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学 科 数学 年 级 八年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2026） 册、章 下册第一单元
课标要求 本章是整个初中几何学习的核心枢纽，它将学生在七年级学习的“三角形”和八年级上册学习的“全等三角形”从直观感知、操作验证的阶段，提升到逻辑推理和演绎证明的严格阶段。本章的学习成果直接影响后续四边形、相似形以及圆的学习。章主要围绕以下几个核心知识点展开，课标要求如下：知识上，掌握 三角形内角和、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理，并能进行严格证明。能力上，重点培养和发展学生的 演绎推理能力 和 逻辑表达能力，养成言必有据的思维习惯。素养上，全面提升 逻辑推理 和 几何直观 核心素养，为后续学习四边形、圆等内容打下坚实的论证基础。
内容分析 本章主要内容包括：三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 1、掌握三角形内角和、外角定理及推论，并用于解决实际问题。2、掌握等腰三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。3、掌握等边三角形的性质（三个角都是60°）和判定（三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。4、掌握直角三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，能够证明并熟练运用“勾股定理的逆定理”（即：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）。5、了解反证法： 初步了解反证法的基本思路和步骤，并能用反证法证明简单的命题（如“两直线平行，同位角相等”的逆命题）。6、掌握线段垂直平分线与角平分线的性质与判定：能够证明并运用其性质（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）和判定（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。7、角平分线： 能够证明并运用其性质（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）和判定（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。8、综合应用：能够综合运用本章及之前所学的定理进行几何计算和证明，解决简单的实际问题。能够规范地书写证明过程，做到逻辑清晰、步骤完整、依据明确。教学重点、难点重点1、三角形的内角和、外角定理及推论2、等腰三角形的性质和判断；3、直角三角形的性质和判断；4、线段的垂直平分线的性质和判断；5、角平分线的性质定理及其逆定理；难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。4、利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01三角形内角和102三角形的外角10.3等腰三角形性质104等腰三角形判断105等边三角形106直角三角形的证明107直角三角形全等的判断108线段的垂直平分线性质定理与判断定理109尺规作图与三角形的垂直平分线110角平分线的性质定理和判断定理111三角形的角平分线112问题解决的策略--反思113回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务三角形内角和1、通过测量、折叠、拼接、作平行线等方法，探索和发现三角形内角和等于180°.2、会证明三角形内角和定理和运用定理解题。会用辅助线解决几何问题.3、通过三角形内角和定理的多种证明方法，形成独立思考，合作交流的学习模式，培养学生理性说理的能力.4、培养学生的创造性，体验解决问题的成就感，使学生感悟逻辑推理的数学价值.1、回顾初中数学8个基本事实。2、回顾三角形内角和的验证方法。3、利用添加辅助线的方法来推理验证三角形的内角和180°体会转化的数学思想。4、利用三角形内角和是180°和三角形全等的(ASA)通过推理得到三角形全等(ASA)的推理（AAS）5、完成课堂练习。6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究三角形内角和环节三；知识运用环节四：探究三角形全等的判断（AAS）环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业三角形的外角1、理解并掌握三角形的外角的概念．能够在能够复杂图形中找出外角.2、掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.一个外角大于任何一个不相邻的内角。3、会利用三角形的外角性质解决问题.1、完成课前检测。2、问题思考，引入新课。3、活动感悟三角形外角的概念，理解外角的顶点和边的特征。4、利用三角形的内角和与邻补角探究内角和推论1。5、结合不等式知识探究内角和推论26、学习例题7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：课前检测环节二；问题导入环节三；探究三角形外角的定义环节四：探究内角和推论1环节五；探究内角和推论2环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业等腰三角形性质1、理解等腰三角形的基本定义：两腰相等的三角形称为等腰三角形。 2、掌握并证明等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高重合（三线合一）。3、理解和掌握等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形三条边相等且每个内角均为60°4、能够利用等腰三角形的性质解决简单的几何问题，如计算角度大小、证明线段相等等1、知识回顾。2、用3种方法证明等腰三角形的性质“等边对等角”3、活动感悟等腰三角形顶角平分线、高线、底边中线三线合一4、利用三角形的内角和等腰三角形等边对等角探究等边三角形的每个内角均为60°5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；利用三种方法求证等腰三角形的等边对等角环节三：探究等腰三角形三线合一环节四；探究等边三角形的每个内角度数环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等腰三角形的判断1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题1、知识回顾。2、证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”3、活动感悟反证法4、利用反证法对命题进行证明5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究等腰三角形的判定定理环节三：探究反证法环节四；典例精析环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等边三角形1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力.复习旧知，思考2个问题。2、证明等边三角形的判定定理1（三个角都相等的三角形是等边三角形）.3、证明等边三角形的判定定理2（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.4、小结等边三角形的判断5、小组活动，用两个含30°角的全等的三角尺拼成一个等边三角形。6、猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．7、利用三种方法证明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；问题导入环节三：探究等边三角形的判断定理环节四：探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形的判断1、掌握直角三角形的性质定理和判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．从而理解和掌握直角三角形性质定理和直角三角形的判断定理的互逆关系3、经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．1、回顾旧知2、用反证法证明反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。3、证明直角三角形的性质定理1和2.4、 证明直角三角形的判断定理1和2.5、 归纳比较性质定理和判断定理。6、探究命题和逆命题。7、探究定理和逆定理。8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的性质定理环节三：探究直角三角形的判断定理环节四：探究定理与逆定理。环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1回顾已经学过的三角形全等的判断定理。完成课前检测题，导入新课。3、学生按要求画直角三角形。4、猜想、验证直角三角形斜边、直角定理（HL）。5、学习例题，先用直角三角形的判定定理“HL”证明两个直角三角形全等，然后根据全等三角形的性质解决直角三角形的边角关系。6、完成例题的学习7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的判断定理（HL）环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业线段的垂直平分线性质定理与判断定理1、 经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。1、回归知识，2、证明线段的垂直平分线性质定理。3、用多种方法证明线段的垂直平分线的判定定理，4、学习例题5、完成例题的学习6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究线段的垂直平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业尺规作图与三角形的垂直平分线1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、回顾线段的垂直平分线的性质定理和判断定理，用数学语言描述垂直平分线定理。2、回顾线段的垂线平分线的作法。3、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线，口述作法。4、证明“三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.”5、线段的垂直平分线和角平分线的综合运用。6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究尺规作图环节三；探究三角形的垂直平分线环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业角平分线的性质定理和判断定理1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是互逆定理。2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的判定定理作准备.用尺规画角平分线3、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.4、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.5、关注学生能否积极参与练习.学生对基础知识的掌握情况.6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究角平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业三角形的角平分线1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 学生独立回答角平分线的性质定理和判断定理。完成课本38页例题2的学习，学生独立思考问题导入，并上台展示自己的思路。4、作三角形的角平分线。5、猜测三角形三条角的平分线相交于一点。6、证明猜测7、课堂小结三角形角平分线的性质。8、合作探究三角形的垂直平分线和角平分线的不同的（注意不同类型的三角形）9、完成导入新课的问题。10、完成课堂练习11、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三；问题导入环节四；探究新知环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业问题解决的策略---反思1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。1、思考问题如何解决。2、小组探究一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动多少米？3、自学第42页内容。4、小组合作完成三角形两边中线相等的三角形是等腰三角形的证明。5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：问题导入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四；课堂总结环节五；课外作业回顾与思考1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.1、展示课前布置的知识结构流程图（挑选具有代表意义的作品）.2、梳理知识点。3、完成相应练习4、学习例题5、完成相应的课堂练习，6、方法归纳.7、进行课堂总结.环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：考点讲练环节四；课堂总结环节五；课外作业
《三角形的证明》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形内角和
活动三：知识运用
任务一：三角形内角和
活动四：探究三角形全等的判断（AAS）
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
任务二：三角形外角
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务三：等腰三角形性质
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务四：等腰三角形判断
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务五：等边三角形
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：直角三角形的证明
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
任务七：直角三角形全等的判断
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：线段的垂直平分线的性质定理于判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
任务九：三角形的垂直平分线、尺规作图
活动六：课外作业
活动一：温故知新
活动二：探究角平分线性质、判断定理
活动三：典例精析
任务十：角平分线的性质定理和判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究尺规作图
活动三：探究三角形的垂直平分线
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
三
角
形
的
证
明
活动一：温故知新
活动二：课前检测
活动三：问题导入
活动四：探究三角形角平分线性质
任务十一：三角形角平分线
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：问题导入
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务十二：问题解决的策略，
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
任务十三：回顾与思考
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
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第一章 三角形的证明
回顾与反思
01
教学目标
02
知识框架
03
知识梳理
05
课堂小结
06
作业布置
04
考点讲练
01
教学目标
在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.
01
进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.
02
通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.
03
02
知识框架
三角形的证明
等腰三角形
等腰三角形的判定
勾股定理
等边三角形的性质
等边三角形的判定
直角三角形
直角三角形的性质
两个直角三角形全等的判定（HL）
直角三角形的判定
等边三角形
勾股定理的逆定理
角平分线的性质
定理与判定定理
垂直平分线的性质
定理与判定定理
等腰三角形的性质
三角形内角和定理和外角
02
知识梳理
一、三角形的内角和
1、三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180°.
2、三角形的内角和定理推论（1）：
三角形的外角等于不相邻的两个内角和.
3、三角形的内角和定理推论（2）：
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
02
练一练
1．已知三角形的一个内角是另一个内角的 ，是第三个内角的 ，则这个三角形各内角的度数分别为( )
A．60°,90°,75° B．48°,72°,60° C．48°,32°,38° D．40°,50°,90°
2.已知：P是△ABC内一点。求证：∠BPC＞∠BAC
B
A
B
C
P
D
证法一：连接AP并延长交BC于点D
∠DPC=∠PCA+∠PAC ①
∠DPB=∠PBA+∠PAB ②
①+②∠DPC+∠DPB=∠PCA+∠PAC+∠PBA+∠PAB
∠BPC=∠BAC+∠PBA+∠PCA
∴∠BPC＞∠BAC
证法二：连接AP并延长交BC于点D
∠DPC＞∠PAC
∠DPB＞∠PAB
∠DPC+∠DPB＞∠PAC+∠PAB
∠DPC+∠DPB=∠BPC，∠PAC+∠PAB=∠BAC
∴∠BPC＞∠BAC
02
梳理知识
1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
3、判定定理：
2、性质定理：
（1）（定理）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；
（2）（推论）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）。
二、等腰三角形
（1）（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）（定理）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
02
练一练
1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是______________
3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是____cm。
A
16cm或17cm
8
02
知识梳理
1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；
2、性质定理：
（1）等边三角形的三个内角都相等，且都为60°；
（2）等边三角形内角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）
3、判定定理：
（1）（定义）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）（定理）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）（定理）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
三、等边三角形
02
练一练
1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________。
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，
C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，
则∠E＝________度
3.下列三角形：①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④
15
D
02
练一练
4.已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB = PQ = QC = AP = AQ.求∠BAC的大小．
解：∵PB = PQ = QC = AP = AQ，
∴△APQ是等边三角形.∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°
∠B =∠BAP，∠C =∠CAQ.
∴∠B = ∠APQ = 30°，
∠C = ∠AQP = 30°.
∴∠BAC=180°-∠B -∠C=120 °.
02
知识梳理
四、直角（Rt）三角形
1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；
2、性质定理：
（1）（定理）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（2）（定理）直角三角形两锐角互余；
（3）（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、判定定理：
（1）（定义）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；
（2）（定理）有两个角互余的三角形是直角三角形
02
知识梳理
（3）（勾股定理的逆定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4、三角形全等
（1）、性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（2）、判定：
三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、
Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL”
02
练一练
1．如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝_____。
2．如上右图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
3
D
02
练一练
3.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
E
A
D
F
C
B
证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，
∴∠EAD=∠ABC=90°.
在Rt△EAD和Rt△ABC中，ED=AC，EA=AB，
∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL).
∴∠AED=∠BAC.
∵∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠EAF+∠AED=90°，
∴∠EFA=90°，∴ED⊥AC.
02
练一练
4.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
∴∠BEC=∠CDB=90°
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴BM=CM（等角对等边）
说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。
02
知识梳理
五、线段的垂直平分线
1、性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、性质定理的逆定理（判定定理）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三边的垂直平分线的性质：
三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），并且这一点到三个顶点的距离相等。
02
练一练
1、如下左图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= 。
2、如下右图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D。若ED=5，则CE的长为（ ）
A.10 B.8 C. 5 D 2.5
35°
A
02
练一练
3.已知：如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线
交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长
证明： ∵ DE是AB边的中垂线 （已知），
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）．
∴AE+EC=BE+EC=8cm（等式性质）.
又∵ BC=6cm（已知）
∴ C△BEC=BE+EC+BC
=8+6=14cm
有垂直平分线，就有等腰三角形的产生
02
知识梳理
六、角平分线
1、性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、性质定理的逆定理（判定定理）：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3、三角形三条角平分线的性质：
三角形三条角平分线交于一点(内心），并且这一点到三条边的距离相等。
02
练一练
1、如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是_______。
2．如下右图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（ ）
A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
4
B
02
练一练
3.已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
作∠AOB的平分线，作CD的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点P即为所求
02
知识梳理
七.反证法与互逆命题
1.反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.反证法三部曲：假设，找茬，反转.
2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
3.互逆定理：一个定理的逆命题经过证明也是定理，则称它们互为逆定理。
03
考点讲练
考点一： 等腰（等边）三角形的性质与判定
例1 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.
03
考点讲练
证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示
则∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.
∵BD⊥AC,
∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °
∴ ∠ 2= ∠DBC.
∠1=∠2（角平分线定义）
∴ ∠BAC=∠1+∠2 =2∠DBC.
∴∠BAC=2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
03
方法总结
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段.
03
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)∵AD⊥BC，
∴∠ ____= ∠ _____; ____ = ____.
(2) ∵AD是中线，
∴____⊥____; ∠ _____= ∠ _____.
(3) ∵ AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ;_____ =____ .
B
A
C
D
BAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
03
考点讲练
考点二 勾股定理
例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
又∵S△ABC＝ b BD＝ ac，
03
方法总结
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
03
课堂练习
2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A.25 B.14 C.7 D.7或25
3.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则AD＝ ．
D
03
考点讲练
考点三 勾股定理的逆定理
例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，
从而a2＋b2＝c2，
故可以判定△ABC是直角三角形．
03
方法总结
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；
②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
03
课堂练习
4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
(2)(4)
03
考点讲练
考点四 命题与逆命题
例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假．
(1)如果a＝0，那么ab＝0；
(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．
解：(1)原命题是真命题．
原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假命题．
(2)原命题是真命题．
原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题．
03
方法总结
命题的结构如果----那么-----，前半部分是条件，后半部分是结论，把原命题的条件和结论互换得到原命题的逆命题，9个基本事实，已经证明过的定理都是真命题，其他命题需要证明真伪。
03
课堂练习
5.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.
（1）逆命题：若x2=1，则x=1．是假命题.
（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题.
6.下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
C
03
考点讲练
考点五 线段的垂直平分线
例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
解：∵ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC，BD=CD.
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上，
∴ AC =CE,∴AB=AC=CE,
∴ AB+BD=DE.
03
方法总结
常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.
03
课堂练习
7.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，
△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 .
A
B
D
18厘米
8.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）
① ② ③
C
E
03
考点讲练
考点六 角平分线的性质与判定
例6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
03
考点讲练
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
A
B
C
D
E
F
03
课堂练习
9. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
10.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 。
E
B
D
F
A
C
G
A
B
C
D
60
BF
3
03
课堂练习
11. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
03
考点讲练
考点七 本章的数学思想与解题方法
例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.
解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，
根据题意得 2x+x-8=20,
解得 x= , ∴x-8= ;
若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意.
故此等腰三角形的三边长分别为 、 、cm
分类讨论思想
03
考点讲练
例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长．
解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形．
在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①，
设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm，
代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，
化简，得36＝64－16x，
所以x＝ ＝1.75，
即CD的长为1.75 cm.
方程思想
03
方法总结
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．
03
课堂练习
12.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.
解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；
②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.
故这个三角形的周长为14或16.
03
课堂练习
13.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 .
04
课堂小结
1.各类三角形，性质、判定要记牢；
2.反证法，特定题目显奇效；
3.中垂线，角平分线，性质、判定皆重要；
4.常见尺规作图别忘了！
5、本章数学思想及解题方法：
方程思想、分类讨论、反证法……。
05
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则它的周长是 .
2．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5cm，底边BC＝6cm，则△ABC的角平分线AD的长是 。
3.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的周长等于（ ）
10cm或11cm
4cm
B
05
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
5.如图，在△ABC中，∠c=90°，按以下步骤作图：①以A点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点、M、N；②分别以M、N点和点为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在△ABC内，两弧交于P点；作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
D
B
05
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，点D到AB的距离DE＝38cm，那么BC＝（ ）
A．38cm B．76cm C．112cm D．114cm
7．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD的面积为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．24
D
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（ ）
A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2
C．∠A＜∠1+∠2 D．无法确定
9.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
B
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
10.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C点个数是______．
解答提示：分类讨论①以AB为底边的等腰三角形有4个；②以AB为腰的等腰三角形有4个，一个有8个
8
06
作业布置
【综合拓展类作业】
11. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
12.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且 CE＝ AB
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，
又∵CD为高，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°
证明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，
AC＝ AB．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝EC＝ AB，
∴AE＝BE，即点E是AB的中点．
∴CE是AB边上的中线，且CE＝ AB
06
作业布置
【综合拓展类作业】
Thanks!
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第一章 三角形的证明
回顾与反思
学习目标与重难点
学习目标：
1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.
2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.
3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.
学习重点：
通过考点讲练对所学知识进行复习巩固。
学习难点：
本章知识的综合性应用。
预习自测
绘制思维导图或知识流程图
教学过程
知识梳理
一、三角形的内角和
1、三角形的内角和定理： .
2、三角形的内角和定理推论（1）： .
3、三角形的内角和定理推论（2）： .
练一练
1．已知三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的 ，则这个三角形各内角的度数分别为( B )
A．60°,90°,75° B．48°,72°,60°
C．48°,32°,38° D．40°,50°,90°
已知：P是△ABC内一点。求证：∠BPC＞∠BAC
(利用三角形内角和推论1或2证明）
二、等腰三角形
1、定义： .
2、性质定理：
（1）（定理） .（等边对等角）；
（2）（推论） .（三线合一）。
3、判定定理：
（1）（定义） .；
（2）（定理） .（等角对等边）。
练一练
1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
2.等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是 .
3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是cm。
三、等边三角形
1、定义： .；
2、性质定理：
（1） .；
（2） .（三线合一）
3、判定定理：
（1）（定义） .；
（2）（定理1） .；
（3）（定理2） .
练一练
1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 .
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度
3.下列三角形：①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④
4.已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB = PQ = QC = AP = AQ.求∠BAC的大小．
.
四、直角（Rt）三角形
1、定义： .；
2、性质定理：
（1）（定理1） .；；
（2）（定理） .；
（3）（勾股定理） .；。
3、判定定理：
（1）（定义） .；
（2）（定理） .；；
（3）（勾股定理的逆定理） .；
4、三角形全等
（1）、性质： .；
（2）、判定：
三角形： .；、
Rt三角形： .；练一练
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝ 。
第1题 第2题 第3题
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
3.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
4.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
【强调】：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。
五、线段的垂直平分线
1、性质定理： .；
2、性质定理的逆定理（判定定理） .；
3、三角形三边的垂直平分线的性质： .；
练一练
1、如图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= 。
2、如图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D。若ED=5，则CE的长为（ ）
A.10 B.8 C. 5 D 2.5
第1题 第2题 第3题
3.已知：如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长
六、角平分线
1、性质定理： .；
2、性质定理的逆定理（判定定理）： .；
3、三角形三条角平分线的性质： .；
练一练
1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是 。
2．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（ ）
A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
第1题 第2题 第3题
已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
【解答提示】作∠AOB的平分线，作CD的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点P即为所求
七.反证法与互逆命题
1.反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.反证法三部曲：假设，找茬，反转.
2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
3.互逆定理：一个定理的逆命题经过证明也是定理，则称它们互为逆定理。
二、考点讲练
考点一 ：等腰（等边）三角形的性质与判定
例1：如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证：
∠BAC = 2∠DBC.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.
证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示
则∠1=∠2=∠BAC;∵AB=AC,∴AE⊥BC
∴∠2+∠C=90°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°
∴∠2=∠DBC ∴ ∠BAC= 2∠DBC.
【方法总结】
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段.
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)∵AD⊥BC，
∴∠ = ∠ ; = .
(2) ∵AD是中线，
∴ ⊥ ; ∠ = ∠ .
(3) ∵ AD是角平分线，
∴ ⊥ ; = .
考点二：勾股定理
例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
又∵S△ABC＝ b BD＝ ac，
∴BD=
【方法总结】：
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
课堂练习
2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A.25 B.14 C.7 D.7或25
3.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则AD＝ ．
考点三 勾股定理的逆定理
例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n－1，b＝2n，c＝n＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．
解：由于a＋b＝(n－1)＋(2n)＝n＋2n＋1，
c＝(n2＋1)＝n＋2n＋1，
从而a＋b＝c，
故可以判定△ABC是直角三角形．
【方法总结】
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；
②分别用代数方法计算出a＋b和c的值(c边最大)；③判断a＋b和c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
课堂练习
4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有 ．
考点四 命题与逆命题
例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假．
(1)如果a＝0，那么ab＝0；
(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．
解：(1)原命题是真命题．
原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假．
(2)原命题是真命题．
原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题．
【方法总结】
命题的结构如果…那么…，前半部分是条件，后半部分是结论，把原命题的条件和结论互换得到原命题的逆命题。9个基本事实，已经证明过的定理都是真命题，其他命题需要证明真伪。
课堂练习
5.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
（1）若x=1，则x=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.
6.下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
考点五 线段的垂直平分线
例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：∵ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC，BD=CD.
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上，
∴ AC =CE,∴AB=AC=CE,
∴ AB+BD=DE.
【方法总结】
常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.
课堂练习
7.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 .
8.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）
考点六 角平分线的性质与判定
例6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F. 求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
课堂练习
9. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
10.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
第9题 第10题 第11题
如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
考点七 本章的数学思想与解题方法
分类讨论思想
例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.
解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，
根据题意得 2x+x-8=20,
解得 x= , ∴x-8= ;
若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意.
故此等腰三角形的三边长分别为cm,cm,cm
方程思想
例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长．
解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形．
在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①，
设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm，
代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，
化简，得36＝64－16x，
所以x＝1.75，
即CD的长为1.75 cm.
【方法总结】
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解
课堂练习
12.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.
13.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（ ）.
总结反思、拓展升华
1.各类三角形，性质、判定要记牢；
2.反证法，特定题目显奇效；
3.中垂线，角平分线，性质、判定皆重要；
4.常见尺规作图别忘了！
5、本章数学思想及解题方法：
方程思想、分类讨论、反证法。
五、【作业布置】
基础达标：
1．等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则它的周长是 .
2．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5cm，底边BC＝6cm，则△ABC的角平分线AD的长是 。
3.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的周长等于（ ）
第3题 第4题 第5题
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
5.如图，在△ABC中，∠c=90°，按以下步骤作图：①以A点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点、M、N；②分别以M、N点和点为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在△ABC内，两弧交于P点；作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，点D到AB的距离DE＝38cm，那么BC＝（ ）
A．38cm B．76cm C．112cm D．114cm
7．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD的面积为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．24
第6题 第7题 第8题
8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（ ）
A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．无法确定
9.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
第9题 第10题
能力提升：
10.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C点个数是 .
拓展迁移：
11. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
12.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且 CE＝AB
考点讲练参考答案
1、(1)∵AD⊥BC，
∴∠ BAD= ∠CAD; BD=DC.
(2) ∵AD是中线，
∴AD⊥BC; ∠BAD= ∠CAD.
(3) ∵ AD是角平分线，
∴AD⊥BC ;BD =DC.
D
(2),(4)
5、解：（1）逆命题：若x=1，则x=1．是假命题.
（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题.
6、C
7、18cm
①②③
60；BF
3
11、解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
12、解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；
②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.
故这个三角形的周长为14或16.
课外作业参考答案
10cm或11cm
4cm
B
D
B
D
A
B
C
8【解答提示】：分类讨论①以AB为底边的等腰三角形有4个；②以AB为腰的等腰三角形有4个，一个有8个
11、证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
12、（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，
又∵CD为高，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°
证明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，
AC＝AB．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝EC＝AB，
∴AE＝BE，即点E是AB的中点．
∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB
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北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
回顾与思考教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 回顾与思考 课时 1
课标要求 了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握公理、定理及证明的书写格式。掌握三角形性质和判断定理。掌握线段的垂直平分线、平分线的性质定理和判定定理。了解原命题逆命题的概念，会识别两个命题是否互逆。
教材分析 教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.具体复习内容为：三角形的内角和；等腰三角形；等边三角形；直角三角形；线段垂直平分线；角平分线；全等三角形的判断；反证法和逆命题。复习分为三个环节：1、构建知识框架。2、知识梳理。3、考点讲练。4、布置作业。
学情分析 本章是初中几何的“分水岭”，标志着学生从“直观实验几何”过渡到“演绎推理几何”阶段。学生已具备的知识：三角形、全等三角形的相关知识，等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边的一半。具备的技能：掌握了尺规作图、能识别基本的几何图形，有一定的识图能力。具有初步的逻辑感知。认知困难：从“看图说话”到逻辑推演的思维断层；符号语音表达不规范；辅助线添加的策略缺失；特殊三角形性质的混淆。
核心素养目标 1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.
教学重点 通过考点讲练对所学知识进行复习巩固。
教学难点 本章知识的综合性应用。
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识框架 展示课前布置的知识结构流程图（挑选具有代表意义的作品） 引导学生完善本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.
二、知识梳理 一、三角形的内角和1、三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180°.2、三角形的内角和定理推论（1）： 三角形的外角等于不相邻的两个内角和.3、三角形的内角和定理推论（2）：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.练一练1．已知三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的 ，则这个三角形各内角的度数分别为( B )A．60°,90°,75° B．48°,72°,60° C．48°,32°,38° D．40°,50°,90°2.已知：P是△ABC内一点。求证：∠BPC＞∠BAC证法一：连接AP并延长交BC于点D∠DPC=∠PCA+∠PAC ①∠DPB=∠PBA+∠PAB ②①+②∠DPC+∠DPB=∠PCA+∠PAC+∠PBA+∠PAB ∠BPC=∠BAC+∠PBA+∠PCA ∴∠BPC＞∠BAC证法二：连接AP并延长交BC于点D∠DPC＞∠PAC ∠DPB＞∠PAB ∠DPC+∠DPB＞∠PAC+∠PAB ∠DPC+∠DPB=∠BPC，∠PAC+∠PAB=∠BAC ∴∠BPC＞∠BAC二、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；2、性质定理：（1）（定理）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；（2）（推论）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）。3、判定定理：（1）（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）（定理）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。练一练1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ A ）A．20° B．40° C．50° D．80°2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是_【16cm或17cm】3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是【8】cm。三、等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；2、性质定理：（1）等边三角形的三个内角都相等，且都为60°；（2）等边三角形内角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）3、判定定理：（1）（定义）三边都相等的三角形是等边三角形；（2）（定理）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）（定理）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形练一练1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为【cm】。2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝【15】度3.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（ D ）A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④4.已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB = PQ = QC = AP = AQ.求∠BAC的大小．解：∵PB = PQ = QC = AP = AQ，∴△APQ是等边三角形.∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60° ∠B =∠BAP，∠C =∠CAQ.∴∠B = ∠APQ = 30°， ∠C = ∠AQP = 30°.∴∠BAC=180°-∠B -∠C=120 °.四、直角（Rt）三角形1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；2、性质定理：（1）（定理）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）（定理）直角三角形两锐角互余；（3）（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、判定定理：（1）（定义）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；（2）（定理）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）（勾股定理的逆定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。4、三角形全等（1）、性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）、判定：三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL”练一练1．如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝【3】。2．如上右图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ D ）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．73.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAD=∠ABC=90°.在Rt△EAD和Rt△ABC中，ED=AC，EA=AB，∴ Rt△EAD≌Rt△ABC (HL).∴∠AED=∠BAC.∵∠EAF+∠BAC=90°，∴∠EAF+∠AED=90°，∴∠EFA=90°，∴ED⊥AC.4.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E∴∠BEC=∠CDB=90°∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠1=∠2（等角的余角相等）∴BM=CM（等角对等边）说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。五、线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、性质定理的逆定理（判定定理）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），并且这一点到三个顶点的距离相等。练一练1、如下左图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=【35°】。2、如下右图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D。若ED=5，则CE的长为（ A ）A.10 B.8 C. 5 D 2.53.已知：如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长证明： ∵ DE是AB边的中垂线 （已知），∴AE=BE（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）．∴AE+EC=BE+EC=8cm（等式性质）.又∵ BC=6cm（已知）∴ C△BEC=BE+EC+BC =8+6=14cm六、角平分线1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2、性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、三角形三条角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点（内心），并且这一点到三条边的距离相等。练一练1、如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是【4】。2．如下右图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（ B ）A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等． 【解答提示】作∠AOB的平分线，作CD的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点P即为所求七.反证法与互逆命题1.反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.反证法三部曲：假设，找茬，反转.2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.3.互逆定理：一个定理的逆命题经过证明也是定理，则称它们互为逆定理。 梳理知识点。完成相应练习 在回顾与思考中建立本章的知识框架图的基础上，对等腰三角形；等边三角形；直角三角形；线段垂直平分线；角平分线；全等三角形的判断；反证法和逆命题进行梳理，并完成课堂练习，加强学生运用知识解决实际问题的能力。
三、考点讲练 考点一 ：等腰（等边）三角形的性质与判定例1：如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证： ∠BAC = 2∠DBC.【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示则∠1=∠2=∠BAC;∵AB=AC,∴AE⊥BC∴∠2+∠C=90°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°∴∠2=∠DBC ∴ ∠BAC= 2∠DBC.【方法总结】等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段.课堂练习1.如图，在△ABC中，AB=AC时，(1)∵AD⊥BC，∴∠ BAD= ∠CAD; BD=DC.(2) ∵AD是中线，∴AD⊥BC; ∠BAD= ∠CAD.(3) ∵ AD是角平分线，∴AD⊥BC ;BD =DC.考点二：勾股定理例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，则在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝ b BD＝ ac，∴BD=【方法总结】：在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．课堂练习2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ D ）A.25 B.14 C.7 D.7或253.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则AD＝ ．考点三 勾股定理的逆定理例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n－1，b＝2n，c＝n＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．解：由于a＋b＝(n－1)＋(2n)＝n＋2n＋1， c＝(n2＋1)＝n＋2n＋1， 从而a＋b＝c， 故可以判定△ABC是直角三角形．【方法总结】运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出a＋b和c的值(c边最大)；③判断a＋b和c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．课堂练习4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有【(2)(4)】．考点四 命题与逆命题例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假．(1)如果a＝0，那么ab＝0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．解：(1)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假．(2)原命题是真命题．原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆命题也是真命题．【方法总结】命题的结构如果…那么…，前半部分是条件，后半部分是结论，把原命题的条件和结论互换得到原命题的逆命题。9个基本事实，已经证明过的定理都是真命题，其他命题需要证明真伪。课堂练习5.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.解：（1）逆命题：若x=1，则x=1．是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题.6.下列语句中不正确的是（ C ）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等考点五 线段的垂直平分线例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？解：∵ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC，BD=CD. ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE,∴AB=AC=CE, ∴ AB+BD=DE.【方法总结】常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.课堂练习7.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 【18cm】.8.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有【① ② ③】（填序号）考点六 角平分线的性质与判定例6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F. 求证：EB=FC.分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).∴ EB=FC.课堂练习9. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF=【60】度，BE= 【BF】 .10.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 【3】 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．考点七 本章的数学思想与解题方法分类讨论思想例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，根据题意得 2x+x-8=20, 解得 x= , ∴x-8= ;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意.故此等腰三角形的三边长分别为cm,cm,cm方程思想例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长．解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形． 在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①， 设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm， 代入①式，得62＋x2＝(8－x)2， 化简，得36＝64－16x， 所以x＝1.75， 即CD的长为1.75 cm.【方法总结】勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解课堂练习12.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.故这个三角形的周长为14或16.13.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为（ ）. 1、学习例题2、完成相应的课堂练习，3、方法归纳 通过例题考点讲练，进一步掌握本章知识，结合相关习题进一步发展学生的推理证明意识和能力.体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识.
六、提升 1.各类三角形，性质、判定要记牢；2.反证法，特定题目显奇效；3.中垂线，角平分线，性质、判定皆重要；4.常见尺规作图别忘了！5、本章数学思想及解题方法：方程思想、分类讨论、反证法。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则它的周长是 10cm或11cm .2．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5cm，底边BC＝6cm，则△ABC的角平分线AD的长是 4cm 。 3.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的周长等于（ B ） 第3题 第4题 第5题4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（ D ）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个5.如图，在△ABC中，∠c=90°，按以下步骤作图：①以A点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点、M、N；②分别以M、N点和点为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在△ABC内，两弧交于P点；作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( B )A. 15 B. 30 C. 45 D. 606.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，点D到AB的距离DE＝38cm，那么BC＝（ D ）A．38cm B．76cm C．112cm D．114cm7．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD的面积为（ A ）A．12 B．13 C．16 D．24 第6题 第7题 第8题8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（ B ）A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．无法确定9.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ C ）A．20 B．12 C．14 D．13第9题 第10题能力提升：10.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C点个数是 8 .【解答提示】：分类讨论①以AB为底边的等腰三角形有4个；②以AB为腰的等腰三角形有4个，一个有8个拓展迁移：11. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．12.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且 CE＝AB（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，又∵CD为高，∴∠B＝90°﹣60°＝30°证明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝AB．∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°，∴∠ACE＝∠A＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝AE＝EC＝AB，∴AE＝BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB
教学反思
三角形
线段的垂直平分线
角平分线
三
角
形
内
角
和
与
外
角
直角三角形
等边三角形
等腰三角形
判断定理
性质定理
判断定理
判断定理
性质定理
性质定理
勾股定理
逆定理
勾股定理
B
A
C
D
A
B
C
D
E
E
A
B
D
C
A
B
C
D
E
F
C
A
E
B
D
F
D
C
B
A
G
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
三角形
线段的垂直平分线
角平分线
三
角
形
内
角
和
与
外
角
直角三角形
等边三角形
等腰三角形
勾股定理逆定理
判断定理
性质定理
判断定理
判断定理
性质定理
性质定理
直角三角形全等的判断HL
勾股定理
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