3.2双曲线精选题练习（含解析）-高二数学上学期苏教版（2019）

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3.2双曲线精选题练习-高二数学上学期苏教版（2019）
一、单选题
1．双曲线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是双曲线C：的左、右焦点，直线l是C的一条渐近线，垂足为P．若C的离心率为，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知双曲线的离心率是，，分别是其左、右焦点，过点且与双曲线经过第一、三象限的渐近线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．的离心率 B．的渐近线方程为
C．的焦距为 D．的焦点到渐近线的距离为
10．关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的焦点坐标为和
B．双曲线的离心率是
C．双曲线与双曲线的离心率相等
D．双曲线的渐近线方程为
11．已知双曲线E：过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，设，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为定值
B．若，则
C．若，过点且斜率为的直线l与E有2个交点，则
D．若，则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为
三、填空题
12．已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 .
13．已知双曲线：的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为Q，，且，则C的离心率为 ．
14．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为．已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题
15．已知双曲线经过点，且其渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围．
16．已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
17．设动点P 到两定点.和的距离分别为和，，使得
(1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
(2)经过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于点为坐标原点，求 的取值范围.
18．已知双曲线的渐近线方程为，且点在上．
(1)求的方程；
(2)点在上，且为垂足．证明：存在点，使得为定值．
19．如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C A A C D B ABD BC
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.
故选：D.
2．B
【分析】根据条件得到圆的圆心和半径，进而得到，利用双曲线的渐近线和圆相切，得到，整理得到，再结合，即可求解.
【详解】因为圆的圆心为，半径，所以，
又双曲线的两条渐近线为，即，
由题知，整理得到，又，得到，
所以，，得到双曲线的方程为.
故选：B.
3．C
【分析】先根据离心率得到的关系,再根据余弦定理可求的余弦值.
【详解】不妨设的一条渐近线为
由题意知由的离心率为得即
在中，
在中，
所以所以
故选:C．
4．A
【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算.
【详解】圆：的圆心，半径，
双曲线：则，，，
设左焦点为，则，即，
所以，
当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号.
故选：A
5．A
【分析】根据题意求出直线的方程，分别与两条渐近线方程联立求出两点的纵坐标，再由可求出的关系，从而可求出双曲线的离心率.
【详解】由题意得直线为，双曲线的渐近线方程为，
由，得，即，
由，得，即，
因为，所以，
所以，化简得，
所以，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
6．C
【分析】利用双曲线的离心率，求出，求出渐近线方程，求出焦点坐标，利用点斜式求解直线方程即可．
【详解】解：由得，所以双曲线的右焦点是，
经过第一、三象限的渐近线方程是，
于是所求的直线方程是，即．
故选：C．
7．D
【分析】由题意可得，设，则，，则，进而可得，即可得出答案．
【详解】由于M在以为直径的圆上，故，
设，则，，
根据双曲线的定义，
所以，
所以，，
所以， 故在单调递增，
当时，，
当时，，
所以，所以，
故选：D．

8．B
【分析】建立如图平面直角坐标系，求出点M、E的坐标，代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求出余弦值即可.
【详解】设交于，
以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系，
因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面，
所以，所以，又因为底面圆半径，
所以，，所以，
设双曲线方程为，将代入，
得，解得，则双曲线的两条渐近线方程为，
由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为，
所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是在求得双曲线渐近线方程后，利用两角差的正切公式求出两渐近线所夹锐角的正切值.
9．ABD
【分析】求出、、的值，利用双曲线的几何性质可判断ABC选项，利用点到直线的距离公式可判断D选项.
【详解】对于双曲线，，，，
对于A选项，的离心率，A对；
对于B选项，的渐近线方程为，即，B对；
对于C选项，的焦距为，C错；
对于D选项，的焦点到渐近线的距离为，D对.
故选：ABD.
10．BC
【分析】根据双曲线的性质，依次判断各项.
【详解】由，所以，且焦点在x轴上，
由，所以双曲线的焦点坐标为，，故A错；
双曲线的离心率，故B对；
由，得，，
，即双曲线与双曲线的离心率相等，故C对；
由，得双曲线的渐近线方程为，故D错；
故选：BC
11．BD
【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得，从而求得双曲线的方程.结合双曲线的渐近线、直线和双曲线的交点、焦点弦的最小值、三角形内切圆面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为的内切圆与边相切于点，如图，为另外两个切点，
由切线长定理可知，，
因为在轴上，所以，
所以
，
，
双曲线E的方程为：，
对于A，因为直线l与双曲线的右支交于P、Q两点，
则当垂直于轴时，最短且最小值为，
所以的最小值不是定值，故A错误；
对于B，若，则，所以，故B正确；
对于C，若，则，双曲线的方程为，
直线的方程为，
联立，消得，
则，解得且，
所以，故C错误；
对于D，若，则，双曲线的方程为，
如图，设两内切圆圆心分别为，半径分别为，
设、、与圆分别相切于点，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，
所以是双曲线的右顶点，
轴，所以的横坐标为，
同理可求得的横坐标为，
则，
设直线的倾斜角为，且，，
在中有
，
，
设，
，
令，
由对勾函数的性质可得在区间上递减，在区间上递增，
所以函数在上递减，在上递增，
又，所以， ，
记的内切圆面积为的内切圆面积为，
故，
所以的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：在过双曲线焦点的弦中，当弦的端点分别在两支时，弦长的最小值为；当弦的端点在同一支时，弦长的最小值为.这个知识点要作为结论记下来，如果要证明，过程很复杂，小题小做，节约时间是关键.
12．
【分析】求出渐近线方程，结合直线与双曲线左右两支各交一点，比较斜率即可得结果.
【详解】因为双曲线方程为（），
所以双曲线的渐近线方程为，
因为直线与双曲线左右两支各交一点，
所以，解得，
即实数的取值范围为，
故答案为：
13．
【分析】先根据条件：，可确定点坐标，再根据条件：可确定点坐标，依据在双曲线上可求出双曲线的离心率.
【详解】如图：
因为，，由对称性，不妨设P在x轴上方，设.
由
所以：.
所以点坐标为.，所以轴.
过作轴的垂线，过作轴的垂线，相交于点.
则，又，所以，可得点的坐标为，
因为在双曲线上，所以或（舍去）.
故答案为.
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常见的方法有两种：
（1）求出，，利用求出离心率；
（2）根据条件得到关于，，的齐次式，结合和，解方程可得的值.
14．
【分析】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，求出的值即可得解.
【详解】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，
由圆锥的底面直径为2，侧面积为，得，
显然，即，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）先判断出焦点在轴上，并设双曲线方程为，利用待定系数法求解即可；
（2）联立消元，借助判别式分类讨论即可.
【详解】（1）结合题意可得：点在渐近线的上方，
双曲线要经过此点，则焦点在轴上，设双曲线方程为，
则渐近线方程为，所以，
因为双曲线经过点，所以，
所以，解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）结合（1）问：联立，可得，
当时，即，此时与渐近线平行，故只有一个交点，满足题意；
当时，即，要使直线与双曲线至少有一个交点，
则，解得或,且.
综上所述: 实数的取值范围为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2，
所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知，
若线段的中点为，则直线的斜率存在，
设为，且，，
可得直线的方程为，
与双曲线方程联立，
可得，
设，
则，
解得，经检验符合题意.
17．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，由双曲线的定义即可证明结果，再根据条件，求出，即可求出的方程；
（2）设直线方程为，，联立方程，消得到，根据条件得到，由韦达定理得，进而得到，从而得出，即可求出结果.
【详解】（1）在中，，，，
由余弦定理得，
又，所以，即，
由双曲线的定义知，动点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的双曲线，
易知，，又，所以曲线的方程为.
（2）易知当直线的斜率不存在时，直线与双曲线不相交，
所以可设直线方程为，，
由，消得到，
因为直线与双曲线的左，右两支相交，所以，得到，
由韦达定理知，
又，
因为，
又，所以，得到，
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设双曲线的方程为，利用待定系数法求出即可得解；
（2）分直线的斜率是否为零两种情况讨论，根据，可得，双曲线方程可变形为，再由直线的方程可得，代入变形后的双曲线方程，再利用韦达定理即可得出间的关系，进而可求出直线所过的定点，即可得出结论.
【详解】（1）设双曲线的方程为，
因为点在上，
所以，解得，
所以的方程为；
（2）设，
当直线的斜率为时，则，
因为点在上，所以，则，
由，得，
即，
，解得或（舍去），
故直线的方程为，
当直线的斜率不等于时，设直线的方程为，
当的斜率不存在时，则的斜率为，
此时直线的方程，直线的方程为，
联立，解得（舍去），
联立，解得（舍去），
所以，则，
所以直线的方程为，
令，则，故直线过点，
同理可得当的斜率不存在时，则的斜率为，
此时直线的方程为，直线过点，
当直线的斜率都存在且都不等于零时，
因为，所以，
由，
得
，
所以，
由，得，
则，所以，
所以
，
整理得
即，
所以
所以，
所以直线得方程为，
所以直线过定点，综上所述，直线过定点，
因为，
所以存在的中点，使得.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
19．(1)椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为
(2)是定值，为，理由见解析
【分析】（1）设椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为，根据在曲线上、焦点坐标可得答案；
（2）设直线的方程为，，直线的方程与椭圆方程、双曲线方程分别联立，利用韦达定理求出、，由转化为化简可得答案.
【详解】（1）设椭圆所在的标准方程为，
双曲线所在的标准方程为，
因为，
所以可得，，
解得，，
所以椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为；
（2）是定值，为，理由如下，
由（1）椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为，
因为直线与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，所以直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，
双曲线的渐近线方程为，所以，
可得，，
直线的方程与椭圆方程联立，整理得
，
所以，
所以，
直线的方程与双曲线方程联立，整理得
，
所以，
所以，
所以
，
所以是定值.
【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由转化为，再利用韦达定理.
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