3.3抛物线精选题练习（含解析）-高二数学上学期苏教版（2019）

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3.3抛物线精选题练习-高二数学上学期苏教版（2019）
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．4 B． C．2 D．1
3．抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．9
4．已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．
6．设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．5
7．如图所示的圆锥中，高，底面的直径．M为母线PB的中点．若平面经过OM且垂直于轴截面PAB，根据圆锥曲线的定义，可以证明此时平面与圆锥侧面的交线为抛物线的一部分，则下面四个结论中错误的是（ ）
A．M为抛物线的顶点 B．直线OM为抛物线的对称轴
C．O是抛物线的焦点 D．抛物线的焦点到准线的距离为
8．“牛角栱”是凉山彝族民房檐枋装饰艺术中的重要特色之一，如图，已知牛角栱外侧弧线部分为抛物线的一部分，宽度，高度，根据图中的坐标系，则这条抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．过拋物线：的焦点作直线交抛物线于A，两点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与轴相切 B．的最小值为4
C．当时，直线的斜率为 D．
10．已知抛物线，O为坐标原点，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点，设，，抛物线C的准线与x轴的交点为G．则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，直线l的斜率为
C．GF始终平分 D．
11．已知抛物线的焦点到准线的距离恰好等于到点的距离，是抛物线上的三个点，是轴上一点.则（ ）
A．的方程为
B．点为上位于右侧的两点，若四边形为正方形，则
C．当点是的顶点，且四边形为正方形时，此正方形的面积32
D．当点不是的顶点时，四边形不可能为正方形
三、填空题
12．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 .
13．已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为 ．
14．已知抛物线，过焦点的直线交于，两点，点为直线上的点，且是等边三角形，则的面积为 .
四、解答题
15．已知抛物线：，过点作直线．
(1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程．
(2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长．
16．已知双曲线 的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求的面积的取值范围．
17．已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10．
(1)求p的值；
(2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
18．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线PA交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．
19．已知抛物线，为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于点，D．且当点P的坐标是时，线段的中点是(1，)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A C C C D BC BC
题号 11
答案 ACD
1．C
【分析】将方程化为标准方程，然后可得.
【详解】将抛物线方程化为标准方程得，
所以，抛物线开口向上，且，故焦点坐标为.
故选：C
2．C
【分析】先求出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】抛物线的焦点为，
则点到直线的距离，解得.
故选：C.
3．B
【分析】设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由向量的关系，可得，的横坐标关系，整理可得直线的斜率，再由的面积为，即，整理可得的值，进而求出弦长的大小.
【详解】由题意设直线的方程，设，设，
由，整理可得：，可得，，
因为，可得，代入，可得，再代入
，可得，即，
设在准线上的射影分别为，的面积为，
所以，
即，
所以
即，
整理可得，
所以，
所以，解得，即,
所以.
故选：B
4．A
【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解.
【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以，
设，可得，且，
两式相减，可得，
可得，所以直线的方程为，
即.
故选：A．
5．C
【分析】由题意得，，由此可得参数，进一步可得抛物线方程以及直线方程，联立结合韦达定理以及抛物线定义即可求解.
【详解】由题意是的中点，所以，，
由图知，所以，
又，所以，
所以，
而，所以直线，
联立抛物线方程得，，化简整理得，
所以，.
故选：C.
6．C
【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：，
设点到准线的距离为，则，
如图所示：

当三点共线时，取得最小值，
故选：C
7．C
【分析】以M为原点，MO为x轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，分别判断各个选项即可.
【详解】如图：
由题可得圆锥的母线，，
所以，所以PB⊥PA.
连结OM，在中，O为AB的中点，M是中点，
所以OM为中位线，所以,
所以.
设平面交底面圆于CD，则.
以M为原点，MO为x轴建立坐标系如图示，则.
可设抛物线，把带入抛物线方程可得：，
所以抛物线为：，焦点，故A，B选项正确；C选项错误，
所以焦点到准线的距离为，D选项正确.
故选：C.
8．D
【分析】设抛物线方程为，通过代入B点坐标即可求得抛物线方程.
【详解】设抛物线方程为：，
由题意可得，将代入抛物线方程得，
所以抛物线方程为，
故选：D.
9．BC
【分析】根据题意设直线，，联立方程可得，进而可得，.根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析判断.
【详解】由题意可知：拋物线：的焦点，准线为，
且直线的斜率可以不存在，但不为0，
设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，可得，
可得，
，
对于选项A：因为线段的中点为，即，
则到准线的距离，
所以以线段为直径的圆与准线相切，故A错误；
对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，故B正确；
对于选项C：因为，且，
则，即，
联立，解得，
代入可得，解得，
所以直线的斜率为，故C正确；
对于选项D：因为
，
所以，故D错误；
故选：BC.
10．BC
【分析】设直线l的方程为：，联立直线与抛物线的方程通过韦达定理可判断A，通过弦长公式可判断B，通过可判断C，由三角形面积公式可判断D.
【详解】显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为：，
联立直线与抛物线得，则，
所以，所以A选项错误；
又因为，可得，
即，所以，所以B选项正确；
即证，
即，
所以C选项正确；
由上述知：，为G到的距离，直线的方程为：，
则，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，所以D选项错误．
故选：BC．
11．ACD
【分析】A由题设求参数；B设，其中且，求坐标，进而求正方形边长即可；C设点在轴上方，求其坐标，进而得，即可求面积；D设直线为，联立抛物线求，假设四边形为正方形，得到矛盾判断.
【详解】A.由题意得，解得，抛物线的方程为，正确；
B.不妨设，其中且，
由抛物线的对称性及正方形的性质得：，得，
则，，不正确.
C.当点是的顶点时，设与相交于点，则，
假设点在轴上方，则的坐标为，代入抛物线方程得，
此时正方形的边长为，所以正方形的面积为，正确；
D.四边形不可能为正方形，当点不是的顶点时，直线的斜率一定存在，
设其方程为坐标分别为，
联立，则，
则，即，
所以，，
因此，中点的坐标为，，
若四边形为正方形，则的中点也是，
因为点在轴上，所以，所以，代入，得，即，
所以，化简得，①
，
因为，所以，化简得，②
由①②得，或无解，故四边形不可能为正方形，正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于D，设直线为，联立抛物线求，假设四边形为正方形，通过判断相关参数是否存在实数解判断.
12．
【分析】根据已知条件求得圆心坐标及半径.
【详解】由得焦点坐标关于直线对称的对称点，
所以圆的圆心为，设半径为r
点C到直线的距离为d，则，
所以，
所以答案为：
13．2
【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理求以及点M的坐标，即可得结果.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点，可知直线l与抛物线必相交，
设直线，，可得，
联立方程，消去x得，
则，
可得，
，且，即线段的中点，
则线段的中垂线方程为，
由题意可知：点M在x轴上，
令，可得，即，则，
所以.
故答案为：2.
【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．
14．
【分析】设：，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，设中点为，表示出点坐标，再分和两种情况讨论，即可表示出、，从而求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】抛物线的焦点，准线为，
由直线的斜率不为，设：，，，
联立，得，
显然，则，，
所以，，
设中点为，所以，，则，
当时，，或（，），显然为直角三角形，不合题意，
当时，，
∴，，
，
又，解得，
所以，，所以．
故答案为：．
15．(1)或；
(2)
【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由求出的值，即可得解；
（2）首先得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式计算可得.
【详解】（1）设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，解得或，
故直线的方程为或；

（2）抛物线的焦点为，则直线的方程为，
设，，
联立，消去得，显然则，
故．

16．(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意得出的值，结合关系式即可求解；
（2）由题知直线的斜率存在，设出直线方程，与双曲线联立，利用韦达定理得到，，然后表示出，根据直线与双曲线右支有两个交点，得到的范围，即可得出结果.
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，
由题意得，，
又，解得，
所以双曲线的方程为：.
（2）由题意知直线的斜率存在，
设直线方程为，得，
设，
联立，整理可得．
则，，
，
直线与双曲线右支有两个交点，
，即，
设，
则
，
，
即的面积的取值范围是.
17．(1)4
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；
（2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果.
【详解】（1）由抛物线的定义得，
故．
（2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点，
设，，，
∴，，
当M，F不重合时，相减整理得，，
∴，即，
当M，F重合时，满足上式．
∴点M的轨迹方程为．
18．(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线C的标准方程；
（2）方法1：设，，求出直线的方程，与抛物线方程联立解得点的坐标，同理得点坐标，从而求得直线的方程，可得证；方法2：设，，，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，求出直线的方程，从而得点纵坐标，同理得点纵坐标，由对称性可得证.
【详解】（1）设抛物线C的标准方程为或，
将A坐标代入，得，所以；
将A坐标代入，得，所以，
所以抛物线C的标准方程为或．
（2）方法1：由抛物线C开口向右得标准方程为，
准线，设，，
则，即，
由，得，
所以，
所以，，
所以，
用代m，得，则，
所以，
化简得
所以，直线MN过定点．
方法2：由抛物线C开口向右得标准方程为，准线，
直线MN不垂直于y轴，设，，，
由得，
所以，，
所以，
所以，
令，则，同理．
因为P，Q关于x轴对称，
所以，
则．
所以，直线MN过定点．
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
19．(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）设，求出圆P的方程，令可得，再由韦达定理结合线段的中点，可求出，即可写出抛物线方程.
（2）设，得圆为，令，得，设，应用韦达定理得到，设的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程可得，经过等量代换，可知，进而得到直线的方程，并求出定点的坐标.
【详解】（1）由题得，圆P的方程为，
令得：，
设，
则，
则，
化简得：， 抛物线C的方程是 .
（2）设，圆P的方程为，
令得，设，
则，
设的方程为，
由，消y得，
则，
即，又，得
直线的方程，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
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