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北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
1.3.2直角三角形全等的判断教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 直角三角形全等的判断 课时 1
课标要求 理解并掌握“斜边、直角边”简称为“HL”的判断定理，知道HL定理是直角三角形特有的判断方法，不适合一般三角形；综合运用判断方法解决问题，能结合SSS、SAS、ASA、AAS,HL灵活运用从中选择最优方法进行判断；能依据严谨的逻辑推理解决直角三角形全等的证明及相关的几何计算问题。
教材分析 “直角三角形（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第三节．本节课主要探究的是全等直角三角形判定的“HL”定理，这是在学生已经学过的三角形全等的判定、直角三角形的性质和勾股定理等知识的基础上进行的，它既是前面学习的三角形全等判断方法的拓展与应用，又为证明三角形全等、研究矩形的性质等提供了新的方法．所以，本节课在教材中起着承上启下的作用．另外学生在本节课的动手操作、观察猜想、合作交流、反思质疑及归纳小结的过程中，进一步的提高了分析问题和解决问题的能力、感受了合情推理与演绎推理的紧密联系、养成了良好学习习惯以及形成了实事求是的科学态度．这对于学生对后续知识的研究起着很大的作用．
学情分析 学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理，且在以往的探究知识的过程中，具备了初步的合情推理和演绎推理能力，积累了一定的探究知识经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础．就其生理、心理特点而言，八年级学生的思维还是以形象思维为主，抽象思维虽然逐渐形成，但尚未成熟．八年级学生有较强的学习兴趣，学习独立性逐渐加强，可塑性大，是掌握基础知识、基本技能的最佳时期．但其认知水平和分析能力有一定的局限．所以在教学过程中，一方面教师要运用直观材料激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；另一方面教师要精心的设计教学活动，留足时间给学生操作、观察、思考、交流、质疑和归纳，引导学生用自己的语言归纳新的定理，让学生真正明白知识的产生过程，学会探究新知识的方法．
核心素养目标 1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
教学重点 掌握“HL”定理的推导过程；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。
教学难点 “HL”定理的获得与证明以及如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、判定三角形全等的方法有：SSS,SAS,ASA,AAS2、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，根据下列条件△ABC与△DEF全等吗？理由是什么？（1） AB=DE，BC=EF （SAS）（2）∠ A=∠D，AC=DF (AAS)（3）AB=DE ，AC=DF (？） 直角边 斜边 1回顾已经学过的三角形全等的判断定理。2、完成课前检测题，导入新课。 回归旧知，导入新课
二、探究 合作探究，活动领悟探究1：直角三角形全等的特有判断定理“HL”活动一：1、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, AB=5cm。2、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, CB=4cm。 把画好的三角形剪下来，同组之间比较一下，它们全等吗 活动二如图1-21，已知线段a和c（a＜c），求作：Rt△ABC，使∠C=90°，AC=a，AB=c. 作法：1、作射线CN,2、过C点作射线CN的垂线CM.3、在射线CM上截取CB=a4、以B为圆心，以线段c的长度为半径作弧，交射线CN与点A.5、连接AB，△ABC就是所要作的直角三角形。把画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系？猜想： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等探究2：验证猜想已知：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，∠C=90°AC=AB一BC(勾股定理)．在Rt△ A′B′C′中， ∠C′=90° A′C′=A′B′—B′C′2(勾股定理)．∴AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS) 小结：直角三角形全等的判定定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).【强调】在使用“HL”时,同学们应注意什么 （1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.（2）注意对应相等.书写格式:∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中 AB =A′B′ BC =B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)想一想1、到现在为止，你能够用几种方法判断两个直角三角形全等？答：有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL一般三角形（非直角三角形）有几种判断三角形全等的方法？答：有四种：SAS、ASA、AAS、SSS。 学生按要求画直角三角形。2、猜想、验证直角三角形全等斜边、直角定理（HL） 学生经历操作、观察、猜想、交流、验证等活动，获得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理(HL.感受了合情推理与演绎推理的紧密联系.
三、变式 例题1：如图1-23，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子的水平长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？解：根据题意可知：∠EAB=∠EDF=90°.在Rt△CAB和Rt△FDE中， BC=EF,AC=DF∴ Rt△CAB和Rt△FDE (HL).∴∠CBA=∠DEF.(全等三角形对应角相等）∵∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠CBA+∠EFD=90°，例题2：已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAD=∠ABC=90°.在Rt△EAD和Rt△ABC中， ED=AC， EA=AB，∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL).∴∠AED=∠BAC.∵∠EAF+∠BAC=90°，∴∠EAF+∠AED=90°，∴∠EFA=90°，∴ED⊥AC. 学习例题，先用直角三角形的判定定理“HL”证明两个直角三角形全等，然后根据全等三角形的性质解决直角三角形的边角关系 及时运用知识解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强应用意识、参与意识，巩固所学的“斜边、直角边”定理．
四、尝试 基础达标：1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ A ）A．4 B．3 C．2 D．12．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ D ）A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 第1题 第2题 第3题3．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（ C ）A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小再增大4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ A ）A．75°或15°B．30°或60° C．75° D．30°5.已知:如图，AC⊥BC，BD⊥AD, AC=BD， 求证：AD=BC.证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD， ∴∠D=∠C=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA， AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴BC=AD.6.已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC,BC⊥BD．求证：AD＝BC.证明：连接DC.∵ AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°.在Rt△ADC和Rt△BCD中， DC=CD， AC=BD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).∴AD=BC.能力提升：7.如图，已知△BAC中∠ABC=90°，CD为高，且CD、CE平分∠ACB, (1)求∠B的度数（2）求证CE是AB的中线。且AB=2CE(1)解：∵BAC中∠ABC=90°，CD、CE平分∠ACB∴∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°∠DCB=60°∵CD为AB边上的高∴∠B=90°-60°=30°(2)解：由（1）得∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°∠A=60° ∠ACE=60°∴三角形ACE是等边三角形，AC=AE=CE∠B=30°,∠BCE=30°,∴EB=CE∴AE=CE=EB∴CE是AB的中线。且AB=2CE拓展迁移8、如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．（1）证明：如图1，连接DM、DE∵CD、BE分别是AB、AC边上的高,M是BC的中点∴∴DM=EM又∵N是DE的中点△DEM是等腰三角形∴MN⊥DE（2）猜想∴∠DME＝180°﹣2∠A；证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC∠BME＝∠ACB+∠CEM=2∠ACB∠CMD＝∠ABC+∠MDB=2∠ABC∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°．∴∠DME＝2∠BAC﹣180°． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升 适时小结，兴趣延伸三角形全等的判断SSS：如果两个三角形的三条边长度分别相等，那么这两个三角形全等。SAS：如果两个三角形的一条边和它相邻的两个角，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。ASA：如果两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。AAS：如果两个三角形的任意两个角和不夹着它们的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等1。HL：在直角三角形中，如果两个三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个三角形全等。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 直角三角形全等的判断(HL)∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中 AB =A′B′ BC =B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL) 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．下列语句中不正确的是（C ）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等2．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ C ）A．100度 B．120度 C．135度 D．140度3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ B ）A．2.5 B ． C． D．2 第3题 第4题 第5题 4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ C ）A．20 B．12 C．14 D．135.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC. 求证：AD∥BC．证明: ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD=∠CDB=90°. 在Rt△ABD和Rt△CDB中， AD=CB， BD=DB， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL） ∴∠ADB=∠CBD ∴AD∥BC.6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，∴BD=AD=DC∴∠A＝∠ABD，∵DE⊥AC，∴∠CED+∠C＝90°．∵∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠CED，∴∠ABD＝∠CED．能力提升：7.如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2 ,∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2∴∠B＝30°OA＝ OB＝ ，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO +AC ＝CO ，求出OC=BC=2（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP＝2﹣t，CQ＝t，过P作PH⊥OC于H，∠HCP＝60°，∠HPC＝30°CH＝ CP＝ （2﹣t），HP＝（2﹣t），②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO＝2，∠NOC＝60°，CZ=CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，∠NOC＝60°，∴∠GPO＝30°，OG＝ OP＝（4﹣t） PG＝（4﹣t），④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，CM＝BC＝1，BM=OM=OB-BM= PQ=BC=2综合上述：S与t的函数关系式是：S＝（3） 解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°， ∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45° ∴PG＝QGOG+QG＝OQ，即 t=综合上述：当t 为 或 时，△OPM是等腰三角形．拓展迁移：如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．（1）证明：∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC，∠DBC＝45°，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝22.5°，∴∠BFE＝67.5°，∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠EFB＝67.5°，∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF；2）∵∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD＝AD＝CD，∴△ABD、△CBD是等腰三角形，由已知得，△ABC是等腰三角形，由（1）得，△BEF是等腰三角形，∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴点E是△ABC的内心，∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，∴△AEC是等腰三角形．
教学反思
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2026） 册、章 下册第一单元
课标要求 本章是整个初中几何学习的核心枢纽，它将学生在七年级学习的“三角形”和八年级上册学习的“全等三角形”从直观感知、操作验证的阶段，提升到逻辑推理和演绎证明的严格阶段。本章的学习成果直接影响后续四边形、相似形以及圆的学习。章主要围绕以下几个核心知识点展开，课标要求如下：知识上，掌握 三角形内角和、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理，并能进行严格证明。能力上，重点培养和发展学生的 演绎推理能力 和 逻辑表达能力，养成言必有据的思维习惯。素养上，全面提升 逻辑推理 和 几何直观 核心素养，为后续学习四边形、圆等内容打下坚实的论证基础。
内容分析 本章主要内容包括：三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 1、掌握三角形内角和、外角定理及推论，并用于解决实际问题。2、掌握等腰三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。3、掌握等边三角形的性质（三个角都是60°）和判定（三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。4、掌握直角三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，能够证明并熟练运用“勾股定理的逆定理”（即：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）。5、了解反证法： 初步了解反证法的基本思路和步骤，并能用反证法证明简单的命题（如“两直线平行，同位角相等”的逆命题）。6、掌握线段垂直平分线与角平分线的性质与判定：能够证明并运用其性质（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）和判定（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。7、角平分线： 能够证明并运用其性质（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）和判定（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。8、综合应用：能够综合运用本章及之前所学的定理进行几何计算和证明，解决简单的实际问题。能够规范地书写证明过程，做到逻辑清晰、步骤完整、依据明确。教学重点、难点重点1、三角形的内角和、外角定理及推论2、等腰三角形的性质和判断；3、直角三角形的性质和判断；4、线段的垂直平分线的性质和判断；5、角平分线的性质定理及其逆定理；难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。4、利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01三角形内角和102三角形的外角10.3等腰三角形性质104等腰三角形判断105等边三角形106直角三角形的证明107直角三角形全等的判断108线段的垂直平分线性质定理与判断定理109尺规作图与三角形的垂直平分线110角平分线的性质定理和判断定理111三角形的角平分线112问题解决的策略--反思113回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务三角形内角和1、通过测量、折叠、拼接、作平行线等方法，探索和发现三角形内角和等于180°.2、会证明三角形内角和定理和运用定理解题。会用辅助线解决几何问题.3、通过三角形内角和定理的多种证明方法，形成独立思考，合作交流的学习模式，培养学生理性说理的能力.4、培养学生的创造性，体验解决问题的成就感，使学生感悟逻辑推理的数学价值.1、回顾初中数学8个基本事实。2、回顾三角形内角和的验证方法。3、利用添加辅助线的方法来推理验证三角形的内角和180°体会转化的数学思想。4、利用三角形内角和是180°和三角形全等的(ASA)通过推理得到三角形全等(ASA)的推理（AAS）5、完成课堂练习。6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究三角形内角和环节三；知识运用环节四：探究三角形全等的判断（AAS）环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业三角形的外角1、理解并掌握三角形的外角的概念．能够在能够复杂图形中找出外角.2、掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.一个外角大于任何一个不相邻的内角。3、会利用三角形的外角性质解决问题.1、完成课前检测。2、问题思考，引入新课。3、活动感悟三角形外角的概念，理解外角的顶点和边的特征。4、利用三角形的内角和与邻补角探究内角和推论1。5、结合不等式知识探究内角和推论26、学习例题7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：课前检测环节二；问题导入环节三；探究三角形外角的定义环节四：探究内角和推论1环节五；探究内角和推论2环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业等腰三角形性质1、理解等腰三角形的基本定义：两腰相等的三角形称为等腰三角形。 2、掌握并证明等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高重合（三线合一）。3、理解和掌握等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形三条边相等且每个内角均为60°4、能够利用等腰三角形的性质解决简单的几何问题，如计算角度大小、证明线段相等等1、知识回顾。2、用3种方法证明等腰三角形的性质“等边对等角”3、活动感悟等腰三角形顶角平分线、高线、底边中线三线合一4、利用三角形的内角和等腰三角形等边对等角探究等边三角形的每个内角均为60°5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；利用三种方法求证等腰三角形的等边对等角环节三：探究等腰三角形三线合一环节四；探究等边三角形的每个内角度数环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等腰三角形的判断1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题1、知识回顾。2、证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”3、活动感悟反证法4、利用反证法对命题进行证明5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究等腰三角形的判定定理环节三：探究反证法环节四；典例精析环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等边三角形1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力.复习旧知，思考2个问题。2、证明等边三角形的判定定理1（三个角都相等的三角形是等边三角形）.3、证明等边三角形的判定定理2（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.4、小结等边三角形的判断5、小组活动，用两个含30°角的全等的三角尺拼成一个等边三角形。6、猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．7、利用三种方法证明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；问题导入环节三：探究等边三角形的判断定理环节四：探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形的判断1、掌握直角三角形的性质定理和判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．从而理解和掌握直角三角形性质定理和直角三角形的判断定理的互逆关系3、经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．1、回顾旧知2、用反证法证明反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。3、证明直角三角形的性质定理1和2.4、 证明直角三角形的判断定理1和2.5、 归纳比较性质定理和判断定理。6、探究命题和逆命题。7、探究定理和逆定理。8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的性质定理环节三：探究直角三角形的判断定理环节四：探究定理与逆定理。环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1回顾已经学过的三角形全等的判断定理。完成课前检测题，导入新课。3、学生按要求画直角三角形。4、猜想、验证直角三角形斜边、直角定理（HL）。5、学习例题，先用直角三角形的判定定理“HL”证明两个直角三角形全等，然后根据全等三角形的性质解决直角三角形的边角关系。6、完成例题的学习7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的判断定理（HL）环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业线段的垂直平分线性质定理与判断定理1、 经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。1、回归知识，2、证明线段的垂直平分线性质定理。3、用多种方法证明线段的垂直平分线的判定定理，4、学习例题5、完成例题的学习6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究线段的垂直平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业尺规作图与三角形的垂直平分线1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、回顾线段的垂直平分线的性质定理和判断定理，用数学语言描述垂直平分线定理。2、回顾线段的垂线平分线的作法。3、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线，口述作法。4、证明“三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.”5、线段的垂直平分线和角平分线的综合运用。6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究尺规作图环节三；探究三角形的垂直平分线环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业角平分线的性质定理和判断定理1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是互逆定理。2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的判定定理作准备.用尺规画角平分线3、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.4、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.5、关注学生能否积极参与练习.学生对基础知识的掌握情况.6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究角平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业三角形的角平分线1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 学生独立回答角平分线的性质定理和判断定理。完成课本38页例题2的学习，学生独立思考问题导入，并上台展示自己的思路。4、作三角形的角平分线。5、猜测三角形三条角的平分线相交于一点。6、证明猜测7、课堂小结三角形角平分线的性质。8、合作探究三角形的垂直平分线和角平分线的不同的（注意不同类型的三角形）9、完成导入新课的问题。10、完成课堂练习11、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三；问题导入环节四；探究新知环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业问题解决的策略---反思1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。1、思考问题如何解决。2、小组探究一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动多少米？3、自学第42页内容。4、小组合作完成三角形两边中线相等的三角形是等腰三角形的证明。5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：问题导入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四；课堂总结环节五；课外作业回顾与思考1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.1、展示课前布置的知识结构流程图（挑选具有代表意义的作品）.2、梳理知识点。3、完成相应练习4、学习例题5、完成相应的课堂练习，6、方法归纳.7、进行课堂总结.环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：考点讲练环节四；课堂总结环节五；课外作业
《三角形的证明》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形内角和
活动三：知识运用
任务一：三角形内角和
活动四：探究三角形全等的判断（AAS）
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
任务二：三角形外角
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务三：等腰三角形性质
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务四：等腰三角形判断
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务五：等边三角形
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：直角三角形的证明
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
任务七：直角三角形全等的判断
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：线段的垂直平分线的性质定理于判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
任务九：三角形的垂直平分线、尺规作图
活动六：课外作业
活动一：温故知新
活动二：探究角平分线性质、判断定理
活动三：典例精析
任务十：角平分线的性质定理和判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究尺规作图
活动三：探究三角形的垂直平分线
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
三
角
形
的
证
明
活动一：温故知新
活动二：课前检测
活动三：问题导入
活动四：探究三角形角平分线性质
任务十一：三角形角平分线
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：问题导入
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务十二：问题解决的策略，
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
任务十三：回顾与思考
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
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第一章 三角形的证明
1.3.2直角三角形全等的判断
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
04
典例精析
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂作业
01
教学目标
能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
01
02
进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。
03
让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
02
复习导入
1、判定三角形全等的方法有： 。
SAS、ASA、AAS、SSS
2、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，根据下列条件△ABC与△DEF全等吗？理由是什么？
A
C
B
D
E
F
（1） AB=DE，BC=EF
（2）∠ A=∠D，AC=DF
（3） AB=DE ，AC=DF
直角边 斜边
SAS
AAS
03
新知探究
把画好的三角形剪下来，同组之间比较一下，它们全等吗
1、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, AB=5cm。
2、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, CB=4cm。
直角三角形的一条直角边和斜边分别相等的两个三角形是否全等
03
新知探究
如图1-21，已知线段a和c（a＜c），求作：Rt△ABC，使∠C=90°，AC=a，AB=c.
作法：
1、作射线CN,
2、过C点作射线CN的垂线CM.
3、在射线CM上截取CB=a
4、以B为圆心，以线段c的长度为半径作弧，交射线CN与点A.
5、连接AB，△ABC就是所要作的直角三角形。
把画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系？
03
新知探究
猜想：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
a
c
B
C
A
B
A
C
c
a
全等
03
新知探究
已知：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′.
验证猜想
证明：在Rt△ABC中，∠C=90°
AC2=AB2一BC2(勾股定理)．
在Rt△ A′B′C′中， ∠C′=90°
A′C′2=A′B′2—B′C′2 (勾股定理)．
∴AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS)
知识要点1
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
直角三角形全等的判定定理
03
新知探究
在使用“HL”时,同学们应注意什么
（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
（2）注意对应相等.
书写格式:
∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中
AB =A′B′
BC =B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
03
新知探究
想一想
1、到现在为止，你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
答：有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL
一般三角形（非直角三角形）有几种判断三角形全等的方法？
答：有四种：SAS、ASA、AAS、SSS。
04
典例精析
例题1：如图1-23，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子的水平长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？
解：根据题意可知：∠EAB=∠EDF=90°.
在Rt△CAB和Rt△FDE中，
BC=EF,AC=DF
∴ Rt△CAB和Rt△FDE (HL).
∴∠CBA=∠DEF.(全等三角形对应角相等）
∵∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠CBA+∠EFD=90°，
04
典例精析
例题2：已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
E
A
D
F
C
B
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD=∠ABC=90°.
在Rt△EAD和Rt△ABC中，
ED=AC，
EA=AB，
∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL).
∴∠AED=∠BAC.
∵∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠EAF+∠AED=90°，
∴∠EFA=90°，
∴ED⊥AC.
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
A
D
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（ ）
A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小再增大
4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则
该等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30°
C
A
05
课堂练习
5.已知:如图，AC⊥BC，BD⊥AD, AC=BD， 求证：AD=BC.
证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
C
B
A
D
A
D
A
D
B
A
D
C
B
A
D
D
A
D
A
D
C
【知识技能类作业】必做题：
05
课堂练习
6.已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC,BC⊥BD．求证：AD＝BC.
证明：连接DC.
∵ AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
DC=CD，
AC=BD，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).
∴AD=BC.
【知识技能类作业】必做题：
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，已知△BAC中∠ABC=90°，CD为高，且CD、CE平分∠ACB,
(1)求∠B的度数
（2）求证CE是AB的中线。且AB=2CE
(1)解：∵BAC中∠ABC=90°，CD、CE平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°
∠DCB=60°
∵CD为AB边上的高
∴∠B=90°-60°=30°
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，已知△BAC中∠ABC=90°，CD为高，且CD、CE平分∠ACB,
(1)求∠B的度数
（2）求证CE是AB的中线。且AB=2CE
(2)解：由（1）得∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°
∠A=60° ∠ACE=60°
∴三角形ACE是等边三角形，AC=AE=CE
∠B=30°,∠BCE=30°,
∴EB=CE
∴AE=CE=EB
∴CE是AB的中线。且AB=2CE
05
课堂练习
8、如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
【综合拓展类作业】
05
课堂练习
（1）证明：如图1，连接DM、DE
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高,M是BC的中点
∴
∴DM=EM
△DEM是等腰三角形
又∵N是DE的中点
∴MN⊥DE
【综合拓展类作业】
05
课堂练习
（2）猜想：∴∠DME＝180°﹣2∠A；
证明猜想
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
【综合拓展类作业】
05
课堂练习
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC
∠BME＝∠ACB+∠CEM=2∠ACB
∠CMD＝∠ABC+∠MDB=2∠ABC
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°．
∴∠DME＝2∠BAC﹣180°．
【综合拓展类作业】
06
课堂小结
三角形全等的判断
SSS：如果两个三角形的三条边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
SAS：如果两个三角形的一条边和它相邻的两个角，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。
ASA：如果两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。
AAS：如果两个三角形的任意两个角和不夹着它们的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等1。
HL：在直角三角形中，如果两个三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个三角形全等。
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
2．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ ）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
C
C
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B ． C． D．2
B
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
C
07
布置作业
5.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC. 求证：AD∥BC．
证明: ∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=CB，
BD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）
∴∠ADB=∠CBD
∴AD∥BC.
A
C
B
D
【知识技能类作业】必做题：
07
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．
证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，
∴BD=AD=DC
∴∠A＝∠ABD，
∵DE⊥AC，
∴∠CED+∠C＝90°．
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠CED，
∴∠ABD＝∠CED．
07
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
．
7.如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2 ,∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），
设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为
等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
07
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2
∴∠B＝30°
OA＝ OB＝ ，
由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO +AC ＝CO ，
∴
求出OC=BC=2
07
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP＝2﹣t，CQ＝t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP＝60°，∠HPC＝30°
CH＝ CP＝（2﹣t），HP＝ （2﹣t），
②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；
07
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO＝2，∠NOC＝60°，CZ=
CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，
∠NOC＝60°，
∴∠GPO＝30°，
OG＝ OP＝（4﹣t） PG＝ （4﹣t），
07
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）
过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，
CM＝ BC＝1，BM=
OM=OB-BM= PQ=BC=2
综合上述：S与t的函数关系式是：S＝
07
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
(3) 解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，
①OM＝PM时，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t﹣2）＝4﹣t，
解得：t＝
07
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此时不存在；
07
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，
OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45° ∴PG＝QG
OG+QG＝OQ，
即 t=
综合上述：当t 为 或 时，△OPM是等腰三角形．
07
作业布置
【综合拓展类作业】
8.如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
07
作业布置
【综合拓展类作业】
（1）证明：∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC，∠DBC＝45°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝22.5°，
∴∠BFE＝67.5°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠EFB＝67.5°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF；
07
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）∵∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD＝AD＝CD，
∴△ABD、△CBD是等腰三角形，
由已知得，△ABC是等腰三角形，
由（1）得，△BEF是等腰三角形，
∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴点E是△ABC的内心，
∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，
∴△AEC是等腰三角形．
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第一章 三角形的证明
1.3.2直角三角形全等的判断导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。
3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
学习重点：
掌握“HL”定理的推导过程；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。
学习难点：
“HL”定理的获得与证明以及如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。
预习自测
知识链接
1、判定三角形全等的方法有： 。
2、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，根据下列条件△ABC与△DEF全等吗？理由是什么？
（1） AB=DE，BC=EF （ ）
（2）∠ A=∠D，AC=DF ( )
（3）AB=DE ，AC=DF ( ）
直角边 斜边
教学过程
探究1：直角三角形全等的特有判断定理“HL”
活动一：
1、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, AB=5cm。
2、画一个Rt△ABC,使∠C=90°, CA=3cm, CB=4cm。
把画好的三角形剪下来，同组之间比较一下，它们全等吗
活动二
如图1-21，已知线段a和c（a＜c），求作：Rt△ABC，使∠C=90°，AC=a，AB=c.
作法：
1、作射线CN,
2、过C点作射线CN的垂线CM.
3、在射线CM上截取CB=a
4、以B为圆心，以线段c的长度为半径作弧，交射线CN与点A.
5、连接AB，△ABC就是所要作的直角三角形。
把画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系？
猜想：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 。
探究2：验证猜想
已知：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC中，∠C=90°
AC=AB一BC( )．
在Rt△ A′B′C′中， ∠C′=90°
A′C′=A′B′—B′C′2( )．
∴AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′( )
小结：直角三角形全等的判定定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
【强调】在使用“HL”时,同学们应注意什么
（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
（2）注意对应相等.
书写格式:
∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中
AB =A′B′
BC =B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
想一想
1、到现在为止，你能够用几种方法判断两个直角三角形全等？
答： 。
一般三角形（非直角三角形）有几种判断三角形全等的方法？
答： 。
典例精析
例题1：如图1-23，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子的水平长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？
解：根据题意可知：∠EAB=∠EDF=90°.
在Rt△CAB和Rt△FDE中，
BC=EF,
AC=DF
∴ Rt△CAB和Rt△FDE ( ).
∴∠CBA=∠DEF.( ）
∵∠DEF+∠EFD=90°（ ）
∴∠CBA+∠EFD=90°，
例题2：已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD=∠ABC=90°.
在Rt△EAD和Rt△ABC中，
ED=AC，
EA=AB，
∴ Rt△EAD≌Rt△ABC ( ).
∴∠AED=∠BAC.
∵∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠EAF+∠AED=90°，
∴∠EFA=90°，
∴ED⊥AC.
课堂作业、巩固提高
基础达标：
1．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
第1题 第2题 第3题
3．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（ ）
A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小再增大
4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30°
5.已知:如图，AC⊥BC，BD⊥AD, AC=BD， 求证：AD=BC.
6.已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC,BC⊥BD．求证：AD＝BC.
能力提升：
7.如图，已知△BAC中∠ABC=90°，CD为高，且CD、CE平分∠ACB,
(1)求∠B的度数
（2）求证CE是AB的中线。且AB=2CE
拓展迁移
8、如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
总结反思、拓展升华
三角形全等的判断
SSS：如果两个三角形的三条边长度分别相等，那么这两个三角形全等。
SAS：如果两个三角形的一条边和它相邻的两个角，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。
ASA：如果两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。
AAS：如果两个三角形的任意两个角和不夹着它们的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等1。
HL：在直角三角形中，如果两个三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个三角形全等。
课外作业
基础达标：
1．下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等，D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
2．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（ ）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B ． C． D．2
第3题 第4题 第5题
4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
5.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC. 求证：AD∥BC．
6.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．
能力提升：
7.如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2 ,∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
拓展迁移：
如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．
（1）求证：BE＝BF；
（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．
课堂作业参考答案
A
D
C
A
5、证明：∵AC⊥BC,BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，
AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
6.证明：连接DC.
∵ AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
DC=CD，
AC=BD，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).
∴AD=BC.
7.(1)解：∵BAC中∠ABC=90°，CD、CE平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°
∠DCB=60°
∵CD为AB边上的高
∴∠B=90°-60°=30°
(2)解：由（1）得∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°
∠A=60° ∠ACE=60°
∴三角形ACE是等边三角形，AC=AE=CE
∠B=30°,∠BCE=30°,
∴EB=CE
∴AE=CE=EB
∴CE是AB的中线。且AB=2CE
8.（1）证明：如图1，连接DM、DE
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高,M是BC的中点
∴
∴DM=EM
又∵N是DE的中点
△DEM是等腰三角形
∴MN⊥DE
（2）猜想∴∠DME＝180°﹣2∠A；
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC
∠BME＝∠ACB+∠CEM=2∠ACB
∠CMD＝∠ABC+∠MDB=2∠ABC
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°．
∴∠DME＝2∠BAC﹣180°．
课外作业参考答案
C
C
B
C
5、证明: ∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=CB，
BD=DB，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）
∴∠ADB=∠CBD
∴AD∥BC.
6.证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，
∴BD=AD=DC∴∠A＝∠ABD，
∵DE⊥AC，∴∠CED+∠C＝90°．
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠CED，
∴∠ABD＝∠CED．
7.（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2
∴∠B＝30° OA＝ OB＝ ，
由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO +AC ＝CO ，
求出OC=BC=2
（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP＝2﹣t，CQ＝t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP＝60°，∠HPC＝30°
CH＝ CP＝ （2﹣t），HP＝（2﹣t），
②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；
③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO＝2，∠NOC＝60°，CZ=
CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，
∠NOC＝60°，
∴∠GPO＝30°，
OG＝ OP＝（4﹣t） PG＝（4﹣t），
④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）
过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，
CM＝BC＝1，BM=
OM=OB-BM= PQ=BC=2
综合上述：S与t的函数关系式是：S＝
（3） 解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，
①OM＝PM时，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t﹣2）＝4﹣t，
解得：t＝
②PM＝OP时，
此时∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此时不存在；
③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，
OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45° ∴PG＝QG
OG+QG＝OQ，
即 t=
综合上述：当t 为 或 时，△OPM是等腰三角形．
8.（1）证明：∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC，∠DBC＝45°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝22.5°，
∴∠BFE＝67.5°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠EFB＝67.5°，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF；
2）∵∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD＝AD＝CD，
∴△ABD、△CBD是等腰三角形，
由已知得，△ABC是等腰三角形，
由（1）得，△BEF是等腰三角形，
∵AF是∠BAC的平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴点E是△ABC的内心，
∴∠EAC＝∠ECA＝22.5°，
∴△AEC是等腰三角形．
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