(共34张PPT)
第一章 三角形的证明
1.2.2等腰三角形的判断
01
教学目标
02
回顾旧知
03
探究新知
05
课堂练习
06
课堂小结
07
作业布置
04
典例精析
01
教学目标
理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。
01
能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。
02
了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。
03
运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题。
04
02
复习导入
1.等腰三角形的两腰相等；
等腰三角形有哪些特征呢？
A
B
C
2.等腰三角形的两个底角相等,（简称“等边对等角”）；
3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（简称“三线合一”）
4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角的平分线所在的直线.
02
复习导入
把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”的形式。
如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等。
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
互逆 命题
性质定理
判断定理
03
新知探究
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证ΔABC是等腰三角形
A
B
C
D
1
2
证明：作∠BAC的平分线AD
则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中
∠1=∠2
∠B=∠C
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (AAS)
∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)
∴ ΔABC是等腰三角形 (等腰三角形定义)
03
新知探究
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简述为;等角对等边）
几何语言：
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
A
B
C
03
知识运用
如图1-14，AB=CD,BD=AC,AC,BD相交于E,求证△ADE是等腰三角形
证明：在△ABD和△DCA中
AB=CD BD=AC AD=AD
∴△ABD≌△DCA（SSS)
∴∠CAD=∠BDA
∴AE=DE
所以△ADE是等腰三角形
03
新知探究
数学思想之：
正难则反—反证法
1、一个三角形中不可能有两个直角。
证明：假设直角三角形有两个直角
即：∠A=∠B=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）
∴∠C=0°（与三角形定义相矛盾）
∴假设不成立
所以一个三角形不可能有两个直角。
03
新知探究
2、在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理逆定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
03
新知探究
3、已知：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C。
4、已知：在△ABC中，∠B ≠ ∠ C,求证：AB≠AC。
证明3：
假设∠B=∠C
则AB=AC(等角对等边）
与已知条件AB≠AC相矛盾
所以假设不成立
所以∠B ≠ ∠ C。
证明4：
假设AB=AC
则∠B=∠C(等边对等角）
与已知条件∠B≠∠C相矛盾
所以假设不成立
所以AB ≠ A C。
03
新知讲解
反证法的定义：
假设命题结论的反面成立，从这个假设出发，经过推理得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果，证明结论否定不成立，间接肯定原命题的结论成立的证明方法叫做反证法。
03
新知讲解
反证法的步骤：
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
03
新知讲解
例1：已知：在△ABC中,若∠C是直角，
求证：∠B一定是锐角.
证明：反设：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角
找矛盾：当 ∠B是直角时，则∠B+∠C=90°
这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾
当∠B是钝角时，则∠B+ ∠C＞180°
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；
结论：综上所述,假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
03
新知讲解
例题2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°。
这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
03
新知讲解
例3: 若a1、a2、a3、a4、a5都是实数，且 a1+a2+a3+a4+a5＝1
试说明这五个数中至少有一个大于或等于 。
证明：假设5个数都小于 则
a1+a2+a3+a4+a5= + + + + < 1
这与a1+a2+a3+a4+a5＝1相矛盾
因此假设不成立
所以这五个数中至少有一个大于或等于
知识要点1
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简述为等角对等边）
等腰三角形的判断
反证法基本步骤
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1、说出下列命题的反面：
（1）a是实数。
（2）a不大于2。
（3）至少有2个。
(4) 最多有一个。
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 。
a2 = b2
a不是实数
a大于或等于2
至多有1个
最少有2个
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ .
4. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，则该三角形的顶角为 .
5. 如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 (添加一个条件即可）
6
40°或140°
∠B＝∠C或AE＝AD
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6、如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.
求证：AB=AC.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和等于180°），
∠A=40°，∠B=70° （已知），
∴∠C=180°－∠A－∠B（等式的性质），
=180°－40°－70°=70°，
∴∠C=∠B（等量代换），
∴AB=AC
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
7 .如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC.
证明：∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠B=∠2 （两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1=∠2，
∴ ∠B= ∠1（等量代换）.
∴ AB=AC（等角对等边）.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8.华罗庚爷爷的有趣的数学游戏。
有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
假设A、B、C三个学生中，A看到B和C都戴着白帽子。 A会想：如果我戴的是黑帽子，那么B和C都会看到一个黑帽子和一个白帽子。在这种情况下，B和C中的任何一个都应该能迅速推断出自己戴的是白帽子（因为如果他们戴的是黑帽子，另一个就会看到两个黑帽子，这与已知的只有两顶黑帽子矛盾）。 但是，B和C都没有立即说出自己戴的是白帽子，这意味着他们也在犹豫，说明他们看到的并不是一个黑帽子和一个白帽子，而是两个白帽子。
因为B和C都在犹豫，A可以推断出自己戴的帽子不是黑帽子，而是白帽子。
同样的道理，B和C也会进行类似的推理，得出同样的结论。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
点D、E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，
求∠DCE的度数；
解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.
∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，
∠BCE＝(180°－∠B)÷2，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°，∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝ ；
(3)图3、4，在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含n的式子表示)．
110°
图3.∠DCE＝ n°；④图4，∠DCE＝ n°.
05
课堂小结
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简述为等角对等边）
等腰三角形的判断
反证法步骤
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是:
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
设这个三角形是等腰三角形
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，已知∠A=36°， ∠B=72°， CD平分∠ACB.
(1)∠1=_____，∠2=_____，
图中的等腰三角形有__________
(2)如果AD=4cm，则BC=______.
(3)如果过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有 个等腰三角形.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
E
4cm
5
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或50°
5. 如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，
则该等腰三角形的底边长为( )
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
C
C
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.有两个三角形，它们的三个角分别为
（1） 20°，60°，100° ；（2） 20°，40°，120°.
怎样把它们分成两个等腰三角形？画出图试试看.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
8.．如图，在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．
解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：
AE平分∠BAC,∠1=∠2
AF平分∠CAD，∠3=∠4
∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∠2+∠3=90°
∴∠EAF=90°
1 2 3
4
06
作业布置
【综合拓展类作业】
∵∠ACB-∠B=90°，
∴∠ACB=∠B+90°，
∠ACB=180°-∠B-∠1-∠2(内角和定理）
即180°-∠B-∠1-∠2=∠B+90
得到2(∠B+∠1）=90°
∠B+∠1=45°
∴∠AEF=45°
∴△AEF是等腰直角三角形
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4
Thanks!
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北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
1.2.2等腰三角形的判断学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 等腰三角形的判断 课时 1
课标要求 探索等腰三角形的判断定理，掌握证明的基本方法，了解反证法的基本步骤，体会推理的严谨性，运用等腰三角形的判定定理进行计算和证明。
教材分析 教材有等腰三角形的“等边对等角”的逆命题“等角对等边”的三角形是等腰三角形引入，理解等腰三角形的性质和等腰三角形的判定定理是互逆的命题。教材还安排了数学思想--反证法，掌握反证法的基本步骤和运用反证法证明命题的正确与否，体会正难则反---反证法的神奇作用。
学情分析 学生对等腰三角形的性质、原命题和逆命题有一定的了解，对学习本节课提供了知识基础。对于反证法学生有一定的困难。所以，从简单实例出发，引导学生从实例中理解反证法的基本步骤：反设--找矛盾--得出结论。
核心素养目标 1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题。
教学重点 理解“等角对等边”的判定定理，区分性质定理和判定定理.
教学难点 反证法的推理过程.
教学准备 课件、导学案
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 一、等腰三角形有哪些特征：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等,（简称“等边对等角”）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（简称“三线合一”）等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角的平分线所在的直线.二、把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”的形式。1、如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等。（性质定理）2、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。（判断定理）命题1、2的关系式互逆的。 回顾等腰三角形性质，大家发言相互补充。把命题改写成如果----就----，的形式。并转换成逆命题。 回顾等腰三角形的性质定理，并改写成逆命题，得到等腰三角形的判断定理。
二、探究 探究1：等腰三角形的判断定理的证明1、已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证ΔABC是等腰三角形证明：作∠BAC的平分线AD则∠1=∠2在△BAD和△CAD中∠1=∠2∠B=∠CAD=AD (公共边)∴ △BAD ≌ △CAD (AAS)∴ AB= AC (全等三角形的对应边相等)∴ ΔABC是等腰三角形 (等腰三角形定义)等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简述为：等角对等边）几何语言： ∵∠B =∠C (已知) ∴ AB=AC(等角对等边)2、知识运用 如图1-14，AB=CD,BD=AC,AC,BD相交于E,求证△ADE是等腰三角形证明：在△ABD和△DCA中 AB=CD BD=AC AD=AD∴△ABD≌△DCA（SSS)∴∠CAD=∠BDA∴AE=DE所以△ADE是等腰三角形探究2：数学思想之：正难则反—反证法1、一个三角形中不可能有两个直角。证明：假设直角三角形有两个直角 即：∠A=∠B=90°∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）∴∠C=0°（与三角形定义相矛盾）∴假设不成立所以一个三角形不可能有两个直角。2、在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a +b ≠ c 成立吗？请说明理由。假设a+b ＝c，由勾股定理逆定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a +b ≠ c 成立。已知：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C。证明：假设∠B=∠C则AB=AC(等角对等边）与已知条件AB≠AC相矛盾所以假设不成立所以∠B ≠ ∠ C。4、已知：在△ABC中，∠B ≠ ∠ C,求证：AB≠AC。证明：假设AB=AC则∠B=∠C(等边对等角）与已知条件∠B≠∠C相矛盾所以假设不成立所以AB ≠ A C。反证法的定义：假设命题结论的反面成立，从这个假设出发，经过推理得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果，证明结论否定不成立，间接肯定原命题的结论成立的证明方法叫做反证法。反证法的步骤：① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 1、证明等腰三角形的判断定理。2、认识反证法，了解反证法证明命题的基本步骤。 通过证明三角形全等，等到对应边相等，根据等腰三角形的定义作出判断三角形为全等三角形。认知反证法，运用反证法证明命题，首先通过简单的实例引入反证法的方法和步骤。这样设计符合学生的认知规律，降低了难点，便于学生接受。
四、变式 例1：已知：在△ABC中,若∠C是直角， 求证：∠B一定是锐角.证明：反设：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角找矛盾：当 ∠B是直角时，则∠B+∠C=90°这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾当∠B是钝角时，则∠B+ ∠C＞180°这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；结论：综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.例题2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°已知：△ABC求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° 则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°。这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60° 例3: 若a、a、a、a、a都是实数，且 a1+a2+a3+a4+a5＝1，试说明这五个数中至少有一个大于或等于 证明：假设5个数都小于则 a+a+a+a+a=+++ +< 1这与a+a+a+a+a＝1相矛盾因此假设不成立所以这五个数中至少有一个大于或等于 利用反证法证明例题1、2、3 通过三个例题，达到掌握反证法证明命题的步骤，会用反证法证明命题。
五、尝试 基础达标：1、说出下列命题的反面：（1a是实数。【a不是实数】（2）a不大于2。【a大于或等于2】（3）至少有2个。【至多有1个】 (4) 最多有一个。【最少有2个】2、用反证法证明“若a≠ b,则a ≠ b”的第一步是 a=b 。3. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ 6 .4. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，则该三角形的顶角为 40°或140° .5. 如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B＝∠C或AE＝AD (添加一个条件即可） 第3题 第5题6、如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°. 求证：AB=AC. 证明：∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和等于180°），∠A=40°，∠B=70° （已知）， ∴∠C=180°－∠A－∠B（等式的性质）， =180°－40°－70°=70°，∴∠C=∠B（等量代换）， ∴AB=AC7 .如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC.证明：∵ AB∥CD（已知）， ∴ ∠B=∠2 （两直线平行，同位角相等）. 又∵ ∠1=∠2，∴ ∠B= ∠1（等量代换）.∴ AB=AC（等角对等边）.能力提升：8.华罗庚爷爷的有趣的数学游戏。 有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。 3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子分析：假设A、B、C三个学生中，A看到B和C都戴着白帽子。 A会想：如果我戴的是黑帽子，那么B和C都会看到一个黑帽子和一个白帽子。在这种情况下，B和C中的任何一个都应该能迅速推断出自己戴的是白帽子（因为如果他们戴的是黑帽子，另一个就会看到两个黑帽子，这与已知的只有两顶黑帽子矛盾）。 但是，B和C都没有立即说出自己戴的是白帽子，这意味着他们也在犹豫，说明他们看到的并不是一个黑帽子和一个白帽子，而是两个白帽子。 因为B和C都在犹豫，A可以推断出自己戴的帽子不是黑帽子，而是白帽子。同样的道理，B和C也会进行类似的推理，得出同样的结论。拓展迁移：9.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝ 110° ；(3)图3、4，△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含n的式子表示）解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2， ∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°，∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°；（3）图3.∠DCE＝ n°；④图4，∠DCE＝ n°. 进行课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸1、等腰三角形的判断如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简述为等角对等边）反证法基本步骤① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 反证法的基本步骤：① 反 设： ② 找矛盾：③ 结 论： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是:设这个三角形是等腰三角形2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( C )A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D ．至少有两个解3.如图，已知∠A=36°， ∠B=72°， CD平分∠ACB. (1)∠1= 36°，∠2= 72°， 图中的等腰三角形有 △ABC、△DBA、△BCD如果AD=4cm，则BC= 4cm . (3)如果过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有 5 个等腰三角形4. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( C )A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或50°5. 如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( C )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组6. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为( A )A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm能力提升：7.有两个三角形，它们的三个角分别为（1） 20°，60°，100° ；（2） 20°，40°，120°.怎样把它们分成两个等腰三角形？画出图试试看.拓展迁移：8.．如图，在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：AE平分∠BAC,∠1=∠2AF平分∠CAD，∠3=∠4∠1+∠2+∠3+∠4=180°∠2+∠3=90°∴∠EAF=90°∵∠ACB-∠B=90°，∴∠ACB=∠B+90°，∠ACB=180°-∠B-∠1-∠2(内角和定理）即180°-∠B-∠1-∠2=∠B+90得到2(∠B+∠1）=90°∠B+∠1=45°∴∠AEF=45°∴△AEF是等腰直角三角形
教学反思
A
1
2
D
C
B
等腰三角形性质定理：如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等。
互逆 命题
等腰三角形判断定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
E
4
1 2 3
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第一章 三角形的证明
1.2.2等腰三角形的判断导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。
2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。
3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。
4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题。
学习重点：
理解“等角对等边”的判定定理，区分性质定理和判定定理.
学习难点：
反证法的推理过程.
预习自测
一、知识链接
一、等腰三角形有哪些特征：
等腰三角形的两腰 ；
等腰三角形的两个底角 ,（简称“ ”）；
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相 。（简称“ ”）
等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角的平分线所在的 .
二、把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”的形式。
1、如果 ,那么 。（性质定理）
2、如果 ，那么 。（判断定理）
命题1、2的关系式 的。
教学过程
探究1：等腰三角形的判断定理的证明
1、已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证ΔABC是等腰三角形
证明：作∠BAC的平分线AD
则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中
∠1=∠2
∠B=∠C
AD=AD ( )
∴ △BAD ≌ △CAD ( )
∴ AB= AC ( )
∴ ΔABC是等腰三角形 ( )
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简述为： ）
几何语言：
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
2、知识运用
如图1-14，AB=CD,BD=AC,AC,BD相交于E,求证△ADE是等腰三角形
证明：在△ABD和△DCA中
AB=CD BD=AC AD=AD
∴△ABD≌△DCA（ )
∴∠CAD=∠BDA（ ）
∴AE=DE（ ）
所以△ADE是等腰三角形
探究2：数学思想之：正难则反—反证法
1、一个三角形中不可能有两个直角。
证明：假设直角三角形有两个直角
即：∠A=∠B=90°
∵∠A+∠B+∠C=180°（ ）
∴∠C=0°（ ）
∴假设不成立
所以一个三角形不可能有两个直角。
2、在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a +b ≠ c 成立吗？请说明理由。
证明：假设a+b ＝c，由勾股定理逆定理可知三角形ABC是（ ），且∠C=90°，
这与已知条件∠C≠90°矛盾。
假设不成立，
从而说明原结论a +b ≠ c 成立。
已知：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C。
证明：假设∠B=∠C
则AB=AC( ）
与已知条件AB≠AC相矛盾
所以假设不成立
所以∠B ≠ ∠ C。
4、已知：在△ABC中，∠B ≠ ∠ C,求证：AB≠AC。
证明：
假设AB=AC
则∠B=∠C( ）
与已知条件∠B≠∠C相矛盾
所以假设不成立
所以AB ≠ A C。
反证法的定义：
假设命题结论的反面成立，从这个假设出发，经过推理得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果，证明结论否定不成立，间接肯定原命题的结论成立的证明方法叫做反证法。
反证法的步骤：
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
典例精析
例1：已知：在△ABC中,若∠C是直角，
求证：∠B一定是锐角.
证明：反设：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角
找矛盾：当 ∠B是直角时，则∠B+∠C=90°
这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾
当∠B是钝角时，则∠B+ ∠C＞180°
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；
结论：综上所述,假设不成立.
∴∠B一定是锐角.
例题2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C>180°。
这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
例3: 若a、a、a、a、a都是实数，且 a1+a2+a3+a4+a5＝1，试说明这五个数中至少有一个大于或等于
证明：假设5个数都小于则
a+a+a+a+a=+++ +< 1
这与a+a+a+a+a＝1相矛盾
因此假设不成立
所以这五个数中至少有一个大于或等于
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1、说出下列命题的反面：
（1）a是实数。 （2）a不大于2。
（3）至少有2个。 (4) 最多有一个。
2、用反证法证明“若a≠ b,则a ≠ b”的第一步是 。
3. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ .
4. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50°，则该三角形的顶角为 .
5. 如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 (添加一个条件即可）
第3题 第5题
6、如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°. 求证：AB=AC.
7 .如图，AB∥CD, ∠1=∠2，求证：AB=AC.
.
能力提升：
8.华罗庚爷爷的有趣的数学游戏。
有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
试分析为什么异口同声地说出自己戴的是白帽子
拓展迁移：
9.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；
(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝ 110° ；
(3)图3、4，在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D、E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数(直接写出答案，用含n的式子表示）
总结反思、拓展升华
1、等腰三角形的判断
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简述为等角对等边）
反证法基本步骤
① 反 设： 假设命题的结论不成立，即假设结论反面成立。
② 找矛盾：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结 论： 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
五、【作业布置】
基础达标：
1、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是: 。
2．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D ．至少有两个解
3.如图，已知∠A=36°， ∠B=72°， CD平分∠ACB.
(1)∠1= ，∠2= ，
图中的等腰三角形有 ,
如果AD=4cm，则BC= .
(3)如果过点D作DE∥BC，交AB于点E，则图中有 个等腰三角形
4. 已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或50°
5. 如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6. 若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，
则该等腰三角形的底边长为( )
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
能力提升：
7.有两个三角形，它们的三个角分别为
（1） 20°，60°，100° ；（2） 20°，40°，120°.
怎样把它们分成两个等腰三角形？画出图试试看.
拓展迁移：
8.．如图，在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．
课堂练习参考答案
1、（1）a不是实数；（2）a大于或等于2；（3）至多有1个；（4）最少有2个。
2、a=b
3、 6
4、40°或140°
∠B＝∠C或AE＝AD
6、证明：∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和等于180°），
∠A=40°，∠B=70° （已知），
∴∠C=180°－∠A－∠B（等式的性质），
=180°－40°－70°=70°，
∴∠C=∠B（等量代换），
∴AB=AC
7、证明：∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠B=∠2 （两直线平行，同位角相等）.
又∵ ∠1=∠2，
∴ ∠B= ∠1（等量代换）.
∴ AB=AC（等角对等边）
8、假设A、B、C三个学生中，A看到B和C都戴着白帽子。 A会想：如果我戴的是黑帽子，那么B和C都会看到一个黑帽子和一个白帽子。在这种情况下，B和C中的任何一个都应该能迅速推断出自己戴的是白帽子（因为如果他们戴的是黑帽子，另一个就会看到两个黑帽子，这与已知的只有两顶黑帽子矛盾）。 但是，B和C都没有立即说出自己戴的是白帽子，这意味着他们也在犹豫，说明他们看到的并不是一个黑帽子和一个白帽子，而是两个白帽子。
因为B和C都在犹豫，A可以推断出自己戴的帽子不是黑帽子，而是白帽子。
同样的道理，B和C也会进行类似的推理，得出同样的结论。
9、解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.
∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，
∠BCE＝(180°－∠B)÷2，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°，∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°；
（3）图3.∠DCE＝ n°；图4，∠DCE＝ n°.
课外作业参考答案
设这个三角形是等腰三角形.
C
(1) 36°，72°;△ABC、△DBA、△BCD (2) 4cm; (3) 5
C
C
A
或
8、解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：
AE平分∠BAC,∠1=∠2
AF平分∠CAD，∠3=∠4
∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∠2+∠3=90°
∴∠EAF=90°
∵∠ACB-∠B=90°，
∴∠ACB=∠B+90°，
∠ACB=180°-∠B-∠1-∠2(内角和定理）
即180°-∠B-∠1-∠2=∠B+90
得到2(∠B+∠1）=90°
∠B+∠1=45°
∴∠AEF=45°
∴△AEF是等腰直角三角形
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2026） 册、章 下册第一单元
课标要求 本章是整个初中几何学习的核心枢纽，它将学生在七年级学习的“三角形”和八年级上册学习的“全等三角形”从直观感知、操作验证的阶段，提升到逻辑推理和演绎证明的严格阶段。本章的学习成果直接影响后续四边形、相似形以及圆的学习。章主要围绕以下几个核心知识点展开，课标要求如下：知识上，掌握 三角形内角和、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理，并能进行严格证明。能力上，重点培养和发展学生的 演绎推理能力 和 逻辑表达能力，养成言必有据的思维习惯。素养上，全面提升 逻辑推理 和 几何直观 核心素养，为后续学习四边形、圆等内容打下坚实的论证基础。
内容分析 本章主要内容包括：三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 1、掌握三角形内角和、外角定理及推论，并用于解决实际问题。2、掌握等腰三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。3、掌握等边三角形的性质（三个角都是60°）和判定（三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。4、掌握直角三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，能够证明并熟练运用“勾股定理的逆定理”（即：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）。5、了解反证法： 初步了解反证法的基本思路和步骤，并能用反证法证明简单的命题（如“两直线平行，同位角相等”的逆命题）。6、掌握线段垂直平分线与角平分线的性质与判定：能够证明并运用其性质（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）和判定（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。7、角平分线： 能够证明并运用其性质（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）和判定（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。8、综合应用：能够综合运用本章及之前所学的定理进行几何计算和证明，解决简单的实际问题。能够规范地书写证明过程，做到逻辑清晰、步骤完整、依据明确。教学重点、难点重点1、三角形的内角和、外角定理及推论2、等腰三角形的性质和判断；3、直角三角形的性质和判断；4、线段的垂直平分线的性质和判断；5、角平分线的性质定理及其逆定理；难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。4、利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01三角形内角和102三角形的外角10.3等腰三角形性质104等腰三角形判断105等边三角形106直角三角形的证明107直角三角形全等的判断108线段的垂直平分线性质定理与判断定理109尺规作图与三角形的垂直平分线110角平分线的性质定理和判断定理111三角形的角平分线112问题解决的策略--反思113回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务三角形内角和1、通过测量、折叠、拼接、作平行线等方法，探索和发现三角形内角和等于180°.2、会证明三角形内角和定理和运用定理解题。会用辅助线解决几何问题.3、通过三角形内角和定理的多种证明方法，形成独立思考，合作交流的学习模式，培养学生理性说理的能力.4、培养学生的创造性，体验解决问题的成就感，使学生感悟逻辑推理的数学价值.1、回顾初中数学8个基本事实。2、回顾三角形内角和的验证方法。3、利用添加辅助线的方法来推理验证三角形的内角和180°体会转化的数学思想。4、利用三角形内角和是180°和三角形全等的(ASA)通过推理得到三角形全等(ASA)的推理（AAS）5、完成课堂练习。6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究三角形内角和环节三；知识运用环节四：探究三角形全等的判断（AAS）环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业三角形的外角1、理解并掌握三角形的外角的概念．能够在能够复杂图形中找出外角.2、掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.一个外角大于任何一个不相邻的内角。3、会利用三角形的外角性质解决问题.1、完成课前检测。2、问题思考，引入新课。3、活动感悟三角形外角的概念，理解外角的顶点和边的特征。4、利用三角形的内角和与邻补角探究内角和推论1。5、结合不等式知识探究内角和推论26、学习例题7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：课前检测环节二；问题导入环节三；探究三角形外角的定义环节四：探究内角和推论1环节五；探究内角和推论2环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业等腰三角形性质1、理解等腰三角形的基本定义：两腰相等的三角形称为等腰三角形。 2、掌握并证明等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高重合（三线合一）。3、理解和掌握等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形三条边相等且每个内角均为60°4、能够利用等腰三角形的性质解决简单的几何问题，如计算角度大小、证明线段相等等1、知识回顾。2、用3种方法证明等腰三角形的性质“等边对等角”3、活动感悟等腰三角形顶角平分线、高线、底边中线三线合一4、利用三角形的内角和等腰三角形等边对等角探究等边三角形的每个内角均为60°5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；利用三种方法求证等腰三角形的等边对等角环节三：探究等腰三角形三线合一环节四；探究等边三角形的每个内角度数环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等腰三角形的判断1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题1、知识回顾。2、证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”3、活动感悟反证法4、利用反证法对命题进行证明5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究等腰三角形的判定定理环节三：探究反证法环节四；典例精析环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等边三角形1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力.复习旧知，思考2个问题。2、证明等边三角形的判定定理1（三个角都相等的三角形是等边三角形）.3、证明等边三角形的判定定理2（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.4、小结等边三角形的判断5、小组活动，用两个含30°角的全等的三角尺拼成一个等边三角形。6、猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．7、利用三种方法证明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；问题导入环节三：探究等边三角形的判断定理环节四：探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形的判断1、掌握直角三角形的性质定理和判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．从而理解和掌握直角三角形性质定理和直角三角形的判断定理的互逆关系3、经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．1、回顾旧知2、用反证法证明反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。3、证明直角三角形的性质定理1和2.4、 证明直角三角形的判断定理1和2.5、 归纳比较性质定理和判断定理。6、探究命题和逆命题。7、探究定理和逆定理。8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的性质定理环节三：探究直角三角形的判断定理环节四：探究定理与逆定理。环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1回顾已经学过的三角形全等的判断定理。完成课前检测题，导入新课。3、学生按要求画直角三角形。4、猜想、验证直角三角形斜边、直角定理（HL）。5、学习例题，先用直角三角形的判定定理“HL”证明两个直角三角形全等，然后根据全等三角形的性质解决直角三角形的边角关系。6、完成例题的学习7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的判断定理（HL）环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业线段的垂直平分线性质定理与判断定理1、 经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。1、回归知识，2、证明线段的垂直平分线性质定理。3、用多种方法证明线段的垂直平分线的判定定理，4、学习例题5、完成例题的学习6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究线段的垂直平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业尺规作图与三角形的垂直平分线1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、回顾线段的垂直平分线的性质定理和判断定理，用数学语言描述垂直平分线定理。2、回顾线段的垂线平分线的作法。3、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线，口述作法。4、证明“三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.”5、线段的垂直平分线和角平分线的综合运用。6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究尺规作图环节三；探究三角形的垂直平分线环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业角平分线的性质定理和判断定理1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是互逆定理。2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的判定定理作准备.用尺规画角平分线3、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.4、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.5、关注学生能否积极参与练习.学生对基础知识的掌握情况.6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究角平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业三角形的角平分线1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 学生独立回答角平分线的性质定理和判断定理。完成课本38页例题2的学习，学生独立思考问题导入，并上台展示自己的思路。4、作三角形的角平分线。5、猜测三角形三条角的平分线相交于一点。6、证明猜测7、课堂小结三角形角平分线的性质。8、合作探究三角形的垂直平分线和角平分线的不同的（注意不同类型的三角形）9、完成导入新课的问题。10、完成课堂练习11、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三；问题导入环节四；探究新知环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业问题解决的策略---反思1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。1、思考问题如何解决。2、小组探究一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动多少米？3、自学第42页内容。4、小组合作完成三角形两边中线相等的三角形是等腰三角形的证明。5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：问题导入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四；课堂总结环节五；课外作业回顾与思考1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.1、展示课前布置的知识结构流程图（挑选具有代表意义的作品）.2、梳理知识点。3、完成相应练习4、学习例题5、完成相应的课堂练习，6、方法归纳.7、进行课堂总结.环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：考点讲练环节四；课堂总结环节五；课外作业
《三角形的证明》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形内角和
活动三：知识运用
任务一：三角形内角和
活动四：探究三角形全等的判断（AAS）
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
任务二：三角形外角
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务三：等腰三角形性质
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务四：等腰三角形判断
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务五：等边三角形
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：直角三角形的证明
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
任务七：直角三角形全等的判断
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：线段的垂直平分线的性质定理于判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
任务九：三角形的垂直平分线、尺规作图
活动六：课外作业
活动一：温故知新
活动二：探究角平分线性质、判断定理
活动三：典例精析
任务十：角平分线的性质定理和判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究尺规作图
活动三：探究三角形的垂直平分线
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
三
角
形
的
证
明
活动一：温故知新
活动二：课前检测
活动三：问题导入
活动四：探究三角形角平分线性质
任务十一：三角形角平分线
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：问题导入
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务十二：问题解决的策略，
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
任务十三：回顾与思考
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
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