8.3 向量的坐标表示 教学设计 沪教版

向量的坐标表示 平面向量基本定理
一、 教材分析
向量基本定理是沪教版必修第二册第八章《平面向量》第三节《向量的坐标表示》的第一课时。本节课是建立在学生已掌握向量的概念与线性运算、向量的数量积的基础上进行学习，也为本章后续内容向量的坐标表示及利用坐标进行向量运算的学习打下基础，同时也为选择性必修第一册第三章第二节《空间向量基本定理》做铺垫。
在第八章《平面向量》的第一第二节，学生对于向量的认识停留在几何层面，而在第三章引入直角坐标系后，把几何表示的向量又化为代数对象，使向量成为代数方法解决几何问题的有效工具。而直角坐标系的引入是基于向量基本定理的，因此向量基本定理对于学生对向量的理解具有重要意义。
二、 教学 目标
1. 理解向量基本定理，了解基的概念并能用基表示平面内的向量，会利用唯一性建立方程；
2. 经历向量基本定理的推导过程，体验选择适当的基向量在解决问题中所带来的便捷，理解基的作用；
3. 感受数学的简洁美与数学体系的严谨，培养数学抽象素养。
三、 教学重点与难点
教学重点：探索并证明向量基本定理，会用基表示平面内的向量
教学难点： 向量基本定理的证明与理解，向量基本定理的应用
四、 教学过程
（一）复习引入
向量的加法：给定平面上两个不平行的向量e1 , e2 如何作出他们的和向量？
【预设回答】移到同一起点，作平行四边形（用数学的语言表达“移 ”这个过程）
在平面上任取一点 O ，O 为起点作 OA = e1 , OB = e2 ，以 OA, OB 为邻边作平行四边形
OACB ，向量 OC 即为 e1 , e2 和向量，换句话说，我们利用 e1 , e2 的线性组合表示出了OC .
【问题 1】我们在用平行四边形法则的时候需要注意什么？
【预设回答】两个不平行向量才能用平行四边形法则，同时也规避了两向量中存在零向量的可能。
设计意图：回忆向量加法的平行四边形法则，在已有知识的基础上建构新知。同时，对于学生易忽略的条件进行强调复习，为后续探究基底选择的条件（不平行）作铺垫。排除存在零向量的情况，保证证明中向量共线充要条件的使用。
（二）新知探究
【问题 2】如图， OE 可否利用 e1 , e2 表示出来？
【预设回答】过 E 作 OA 、OB 的平行线交 OB、OA 于 N、M，此时 OE = OM + ON 由向量共线的充要条件， 由于1 , ≠ , 所以存在实数 λ, μ 使得 = λ1 , = μ , 那
么 = + = λ1 + μ
【问题3】平面上任意一个向量可否利用 e1 , e2 表示？
【预设回答】可以，只要将向量移到与 e1 , e2 同起点，再作平行四边形
【动图演示】发现 λ, μ 始终存在，但平行四边形不始终存在，因此需要单独讨论。
【补充证明】与 OA 平行的向量如何用 e1 , e2 表示？ （利用向量共线的充要条件，同时
取 e2 前系数为 0）零向量如何用 e1 , e2 表示？（ e1 , e2 前系数均为 0）
【总结归纳】 e1 , e2 为平面上两个不平行的向量，对于该平面上任意向量 a ，都存在实数 λ, μ , 使得 = λ1 + μ （ 1 , 线性组合）
即：当 e1 , e2 不平行时，可以用他们的线性组合来表示平面上任意一个向量 a
设计意图：平行四边形法则作为脚手架，引导学生探索向量基本定理。在猜测的基础上，通过直观动图验证，发现存在利用平行四边形法则无法证明的情况。对于这样的特殊情况也加以考虑，使得任意性的探索更加完整。该过程也已经自然地将存在性证明完毕。
（三）定理完善
【问题 4】当我们取定1 , , ，他们的线性组合是否唯一？即 λ, μ 是否唯一？ 【预设回答】
①当 e1, e2, a 确定，那平行四边形也就唯一确定（图形上说明，不严谨，猜测唯一）
②反证法：假设存在 λ' , μ ' ，使得 = λ' 1 + μ ' ，那么( λ - λ')1 = ( μ ' - μ )
若 λ ≠ λ' 则
此时1 ，与条件矛盾。因此 λ = λ'
(
'
)同理： μ = μ
【引出定理】 向量基本定理： e1 , e2 为平面上两个不平行的向量，那么对于该平面上任
意向量 ，都可以唯一地表示为1 , 的线性组合，即存在唯一的一对实数 λ, μ , 使得 = λ1 + μ .
其中 e1 , e2 称为平面的一个基
【总结归纳】我们知道平面上的向量有无数个，要去研究向量之间的关系和运算较为困
难。向量基本定理告诉我们，可以寻找一组基，作为其他各个向量之间的桥梁，将任意向量之间的关系转变为研究实数和给定的两个向量之间的关系。此时，我们可以寻找特殊的向量作为基底，例如单位向量、互相垂直的向量等，将向量间的运算大大简化。
设计意图：让学生自主探索是否有唯一性，逐步完善定理。同时，加强学生反证法的运用，建立唯一性与反证法的联系。同时，对于证明的严谨性作出强调，培养学生数学抽象和逻辑推理素养。
【唯一性证明辨析】请判断下述向量基本定理唯一性的证明方法是否正确，并说明理由。假设存在 λ' , μ ' ，使得 = λ' 1 + μ ' ，那么
= ( λ - λ')1 + ( μ - μ ')
由于之前已知
0 = 0e1 + 0e2
因此
λ = λ' , μ = μ '
【分析】犯了循环论证的错误，在不知道唯一性的情况下，零向量也可能表示为其他线性组合。但该方法给我们一个启示，可以利用唯一性建立方程解未知数。
（四）基底探究
【问题 5】要成为平面的一组基， e1 , e2 需要满足什么样的条件？
【预设回答】不平行，如果 e1 , e2 平行，根据向量共线的充要条件，e1 , e2 只能表示与之
平行的向量。在引入时 e1 , e2 为平面上任意两向量。
【总结归纳】平面上任意两个不平行的向量都能组成平面向量的一组基。
设计意图：向量基本定理中包含两个“任意 ”，一个是已经说明的任意向量可以由基底线性表示，第二个是任意两个不平行的向量都可以作为一组基底。对于第二个“任意 ”在此处也和学生进行强调。
（五）练习巩固
例 1 ：设 e1 , e2 是不共线的两个向量，则下列四组向量中不能作为基底的是 ( )
A. e1 和 e1 + 2e2 B. e1 + 2e2 和 3e1 - e2
C. e1 + 2e2 和 -2e1 - 4e2 D. 3e1 - e2 和 4e1 - e2
例 2：在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为线段 AD 上靠近 A 的三等分点，则
例 3 ：如图所示，AD 是ABC 的一条中线，点 O 满足 AO = 2OD 过点 O 的直线分别与射线AB、AC 交于 M、N 两点。若 = λ + μ . 求 λ, μ 的值
设计意图：第一个例题考察的是基底概念的辨析及共线定理；第二个例题是对向量基本定理的应用，会用给定的基底表示平面中的向量；第三个例题考察利用唯一性建立方程。三道例题从不同角度巩固学生对于向量基本定理的理解和运用。
（六）课堂小结
1.本节课学习了什么内容？该定理中有哪些值得注意的点？（向量基本定理；基底不平行，平面上任意向量都能用基底线性表示且该表示都是唯一的）
2. 向量基本定理有哪些应用？（将平面上向量统一到基底，便于研究；利用唯一性建立方程）
（七）课后探究
给定平面上不共线的三点 O、A 和 B，M 为平面上任意一点，且 = λ + μ 证明：M，A ，B 三点共线的充要条件为 λ + μ = 1
设计意图：对向量基本定理进行进一步探索，这是向量中一个非常重要的结论，也是为探索定比分点和等和线问题作铺垫。
五、 板书设计
六、 教学设计说明
本教学设计由向量加法的平行四边形法则引入，在已有知识的基础上建构新知。同时，
在引入时取平面上任意不平行向量e1 , e2 也为后续基底选择条件的说明埋下伏笔。在复习时利用数学语言表述“移到同一起点 ”的过程，也大大减轻后续向量基本定理证明的压力。
接着，引导学生进行新知探究。对于平面上的向量 OE 是否可以由e1 , e2 表示，再到猜
测平面上任意一个向量是否可以由e1 , e2 表示。这时，复行四边形法则为学生提供了证明思路，再引导学生利用向量平行的充要条件进行说明。在此过程中，向量基本定理的存在性已经基本得证。对于平行于向量的特殊情况，再进行补充证明。
第三部分是唯一性的证明，对向量基本定理进行完善。在此处需建立起学生存在性和唯一性的联系及利用反证法严谨地证明唯一性的意识。另外，对于学生存在的循环论证的可能也要加以提醒。
在证明完唯一性后，给出向量基本定理，并对于基底进行定义。在此处，教师引导学生思考向量基本定理的意义，并加以深化说明。进一步，再引导学生思考基底的选择需要满足什么条件。
接下来，对于基底概念的辨析、向量基本定理的应用及利用唯一性建立方程的意识给出三道例题进行加强巩固。同时给出三点共线的充要条件让学生课后探索，在下一节课，可以在此基础上对于定比分点问题进行提高训练。
向量基本定理是向量理论中一个举足轻重的定理，教师在讲解该内容时应对其意义加以强调，以便在选择性必修一中推广到三维空间中。