《5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象》 教学设计（表格式）

教学设计
课题 《正弦函数、余弦函数的图象》
1. 教学内容分析 教材以单位圆三角函数定义为逻辑起点，揭示了正余弦函数图像的理论根源。在平面直角坐标系中，设单位圆上任意一点 P(cosα , sin α) ，当角 α 从 0 开始绕原点旋转时，点 P 的纵坐标 y = sin α 、横坐标 x = cosα 随角 α 的变化而连续变化，这种“角—坐标 ”的对应关系天然具备几何可视化的条件。教材引入图像，本质是将三角函数的代数映射关系转化为平面曲线的几何形态，是“数 ”与“形 ”的必然联结，也为后续用几何方法研究函数性质提供了理论载体。
充分利用了三角函数周期性的特点，从画函数图象上任一点出发，明确作图的原理，再画出具有代表性的点，初步感受图象的特点，最后画出足够多的点，得到对正弦图象的直观认识。这一过程严格遵循“定义—推理—作图 ”的逻辑链。而且抓住五个关键节点，通过“列表—计算—描点—连线 ”快速绘制简图。五点法并非对严谨作图的否定，而是对其的理论简化，体现了数学“抓主要矛盾 ”的思维方式。正余弦函数图象的关系，蕴含着三角函数的核心变换思想，其理论依据是诱导公式。借助已知的直线函数图象来画余弦函数的图象，加强了两者的联系，体现了化归思想。 正余弦函数图象是三角函数理论体系的核心枢纽，承担着“承上启下 ”的理论功能。它承接三角函数的定义与诱导公式，将抽象的代数关系转化为直观的几何图象，让周期、奇偶、单调等性质有了可视化的载体，解决了“性质为何存在 ”的理论根源问题。 y = Asin(①x + φ) 的图象变换提供理论基础， A ， ①, φ 对图象的影响，本质是对 y = sin x 图象的伸缩与平移变换，其理论依据均源于正余弦函数图象的基本特征；同时，图象也为三角函数物理应用、实际应用提供了直观的分析工具。
2. 教学目标 （1）能基于单位圆三角函数定义，阐述正弦函数图象在[0, 2 π ] 上的生成原理，理解“角的弧度数与横坐标对应、三角函数值与纵坐标对应 ”的几何映射关系。 （2）掌握由三角函数周期性，推导 R 上正余弦曲线的逻辑过程，能精准描述两条曲线的核心几何特征。 （3）理解五点法作图的理论依据—正余弦函数在一个周期内的最值点与零点是刻画图象形态的关键节点，能运用该方法规范绘制[0, 2 π ] 内的函数简图。 （4）依据诱导公式从理论层面推导正余弦曲线的平移变换关系，明确二者的图象等价性与相位差异。 数学核心素养目标 （1）直观想象：借助单位圆与三角函数线，建立角的变化与坐标变化的几何关联，形成对正余弦曲线形态的直观认知；能通过图象特征反向推导函数的代数性质，实现“ 以形助数 ”。感悟正余弦函数图象“简洁对称、周期往复 ”的数学美学，体会数学理论的严谨性与直观性的统一。 （2）逻辑推理：基于三角函数定义与周期性定理，严谨推导正余弦曲线的生成过程；依据诱导公式，论证余弦曲线与正弦曲线的平移变换关系，培养演绎推理能力。在逻辑推导与理论论证的过程中，培养严谨的数学思维品质与科学探究精神。 （3）数学抽象：从简谐运动等实际背景中抽象出正余弦函数的图象模型，理解“周期变化的量 ”可通过函数图象实现可视化表达的本质。通过图象与物理简谐运动等实际问题的隐性关联，认识三角函数理论的应用价值，增强对数学抽象理论的探索兴趣。 （4）数学运算：在五点法作图的列表环节，准确计算特殊角的正余弦值，提升运算的准确性与规范性；通过图象变换的参数分析，强化代数运算与几何变换的对应能力。
4.学习活动设计
环节一：创设情境，提出问题
教师活动 学生活动
创设实际情境，通过视频导入，让学生观察单摆实验产生的三角函数的图象，回顾以前物理知识，进一步学习正余弦函数的图象。
设计意图 通过单摆实验观察三角函数的图象，让学生与简谐振动联系起来，体会学科之间相互融合，交叉学习，建立现实与数学的联系，提升数学直观想象核心素养。
环节二：温故知新，确定研究思路
教师活动 学生活动
提出问题 1：我们是如何在单位圆中定义一个角的正弦函数的呢？ 自主思考问题 1，回顾正弦函数的定义。借助于单位圆得到一个角的正弦函数。 自主思考问题 2： 描点法，正弦函数图象上的每个点为( α, sinα). 自主思考问题 3：部分---整体
y = sin α
提出问题 2： 绘制新函数图象的基本方法是什么呢？ 正弦函数图象上的每个点的坐标是什么？ 提出问题 3 ：根据正弦函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？
设计意图 确定研究思路。渗透由部分到整体的思想，促进数学思想方法的形成，提升直观想象素养。
环节三：问题引导，合作探究
教师活动 学生活动
提出问题 4：在 [0,2π]上任取一个值 x0 , 能否利用弧度制下的弧长公式和单位圆中正弦函数的定义，确定正弦函数值 sin x0 ，并画出 T(x0, sin x0 ) 点。 (
观察数学实验
1
视频
)
数学实验 1：“手工细线缠绕法 ”准确绘制图象上一点。 。
提出问题 5： 我们已经学会了绘制正弦函数图象上的某一点，点动成线，你能制定一个方案，画出y= sin x , x ∈[0,2π ]的图象吗？ 学生以小组为单位探究方案。 方案一：在 [0,2 π ]内任取一些横坐标的值 ，按照上述方法逐一绘制 ，再用光滑的曲线连接；
数学实验2 ：请同学们以小组为单位利用方案进行绘制正弦函数的图象。 数学实验 3：利用 GGB 软件绘制正弦函数的图象。 提出问题 6： 根据正弦函数在[0,2π ]上的图象，你可以得到R上的图象了吗？ 方案二：在[0,2π ]内取等分点值，按照上 述方法逐一绘制，再用光 滑的曲线连接； 把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x0的值分别为0，，， ,...,2π , 它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分。 GGB 文件： 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏 ” 的连续光滑曲线.
设计意图 学生通过数学实验 1，能描出点 T（x0 ，sinx0 ），为后面做准备。确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施数学实验 2、3，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷。在此过程中提升数学逻辑推理，直观想象数学核心素养。
提出问题 7 ：在确定正弦函数的图象形状时， 应抓住哪几个关键点，从而可以得到正弦函数的简图呢？ 五点法作图注意： 横轴五点排均匀，上下顶点圆滑行； 上凸下凹形相似， 游走酷似波浪行.
设计意图 观察函数图象，概括其特征，获得“五点法 ”画图的简便画法；提升直观想象，逻辑推理数学核心素养。
提出问题 8：如何画出余弦函数 y= cos x 的图象？ 提出问题 9：余弦函数在区间[-π , π ]上相应的五个关键点是哪些？ 五个点(0 ，1)， ( ，0)， (π , -1)， ( ，0)， (2π , 1) . 思考正弦函数与余弦函数的密切相关性．联系诱导公式相互转换。 cos x = sin(x + ) 学生学习活动： 根据已学的正弦函数图象得到余弦函数的图象。
设计意图 利用诱导公式，通过图象变换， 由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识；：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法 ”。提升数学直观想象，逻辑推理数学核心素养。
环节四：典例分析，知识应用
教师活动 学生活动
例 1 画出下列函数的简图： （1） y = 1+ sin x ， x ∈ [0 ，2 π ]； （2） y = - cos x ， x ∈ [0 ，2 π ]． 学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流． （1）法一：按五个关键点列表： 描 点 并 将 它 们 用 光 滑 的 曲 线 连 接 起 来 法二：将 y＝sin x，x∈[0,2 π]的图象向上平移 1个单位，得到 y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象； （2） 法 一 ： 按 五 个 关 键 点 列 表 ： 法二：将函数 y＝cos x，x∈[0,2 π] 图象关于 x 轴对称得到 y＝-cos x，x∈[0,2 π] 的图象。
设计意图 巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法 ”画图，掌握画图的基本技能．通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫．
环节五：小结提升，形成结构
教师活动 学生活动
教师引导学生回顾本节课的学习内容，提出问题 10： （1）通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？ （2）在探究正弦函数和余弦函数图象中，你学到了哪些方法和数学思想呢？ 让学生先总结，再进行全班交流互动，教师点评学生的总结，并及时进行补充完善，形成完整的认知结构。 五点作图法、图象变换，从部分到整体。
设计意图 通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解，构建知识体系；明确绘制图象的方法，五点法和图像变换法，并体会从部分到整体的研究思路。
5. 目标检测设计 基础必做：尝试画出y = sin x的图象. 拓展选做：求不等式 cos x > 0在[0,2π ]上的解集. 实践探究：图像的实际应用 生活中存在许多周期性变化的现象（如潮汐、单摆摆动、交流电的电流变化），请查阅资料，找到一个可以用正余弦函数图像描述的实际案例，简要说明该现象的变化规律，并画出对应的函数图像草图。
6.板书设计
7. 特色学习资源分析、技术手段应用说明 (1) 情境导入和数学实验 1 分别以视频形式给出；激发学生的学习兴趣. （2）利用信息技术工具画出正弦函数图象，帮助学生直观认识函数图象.
8. 教学反思与改进 通过五点法与几何法的教学，既让学生掌握了快速作图的实用技巧，又借助单位圆三角函数线，帮助学生理解正余弦函数图像的几何本质，实现了“技巧 ”与“本质 ”的兼顾。 探究设计，激发思考：课堂中设计的图像平移关系探究余弦函数图象，充分调动了学生的主动性，让学生在动手作图、观察分析中自主构建知识，而非被动接受。