为y元.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）销售该商品第几天时，日销售利润最大 最大利润是多少
（3）该商品在销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元 请直接写出结果.
【答案】（1）解：当1≤x≤50时，y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000；
当50≤x≤90时，y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000，
；
（2）解：当时，二次函数开口向下，二次函数的对称轴为，
当时，；
当时，随的增大而减小，
当时，.
综上所述，第45天时，日销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）解：当时，，解得，
因此利润不低于4800元的天数是，共30天；
当时，，解得，
因此利润不低于4800元的天数是，共11天，
所以该商品在销售过程中，共有41天的日销售利润不低于4800元
【解析】【分析】（1）根据题意可以分别求得1≤x≤50和50≤x≤90时的y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以分别求得两段的函数的最大值，从而可以解答本题；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题.
33． 已知二次函数 和一次函数 ．数 ．
（1）二次函数 的图象过点 ， 求二次函数的表达式．
（2） 若一次函数 与二次函数 的图象交于 轴上同一点， 且这个点不是原点．
①求证： ．
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点， 求 的值．
【答案】（1）解： 二次函数 的图象过点 ，
解
二次函数的表达式的
（2）解：①证明： 令 ， 则 ， 解得 或 ．
抛物线 与 轴交于点 ．
令 ， 则 ．
直线 与 轴交于点 ，
若一次函数 与二次函数 的图象交于 轴上同一点， 且这个点不是原点，
则 ．
②，
二次函数图象的顶点坐标为 ．
两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
．
由①知 ．
解得 (不合题意， 舍去) 或 ．
若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点， 则 的值为 2
【解析】【分析】（1）将两点代入二次函数，求解方程即可；
（2）①分别令 ，，求得与x轴交点，从而求解得出结论；
②由二次函数得到顶点坐标，将顶点坐标代入一次函数，化简即可求得m的值.
34．一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面.已知球门高OB为，现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门.（忽略其他因素）
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
【答案】（1）解：根据题意，可知抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线的函数表达式为 y＝a（x 2）2＋3，
把A（8，0）的坐标代入，得36a＋3＝0，
解得a＝，
∴抛物线的函数表达式为y＝（x 2）2＋3，
∴当x＝0时，y＝＞2.44，
∴球不能射进球门.
（2）解：设小明带球向正后方移动bm，则移动后的抛物线的函数表达式为y＝（x 2 b）2＋3，
把（0，2.25）代入得2.25＝（x 2 b）2＋3，
解得：b1＝1或b2＝ 5（不合题意，舍去），
∴当小明带球向正后方移动1m射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
【解析】【分析】（1）先利用顶点式求出二次函数的解析式y＝（x 2）2＋3，再将x=0代入求出y的值即可。
（2）将（0，2.25）代入解析式可得得2.25＝（x 2 b）2＋3，再求出b的值即可.
35．通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性.已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）.
（1）小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）；
（2）小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率.
【答案】（1）不可能
（2）解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
【解析】【分析】（1）由题意可知通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，则小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是不可能事件；
（2）先进行列表，由列表可知共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，则两瓶溶液恰好都变红色的概率为．
36．某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元，其销售量增加8个，若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种是被售价应定为多少元？
【答案】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：(不符合题意，舍去)．
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4864元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
∴售价为元
答：该这种台灯售价为38元．
【解析】【分析】（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4864元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：(不符合题意，舍去)．
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4864元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
∴售价为元
答：该这种台灯售价为38元．
37．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值．
【答案】（1）证明：
；
又，
，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：，，，
，
，
整理得，
解得或，
故的值为或．
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得此题就是证明根的判别式一定不为负数，从而算出根的判别式的值，再结合偶数次幂的非负性即可解答；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，，用含m的式子表示出x1+x2与的值，然后利用配方法将已知等式变形为，整体代入可得关于字母m的方程，解方程即可求出m的值.
38．随着气温的降低，乌市某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．设每台降价元，则：
（1）每天可销售 台，每台盈利 元（用含的式子表示）
（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？
（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由
【答案】（1）；
（2）解：设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要尽快减少库存，
．
答：每台空气加湿器应降价20元．
（3）解：不能，理由如下：
设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
该商场平均每天盈利不能达到2500元．
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：每天可销售的数量为：30+2x（台）；每台盈利：50-x（元），
故答案为：；.
【分析】（1）根据“ 每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台 ”可求出每天销售数量，利用“利润=售价-成本”可得每天的利润；
（2）设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，根据“每天要盈利2100元”列出方程，再求解即可；
（3）设每台空气加湿器降价元，则每天盈利元，每天可以售出台，根据“每天盈利能达到2500元”列出方程，再求解即可.
39．当 x为何值时，代数式x2﹣13x+16的值与代数式（3x﹣2）（x+3）的值相等？
【答案】解：依题意有x2-13x+16=（3x-2）（x+3），
x2-13x+16=3x2+7x-6，
x2+10x-11=0，
（x+11）（x-1）=0，
解得：x1=-11，x2=1.
故当x为-11或1时，代数式x2-13x+16的值与代数式（3x-2）（x+3）的值相等
【解析】【分析】由题意可得关于x的一元二次方程，解方程即可求解.
40．临近六一，某商店分别用300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软弹玩具枪，每个水弹玩具枪的进价比每个软弹玩具枪的进价少5元．
（1）求每个水弹玩具枪和每个软弹玩具枪的进价分别是多少元？
（2）这批水弹玩具枪和软弹玩具枪很快被一抢而空，该商店计划再购进一批水弹玩具枪和软弹玩具枪，此时每个水弹玩具枪的进价上涨了m元，购进水弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了8m个；软弹玩具枪的进价不变，购进软弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少了个，总花费1100元，求m的值．
【答案】（1）解：设一个软弹玩具枪进价为x元，一个水弹玩具枪的进价为元，根据题意得
，
解之：，
经检验是方程的解且符合题意，
∴x-5=8-5=3
答：一个软弹玩具枪进价为8元，一个水弹玩具枪的进价为3元
（2）解：第一次购进水弹玩具枪的数量为：个
第一次购进软弹玩具枪的数量为：个
根据题意可得，，
解得，
答：m的值为2
【解析】【分析】（1）抓住题中关键的已知条件： 分别用300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软弹玩具枪； 每个水弹玩具枪的进价比每个软弹玩具枪的进价少5元 ；这里包含了两个等量关系，再设未知数，列方程求解即可.
（2）利用（1）中计算的结果，可求出第一次购进软弹玩具枪的数量和水弹玩具枪的数量，再根据题意可表示出再次购进两种玩具枪的数量，然后根据总花费1100元，可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可.
41．如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x．
（1）求y关于x的表达式及自变量x的取值范围．
（2）求y的最小值．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴
∵边长为x，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：∵∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
在范围内．当时，函数有最小值，为
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可表示出BE、AH、AE、DH的长，再利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，可得到y与x的函数关系.
（2）将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，再利用二次函数的增减性，可求出在范围内y的最小值.．
（1）解：∵四边形是矩形，
∴
∵边长为x，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
（2）解：∵
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
在范围内．当时，函数有最小值，为
42．已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值.
【答案】解：将x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，得（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0，
∴a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
由于a﹣2≠0，
故a＝﹣2.
【解析】【分析】将x=1代入一元二次方程中可得关于a的方程，求解即可.
43．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点 E，在 上取一点G，连结 CG，DG，AC.
（1）若 求的度数；
（2）求证：∠DGC=2∠BAC；
（3）若⊙O 的半径为5，BE=2，求弦AC 的长.
【答案】（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB于点 E，
∵∠A=25°，∴的度数为50°，
∴的度数为
（2）证明：连结AD，如图.
由(1)知
∴∠BAC=∠BAD，
∴∠DAC=2∠BAC.
又∵∠DGC=∠DAC，
∴∠DGC=2∠BAC
（3）解：连结OC，如图.
∵⊙O 的半径为5，BE=2，
∴OC=5，OE =OB-BE=3，AE=AB-BE=8.
∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°、
在 Rt△OEC 中，由勾股定理，得 OE2 + 即
在 Rt△ACE 中，由勾股定理，得 AC=
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理解答即可；
（2）连结AD，根据圆周角定理和推论解答即可；
（3）连结OC，在Rt△OEC和Rt△ACE中根据勾股定理解答即可.
44．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.，OB=OC=3OA.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：（1）∵，，∠AOC=90°，
∴由勾股定理，得，即，
解得，，
∴，，.
将三点坐标代入中，
则，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点P作y轴的平行线交BC于点H.
设直线BC的表达式为，
将，代入，
得，
解得，
∴直线BC的表达式为，.
设点，则点，
∴ .
∵，
∴当时，S有最大值.
将代入，得，
∴；
（3）解： 由（1）（2）得，.
根据题意，设，.
当点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况：
①如图，若BP为平行四边形的对角线，
则，
解得或（此时P、Q重合，不合题意，舍去）.
将代入抛物线，得.
∴；
②如图，若BQ为平行四边形的对角线，
则，
解得或（此时P、Q重合，不合题意，舍去）.
将代入抛物线，得.
∴；
③如图，若BM为平行四边形的对角线，
则，
解得或.
分别将，代入抛物线，得.
∴，.
综上所述，点Q的坐标为或或．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出OA，OB和OC，得到A，B，C的坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，先求出直线BC的表达式，然后设点，利用，即可求出S△BPC面积最大时点P的坐标.
（3）根据平行四边形的性质分三种情况：①BP为平行四边形的对角线；②BQ为平行四边形的对角线；③BM为平行四边形的对角线，然后分别列方程求解即可求出点Q的坐标．
45．如图，AB为⊙O的直径，C是的中点，过点C作射线BD的垂线，垂足为E.
（1）求证：CE是⊙O的切线.
（2）若BE=3，AB=4，求BC的长.
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
∵点C是弧AC的中点，
∴弧AC＝弧DC，
∴∠ABC=∠EBC，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠EBC=∠OCB，
∴OC∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BE⊥CE，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）如图2，连接OD、CD，AC，CD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠ABC=∠EBC，
∴△ACB∽△CEB，
∴，
即，
解得：BC=，
（3）解：如图2所示
∵AB=4，BC=
∴AC=2，∠CBA=30°，
∴∠COD=∠AOC=∠BOD=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠AOC=60°，
∴CD∥AB，
∴S△COD=S△CBD，
∴S阴影部分＝S扇形COD＝=．
【解析】【分析】（1）等弧所对的圆心角相等，即∠ABC=∠EBC，再通过角的等量关系转换可证明OC∥BE，从而OC⊥CE；
（2）通过证得△ACB∽△CEB，根据相似比求出BC；
（3）根据三角形ABC三边的长度关系，可判断出∠CBA=30°，从而得知△COD是等边三角形，CD∥AB，三角形OCD和三角形BCD为同底等高的关系，所以阴影部分的面积即是扇形COD的面积，通过扇形的面积公式求解.
46．在平面直角坐标系中，已知抛物线W：y=m(x-1)2-2的顶点为P，直线L的解析式为：y=x-4，直线L与x轴的交点为C．
（1）当抛物线W的图象经过点C时，求抛物线W与x轴的另一个交点坐标．
（2）若抛物线W上有一点Q，满足∠COQ=45°的点恰有2个，结合图象，求m的取值范围．
（3）设抛物线W和直线L交于点A、B．当AB=时，求m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线W的对称轴是：x=1，点C的坐标为：(4，0)，
∴根据对称性，抛物线W与x轴的另一个交点为：(-2，0)
（2）解：当m>0时，如图
若x=0，二次函数的函数值y≤0时，则抛物线W上有两个点Q，Q'，使得∠COQ=45°
∴m-2≤0，m≤2
∴0当m<0时，如图
若抛物线与y=-x图象有两个交点时，则抛物线W上有两个点Q'，Q"，使得∠COQ=45°
m(x-1)2-2=-x
mx2+(1-2m)x+m-2=0
b2-4ac=(1-2m)2-4m(m-2)>0
解得m>
∴综上所述0（3）解：m(x-1)2-2=x-4
mx2+(-1-2m)x+m+2=0
∴x1+x2=x1x2=
∴|x1-x2|=
即
解得：m=或m=-1
【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式可得到抛物线的对称轴，利用直线L的函数解析式可求出点C的坐标，再利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标.
（2）分情况讨论：当m＞0时，若x=0，可得到抛物线W上有两个点Q，Q'，使得∠COQ=45°，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，即可得到m的取值范围；当m＜0时，若抛物线与y=-x图象有两个交点时，则抛物线W上有两个点Q'，Q"，使得∠COQ=45°，可得到m(x-1)2-2=-x，由b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，即可得到m的取值范围.
（3）利用抛物线和直线L的函数解析式，可得到关于x的方程，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得到x1+x2和x1x2，再根据抛物线W和直线L交于点A、B．当AB=时，可得到|x1-x2|=，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可.
47．小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，．
信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
（秒） 0 0.4 0.6 …
（米） 0 4 6 …
（1）求与的函数关系式；
（2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
（3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为 （直接写出结果）．
【答案】（1）解：∵图象经过点，，
，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由表格可知，
∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，
代入得：，
解得：，
∴，
对于，，
∴开口向下，
∵对称轴为：直线
∴当时，，
此时，
解得：，
∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米；
（3）
【解析】【解答】
解：（3）由题意，当t=1.6秒时，x=101.6=16，
代入原抛物线得y=-0.05162+0.816+1.8=1.8， 即此时球的坐标为（16，1.8）
又∵新抛物线y=-0.02x2+px+m过点(16，1.8)， 得m=1.8+0.02 162-16p=6.92-16p，
∴抛物线为y=-0.02x2+px+6.92-16p.
又∵当x=2时，y≥1.8，
∴-0.0222+2p+6.92-16p≥ 1.8.
∴
故答案为： p≤0.36.
【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式：把点，带入解析式计算即可解答；
（2）观察表格可知，设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：，代入点的坐标即可得到，对于根据函数的性质得到当时，y的最小值为5，此时，计算即可解答；
（3）先求出球得坐标为（16，1.8），再代入新抛物线解析式得到m=6.92-16p，再根据题意网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于；列式计算即可解答.
48．关于x，y的方程组有两个实数解和.若，求非零常数.
【答案】解：由已知得，
所以
即（）
把代入得
则有代入（）
得
即又
所以
【解析】【分析】本题将方程组 分开进行变形讨论，因为该方程组有两个实数解，所以，然后利用根与系数的关系将y1y2和y1+y2用n和a表示出来，最后变形为方程求解即可。
49．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点，把代入二次函数中，得2a+b=0，即b=-2a，再根据抛物线对称轴直线公式可得答案；
（2）由于y=ax2+bx-2中a＞0，其对称轴直线为x=1，故函数图象开口向上，当x=1时，函数有最小值为-3，即a+b-2=-3，联合（1）中2a+b=0，求解得出a、b的值，可得二次函数的表达式，进而根据二次函数图象的平移规律“左加右减”得出平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可；
（3）由（1）得b=-2a，将其代入抛物线可得y=ax2-2ax-2，由根与系数的关系得到，， 再根据完全平方公式恒等变形得，整体代入计算可得，然后整体代入不等式组求解即可得出a的取值范围.
（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，
即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
50．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB=20°，求∠CAE及∠B的度数．
【答案】解：根据旋转的性质可知CA=CE，且∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形．
∴∠CAE=45°；
根据旋转的性质可得∠BDC=90°，
∵∠ACB=20°．
∴∠ACD=90°-20°=70°．
∴∠EDC=45°+70°=115°．
∴∠B=∠EDC=115°．
【解析】【分析】先利用旋转的性质可得CA=CE，且∠ACE=90°，证出△ACE是等腰直角三角形，再结合∠ACB=20°，利用角的运算求出∠ACD=90°-20°=70°，最后求出∠B=∠EDC=115°即可．
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