第1章集合与常用逻辑用语章末重难点检测卷（含解析）-高一数学上学期人教A版（2019）

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第1章集合与常用逻辑用语章末重难点检测卷-高一数学上学期人教A版（2019）
一、单选题
1．《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．集合，则与的关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若集合恰有两个子集，则实数的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
5．若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡儿积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为
C．
D．
8．在研究集合时，用来表示有限集合中元素的个数.集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列表述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知为全集，下列各项中与等价的有（ ）
A． B．
C． D．
11．关于的方程恰有一个实数根的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．或 C．或 D．
三、填空题
12．设集合，若，则实数的值为 .
13．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有 种．
14．已知集合，若，则
四、解答题
15．已知，，如果，求a的值，求.
16．已知集合，.
(1)求；
(2)求
17．已知，，.：关于x的方程的解集中最多有一个元素.
(1)若，求实数c的取值范围；
(2)若，和中有且仅有一个成立，求实数m的取值范围.
18．已知集合或，或.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围.
19．已知集合A为非空数集，定义：，
(1)若集合，直接写出集合S，T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D C D D A AC BCD
题号 11
答案 BD
1．B
【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可.
【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必，
所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件，
故选：B
2．B
【分析】判断两个集合的元素特征，即可判断选项.
【详解】集合中的元素是偶数，集合中的元素是4的倍数，所以 .
故选：B
3．B
【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可.
【详解】①正确，②错误，③错误，④错误，⑤正确，⑥错误；
故选：B
4．D
【分析】分析可知，集合只有一个元素，即关于的方程只有一个实数根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出.综合可得出实数的值.
【详解】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素，
即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论：
当时，即当时，原方程为，解得，合乎题意；
当时，即当时，则，
解得或.
综上所述，或.
故选：D.
5．C
【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解.
【详解】因为，解之可得或，
，解之可得或，
根据集合元素互异性可知集合一共有3个元素.
故选：C
6．D
【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，，，则；
对于B选项，，，则；
对于C选项，为点集，为数集，则；
对于D选项，，，则.
故选：D.
7．D
【分析】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误；
对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误；
对于D，任意，则存在，
使得，因为且，故且，
故，故
任意，则存在，使得，
故，故，故，
故，
故选：D
【点睛】关键点睛：证明两个集合相等，关键是证明它们彼此包含，后者依据定义证明.
8．A
【分析】利用新定义与集合的交集运算得到，进而求得的取值范围，从而得解.
【详解】根据题意可知集合中有两个元素，
又，，所以，
则.
故选：A.
9．AC
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系可判断出选项B和D的正误；再由任何集合是本身的子集及是任何集合的子集可判断出选项A和C的正误.
【详解】对于选项A，因任何集合是本身的子集，所以，故选项A正确，
对于选项B，因为，所以，故选项B错误，
对于选项C，因为是任何集合的子集，所以选项C正确，
对于选项D，因元素与集合间的关系是“”与“”，所以选项D错误，
故选：AC.
10．BCD
【分析】根据集合的包含关系及集合的运算逐个分析判断.
【详解】对于A，当时，，所以A错误，
对于B，当时，，反之当时，，所以B正确，
对于C，当时，成立，反之当时，成立，所以C正确，
对于D，当时，成立，反之当，成立，所以D正确.
故选：BCD
11．BD
【分析】求出恰有一个实数根的等价条件后可得正确的选项.
【详解】若，则原方程为，恰有一个实数根，符合；
若，则，故，
故关于的方程恰有一个实数根的等价条件为或，
ABCD个选项中，只有BD对应的选项中的元素构成的集合为的真子集，
故选：BD.
12．3
【分析】由题意分情况讨论，建立方程，可得答案.
【详解】当时，则，故不符合题意；
当时，则，化简可得，（1不合题意舍去）；
故答案为：.
13．
【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案.
【详解】当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集，
有（种）选择方法；
当A中最大的数为2时，A可以是或，
B可以是的非空子集，有（种）选择方法；
当A中最大的数为3时，A可以是，，或，
B可以是的非空子集，有（种）选择方法；
当A中最大的数为时，A可以是，，，，，，,
或，B可以是的非空子集，有（种）选择方法.
当中最大的数为时，可以是：，，
，，
，是，有（种）选择方法.
所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法.
故答案为：
【点睛】思路点睛：解题的突破口在于“中最小的数大于中最大的数”，解题的思想方法是分类讨论的数学思想方法，根据集合中最大的数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
14．1或2
【分析】讨论集合B中的元素，根据可得解.
【详解】因为，
，
当时，，此时，，满足题意，
当时，，由可得，即.
综上，1或2.
故答案为：1或2.
15．
【分析】根据交集的定义，先得到，则，再分别在时和时，检验即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
当时，，则题设矛盾.
当时，，则符合题设，
∴.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用交集和并集运算求解即可；
（2）利用补集及交集的运算求解即可.
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵或，
∴.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，化简集合并求出，再结合判别式求出，然后利用集合的包含关系求出的范围.
（2）由及（1）求出，再按成立不成立和不成立成立分类求解即可.
【详解】（1）由有意义，得，解得，此时，
因此，，
由关于x的方程的解集中最多有一个元素，得，
解得，由，得，则，即，
所以实数c的取值范围是.
（2）当时，，，，
当成立，不成立时，且，则，
当不成立，成立时，且，则，因此，
所以实数m的取值范围是.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解；
（2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解；
（3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：当时，或，所以.
（2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
（3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集，
①当时，即时，此时，符合题意；
②当时，即时，则满足，即，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
19．(1)，.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合；
（2）根据两集合相等即可找到的关系；
（3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值．
【详解】（1）由题设中的定义可得：，.
（2）取，则，而，
且，故，又，
而均为中元素且非零，故即，
故.
（3）设，其中，
不妨设，
则，
所以，
因为，
又因为，所以，
中最小的元素为0，最大的元素为，，
所以，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，
则，，
依题意有，解得，
故的最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
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