第3章圆锥曲线的方程章末重难点检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）

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第3章圆锥曲线的方程章末重难点检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）
一、单选题
1．若抛物线与直线交于，两点，则等于（ ）
A． B．12 C． D．13
2．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段
3．已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
4．若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆的两顶点，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（ ）
A． B．6 C．8 D．10
7．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（ ）
A．曲线上的点的坐标都满足方程
B．坐标不满足的点都不在曲线上
C．不在曲线上的点的坐标必不满足
D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足
8．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm
二、多选题
9．已知方程，则（ ）
A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆
B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线
C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线
D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆
10．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．双曲线的左，右顶点分别为，右焦点到渐近线的距离为为双曲线在第一象限上的点，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则为定值
D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，且，则
三、填空题
12．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ．
13．已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于 ．
14．直线过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？
16．已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知动直线过点，交抛物线于、两点，坐标原点为中点，
①求证：；
②是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.
17．已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
18．如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．

(1)求抛物线的方程；
(2)求的最小值．
19．已知圆，动圆与圆相内切，且经过定点
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D B B C A ACD ACD
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算即得.
【详解】由消去y并整理得，，
设，，则，，
.
故选：C
2．D
【分析】利用基本不等式求出的范围，根据椭圆的定义可得答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当时等号成立，
当时，，而，此时点的轨迹是线段；
当时，，
此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆．
综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.
故选：D.
3．D
【分析】根据对称性利用中位线性质求得，再利用渐近线的斜率与直角三角形中角的正切值相等关系待定，进而得到相关长度求面积即可.
【详解】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为，
设与该渐近线交于点M，则，且.
由分别是与的中点，知且，
又右焦点，渐近线方程即，
故点到渐近线的距离为，
则在中，，解得，
所以由得，，
所以.
故选：D.
4．D
【分析】求出满足条件时的和，再求出离心率的范围，逐项验证后可得正确的选项.
【详解】不妨设，由题意得．
若曲线是椭圆，则，
则，；故即，
而A中离心率为，B中离心率为，均不满足；
若曲线是双曲线，则，
则，，故即，
而C中离心率为，D中离心率为，故D满足题设要求，
故选：D.
5．B
【分析】根据题意结合勾股定理可得，运算求解即可.
【详解】因为为直角三角形，且，，，
由勾股定理可得，即，
整理得，两边同除以得，解得．
且，所以．
故选：B.
6．B
【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值.
【详解】
由题意知，，，
，
双曲线，
点在双曲线的右支上，
由双曲线的定义得，，
故选：B.
7．C
【分析】对ABD举反例即可反驳，对C显然根据两者命题之间关系知其正确.
【详解】对ABD，根据题意可以举例方程为，
曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分，
则曲线上的点的坐标不是都满足方程，故A错误；
坐标不满足的点可以在曲线上，故B错误；
不在曲线上的点的坐标都不满足，故D错误；
对C，而不在曲线上的点的坐标必不满足，故C正确．
故选：C.
8．A
【分析】由题意，结合椭圆的相关概念，将问题转化为求，由已知条件离心率，结合其公式，可得答案.
【详解】设椭圆的方程为，因为此椭圆的离心率为，且，
所以，，所以，
所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为．
故选：A.
9．ACD
【分析】对ACD采用举例法即可判断其正确，对B分析出为定值，显然不可能.
【详解】对A，取，此时方程为，表示的图形为圆，故A正确；
对B，，若要该方程对应的图形是平行于轴的两条直线，
则必须满足为一个定值，显然不成立，故B错误；
对C，取，则方程为，其对应的图形是焦点在轴上的双曲线，故C正确；
对D，取，此时方程为，其对应的图形是焦点在轴上的椭圆，故D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D.
【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则，
所以，所以，
由抛物线定义可得，，所以，
解得，故A正确．

选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为，
联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或，
所以，故，故，B错误．
选项C：由，，得，故C正确．
选项D：由上知，得，
故，故D正确．
故选：ACD
11．ACD
【分析】求出右焦点到渐近线的距离，进而求得，再逐项分析计算即可得解.
【详解】依题意，设，而双曲线的渐近线为，
则点到渐近线的距离为，因此，，
对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确；
对于B，双曲线的离心率为，B错误；
对于C，显然，设，则，即，
所以为定值，C正确；
对于D，由，得是的中点，则，D正确.
故选：ACD
12．
【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的斜率.
【详解】
因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点，
因为，即点为线段的中点，
设，，显然，则，，
，可得，
则，即，
所以，即直线的斜率，
故答案为：
13．2
【分析】设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理得，，由求得，距离公式求得，再求得原点到直线l的距离可得三角形面积，从而得最小值．
【详解】抛物线C的方程为，
由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为，
由，得，则，即，
∴，，
则，解得，
直线方程为，恒过定点，
，
到直线的距离为，
∴，
∴时，为最小值，
故答案为：
14．0
【分析】根据题意求得圆心坐标和半径，利用极化恒等式表示出的表达式，再由二次函数性质以及双曲线的范围可得最小值为0.
【详解】易知圆的圆心为，半径为1；
依题意为直径，所以；
设，则且， 可得，
所以
，
根据二次函数性质以及可得当时，取得最小值为0.
故答案为：0
15．(1)
(2)
【分析】（1）由焦点坐标得到c，由椭圆的定义求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算得出m的范围.
【详解】（1）由题意可得：，即，可得，
且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为.
（2）联立方程，消去y得.
由，得，则.
所以当时，直线与椭圆有公共点.
16．(1)
(2)①证明见解析；②存在，
【分析】（1）由题意，设抛物线方程由，得由此能求出抛物线的方程；
（2）①设，，由于为中点，则,故当轴时由抛物线的对称性知，当不垂直轴时，设，由，得，由此能够证明.
②设存在直线满足题意，则圆心，过作直线的垂线，垂足为，故，由此能够推出存在直线：满足题意．
【详解】（1）由题意，可设抛物线方程为．
由，可得，
抛物线的焦点为，，
抛物线的方程为；
（2）①设，，
由于为中点且，则，
故当轴时，由抛物线的对称性知，一定有，
当不垂直轴时，显然直线的斜率不为，设，
由，得，，
则，
则，，
所以，
则，
综上证知，；
②设存在直线满足题意，
设圆心，过作直线的垂线，垂足为，圆与直线的一个交点为，
，
即
，
当时，，
此时直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值，
因此存在直线：满足题意.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
17．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解；
（2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得；
（ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，且，
因为到直线的距离为，故，
则，故双曲线的方程为：．
（2）如图，
（ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程，
消元得，则，
因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原点到直线的距离，
设，，联立，则，
，，，
则，
而，
令，则，
当即时取到等号．
综上所述，的最大值为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，再由弦长公式得到方程，解得即可；
（2）根据数量积的运算律得到，又，同理可得，再由基本不等式计算可得.
【详解】（1）解法一：设直线，
联立，得，
所以．
又因为是的中点，所以，
又
，
代入化简得，解得．
故抛物线的方程为．
解法二：设直线的倾斜角为，再设、的坐标都为，
代入抛物线方程得，
化简得．
则，，
因为是的中点，所以，即．
又因为，
将代入化简得，
即，所以抛物线的方程为．
（2）解法一：
，
由（1）可得，，
因为
，
同理，
所以，
当且仅当时，等号成立，即所求最小值为．
，
而，
所以CD的倾斜角为或，同理可求得，
即，
当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为．
19．(1)
(2)存在定点，使得（定值）
【分析】（1）根据椭圆的定义得到动圆圆心的轨迹焦点在轴上的椭圆，进而求得椭圆的方程；
（2）联立与椭圆方程，根据韦达定理得，进而得出和OB的中垂线方程，联立方程求出交点即为圆心坐标的关系为，根据双曲线定义可得及，方法二，设外接圆方程为，联立直线和与圆的方程，利用韦达定理和参数方程消去参数得圆心的坐标关系为，根据双曲线定义可得及
【详解】（1）设圆的半径为，圆与动圆内切于点．点在圆内部，点在圆内部．
，
点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为．
（2）（方法一）联立与椭圆方程，消得，
设，则，
的中垂线方程为：，即①
的中垂线方程为：②
由①②两式可得，
外接圆圆心的横坐标，
其中
，
又的中垂线方程为，即，
圆心的纵坐标为，
圆心在双曲线上，
存在定点，使得（定值），
（方法二）设外接圆方程为，
联立与圆的方程，消得，
则
，解得，
设圆心坐标为，
则，
圆心在双曲线上，
存在定点，使得（定值），
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