第2章直线和圆的方程章末重难点检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 第2章直线和圆的方程章末重难点检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-12 00:00:00 | ||
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文档简介
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第2章直线和圆的方程章末重难点检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）
一、单选题
1．下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④
2．若直线与直线垂直，且直线与直线 ：垂直，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
5．直线，，，的图象如图所示，斜率最大的直线是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，点在轴上，且，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C．或2 D．或1
7．已知圆 圆 则这两圆的圆心距为（ ）
A．5 B．25 C．10 D．
8．已知直线绕原点逆时针旋转与圆相交于两点，则（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．已知点，，直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，则直线的斜率的取值可能为（ ）
A． B． C． D．1
10．下列结论正确的是（ ）
A．已知点在圆：上，则的最大值是
B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相交
D．若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
11．已知两定点，若动点满足，则（ ）
A．动点的轨迹为不经过点的圆 B．动点的轨迹为以线段为直径的圆
C．动点的轨迹关于点中心对称 D．动点的轨迹关于直线轴对称
三、填空题
12．设有一组圆，存在定直线 始终与圆相切.
13．若圆与圆有且仅有一条公切线， .
14．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为.
(1)求的一般式方程；
(2)若直线经过点，且，求的方程.
16．已知在中，边上的高所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为．
(1)求两点的坐标；
(2)求的外接圆方程．
17．已知圆.
(1)求圆的半径；
(2)若直线与圆相切于点，求直线的方程.
18．已知半径为2的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆相切.
(1)求圆的标准方程.
(2)已知，P为圆上任意一点，在y轴上找出定点B（异于点A），使得为定值，不需证明..
(3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值.
19．圆，点为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为M，N.
(1)若，求切线方程；
(2)直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；
(3)若两条切线PM，PN与直线y=1分别交于A，B两点，求面积的最小值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A C C A D BC ACD
题号 11
答案 ACD
1．B
【分析】两直线斜率存在时，根据直线平行和垂直位置关系的判定可知①③正确；②④的直线中均可以有斜率不存在的直线，则②④错误.
【详解】当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，可知①正确；
当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误；
根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为，则它们垂直，可知③正确；
当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，则两直线垂直，
但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误.
故选：B
2．B
【分析】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可.
【详解】由题意知：直线与直线垂直，则，
直线与直线垂直，则，
即得.
故选：B.
3．C
【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.
【详解】设动点，则，
化简得，
所以点的轨迹为圆，
如图，过点作圆的切线，连接，则，，
所以，同理，
则直线的斜率范围为.
故选：C.
4．A
【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．
【详解】由直线方程可得斜率，设直线的倾斜角为，
则，，
.
故选：A.
5．C
【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系，由图直接判断出斜率最大的直线.
【详解】由图知直线的斜率为负值，
直线的斜率为正，倾斜角为锐角，
而直线的倾斜角比的倾斜角大，所以直线的斜率较大.
故选：C.
6．C
【分析】设，利用向量垂直关系得到方程，求出答案.
【详解】设，因为，
所以，
解得或2.
故选：C
7．A
【分析】利用圆的标准方程来确定圆心坐标，利用两点间距离公式，来求出圆心距即可.
【详解】由圆 可得圆心坐标为，
由圆 整理得：，可得圆心坐标为，
所以两圆的圆心距为，
故选：A.
8．D
【分析】先根据两直线垂直斜率关系得出直线方程为，再求弦心距，最后根据勾股定理计算弦长即可.
【详解】直线绕原点逆时针旋转后，两条直线垂直，
所以旋转后直线的斜率为，直线方程为，
由题意得圆的圆心，半径，所以圆心到直线的距离，则．
故选：D.
9．BC
【分析】利用已知可求得，，结合图形可求得与线段的延长线（不含点）有公共点的直线的斜率的范围.
【详解】因为，，，
所以直线，，
又过斜率为0的直线与线段的延长线相交，
由图形可得直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，
则直线的斜率的取值范围为.
故选：BC.
10．ACD
【分析】根据三角换元可得，，由此可得，再求其最值，判断A；由直线方程可得直线过定点，结合图象，根据斜率与倾斜角关系可求的范围，判断B；由点与圆的位置关系可得，求的圆心到直线的距离，比较其与半径的大小，判断C；求到点距离为的点的轨迹方程，由条件可得改曲线与圆相交，列不等式求的范围，判断D.
【详解】对于A，因为点在圆：上，
故可设，，，
所以，
所以，即点的坐标为时，取最大值，最大值是，A正确；
对于B，方程可化为，
所以直线过定点，直线的斜率为，
因为直线和以，为端点的线段相交，
所以或，
其中，，
所以实数的取值范围为，B错误；
对于C：因为是圆外一点，
所以，圆的圆心坐标为，半径为，
所以圆的圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，C正确；
到点的距离为的点的轨迹方程为，
因为圆上恰有两点到点的距离为，
所以圆与圆相交，又，
所以，又，
所以，故的取值范围是，D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【分析】根据题意，由两点间距离公式代入计算，即可得到动点的轨迹，即可判断AB，再由圆心坐标即可判断C，由直线过定点即可判断D.
【详解】设，由题可得点不与点重合且，
化简可得，即，故动点的轨迹为不经过点的圆，A正确；
由A项知，动点的轨迹方程为，其半径为2，直径为，B错误；
因为动点是以为圆心的圆，故动点的轨迹关于中心对称，C正确；
直线恒过定点，即恒过圆心，
故动点的轨迹关于直线轴对称，D正确．
故选：ACD
12．或
【分析】先确定的圆心始终在直线上，再利用直线与圆的位置关系及平行线的距离计算即可.
【详解】易知圆系的圆心，半径为2，
显然始终在直线上，
要满足题意则圆心到定直线的距离始终为2，即定直线到直线的距离始终为2，
不妨设直线，则，
即定直线为：或.
故答案为：或
13．
【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可.
【详解】由，
显然，
又只有一条公切线，所以相内切，
将点坐标代入圆方程知，即在圆外部，
所以圆内切于圆，
则有，
解之得.
故答案为：
14．
【分析】根据题意，利用入射光线与反射光线的关系，用表示t的值，由此可得关于的不等式，解可得答案．
【详解】点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，
则，
有，则，，
，，
，，
即，
，解得.
故答案为：
15．(1)
(2).
【分析】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，在根据两点求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程即可；
（2）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再由直线经过点求出直线方程.
【详解】（1）由的三个顶点为，且为的中点，
可得，即，则，
所以直线的方程为，即.
（2）由（1）知，直线的方程为，
因为，可设直线的方程为，
直线经过点，可得，解得，
所以直线的方程为.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）由边上高线所在的方程及求得直线方程，结合边上中线所在直线方程即可求得的坐标；设，则点中点为，代入中线方程即可求解；
（2）分别求得边的垂直平分线方程，求得外接圆圆心坐标，再根据两点之间距离公式求得半径即可求解．
【详解】（1）因为边上的高所在直线的方程为，
所以，则直线的方程为，即，
由得，，所以，
设，则点中点为，
所以，解得，即．
（2）因为，，
所以的中点坐标为，，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
同理可得线段的垂直平分线方程为，
由得，，所以的外接圆圆心为，
所以的外接圆半径为，
所以的外接圆方程为．
17．(1)5；
(2).
【分析】（1）将圆的方程化为标准形式即得答案；
（2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，再根据，解出的值即得答案.
【详解】（1）因为圆的方程为，
即为，
所以圆的半径为5；
（2）显然切线不垂直于轴，设直线的方程为，
为圆心到直线的距离，
则有，
又因为线与圆相切，
所以，
即，
解得：，
所以切线的方程为，
即.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设圆C的圆心坐标为，根据直线与圆相切，可求得圆心，进而得到方程；
（2）假设存在定点B，设，表示出，进而求解；
（3）结合（2）可得，进而转化为P、B、三点共线问题.
【详解】（1）由题意设圆C的圆心坐标为，则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，故圆的标准方程为；.
（2）假设存在定点B，设，
设，则，
则，
当，即或（舍去）时，为定值，且定值为，
故存在定点B使得为定值， B的坐标为；
（3）由（2）知，故，从而，
当且仅当P、B、三点共线时，最小，
且，
所以的最小值为.
19．(1)和；
(2)直线过定点，理由见解析；
(3)
【分析】（1）设过点且与圆相切的直线方程，由直线与圆相切的相关知识求解即可；
（2）由题意可知四点共圆，其直径为，求出此圆的方程，与圆联立，消去二次项，可得直线的方程，即可得解；
（3）设直线，的方程分别为：，从而可得是方程的两根，结合韦达定理可得的最小值，再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）解：因为，所以，
设过点且与圆相切的直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
解得或，
所以切线方程为：和；
（2）解：直线过定点，理由如下：
由题意可知四点共圆，其直径为，
所以圆心为，半径为，
所以此圆的方程为: ,
即，
由，可得，
即直线的方程为，
所以直线过定点；
（3）解：设直线，的方程分别为：，
又因为与分别与圆相切，
所以，
即，
所以是方程的两根，
所以，
又因为，
所以，
当时，取等号，
所以.
【点睛】方法点睛：求过动点与圆相切的直线方程时，为避免讨论直线的斜率是否存在，常将直线方程设为的形式.
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第2章直线和圆的方程章末重难点检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）
一、单选题
1．下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④
2．若直线与直线垂直，且直线与直线 ：垂直，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
5．直线，，，的图象如图所示，斜率最大的直线是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，点在轴上，且，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C．或2 D．或1
7．已知圆 圆 则这两圆的圆心距为（ ）
A．5 B．25 C．10 D．
8．已知直线绕原点逆时针旋转与圆相交于两点，则（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．已知点，，直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，则直线的斜率的取值可能为（ ）
A． B． C． D．1
10．下列结论正确的是（ ）
A．已知点在圆：上，则的最大值是
B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相交
D．若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
11．已知两定点，若动点满足，则（ ）
A．动点的轨迹为不经过点的圆 B．动点的轨迹为以线段为直径的圆
C．动点的轨迹关于点中心对称 D．动点的轨迹关于直线轴对称
三、填空题
12．设有一组圆，存在定直线 始终与圆相切.
13．若圆与圆有且仅有一条公切线， .
14．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为.
(1)求的一般式方程；
(2)若直线经过点，且，求的方程.
16．已知在中，边上的高所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为．
(1)求两点的坐标；
(2)求的外接圆方程．
17．已知圆.
(1)求圆的半径；
(2)若直线与圆相切于点，求直线的方程.
18．已知半径为2的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线与圆相切.
(1)求圆的标准方程.
(2)已知，P为圆上任意一点，在y轴上找出定点B（异于点A），使得为定值，不需证明..
(3)在（2）的条件下，若点，试求 的最小值.
19．圆，点为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为M，N.
(1)若，求切线方程；
(2)直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；
(3)若两条切线PM，PN与直线y=1分别交于A，B两点，求面积的最小值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A C C A D BC ACD
题号 11
答案 ACD
1．B
【分析】两直线斜率存在时，根据直线平行和垂直位置关系的判定可知①③正确；②④的直线中均可以有斜率不存在的直线，则②④错误.
【详解】当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，可知①正确；
当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误；
根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为，则它们垂直，可知③正确；
当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，则两直线垂直，
但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误.
故选：B
2．B
【分析】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可.
【详解】由题意知：直线与直线垂直，则，
直线与直线垂直，则，
即得.
故选：B.
3．C
【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.
【详解】设动点，则，
化简得，
所以点的轨迹为圆，
如图，过点作圆的切线，连接，则，，
所以，同理，
则直线的斜率范围为.
故选：C.
4．A
【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．
【详解】由直线方程可得斜率，设直线的倾斜角为，
则，，
.
故选：A.
5．C
【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系，由图直接判断出斜率最大的直线.
【详解】由图知直线的斜率为负值，
直线的斜率为正，倾斜角为锐角，
而直线的倾斜角比的倾斜角大，所以直线的斜率较大.
故选：C.
6．C
【分析】设，利用向量垂直关系得到方程，求出答案.
【详解】设，因为，
所以，
解得或2.
故选：C
7．A
【分析】利用圆的标准方程来确定圆心坐标，利用两点间距离公式，来求出圆心距即可.
【详解】由圆 可得圆心坐标为，
由圆 整理得：，可得圆心坐标为，
所以两圆的圆心距为，
故选：A.
8．D
【分析】先根据两直线垂直斜率关系得出直线方程为，再求弦心距，最后根据勾股定理计算弦长即可.
【详解】直线绕原点逆时针旋转后，两条直线垂直，
所以旋转后直线的斜率为，直线方程为，
由题意得圆的圆心，半径，所以圆心到直线的距离，则．
故选：D.
9．BC
【分析】利用已知可求得，，结合图形可求得与线段的延长线（不含点）有公共点的直线的斜率的范围.
【详解】因为，，，
所以直线，，
又过斜率为0的直线与线段的延长线相交，
由图形可得直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，
则直线的斜率的取值范围为.
故选：BC.
10．ACD
【分析】根据三角换元可得，，由此可得，再求其最值，判断A；由直线方程可得直线过定点，结合图象，根据斜率与倾斜角关系可求的范围，判断B；由点与圆的位置关系可得，求的圆心到直线的距离，比较其与半径的大小，判断C；求到点距离为的点的轨迹方程，由条件可得改曲线与圆相交，列不等式求的范围，判断D.
【详解】对于A，因为点在圆：上，
故可设，，，
所以，
所以，即点的坐标为时，取最大值，最大值是，A正确；
对于B，方程可化为，
所以直线过定点，直线的斜率为，
因为直线和以，为端点的线段相交，
所以或，
其中，，
所以实数的取值范围为，B错误；
对于C：因为是圆外一点，
所以，圆的圆心坐标为，半径为，
所以圆的圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，C正确；
到点的距离为的点的轨迹方程为，
因为圆上恰有两点到点的距离为，
所以圆与圆相交，又，
所以，又，
所以，故的取值范围是，D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【分析】根据题意，由两点间距离公式代入计算，即可得到动点的轨迹，即可判断AB，再由圆心坐标即可判断C，由直线过定点即可判断D.
【详解】设，由题可得点不与点重合且，
化简可得，即，故动点的轨迹为不经过点的圆，A正确；
由A项知，动点的轨迹方程为，其半径为2，直径为，B错误；
因为动点是以为圆心的圆，故动点的轨迹关于中心对称，C正确；
直线恒过定点，即恒过圆心，
故动点的轨迹关于直线轴对称，D正确．
故选：ACD
12．或
【分析】先确定的圆心始终在直线上，再利用直线与圆的位置关系及平行线的距离计算即可.
【详解】易知圆系的圆心，半径为2，
显然始终在直线上，
要满足题意则圆心到定直线的距离始终为2，即定直线到直线的距离始终为2，
不妨设直线，则，
即定直线为：或.
故答案为：或
13．
【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可.
【详解】由，
显然，
又只有一条公切线，所以相内切，
将点坐标代入圆方程知，即在圆外部，
所以圆内切于圆，
则有，
解之得.
故答案为：
14．
【分析】根据题意，利用入射光线与反射光线的关系，用表示t的值，由此可得关于的不等式，解可得答案．
【详解】点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，
则，
有，则，，
，，
，，
即，
，解得.
故答案为：
15．(1)
(2).
【分析】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，在根据两点求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程即可；
（2）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再由直线经过点求出直线方程.
【详解】（1）由的三个顶点为，且为的中点，
可得，即，则，
所以直线的方程为，即.
（2）由（1）知，直线的方程为，
因为，可设直线的方程为，
直线经过点，可得，解得，
所以直线的方程为.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）由边上高线所在的方程及求得直线方程，结合边上中线所在直线方程即可求得的坐标；设，则点中点为，代入中线方程即可求解；
（2）分别求得边的垂直平分线方程，求得外接圆圆心坐标，再根据两点之间距离公式求得半径即可求解．
【详解】（1）因为边上的高所在直线的方程为，
所以，则直线的方程为，即，
由得，，所以，
设，则点中点为，
所以，解得，即．
（2）因为，，
所以的中点坐标为，，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
同理可得线段的垂直平分线方程为，
由得，，所以的外接圆圆心为，
所以的外接圆半径为，
所以的外接圆方程为．
17．(1)5；
(2).
【分析】（1）将圆的方程化为标准形式即得答案；
（2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，再根据，解出的值即得答案.
【详解】（1）因为圆的方程为，
即为，
所以圆的半径为5；
（2）显然切线不垂直于轴，设直线的方程为，
为圆心到直线的距离，
则有，
又因为线与圆相切，
所以，
即，
解得：，
所以切线的方程为，
即.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设圆C的圆心坐标为，根据直线与圆相切，可求得圆心，进而得到方程；
（2）假设存在定点B，设，表示出，进而求解；
（3）结合（2）可得，进而转化为P、B、三点共线问题.
【详解】（1）由题意设圆C的圆心坐标为，则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，故圆的标准方程为；.
（2）假设存在定点B，设，
设，则，
则，
当，即或（舍去）时，为定值，且定值为，
故存在定点B使得为定值， B的坐标为；
（3）由（2）知，故，从而，
当且仅当P、B、三点共线时，最小，
且，
所以的最小值为.
19．(1)和；
(2)直线过定点，理由见解析；
(3)
【分析】（1）设过点且与圆相切的直线方程，由直线与圆相切的相关知识求解即可；
（2）由题意可知四点共圆，其直径为，求出此圆的方程，与圆联立，消去二次项，可得直线的方程，即可得解；
（3）设直线，的方程分别为：，从而可得是方程的两根，结合韦达定理可得的最小值，再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）解：因为，所以，
设过点且与圆相切的直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
解得或，
所以切线方程为：和；
（2）解：直线过定点，理由如下：
由题意可知四点共圆，其直径为，
所以圆心为，半径为，
所以此圆的方程为: ,
即，
由，可得，
即直线的方程为，
所以直线过定点；
（3）解：设直线，的方程分别为：，
又因为与分别与圆相切，
所以，
即，
所以是方程的两根，
所以，
又因为，
所以，
当时，取等号，
所以.
【点睛】方法点睛：求过动点与圆相切的直线方程时，为避免讨论直线的斜率是否存在，常将直线方程设为的形式.
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