第四章 对数运算和对数函数 本章复习与测试（含解析）

北师大版第一册 第四章 对数运算与对数函数
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2.对数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是( )
A. B. C. D.
6.若函数与函数且的图象关于直线对称，且，则( )
A. B. C. D.
7.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为( )
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
8.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为为常数，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为；当时，学习率为，则学习率衰减到以下所需的训练迭代轮数至少为 参考数据：
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知下列四个结论中正确的是( )
A. 若，则或；
B. 若，且，则；
C. 函数的减区间为和
D. 函数的增区间为和
10.已知函数，则( )
A. 的定义域是
B. 有最大值
C. 不等式的解集是
D. 在上单调递增
11.从今年起，年内，小李的年薪万元与年数的关系是，小马的年薪万元与年数的关系是，则下列判断正确的有
A. 年后小马的年薪超过小李 B. 年后小马的年薪超过小李
C. 小马的年薪比小李的增长快 D. 小马的年薪比小李的增长慢
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13. ．
14.已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，求的值；
已知，求的值；
计算：．
16.本小题分
已知函数在区间上的最大值为．
求实数的值；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若为偶函数，求
若“，”为假命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数且．
若，求实数的取值范围；
当时，求方程的解．
19.本小题分
长兴县为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．
求森林面积的年增长率；
到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年精确到整数？
参考数据：，
答案和解析
1.【答案】
【解析】 ，
，
不等式的解集为．
故选B．
2.【答案】
【解析】因为，所以函数在上单调递减，因此：
所以最大值为，最小值为，
所以
解得，
故选D．
3.【答案】
【解析】设，根据对数的定义可得：
，，。
由，代入得：
。
两边同除以因，设，则方程转化为：
，即。
解此二次方程：
。
因，故取正根。
又，因此。
4.【答案】
【解析】由函数的定义，分别计算各值：
因，绝对值后取相反数；
同理，；
因，绝对值后不变。
由于对数函数在上单调递增，且，故，即。
5.【答案】
【解析】因为函数与 的图象关于直线对称，
所以就是的反函数，即 ，
因此函数 ，
该函数的定义域为，
当时，真数单调递减，所以函数 单调递增，
当时，真数单调递增，所以函数 单调递减，
故选：．
6.【答案】
【解析】因为函数的图象与函数且的图象关于直线对称，
所以函数且与互为反函数，
所以，
又，
所以，
故．
故选B．
7.【答案】
【解析】将，代入，
得，
由得
故选B．
8.【答案】
【解析】由题意： ，
且 ，
则 ，
则 ，令 ，
则，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为次．
9.【答案】
【解析】对于，若 ，则 ，解得 或，故A正确；
对于，若 ，且 ，则 ，
则 ，解得 ，故B正确；
对于， 为偶函数， 大致图象如图所示，
从图可知，函数 的减区间为 和 ，故C错误；
对于，函数 的增区间为 和 ，故D正确，
故选ABD．
10.【答案】
【解析】由题意可得，解得，即的定义域是，则 A正确；，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则 B正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则 C错误；
因为在上单调递减，所以 D错误．
故选AB．
11.【答案】
【解析】画出函数和的图象，
从图象中观察，可知在这年内先是小马的年薪低，后来超过了小李，
令，
则，，
所以存在，当时，，
由于，
所以至少经过年，小马的年薪超过小李的年薪．
故选BC．
12.【答案】
【解析】依题意，所以．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】根据题意可得只需即可，
由题可知为对数底数且或，
当时，此时在各自定义域内都有意义，
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，
所以，，
所以
即，无解，
所以不符合题意；
当时，
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以
即，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：．
15.【解析】 ；
，所以 ，
所以 ；

16.【解析】当时，在上是减函数，
有最大值 ，即，
．
由知，由得，
解得：，，，
的取值范围是．

17.【解析】因为函数为偶函数，
所以，
即，
所以，
即，所以．
因为“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
所以对，且恒成立，
所以对，且恒成立．
由对勾函数性质知，函数在上单调递增，
所以在上，，
所以且，
即实数的取值范围是．
18.【解析】，
若，函数单调递减，
故，解得：；
若，函数单调递增，
故，解得：，
综上可得：或．
当时，，
，
解得：或，
解得：或．
19.【解析】设森林面积的年增长率为，则：，
解得：，
森林面积的年增长率为：；
设已经植树造林年，则由题意可知：，
，
，，
已经植树造林年；
设为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年，
则：，
，
，
，
故为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年．