吉林省松原市油田高中2015-2016学年高一（下）开学数学试卷（解析版）

2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一（下）开学数学试卷
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（ UB）=（　　）
A．{1，2，5，6}
B．{1}
C．{2}
D．{1，2，3，4}
2．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（　　）
A．4
B．2
C．0
D．0或4
3．下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（　　）
A．f（x）=lnx
B．
C．f（x）=|x|
D．f（x）=ex
4．设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（　　）
A．1
B．
C．
D．
5．若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，1）∪（0，1）
B．（0，1）∪（0，1]
C．（0，1）
D．（0，1]
6．下列函数中与函数y=﹣3|x|奇偶性相同且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（　　）
A．y=﹣
B．y=log2|x|
C．y=1﹣x2
D．y=x3﹣1
7．设，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
8．函数的图象一定经过（　　）
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
9．函数f（x）=2﹣|x|的值域是（　　）
A．（0，1]
B．（0，1）
C．（0，+∞）
D．R
10．函数的零点个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
11．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　）
A．
B．4π
C．2π
D．
12．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，1）
B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
　
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别　　．
14．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标是　　．
15．直线截圆x2+y2=4得到的弦长为　　．
16．点P（a，b）在直线x+y+1=0上，则的最小值　　．
　
三．解答题：本大题共4个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）=ax+（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），（2，）两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性．
18．已知圆心为C的圆过点A（0，﹣6）和B（1，﹣5），且圆心在直线l：x﹣y+1=0上．
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）过点M（2，8）作圆的切线，求切线方程．
19．斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，AC=3，AB=BC=2，E、F分别是A1C1，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面BB1C1C；
（2）求证：CE⊥面ABC．
（3）求四棱锥E﹣BCC1B1的体积．
20．已知函数f（x）=1﹣在R上是奇函数．
（1）求a；
（2）对x∈（0，1]，不等式s f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；
（3）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．
　
2015-2016学年吉林省松原市油田高中高一（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（ UB）=（　　）
A．{1，2，5，6}
B．{1}
C．{2}
D．{1，2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】进行补集、交集的运算即可．
【解答】解： RB={1，5，6}；
∴A∩（ RB）={1，2}∩{1，5，6}={1}．
故选：B．
　
2．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（　　）
A．4
B．2
C．0
D．0或4
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可．
【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件
当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4
故选A．
　
3．下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（　　）
A．f（x）=lnx
B．
C．f（x）=|x|
D．f（x）=ex
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】分别求出各个函数的定义域，从而选出答案．
【解答】解：函数的定义域是{x|x＞0}，
对于A：定义域是{x|x＞0}，
对于B：定义域是{x|x≠0}，
对于C：定义域是R，
对于A：定义域是R，
故选：A．
　
4．设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（　　）
A．1
B．
C．
D．
【考点】函数的值；分段函数的应用．
【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．
【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，
可得f（）=4，
若，即b＜，可得，解得b=．
若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．
故选：D．
　
5．若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，1）∪（0，1）
B．（0，1）∪（0，1]
C．（0，1）
D．（0，1]
【考点】函数单调性的性质．
【分析】f（x）的图象是抛物线，开口向下，当区间在对称轴右侧时是减函数，得a的取值范围；又g（x）的图象是双曲线，a＞0时在（﹣1，+∞）上是减函数，得a的取值范围；
【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x=a；
∴当函数f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数时，有a≤1；
函数在区间[1，2]上是减函数时，有a＞0；
综上所知，a的取值范围是（0，1]；
故选：D．
　
6．下列函数中与函数y=﹣3|x|奇偶性相同且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（　　）
A．y=﹣
B．y=log2|x|
C．y=1﹣x2
D．y=x3﹣1
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】先判定函数y=﹣3|x|的奇偶性以及在（﹣∞，0）上的单调性，再对选项中的函数进行判断，找出符合条件的函数．
【解答】解：∵函数y=﹣3|x|是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，
∴对于A，y=﹣是奇函数，不满足条件；
对于B，y=log2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上是减函数，∴不满足条件；
对于C，y=1﹣x2是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，∴满足条件；
对于D，y=x3﹣1是非奇非偶的函数，∴不满足条件．
故选：C．
　
7．设，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
【考点】幂函数图象及其与指数的关系．
【分析】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．
【解答】解：∵在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b
故答案选A
　
8．函数的图象一定经过（　　）
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数为减函数，且图象经过（﹣2，2）、（0，﹣1），可得它的图象经过第二、三、四象限．
【解答】解：函数为减函数，且图象经过（﹣2，2）、（0，﹣1），
故它的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
　
9．函数f（x）=2﹣|x|的值域是（　　）
A．（0，1]
B．（0，1）
C．（0，+∞）
D．R
【考点】函数的值域；指数函数的单调性与特殊点．
【分析】先求﹣|x|的范围，再根据指数函数y=2x的单调性求解此函数的值域即可
【解答】解：令t=﹣|x|，则t≤0
因为y=2x单调递增，所以0＜2t≤20=1
即0＜y≤1
故选：A
　
10．函数的零点个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】函数的零点．
【分析】根据分段函数分段的标准分别研究函数在每一段上的零点的个数，然后得到整个函数的零点个数．
【解答】解：当x≤0时，f（x）=x2+2x﹣3，令f（x）=0解得x=﹣3或1（正值舍去）
当x＞0时，f（x）=lnx﹣2，令f（x）=0解得x=e2
故函数的零点个数为2，分别为﹣3、e2
故选C．
　
11．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　）
A．
B．4π
C．2π
D．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．
【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．
故选：D．
　
12．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，0）∪（0，1）
B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【考点】对数值大小的比较．
【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．
【解答】解：由题意．
故选C．
　
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别　（2，0），2　．
【考点】圆的一般方程．
【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径．
【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，
所以圆心坐标为（2，0），半径为2，
故答案为：（2，0），2．
　
14．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标是　（﹣2，﹣1，﹣4）　．
【考点】空间中的点的坐标．
【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），
∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：
（﹣2，﹣1，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣1，﹣4）．
　
15．直线截圆x2+y2=4得到的弦长为　2　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，；利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理及勾股定理即可求出直线截圆得到的弦长．
【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
∵圆心到直线的距离d==1，
∴直线截圆的弦长为2=2．
故答案为：2
　
16．点P（a，b）在直线x+y+1=0上，则的最小值　　．
【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】利用配方得到=，根据两点间的距离公式将根式进行转化，结合点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：
=，
设A（1，1），则=|PA|，
则当PA垂直直线x+y+1=0时，PA取得最小值，
则此时A到直线的距离d===，
即的最小值是，
故答案为：
　
三．解答题：本大题共4个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知函数f（x）=ax+（其中a，b为常数）的图象经过（1，2），（2，）两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性．
【考点】函数奇偶性的判断；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）由条件可得a，b的方程组，解方程即可得到a，b，进而得到解析式；
（2）运用奇偶性的定义，首先确定定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到奇偶性．
【解答】解：（1）由已知有，
解得，
则f（x）=x+；
（2）由题意f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数．
　
18．已知圆心为C的圆过点A（0，﹣6）和B（1，﹣5），且圆心在直线l：x﹣y+1=0上．
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）过点M（2，8）作圆的切线，求切线方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）设圆的标准方程，用待定系数的方法，求得圆的方程；（2）点斜式设出直线方程，圆心到切线的距离等于半径，得到方程，注意斜率不存在的情况．
【解答】（本小题12分）
解：（1）设所求的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2
依题意得：…
解得：a=﹣3，b=﹣2，r2=25
所以所求的圆的方程为：（x+3）2+（y+2）2=25…
（2）设所求的切线方程的斜率为k，则切线方程为y﹣8=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+8=0
又圆心C（﹣3，﹣2）到切线的距离
又由d=r，即，解得…
∴所求的切线方程为3x﹣4y+26=0…
若直线的斜率不存在时，即x=2也满足要求．
∴综上所述，所求的切线方程为x=2或3x﹣4y+26=0…
　
19．斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，AC=3，AB=BC=2，E、F分别是A1C1，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面BB1C1C；
（2）求证：CE⊥面ABC．
（3）求四棱锥E﹣BCC1B1的体积．
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）通过作平行线，由线线平行证明线面平行即可；
（2）根据面面垂直，只需证明CE垂直于交线即可；
（3）根据底面积相等，同高的棱锥体积相等，将四棱锥分割为两个体积相等的三棱锥，再根据体积公式求三棱锥的体积即可．
【解答】（1）证明：取BC中点M，连结FM，C1M．在△ABC中，
∵F，M分别为BA，BC的中点，
∴FM∥AC，FM=AC．
∵E为A1C1的中点，AC∥A1C1
∴FM∥EC1且FM=EC1，
∴四边形EFMC1为平行四边形∴EF∥C1M．
∵C1M 平面BB1C1C，EF 平面BB1C1C，∴EF∥平面BB1C1C．
（2）证明：连接A1C，∵四边形AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°
∴△A1C1C为等边三角形
∵E是A1C1的中点．∴CE⊥A1C1
∵四边形AA1C1C是菱形，∴A1C1∥AC．∴CE⊥AC．
∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，且交线为AC，CE 面AA1C1C
∴CE⊥面ABC
（3）连接B1C，∵四边形BCC1B1是平行四边形，所以四棱锥=
由第（2）小问的证明过程可知
EC⊥面ABC
∵斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，∴面ABC∥面A1B1C1．∴EC⊥面EB1C1
∵在直角△CEC1中CC1=3，，∴
∴
∴四棱锥==2×
　
20．已知函数f（x）=1﹣在R上是奇函数．
（1）求a；
（2）对x∈（0，1]，不等式s f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；
（3）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；
（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；
（3）可先将方程化简，然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题，然后再进一步求解．
【解答】解：（1）由题意知f（0）=0．即，
所以a=2．此时f（x）=，
而f（﹣x）=，
所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．
（2）由（1）知，
因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，
故s f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，
因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．
故s的取值范围是[3，+∞）．
（3）因为．
所以g（2x）﹣mg（x+1）=．
整理得22x﹣2m 2x﹣m+1=0．
令t=2x＞0，则问题化为t2﹣2mt﹣m+1=0有一个正根或两个相等正根．
令h（t）=t2﹣2mt﹣m+1（t＞0），则函数h（t）=t2﹣2mt﹣m+1在（0，+∞）上有唯一零点．
所以h（0）≤0或，
由h（0）≤0得m≥1，
易知m=1时，h（t）=t2﹣2t符合题意；
由解得，
所以m=．
综上m的取值范围是．
　
2016年10月23日