3.1椭圆精选题练习（含解析）-高二数学上学期苏教版（2019）

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3.1椭圆精选题练习-高二数学上学期苏教版（2019）
一、单选题
1．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（ ）
A．在椭圆内 B．在椭圆外
C．在椭圆上 D．不确定
5．已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（　　）
A． B． C．6 D．12
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°），则（ ）
A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为
C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为
二、多选题
9．已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16
C． D．的面积的最大值为16
10．已知椭圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是
C．椭圆的焦距为4 D．椭圆的离心率为
11．已知椭圆的两个焦点为、，、为椭圆的左、右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．周长为
B．的最大值为
C．椭圆的离心率为
D．直线与的斜率的乘积为
三、填空题
12．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ．
13．已知分别为椭圆的左，右焦点，A为椭圆的上顶点，且为等边三角形；过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为 ．
14．已知椭圆C：的离心率为，、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为 ．
四、解答题
15．已知椭圆（其中）的离心率为，左右焦点分别为，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆C交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求的值．
16．已知，是椭圆C：的两个焦点，，为C上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P为C上一点，且，求的面积．
17．设直线与椭圆相交于，两点，已知点.
(1)直接写出椭圆的标准方程；
(2)设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简；
(3)若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简；
(4)直接写出弦长的最大值.
18．已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
19．已知椭圆 的左右顶点为A ，A ， 左右焦点为F ，F ，过F ，F 分别作两条互相平行的直线l ，l ，其中l 交E于A，B两点， l 交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A C与A A交于点P. 当l 与x轴垂直时，△PF F 是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线A C与直线A A的斜率之和为1， 求直线l ，l 的方程;
(3)求 的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A D D D B AB BD
题号 11
答案 AB
1．A
【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可.
【详解】，即，
则圆心，半径为.
椭圆方程，,
则，
则圆心为椭圆的焦点，
由题意的圆的直径，且
如图，连接，由题意知为中点，则，
可得
.
点为椭圆上任意一点，
则，，
由，
得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键于利用中点性质，将多动点有关的数量积，通过向量的线性运算与数量积运算性质，转化为动点与定点圆心连线的长度来表示，进而可借助椭圆上任意一点到焦点距离的范围使问题得解.
2．D
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果.
【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而，
所以.
故选：D
3．B
【分析】根据题意得出，即可得解.
【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
4．A
【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系.
【详解】直线与圆没有公共点，
圆心到直线的距离，即，
，
又，
点在椭圆内部.
故选：A.
5．D
【分析】根据焦点坐标得到c，再由得到a，c的关系求解.
【详解】因为椭圆的两个焦点分别为，则，
又上顶点为P，且，所以，所以，故长轴长为12.
故选：D
6．D
【分析】依题意，根据图形，根据离心率的计算公式求解即可.
【详解】

如图，因为是钝角三角形，所以，
所以，即，
则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误.
故选：D.
7．D
【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到，从而得到结果.
【详解】因为，所以．设，则．
在中，．
在中，，
所以，整理得，．
于是．
故选：D．
8．B
【分析】先求出，结合椭圆的知识以及正弦定理求得，进而可得椭圆的离心率和焦距.
【详解】如图，伞沿的圆心位于点，伞柄底端位于点，为圆的直径，为椭圆形的左右顶点，
由题意可得，，则，
，即，
阳光照射方向与地面的夹角为60°，即，
则，
，
在中，，即，
即，解得，而，故,
，故错误,B正确.；
，故D错误.
故选：B.
9．AB
【分析】由椭圆方程求得，，的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.
【详解】由椭圆，得，，，
椭圆的焦距为，故A正确；
又为椭圆上异于长轴端点，的动点，△的周长为，故B正确；
，故C错误；
当为椭圆的短轴的一个端点时，△的面积取最大值为，故D错误．
故选：AB．
10．BD
【分析】根据椭圆的标准方程求出，再逐项判断可得答案.
【详解】，，可得，
，所以椭圆的焦点在轴上，故A错误；
椭圆的长轴长是，故B正确；
椭圆的焦距是，故C错误；
椭圆的离心率为，故D正确.
故选：BD.
11．AB
【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；利用椭圆的范围可求出的最大值，可判断B选项；以椭圆的离心率公式可判断C选项；利用斜率公式结合椭圆方程可求出直线与的斜率的乘积，可判断D选项.
【详解】对于椭圆，，，，
对于A选项，的周长为，A对；
对于B选项，易知点、，
设点，则，其中，
则
，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，B对；
对于C选项，椭圆的离心率为，C错；
对于D选项，易知点、，
则，D错.
故选：AB.
12．
【分析】先设点的坐标，再根据已知模长及向量垂直化简得出椭圆方程.
【详解】设点,
又因为,,，
所以，
所以，
所以，根据椭圆定义可得,
所以椭圆的方程是.
故答案为：.
13．16
【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义可得
【详解】
由，得
因为为等边三角形，，
且过且垂直于的直线与椭圆交于两点，
所以DE为线段的垂直平分线，
得，
则的周长为，
故答案为：16
14．
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得的值，由离心率可得的值，进而可求出的值，可得椭圆方程；
（2）联立，由题意可得为中位线，进而可得，在直角三角形中，可得为上顶点或下顶点，可得直线的斜率.
【详解】（1）由题意可得，又，可得，
所以，
所以椭圆C的方程为：.
（2）连接，由O为的中点，而D为的中点，所以OD为中位线，即，
即，设，可得，
在中，，所以，
整理可得，可得，
所以可得A为上顶点或下顶点，
所以直线AB斜率为或，即或．
所以k的值为．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件先求解出的值，然后根据椭圆定义求解出的值，结合求解出的值，则方程可求；
（2）根据先求解出点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，
则，，
由椭圆的定义可得，所以，
故椭圆的标准方程为.
（2）因为，
所以，所以，
所以.
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据点A的坐标，求出b，即得答案；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，可得交点坐标，根据弦长公式，即得答案；
（3）由两点间距离公式，即可求得答案；
（4）结合二次函数性质，即得答案.
【详解】（1）由题意知在椭圆上，则，故椭圆的标准方程为；
（2）由于直线的斜率存在，设其方程为，联立，
得，解得两根，不妨设，
故；
（3）设点的坐标为，则，则，
则；
（4）由于，
当时，取得最大值为.
18．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由直线求出的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.
【详解】（1）由椭圆过点，得，
由，得椭圆半焦距，则长半轴长，
所以的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，
由消去x得，显然，
，直线的方程为，
令，得点的纵坐标，同理点的纵坐标，
因此
为定值，
所以为定值.
19．(1)
(2)直线直线
(3)
【分析】（1）根据△PF F 是等腰直角三角形得到直线方程和方程，然后求出，再根据得到方程组求解.
（2）利用对称性得到,然后把条件转化为，再然后结合韦达定理求出和的斜率.
（3）通过对称性得到，然后求出直线和直线方程，通过相乘得到P的轨迹方程，最后通过P的轨迹方程消元得到的取值范围.
【详解】（1）
设,
故直线的方程为
由,得, 所以
不妨设，
由△PF F 是等腰直角三角形可得
所以直线方程为：，同理可得方程为：，
所以交点，
由△PF F 是等腰直角三角形面积为1可得
解得，
又在直线上，
所以,
所以，又，
所以
所以椭圆方程.
（2）
由图形对称性可得：，
所以，
设,
将 和椭圆得方程联立得
所以
,
故直线直线
（3）
易得点关于原点对称，
由(2)知,
则直线，直线 ,
将两式相乘得 ，
其中 ，
故点P的轨迹方程为：，即
设 则
当时， ,
当时，, , ,
综上， ,
故.
【点睛】关键点点睛：（1）的关键是通过△PF F 是等腰直角三角形得到方程组；
（2）的关键是通过对称性把条件转化成一条直线与椭圆的交点问题，然后结合韦达定理求出斜率；
（3）的关键是通过对称性结合韦达得到P的轨迹方程，最后通过P的轨迹方程消元得到取值范围.
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