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第一章 三角形的证明
1.4.2三角形垂直平分线、尺规作图导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.
2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.
学习重点：
三角形三边垂直平分线性质定理的证明.
学习难点：
用尺规过直线上（或外）一点作出该直线的垂线；
预习自测
一、知识链接
1、垂直平分线性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,， P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一).
2、逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一)
已知: 线段AB,（如图）.求作: 线段AB的垂直平分线.
作法：
1．分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
教学过程
二、合作交流、新知探究
探究尺规作图：
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗
能作出 个，所作出的三角形是否全等？
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个 这些三角形全等吗？
能作 个，这些三角形全等吗？
作法
①、作底边AB，
②、作底边的垂直平分线PO，取OC等于高。
③、连接AC、BC，三角形ABC为所求。
（3）如图1-26，已知线段a和h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h,
作法
①、作线段BC=a，
②、作线段BC的垂直平分线m,交BC于D。
③、在直线m作线段DA,使DA=h。
④、连接AB、AC，△BAC就是要作的三角形。
（4）如图1-27，已知L和直线外一点P,用尺规作直线L的垂线，使它经过点P
作法
①、任意取一点使P、Q，位于直线L的两侧。
②、以P为圆心，PQ为半径画弧，相交直线L
于点A、B。
③、作AB的垂直平分m,直线m就是所要作的
直线。
探究三角形的垂直平分线
例题1：已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC．
基本想法是这样的: 我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理PB=PC．
∴PA=PB=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上( )．
即 边AC的垂直平分线经过点P.
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.
即 = = 。
【强调】三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心外心，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半径
例题2：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE( ）
∴ OE是CD的垂直平分线.
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ；
AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ．
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有 种.
3. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P ，使得PA+PC=BC则下列选项正确的是( )
4.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
5.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=3cm,△ABC的面积是6平方厘米,腰AB的垂直平分线EF分别交AB 、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当△BMD周长的最小时，请在图中作出满足条件的△BMD （保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）△BMD周长的最小值是 ．
能力提升：
6. 如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
拓展迁移
7.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，求△DFC周长的最小值．
8.阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
小艾的作法如下：
如图，(1)在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D、E 两点；
（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；
（3）作直线CF．
所以直线CF就是所求作的垂线．
请回答：小艾这样作图的依据是: 。
总结反思、拓展升华
线段的垂直平分线
一、尺规作图；
1、已知三角形的底和高求作三角形。
2、过直线外一点，作直线的垂线。
3、作三角形三边的垂直平分线（中垂线）
二、三角形三边的垂直平分线
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点是三角形的外接圆圆心（外心），这一点到三个顶点的距离相等.
三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心外心，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半径。
五、【作业布置】
基础达标：
1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
2. 如图所示，AC=AD,BC=BD 那么( )
A. CD垂直平分AB B. AB垂直平分CD
C. CD平分∠ACB D. ∠ACB=∠ADB=90°
3.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
4.如图，已知直线m，直线n分别与l交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到m、n的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
如图，用直尺和圆规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC,则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是( ）
能力提升：
6.小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．
解：如图所示把半圆分成三等分。
拓展迁移：
7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（ ）
A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°
8.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=5，求△ADE的周长．
（2）若∠BAD+∠CAE=60°求∠BAC的度数
课堂作业参考答案
A
无数
D
4、证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
∴AO=BO.
5、（1）解：如图所示为所作图形
（2）5.5
6、解(1)：如图所示为所作图形
(2)作图的理由：点P 在∠AOB的平分线上，又在线段MN的垂直平分线上，∠AOB的平分线和线段MN的垂直平分线的交点即为所求．
7、解：作底边BC上的高AH，如下图
∵BC=20，面积为120，∴AH=12
∵BC=3,BF=3FC ∴FC=5
∵EG是AC的垂直平分线∴DA=DC
当A、D、F三点共线△DFC周长的最小
HC=10, FC=5 ，HF=5
∴AF=
△DFC周长的最小值=FC+CD+DF=FC+AD+DF =FC+AF=18
8、等腰三角形“三线合一”，两点确定一条直线．
课外作业参考答案
D
B
①②③
解：如图所示为所作图形
C
6、作法：
（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
（2）分别以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径
画弧，分别交半圆于点M,N；
连接OM，ON即可．
7、解答提示：延长AO交BC于H
∠BOA=∠ABO=25°
∠B=65° ，∠0BC=40°
∠BCO=∠0BC=40° ,∠BCO=∠COE=40°
∠OEC=100° 求出∠CEF=50°
8、解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA=DB,EA=EC
△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+EC+ED=BC=5
(2) ∵DA=DB,EA=EC
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE
∵∠BAD+∠CAE=60°
∴∠B+∠C=60°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2026） 册、章 下册第一单元
课标要求 本章是整个初中几何学习的核心枢纽，它将学生在七年级学习的“三角形”和八年级上册学习的“全等三角形”从直观感知、操作验证的阶段，提升到逻辑推理和演绎证明的严格阶段。本章的学习成果直接影响后续四边形、相似形以及圆的学习。章主要围绕以下几个核心知识点展开，课标要求如下：知识上，掌握 三角形内角和、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理，并能进行严格证明。能力上，重点培养和发展学生的 演绎推理能力 和 逻辑表达能力，养成言必有据的思维习惯。素养上，全面提升 逻辑推理 和 几何直观 核心素养，为后续学习四边形、圆等内容打下坚实的论证基础。
内容分析 本章主要内容包括：三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 1、掌握三角形内角和、外角定理及推论，并用于解决实际问题。2、掌握等腰三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。3、掌握等边三角形的性质（三个角都是60°）和判定（三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。4、掌握直角三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，能够证明并熟练运用“勾股定理的逆定理”（即：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）。5、了解反证法： 初步了解反证法的基本思路和步骤，并能用反证法证明简单的命题（如“两直线平行，同位角相等”的逆命题）。6、掌握线段垂直平分线与角平分线的性质与判定：能够证明并运用其性质（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）和判定（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。7、角平分线： 能够证明并运用其性质（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）和判定（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。8、综合应用：能够综合运用本章及之前所学的定理进行几何计算和证明，解决简单的实际问题。能够规范地书写证明过程，做到逻辑清晰、步骤完整、依据明确。教学重点、难点重点1、三角形的内角和、外角定理及推论2、等腰三角形的性质和判断；3、直角三角形的性质和判断；4、线段的垂直平分线的性质和判断；5、角平分线的性质定理及其逆定理；难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。4、利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01三角形内角和102三角形的外角10.3等腰三角形性质104等腰三角形判断105等边三角形106直角三角形的证明107直角三角形全等的判断108线段的垂直平分线性质定理与判断定理109尺规作图与三角形的垂直平分线110角平分线的性质定理和判断定理111三角形的角平分线112问题解决的策略--反思113回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务三角形内角和1、通过测量、折叠、拼接、作平行线等方法，探索和发现三角形内角和等于180°.2、会证明三角形内角和定理和运用定理解题。会用辅助线解决几何问题.3、通过三角形内角和定理的多种证明方法，形成独立思考，合作交流的学习模式，培养学生理性说理的能力.4、培养学生的创造性，体验解决问题的成就感，使学生感悟逻辑推理的数学价值.1、回顾初中数学8个基本事实。2、回顾三角形内角和的验证方法。3、利用添加辅助线的方法来推理验证三角形的内角和180°体会转化的数学思想。4、利用三角形内角和是180°和三角形全等的(ASA)通过推理得到三角形全等(ASA)的推理（AAS）5、完成课堂练习。6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究三角形内角和环节三；知识运用环节四：探究三角形全等的判断（AAS）环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业三角形的外角1、理解并掌握三角形的外角的概念．能够在能够复杂图形中找出外角.2、掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.一个外角大于任何一个不相邻的内角。3、会利用三角形的外角性质解决问题.1、完成课前检测。2、问题思考，引入新课。3、活动感悟三角形外角的概念，理解外角的顶点和边的特征。4、利用三角形的内角和与邻补角探究内角和推论1。5、结合不等式知识探究内角和推论26、学习例题7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：课前检测环节二；问题导入环节三；探究三角形外角的定义环节四：探究内角和推论1环节五；探究内角和推论2环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业等腰三角形性质1、理解等腰三角形的基本定义：两腰相等的三角形称为等腰三角形。 2、掌握并证明等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高重合（三线合一）。3、理解和掌握等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形三条边相等且每个内角均为60°4、能够利用等腰三角形的性质解决简单的几何问题，如计算角度大小、证明线段相等等1、知识回顾。2、用3种方法证明等腰三角形的性质“等边对等角”3、活动感悟等腰三角形顶角平分线、高线、底边中线三线合一4、利用三角形的内角和等腰三角形等边对等角探究等边三角形的每个内角均为60°5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；利用三种方法求证等腰三角形的等边对等角环节三：探究等腰三角形三线合一环节四；探究等边三角形的每个内角度数环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等腰三角形的判断1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题1、知识回顾。2、证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”3、活动感悟反证法4、利用反证法对命题进行证明5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究等腰三角形的判定定理环节三：探究反证法环节四；典例精析环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等边三角形1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力.复习旧知，思考2个问题。2、证明等边三角形的判定定理1（三个角都相等的三角形是等边三角形）.3、证明等边三角形的判定定理2（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.4、小结等边三角形的判断5、小组活动，用两个含30°角的全等的三角尺拼成一个等边三角形。6、猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．7、利用三种方法证明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；问题导入环节三：探究等边三角形的判断定理环节四：探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形的判断1、掌握直角三角形的性质定理和判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．从而理解和掌握直角三角形性质定理和直角三角形的判断定理的互逆关系3、经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．1、回顾旧知2、用反证法证明反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。3、证明直角三角形的性质定理1和2.4、 证明直角三角形的判断定理1和2.5、 归纳比较性质定理和判断定理。6、探究命题和逆命题。7、探究定理和逆定理。8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的性质定理环节三：探究直角三角形的判断定理环节四：探究定理与逆定理。环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1回顾已经学过的三角形全等的判断定理。完成课前检测题，导入新课。3、学生按要求画直角三角形。4、猜想、验证直角三角形斜边、直角定理（HL）。5、学习例题，先用直角三角形的判定定理“HL”证明两个直角三角形全等，然后根据全等三角形的性质解决直角三角形的边角关系。6、完成例题的学习7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的判断定理（HL）环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业线段的垂直平分线性质定理与判断定理1、 经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。1、回归知识，2、证明线段的垂直平分线性质定理。3、用多种方法证明线段的垂直平分线的判定定理，4、学习例题5、完成例题的学习6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究线段的垂直平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业尺规作图与三角形的垂直平分线1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、回顾线段的垂直平分线的性质定理和判断定理，用数学语言描述垂直平分线定理。2、回顾线段的垂线平分线的作法。3、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线，口述作法。4、证明“三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.”5、线段的垂直平分线和角平分线的综合运用。6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究尺规作图环节三；探究三角形的垂直平分线环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业角平分线的性质定理和判断定理1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是互逆定理。2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的判定定理作准备.用尺规画角平分线3、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.4、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.5、关注学生能否积极参与练习.学生对基础知识的掌握情况.6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究角平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业三角形的角平分线1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 学生独立回答角平分线的性质定理和判断定理。完成课本38页例题2的学习，学生独立思考问题导入，并上台展示自己的思路。4、作三角形的角平分线。5、猜测三角形三条角的平分线相交于一点。6、证明猜测7、课堂小结三角形角平分线的性质。8、合作探究三角形的垂直平分线和角平分线的不同的（注意不同类型的三角形）9、完成导入新课的问题。10、完成课堂练习11、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三；问题导入环节四；探究新知环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业问题解决的策略---反思1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。1、思考问题如何解决。2、小组探究一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动多少米？3、自学第42页内容。4、小组合作完成三角形两边中线相等的三角形是等腰三角形的证明。5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：问题导入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四；课堂总结环节五；课外作业回顾与思考1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.1、展示课前布置的知识结构流程图（挑选具有代表意义的作品）.2、梳理知识点。3、完成相应练习4、学习例题5、完成相应的课堂练习，6、方法归纳.7、进行课堂总结.环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：考点讲练环节四；课堂总结环节五；课外作业
《三角形的证明》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形内角和
活动三：知识运用
任务一：三角形内角和
活动四：探究三角形全等的判断（AAS）
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
任务二：三角形外角
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务三：等腰三角形性质
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务四：等腰三角形判断
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务五：等边三角形
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：直角三角形的证明
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
任务七：直角三角形全等的判断
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：线段的垂直平分线的性质定理于判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
任务九：三角形的垂直平分线、尺规作图
活动六：课外作业
活动一：温故知新
活动二：探究角平分线性质、判断定理
活动三：典例精析
任务十：角平分线的性质定理和判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究尺规作图
活动三：探究三角形的垂直平分线
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
三
角
形
的
证
明
活动一：温故知新
活动二：课前检测
活动三：问题导入
活动四：探究三角形角平分线性质
任务十一：三角形角平分线
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：问题导入
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务十二：问题解决的策略，
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
任务十三：回顾与思考
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
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北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
1.4.2三角形的垂直平分、尺规作图教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 课时 1
课标要求 会用尺规作图;已知底边和高作等腰三角形；三角形的垂直平分线。理解并证明三角形的垂直平分线相交于一点（外心），这个点到三角形三个顶点的距离相等。并运用知识进行相应的技术和证明。
教材分析 在本章的前几节课，学生已经经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，体会到了证明的必要性，掌握了推理证明的基本要求和方法，如明确条件和结论，能够用数学的符号语言正确表达定理或命题，明确每一步推理的依据并能比较准确地表达推理的过程.同时，也体会到归纳思想、类比思想、转化思想的应用.本节课的主要任务是性质和判定的应用。利用两个定理和线段垂直平分线的尺规作图，作出“已知底边和底边上的高，作等腰三角形”这个基础图形，从而拓展为“已知直线和直线上一点，作出该直线的垂线”、“已知直线和直线外一点，作出该直线的垂线”。通过对三角形三边垂直平分线的探究，得到“三角形三边垂直平分线的性质”，即“三角形的三边垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离都相等”。这一结论，就是九年级下册第三章《圆》中，三角形外接圆圆心的确定方法，为以后的学习奠定了理论基础.
学情分析 学生已经学习了线段的垂直平分线的性质定理、判定定理和尺规作图，为本节课打下了知识基础.且八年级学生具有一定的观察、分析、概括能力，有着一定的学习经验及活动经验，形成了较好的参与和合作意识，并能在教师引导下进行必要的探究；并且通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要的方法。但证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解．
核心素养目标 1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.
教学重点 三角形三边垂直平分线性质定理的证明.
教学难点 用尺规过直线上（或外）一点作出该直线的垂线；
教学准备 课件、导学案
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图,∵ AC=BC, MN⊥AB, P是MN上任意一点(已知),∴ PA=PB (这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一).2、逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一)已知: 线段AB,（如图）.求作: 线段AB的垂直平分线. 作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线． 1、回顾线段的垂直平分线的性质定理和判断定理，用数学语言描述垂直平分线定理。2、回顾线段的垂线平分线的作法。 温故知新，为新授奠基
三、探究 合作探究，活动领悟探究尺规作图：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗 能作出无数个，所作出的三角形不一定全等（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个 这些三角形全等吗？能作2个（底边不同侧各一个）这些三角形全等。作法①、作底边AB，②、作底边的垂直平分线PO，取OC等于高。③、连接AC、BC，三角形ABC为所求。（3）如图1-26，已知线段a和h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h,作法①、作线段BC=a，②、作线段BC的垂直平分线m,交BC于D。③、在直线m作线段DA,使DA=h。④、连接AB、AC，△BAC就是要作的三角形。（4）如图1-27，已知L和直线外一点P,用尺规作直线L的垂线，使它经过点P作法①、任意取一点使P、Q，位于直线L的两侧。②、以P为圆心，PQ为半径画弧，相交直线L于点A、B。③、作AB的垂直平分m,直线m就是所要作的直线。 尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线，口述作法。 从简单入手按要求作图，要求学生能说出作图的根据和作图步骤。
四、变式 例题1：已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC．基本想法是这样的: 我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB． 同理PB=PC． ∴PA=PB=PC． ∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)．即 边AC的垂直平分线经过点P.定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心【外心】，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半径例题2：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）∴ OE是CD的垂直平分线. 1、证明“三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.”2、线段的垂直平分线和角平分线的综合运用。 通过例题的证明得到“三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等”三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心【外心】，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半径例题2，是线段的垂直平分线和角平分线的综合运用，培养学生综合运用知识解决实际问题。
五、尝试 基础达标：1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是（ A ） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ；AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ．2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有 无数 种.3. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P ，使得PA+PC=BC则下列选项正确的是( D )4.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.证明： ∵ AC =BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴ CD为线段AB的垂直平分线.又 ∵AB与CD相交于点O，∴AO=BO.5.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=3cm,△ABC的面积是6平方厘米,腰AB的垂直平分线EF分别交AB 、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．（1）当△BMD周长的最小时，请在图中作出满足条件的△BMD （保留作图痕迹，不要求写出画法）．（2）△BMD周长的最小值是 5.5 ． 解：如图所示为所作图形 能力提升：6. 如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由． 解(1)：如图所示为所作图形(2)作图的理由：点P 在∠AOB的平分线上，又在线段MN的垂直平分线上，∠AOB的平分线和线段MN的垂直平分线的交点即为所求．拓展迁移7.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，求△DFC周长的最小值．解：作底边BC上的高AH，如下图∵BC=20，面积为120，∴AH=12∵BC=3,BF=3FC ∴FC=5∵EG是AC的垂直平分线∴DA=DC当A、D、F三点共线△DFC周长的最小HC=10, FC=5 ，HF=5∴AF=△DFC周长的最小值=FC+CD+DF=FC+AD+DF =FC+AF=188.阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，(1)在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D、E 两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．请回答：小艾这样作图的依据是:等腰三角形“三线合一”，两点确定一条直线． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 线段的垂直平分线一、尺规作图；1、已知三角形的底和高求作三角形。2、过直线外一点，作直线的垂线。3、作三角形三边的垂直平分线（中垂线）二、三角形三边的垂直平分线定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点是三角形的外接圆圆心（外心），这一点到三个顶点的距离相等.三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心外心，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半径。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 三角形的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点, PA=PB=PC=外接圆半径R 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ D ） A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点2. 如图所示，AC=AD,BC=BD 那么( B ) A. CD垂直平分AB B. AB垂直平分CD C. CD平分∠ACB D. ∠ACB=∠ADB=90°3.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有 ①②③ （填序号）.4.如图，已知直线m，直线n分别与l交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到m、n的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图所示为所作图形 如图，用直尺和圆规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC,则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是( C ） 能力提升：6.小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．解：如图所示把半圆分成三等分。作法：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M,N；连接OM，ON即可．拓展迁移：7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（ C ）A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°解答提示：延迟AO交BC于H∠BOA=∠ABO=25°∠B=65° ，∠0BC=40° ∠BCO=∠0BC=40° ,∠BCO=∠COE=40°∠OEC=100° 求出∠CEF=50° 8.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC=5，求△ADE的周长．（2）若∠BAD+∠CAE=60°求∠BAC的度数解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DA=DB,EA=EC△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+EC+ED=BC=5(2) ∵DA=DB,EA=EC ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE∵∠BAD+∠CAE=60° ∴∠B+∠C=60° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°
教学反思
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第一章 三角形的证明
1.4.2三角形的垂直平分线、尺规作图
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
04
典例精析
06
课堂小结
07
作业布置
05
课堂练习
01
教学目标
通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.
01
借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.
02
02
复习导入
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).
A
C
B
P
M
N
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
垂直平分线性质定理：
02
复习导入
逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)
A
B
P
这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
垂直平分线判定定理：
02
复习导入
用尺规作线段AB的垂直平分线
已知: 线段AB,（如图）.
求作: 线段AB的垂直平分线.
作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
D
B
A
03
新知探究
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗
如果能, 能作出几个 所作出的三角形都全等吗
能作出无数个，所作出的三角形不一定全等
03
新知探究
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗 能作几个 这些三角形全等吗？
能作2个（底边不同侧各一个）这些三角形全等。
1、作底边AB，
2、作底边的垂直平分线PO，取OC等于高。
3、连接AC、BC，三角形ABC为所求。
03
新知探究
（3）如图1-26，已知线段a和h,用尺规作△ABC,使AB=AC,
BC=a,高AD=h,
1、作线段BC=a，
2、作线段BC的垂直平分线m,交BC于D。
3、在直线m作线段DA,使DA=h。
4、连接AB、AC，△BAC就是要作的三角形。
h
a
B
C
A
D
m
03
新知探究
（4）如图1-27，已知L和直线外一点P,用尺规作直线L的垂线，使它经过点P
1、任意取一点使P、Q，位于直线L的两侧。
2、以P为圆心，PQ为半径画弧，相交直线L
于点A、B。
3、作AB的垂直平分m,直线m就是所要作的
直线。
04
典例精析
例题1：已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC．
基本想法是这样的: 我们知道,两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可. 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
A
B
C
P
04
典例精析
证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
同理PB=PC．
∴PA=PB=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上
(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)．
即 边AC的垂直平分线经过点P.
例题1 已知：在△ABC中设AB、BC的垂直平分线交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC．
A
B
C
P
04
典例精析
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.
三角形三条边上垂直平分线的交点叫三角形的外接圆圆心外心，这个点到三角形顶点的距离是外接圆半径
04
典例精析
例题2：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∴ OE是CD的垂直平分线.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ ACB ．
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有 种.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
无数
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P ，使得PA+PC=BC则下列选项正确的是( )
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
∴AO=BO.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=3cm,△ABC的面积是6平方厘米,腰AB的垂直平分线EF分别交AB 、AC于点E、F，点D为BC边上的中点，M为EF上的动点．
（1）当△BMD周长的最小时，请在图中作出满足条件的△BMD （保留作图痕迹，不要求写出画法）．
（2）△BMD周长的最小值是 ．
5.5
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6. 如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
作图的理由：点P 在∠AOB的平分线上，又在线段MN的垂直平分线上，∠AOB的平分线和线段MN的垂直平分线的交点即为所求．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，求△DFC周长的最小值．
解：作底边BC上的高AH，
∵BC=20，面积为120，∴AH=12
∵BC=3,BF=3FC ∴FC=5
∵EG是AC的垂直平分线∴DA=DC
当A、D、F三点共线△DFC周长的最小
HC=10, FC=5 ，HF=5
∴AF=
△DFC周长的最小值=FC+CD+DF=FC+AD+DF
=FC+AF=18
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
小艾的作法如下：
如图，(1)在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D、E 两点；
（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；
（3）作直线CF．
所以直线CF就是所求作的垂线．
请回答：小艾这样作图的依据是:
等腰三角形“三线合一”，两点确定一条直线．
05
课堂小结
线段的垂直平分线
1、已知三角形的底和高求作三角形。
2、过直线外一点，作直线的垂线。
3、作三角形三边的垂直平分线（中垂线）
尺规作图
三角形三边的垂直平分线
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点是三角形的外接圆圆心（外心），这一点到三个顶点的距离相等.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
2. 如图所示，AC=AD,BC=BD 那么( )
A. CD垂直平分AB
B. AB垂直平分CD
C. CD平分∠ACB
D. ∠ACB=∠ADB=90°
D
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，已知直线m，直线n分别与l交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到m、n的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
m
n
l
m
l
n
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
C
5.如图，用直尺和圆规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC,则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是( )
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
6.小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．
作法：
（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
（2）分别以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M,N；
（3）连接OM，ON即可．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（ ）
A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°
解答提示：延迟AO交BC于H
∠BOA=∠ABO=25°
∠B=65° ，∠0BC=40°
∠BCO=∠0BC=40° ,∠BCO=∠COE=40°
∠OEC=100° 求出∠CEF=50°
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
8.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=5，求△ADE的周长．
（2）若∠BAD+∠CAE=60°求∠BAC的度数
，．
解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA=DB,EA=EC
△ADE的周长=AD+AE+DE
=BD+EC+ED
=BC
=5
06
作业布置
【综合拓展类作业】
(2) ∵DA=DB,EA=EC
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE
∵∠BAD+∠CAE=60°
∴∠B+∠=60°
∠BAC=180°-∠B-∠C=120°
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