(共69张PPT)
专题复习
专题六 几何图形的证明与计算
D
与三角形有关的证明与计算
(广东中考)如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A ＝90°，∠C＝30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF 是折痕，且BF＝CF＝8.
(1)求∠BDF的度数；
解：(1)∵BF＝CF＝8，∴∠CBF＝∠C＝30°.
由折叠的性质，得∠EBF＝∠CBF＝30°.∴∠EBC＝60°.
∴∠BDF＝180°－∠EBC－∠C＝90°.
(2)求AB的长．
(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC＝60°.
∴在Rt△BAD中，AB＝BD· sin 60°＝6.
(1)求AC的长；
(2)求△BED的面积．
如图，△ABC和△EFC都是等腰直角三角形，∠ACB＝ ∠ECF＝90°，已知点E在AB上，连接BF.
(1)求证：△AEC≌△BFC；
(2)若BF＝1，∠AEC＝105°，求BE的长．
如图，在等边三角形ABC中，点P为BC上一点，点D为 AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1.
(1)求证：△ABP∽△PCD；
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C ＝60°.
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°，
∠DPC＋∠C＋∠CDP＝180°，∠APD＝∠C＝60°，
∴∠BPA＝∠CDP. ∴△ABP∽△PCD.
(2)求△ABC的边长．
如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC 与∠ABC的平分线分别交BC，AC边于点D，E.
(1)求证：△BEC是等腰三角形；
(2)猜想线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．
(2)解：AB＋BD＝AC. 证明如下：
如图，延长AB到点F，使BF＝BD，连接DF.
∵∠ABD＝80°，∴∠F＝∠BDF＝40°.∴∠F＝∠C.
∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠CAD.
又∠F＝∠C，AD＝AD，
∴△FAD ≌ △CAD(AAS)．∴AF＝AC.
∵AF＝AB＋BF，BF＝BD，∴AB＋BD＝AC.
与四边形有关的证明与计算
如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线 EF，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB＝4，AD＝8，求四边形BFDE的周长．
(2)解：∵AD∥BC，∴DE∥BF.
∵△DOE≌△BOF，∴DE＝BF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．∴BE＝DE＝BF＝DF.
∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝8，∴AB2＋AE2＝BE2，AE＝8－ DE＝8－BE.
∴42＋(8－BE)2＝BE2.解得BE＝5.∴BE＋DE＋BF＋DF＝4BE ＝4×5＝20.∴四边形BFDE的周长为20.
如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中 点．过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F. 连接CF.
(1)求证：DC＝BF；
(2)若AB＝BC，试判断四边形BDCF的形状．
(2)解：由(1)，得DC＝BF. ∵DC∥BF，
∴四边形BDCF是平行四边形．
∵AB＝BC，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC. ∴∠BDC＝90°.
∴四边形BDCF是矩形．
如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC，BD交于点 O，DE平分∠ADB交AC于点E，BF平分∠CBD交AC于点F，连接 BE，DF.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)若四边形ABCD是菱形且AB＝2，∠ABC＝120°，求四边形 BEDF的面积．
(2025·东莞三模)阅读以下材料，回答问题：
夏天到了，小姜想利用学过的数学知识做一个风筝．她在网上查找了 制作风筝的注意事项：
(1)轻质耐用：优先选用竹篾、塑料棒等轻质且有一定强度的骨架材 料，搭配宣纸、尼龙布等轻便蒙面材料，以减轻自重并提升抗风性；
(2)对称平衡：确保骨架左右对称，避免飞行时偏斜失衡
制作准备 小姜
找到一块形状为平行四边形ABCD的尼龙布料以及长度足 够长的轻质竹条，其中AB＝40 cm，AD＝64 cm，∠B ＝60°
制 作 过 程
解：任务1：四边形ABEF是菱形，符合风筝的形
状要求．理由如下：如答图1，由尺规作图知，AF＝
AB，AG为∠FAB的平分线．设AG，BF相交于点O.
∴AO⊥BF，OB＝OF.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE. ∴∠FAO＝∠BEO.
又∠AOF＝∠EOB，∴△OAF≌△OEB(AAS)．
∴AF＝EB. ∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．
∵菱形是轴对称图形，∴符合要求．
任务1 裁剪下来的四边形ABEF是什么形状，是否符合风筝的形状要 求？请说明理由
任务2 用与线段AE和BF等长的竹条作为风筝骨架并固定，求需要竹条 的总长度
任务2：∵BA＝BE，∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．∴AE＝AB＝40 cm.
∵AF∥BE，∴∠FAB＝120°.∴∠EAB＝60°.
任务3 直接写出每条长方形尾带的长
(2025·江门一模)【知识技能】(1)如图1，在矩形ABCD中， 点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G. 求证： △ADE∽△DCF.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠DCF＝90°.
∴∠CDF＋∠DFC＝90°.
∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°.
∴∠CDF＋∠AED＝90°.∴∠AED＝∠DFC.
又∠ADE＝∠DCF＝90°，∴△ADE∽△DCF.
【数学理解】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边 DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH. 求 证：∠ADF＝∠H.
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.
又AE＝DF，∴△ADE≌△DCF(HL)．∴DE＝CF.
又CH＝DE，∴CF＝CH.
∵点H在BC的延长线上，DC⊥FH，DC＝DC， ∴△DFC≌△DHC(SAS)．∴DF＝DH. ∴∠DFC＝∠H.
∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC＝∠H.
(3)解：如图，延长BC到点G，使CG＝DE＝7，连接DG.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC.
∴∠ADE＝∠DCG.
又DE＝CG，∴△ADE≌△DCG(SAS)．
∴∠DGC＝∠AED＝60°，DG＝AE.
∵AE＝DF＝10，∴DG＝DF＝10.∴△DFG是等边三角 形．∴FG＝FC＋CG＝DF＝10.∴CF＝FG－CG＝10－7＝3.
【拓展探索】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边 DC，BC上，AE＝DF＝10，DE＝7，∠AED＝60°，求CF的长．
与圆有关的证明与计算
(2025·汕头三模)如图，AB为半圆O的直径，CA与半圆O相 切，四边形BOCD是平行四边形，BD与半圆O交于点E，连接CE.
(1)求证：CE是半圆O的切线；
(1)证明：如图，连接OE.
∵OE＝OB，∴∠B＝∠OEB.
∵四边形BOCD是平行四边形，∴OC∥BD.
∴∠OEB＝∠EOC，∠B＝∠AOC.
∴∠AOC＝∠EOC.
∴△CAO≌△CEO(SAS)．∴∠CAO＝∠CEO.
∵CA与半圆O相切，∴∠CAO＝90°.∴∠CEO＝90°.
∵OE是半圆O的半径，∴CE是半圆O的切线．
(2)若CD＝3，BD＝5，求平行四边形BOCD的面积．
如图，⊙O的直径AB与其弦CD相交于点E，过点A的切 线交CD延长线于点F，且∠AED＝∠EAD.
(1)求证：AD＝FD；
(1)证明：∵AF是⊙O的切线，∴AB⊥AF.
∴∠FAD＋∠EAD＝90°.∴∠F＋∠AED＝90°.
∵∠AED＝∠EAD，∴∠FAD＝∠F. ∴AD＝FD.
(深圳中考)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD 与过点C的切线互相垂直，垂足为点D. 连接BC并延长，交AD的延长 线于点E.
(1)求证：AE＝AB；
(1)证明：如图，连接OC.
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.
∵CD⊥AD，∴OC∥AD. ∴∠OCB＝∠E.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B.
∴∠B＝∠E. ∴AE＝AB.
(2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
(2025·广元)如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延 长线上一点，过点D的直线与⊙O相切于点C，过线段OB上一点E作 AB的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G.
(1)求证：∠F＝2∠B；
(1)证明：如图，连接OC.
∵过点D的直线与⊙O相切于点C，∴OC⊥DF.
∵FE⊥AB，∴∠2＝∠F＝90°－∠D.
∵OC＝OB，∴∠1＝∠B.
∵∠2＝∠1＋∠B，∴∠2＝2∠B. ∴∠F＝2∠B.
(2)若AO＝4，AD＝OE＝1，求FG的长．
∴∠FCG＝180°－∠F－∠FGC＝90°－x＝∠FGC. ∴FG＝FC＝ DF－DC＝7.
与尺规作图有关的证明与计算
(2025·深圳三模)现有一张矩形纸片ABCD，要将点D沿某条 直线EF翻折180°，恰好落在BC边上的点D′处，直线EF与AD交于 点E，与BC交于点F.
(1)请利用尺规作图在图中作出该直线EF；(保留作图痕迹，不 写作法)
解：(1)如图，直线EF即为所求．
(2)在(1)的条件下，在矩形ABCD中，若AD＝10，AB＝6，BD′＝ 2，请计算DE的长度．
(2)设直线EF交DD′于点O. ∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10.
∴CD′＝BC－BD′＝8.
∵AD∥BC，∴∠EDO＝∠DD′C.
(2025·河源模拟)如图所示，△ABC为等腰直角三角形， ∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AC上一点．
(1)尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过点D作DE的垂线，交 BC于点F；(不写作法，保留作图痕迹)
(1)解：如图所示，DE的垂线DF即为所求．
(2)在(1)的条件下，求证：DE＝DF.
(2025·广东二模)如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝ 90°.
(1)实践与操作：用尺规作图法在边BC上找一点P，连接AP，使 得△APC∽△BAC；(保留作图痕迹，不写作法，不用证明)
解：(1)如图，作∠PAC＝∠B，则点P即为所求．(作法不唯一)
(2)应用与求解：若AD为BC边上的中线，且AB＝6，AC＝7， △ABD的周长为16，求△ACD的周长．
(2)如图．∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD.
∵△ABD的周长为16，AB＝6，
∴AD＋BD＝10.∴AD＋CD＝10.
∴AD＋CD＋AC＝10＋7＝17，即△ACD的周长为17.
(2024·福建)如图，已知直线l1∥l2.
(1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的 距离恰好等于l与l2间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹)
解：(1)如图1，直线l即为所求．
(2)在(1)的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l， l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．
(2)①如图2，当∠BAC＝90°，AB＝AC时，
∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2 间的距离，根据图形的对称性知BC＝2.
②如图3，当∠ABC＝90°，BA＝BC时，分别过点A，C作直线 l1的垂线，垂足为点M，点N.
∴∠AMB＝∠BNC＝90°.∴CN＝2，AM＝1.
∵∠MAB＋∠ABM＝90°，∠NBC＋∠ABM＝90°， ∴∠MAB＝∠NBC.
∴△AMB≌△BNC(AAS)．∴BM＝CN＝2.
如图，在单位长度为1的正方形网格中，已知⊙O半径 OA为4，且点O，A，B均在同一水平线的格点上，AB＝2，连接OB.
(1)尺规作图，在OB上方作⊙O的切线BD交该圆于点D；(请保留 作图痕迹，不要求写出步骤)
解：(1)如图，BD即为所求．
(2)求BD的长．
(2)如图，连接OD.
∵BD为⊙O的切线，∴∠ODB＝90°.
又∵OA＝4，AB＝2，
∴OB＝4＋2＝6，OD＝OA＝4.
(2025·惠州三模)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.
(1)用尺规作图法，以O点为圆心画圆，使⊙O与边AB相切；
(1)解：如图所示即为所求．
(2)在(1)的条件下，若⊙O与边AD相切，求证：四边形ABCD为 菱形．
(2)证明：设⊙O与边AD相切于点P，⊙O与边AB相切于点N， 连接OP，ON，如图所示．
∴OP＝ON，OP⊥AD，ON⊥AB.
∴AC平分∠DAB. ∴∠DAC＝∠BAC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB. ∴∠DCA＝∠CAB. ∴∠DAC＝∠DCA.
∴AD＝CD. ∴四边形ABCD为菱形．(共14张PPT)
专题复习
专题三 代数计算
实数运算、整式化简、分式化简
解：原式＝－1＋1－3＋3＝0.
解方程(组)
解：①＋②，得4x＝12.∴x＝3.
由①＋②×2，得7x＝21.解得x＝3.
10． (2025·广州二模)解方程：(x－3)2＝2(x－3)．
解：移项，得(x－3)2－2(x－3)＝0.
因式分解，得(x－3)[(x－3)－2]＝0.
化简，得(x－3)(x－5)＝0.
∴x－3＝0或x－5＝0.解得x1＝3，x2＝5.
检验：当x＝1时，x(x－1)＝0.
∴x＝1不是原分式方程的解．∴原分式方程无解．
解一元一次不等式(组)
解不等式①，得x≥3.解不等式②，得x＞2.
∴不等式组的解集为x≥3.
解：解不等式①，得x<－4.
解不等式②，得x≤－1.
∴不等式组的解集为x<－4.
解不等式①，得x＞3.解不等式②，得x＜4.
∴不等式组的解集为3＜x＜4.
在数轴上表示其解集如下．
解不等式①，得x≤－1.
解不等式②，得x>－4.
∴不等式组的解集为－4∴不等式组的整数解是－3，－2，－1.
解：原式=4-3十2V3十2×3
=4-3+2-V3+√3
=3.
解：原式=
2m(m+
m-2
2.m-2沙=20m+20m-2)=22-8.
当m=V3一1时，原式=2X(V3-1)Y一8=2X(4-2V3)一8=8一4V3
8=-4√F。
解：
，1
x
x+y
x+2y十y-1=0,.x十2=0，
1=0.
-2,y
。原式=
2+
8.(2025山西)解方程组：
3x-2y=11①
x+2y=1②
3x-1>2(x+1),
15.解不等式组+2>x-2,
并把它的解集在数轴上表示
3
中
LUA
5x-3≤2(x-3)①
16.解不等式组{
并写出它的所有整数解
4
5x-3≤2(x-3)1
解
X-4
x+1
2
3(共95张PPT)
专题复习
专题十二 综合与实践
广东中考下的综合与实践
1． (2025·广东)综合与实践
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某 综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中 A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量， 该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平 面高度)．
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°， ∠B≈51°；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m， AC≈388.5 m.
【问题解决】(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间 的距离．(参考数据： sin 43°≈0.682， sin 51°≈0.777， sin 86°≈0.998)
答：A，B两岛间的距离约499米.
【评价反思】(2)设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选 用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
(2)测量方案一：
①如答图1，在空地上找一点D, 利用测角仪多次测得 ∠D≈90°；
②利用测距仪多次测量并取平均值，测出BD，AD长度；
③用勾股定理求出A，B两岛的距离.
①在空地上找一点E；
②利用测距仪多次测量并取平均值，测出AE，BE 长度；
④利用测距仪多次测量并取平均值，测出A′B′；
⑤用三角形相似求出A，B两岛的距离．
测量方案二：
2. (2024·广东)
综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用 你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥的体积．(结果保留π)
(2)设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为r cm，高为h cm.
3． (2023·广东)综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正 方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板
折成无盖正方体纸盒．
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小 关系；
解：(1)∠ABC＝∠A1B1C1
(2)证明(1)中你发现的结论．
(2)∵A1B1为正方形对角线，∴∠A1B1C1＝45°.
如图，连接AC.
设每个方格的边长为1，
∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°. ∴∠ABC＝∠A1B1C1.
4. (2025·广东模拟)综合与实践
【主题】用竹棒搭建鲁班桥
【背景】鲁班桥是一种自承式结构桥梁，依靠桥梁自身的结构间的 力来维持稳固，是我国古代劳动人民智慧的结晶．
【素材】宽为3 cm的长方体竹棒、底面圆直径为2 cm的圆柱竹棒各 若干、尺子、小刀等．
【实践操作】步骤1：如图1，长方体竹棒上下共刻出3个半径为1 cm的半圆凹槽，圆心分别为O1，O2，O3，其中O1是竹棒中点，O2， O3到竹棒两端的距离均为2 cm；
步骤2：用两个长方体竹棒夹住一个圆柱竹棒，其侧面示意图如图 2，以此类推重复拼搭即可搭建出如图3的鲁班桥．
【实践探索】(1)步骤2图2中，3个长方体竹棒搭建，A，B为竹棒 与地面的交点，若竹棒长22 cm，跨度为32 cm，则凹槽圆心O1到AB的 距离为多少？
答：凹槽圆心O1到AB的距离为12 cm.
(2)将鲁班桥首尾相连绕成环，图4为其侧面示意图，形状为两个完 全相同的正方形，则需要准备长方体竹棒的长为多少厘米？
教材中的综合与实践(含新教材)
主题1 数与式
5． (素材来源：人教七上P21实验与探究)综合与实践
【主题】神奇的幻方
【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把图 1中的洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、 每列、每条对角线上的三个数的和都为15.
【实践】(1)如图3，将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6这9个数填 入方格中，使其成为一个三阶幻方(每行、每列、每条对角线上的三个 数之和相等)，请补全方格中的数．
解：(1)补全方格中的数如答图1所示．
(2)她的发现正确．理由如下：
如答图2，设这个三阶幻方每行、每列、每条对角线上的数之和都 为m，正中间的数为x，则第一横行的第二个数字为m－x－b.∴第一 横行的第三个数字为m－a－(m－b－x)＝x＋b－a.
由右下角的数，得m－a－x＝m－c－(x＋b－a)．
【拓展】(3)如图5是一个变形幻方，请将4，5，6，7，8，9，10， 11这8个数填入，使每一横行(3个数)、每一纵行(3个数)以及外圈(4个数) 的和都相等．
(3)填写出这8个数如答图3所示．(答案不唯一)
6. (素材来源：新人教七上P63综合与实践)综合与实践
阅读材料：
【材料1】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统， 约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一” 就是几进制，几进制的基数就是几．
十进制数234＝2×102＋3×101＋4×100，记作：234(规定：当a≠0 时，a0＝1)．
七进制数(123)7＝1×72＋2×71＋3×70，记作：(123)7.
二进制数(1011)2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20，记作：(1011)2.
各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制 数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将 这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数．
【材料2】把一个十进制数转化为与其相等的二进制数，一般按照 “除以2取余数”的方法，将余数从下向上逆序排列，就是结果，同样的 将十进制数化为与其相等的七进制数，可用“除以7取余数”的方法，再 将余数从下向上逆序排列即可，如：
【材料3】二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同 的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进 一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规 则如下：
加法：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10(2)．
减法：0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，10(2)－1＝1(同一数位不够减 时，向高一位借1当2)．
解决问题：
(1)①将六进制数(123)6转化成十进制数的值为 ；
解：(1)①提示：(123)6＝1×62＋2×61＋3×60＝36＋12＋3＝51.
②将十进制数47转化成二进制数的值为 ；
②提示：由题意，得如图转化．
∴将十进制数47转化成二进制数的值为(101111)2.
51
(101111)2
(2)若三进制数a＝(1210)3，四进制数b＝(303)4，试比较a与b的大 小关系并说明理由；
(2)a＜b.理由如下：
a＝(1210)3＝1×33＋2×32＋1×31＋0×30＝27＋18＋3＋0＝48.
b＝(303)4＝3×42＋0×41＋3×40＝48＋0＋3＝51.
∵48＜51，∴a(3)进位制数的加减法运算：(结果仍用二进制表示)
①(10110)2＋(111)2＝ ；
②(1000100)2－(10111)2＝ ．
(11101)2
(101101)2
主题2 方程(组)与不等式(组)
7． (素材来源：人教七上P109数学活动)综合与实践
某兴趣小组要利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设 计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设 计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆 原理推导得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y)，其中秤盘质量为m0 g，重物质 量为m g，秤砣质量为M g，秤纽与秤盘的水平距离为l cm，秤纽与零 刻线的水平距离为a cm，秤砣与零刻线的水平距离为y cm.
【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大 可称重物质量为1 000 g，零刻线与末刻线的距离定为50 cm.
任务：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l， a的方程；
解：(1)由题意，得m＝0，y＝0.
又m0＝10，M＝50，∴10l＝50a.∴l＝5a.
(2)当秤盘放入质量为1 000 g的重物，秤砣从零刻线移至末刻线 时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)由题意，得m＝1 000，y＝50.
又m0＝10，M＝50，
∴(10＋1 000)l＝50(a＋50)．∴101l＝5a＋250.
(3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和a的值．
主题3 函数
8． (素材来源：人教八下P105数学活动)【问题情境】水龙头关闭 不严会造成漏水，浪费水资源．为了调查漏水量与漏水时间的关系，小 亮同学进行了以下的试验与研究．
【实践发现】在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5 min记录一次容器中的水量，得到如下表所示的数据：
时间t/min 0 5 10 15 20 …
水量w/mL 0 15 30 45 60 …
【问题探究】
(1)请根据表中信息在下图的平面直角坐标系中描点、连线，画出w 关于t的函数图象．
解：(1)画出w关于t的函数图象如图所示．
(2)根据图象发现容器内水量w(mL)与滴水时间t(min)符合学习过 的 函数关系．(填“一次”或“二次”)
一次
(3)求w关于t的函数解析式．
【问题解决】
(3)设w关于t的函数解析式为w＝kt(k≠0)．
将(5，15)代入，得15＝5k.解得k＝3.
∴w关于t的函数解析式为w＝3t.
(4)小亮在第50 min时测量容器的水量是多少毫升？
(4)当t＝50时，w＝3×50＝150.
答：在第50 min时测量容器的水量是150 mL.
(5)一个人一天大约饮用1 600 mL水，在这种滴水状态下，请你估 算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一个人饮用多少天？
(5)一天有24×60＝1 440 (min)．
一天的漏水量为3×1 440＝4 320(mL)．
一个月的漏水量为4 320×30＝129 600(mL)．
一个月的漏水量可供一个人饮用129 600÷1 600＝81(天)．
答：估算这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一个人饮 用81天．
主题4 图形的性质
9． (素材来源：人教八下P30阅读与思考)综合与实践
【主题】探索勾股定理的证明
【问题提出】勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表 明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理 的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理．(图中所有直角三角形都 是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形)
a2＋b2
c2
a2＋
b2＋2ab
c2＋2ab
(2)图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的 直角三角形围成的．请你根据图2写出勾股定理的另一种证明方法．
【拓展应用】(3)若图2中大正方形ABCD的边长为13，小正方形 EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？
(3)解：由题意，得a2＋b2＝132＝169，b－a＝7.
∴(b－a)2＝a2＋b2－2ab＝169－2ab＝49.
∴2ab＝120.
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝169＋120＝289.
∴a＋b＝17(负值已舍去)．
∴直角三角形两直角边之和为17.
主题5 图形的变化
10． (素材来源：新北师七上P198综合与实践)综合与实践
九年级课外小组计划用两块长为100 cm，宽为40 cm的长方形硬纸 板做个收纳盒．
善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形(如 图1)，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．
问题解决：
(1)若该收纳盒的底面积为1 600 cm2，设剪去的小正方形的边长为x cm，则可列出方程： ，求得剪去的小正 方形的边长为 cm.
博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形， 然后折成一个有盖的长方体收纳盒(如图2)．
(100－2x)(40－2x)＝1 600
10
(50－a)
(40－2a)
(50－a)(40－2a)＝608
②若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把 玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
②由①，得(50－a)(40－2a)＝608.
整理，得a2－70a＋696＝0.
解得a1＝12，a2＝58(不符合题意，舍去)．
∴收纳盒的高为12 cm.
∵18>12，∴不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒．
深入探究：
(3)按照博学组的剪法， (填“可以”或“不可以”)剪出一个 收纳盒把玩具机械狗完全放入(立放或者平放)，并说明理由．
不可以
(3)若收纳盒的高为21 cm，则宽为40－2×21＝－2(cm)．
若收纳盒的高为18 cm，则宽为40－2×18＝4(cm)，4<15.
若收纳盒的高为15 cm，则宽为40－2×15＝10(cm)，10<18.
综上所述，不可以剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入．
11. (素材来源：新北师九下P92综合与实践)综合与实践
【主题】探索视力表中的数学知识(以标准对数视力表为例)
【操作】步骤一：如图1，用硬纸板制作视力表中视力为0.1，0.2所 对应的“E”，并依次编号为Ⅰ，Ⅱ，将它们竖直放在水平桌面上，开口的 底部与桌面的接触点为D1，D2，顶部记
为P1，P2，点D1，D2到观测点O的距离
分别记为l1，l2，P1D1的长记为b1，P2D2
的长记为b2；
步骤二：将Ⅱ号“E”沿水平桌面移动，使得P1，P2与点O在一条直 线上．
【结论】在D1处用Ⅰ号“E”测得的视力与在D2处用Ⅱ号“E”测得的视 力相同．
(2)若b1＝72 mm，l1＝5 m，可计算出l2＝3 m时，b2 ＝ mm.
43.2
【拓展运用】(3)如果将视力表中的两个“E”放在如图2所示的平面 直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，Ⅰ号“E”与Ⅱ 号“E”的相似比为2∶1，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为(－ 3，4)，则点P的坐标为 ．
(－6，8)
主题6 统计与概率
12． (素材来源：北师七上P191综合与实践)近年来，我国人口老龄 化程度进一步加深，引起全社会的广泛关注．某校为引导学生关注社会 生活，关爱老年人，就当地老年人的生活状况展开调查研究．学校对当 地某社区部分老年人对于生病问题的应对方式进行了问卷调查，经过整 理、分析，得到结果并形成如下调查报告：
课题主题 当地老年人的生活状况调查——生病问题的应对方式
活动目标 关注社会生活，关爱老年人，增强社会责任意识，促进全 面发展
调查方式
数据的收集、整理与描述 您好！这是一份关于生病问题的应对方式的调查问卷，请选择一项您最常使用的方式，在其后的括号内打“√”，非常感谢您的配合！
A． 子女陪同去医院就诊( ) B． 独自去医院就诊( )
C． 自己在家里服用备用药( ) D． 请人帮忙购药( )
E． 雇佣他人陪同去医院就诊( )
将调查结果绘制成如
下两幅不完整的统计图：
调查结论 ……
(1)这次调查采用的调查方式是 (填“全面调查”或“抽 样调查”)，在扇形统计图中，“D”所占的百分比为 ，“C”所在 扇形的圆心角的度数为 ，请补全条形统计图；
解：(1)补全条形统计图如图所示．
抽样调查
16%
144°
(2)根据调查结果，估计该社区500名老年人中，感觉身体不适时选 择独自去医院就诊的人数；
答：根据调查结果，估计该社区500名老年人中，感觉身体不适时 选择独自去医院就诊的有160人．
(3)请你结合上述调查报告写出两条通过分析获取的信息．
(3)①当感到身体不适时，选择自己在家里服用备用药的老人有 20人，占被调查总人数的40%；②当感到身体不适时，选择独自去 医院就诊的老人人数是选择请人帮忙购药的人数的2倍．(答案不唯 一，合理即可)
全国视野下的综合与实践
13． (2025·吉林)综合与实践：
确定建筑物的3D打印模型的高度
项目提出：如图是某城市规划展览馆．树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
项目分 析 活动目 标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印 模型的高度
测量工 具 测角仪、皮尺
项目实 施 任务一 测 量数据
以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测 量草图．
1.测出测角仪的高CD＝1.4 m.
2.利用测角仪测出展览馆顶端A的
仰角∠ACE＝61°.
3.测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处 之间的距离DB＝42 m
项 目 实 施 任务二 计 算实际高 度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高 度(结果精确到1 m，参考数据： sin 61°＝0.875， cos 61°＝0.485，tan 61°＝1.804)
任务三 换 算模型高 度 将该城市规划展览馆AB的高度按1∶400等比例缩小， 得到其3D打印模型的高度约为 cm(结果精确到1 cm)
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据
19
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任 务三．
答：该城市规划展览馆AB的高度约为77 m.
14. (2025·兰州)综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物 种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的 问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓 度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以 借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓 度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素 浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x/标准单位 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y/% 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在 平面直角坐标系中描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种 子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，
使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该 函数的表达式；
(2)请计算抑．制．种子发芽时的生长素浓度范围．
(2)当x＝0时，y＝35.
∴种子自然发芽率为35%.
∴当y＝35时，－7x2＋28x＋35＝35.
解得x1＝0，x2＝4.
当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0.
解得x1＝－1(舍去)，x2＝5.
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4中考新考向—项目式学习
15． (2025·深圳模拟)【项目式学习】
【项目主题】绿波畅行，高效出行
【项目背景】
任务一 查阅资料
任务二 数学计算
任务三 方案设计
(3)求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程s与行驶时 间t分别满足的二次函数关系式(用含v1的式子表示，不用写自变量的取 值范围)，并直接写出要连续通过第二个绿灯，则v1的取值范围 为 ．
16. (2025·深圳一模)中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也 是中国文化的重要组成部分，九(1)班同学在进行历史和数学跨学科项 目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
设计方案求碗里水面的宽度
素 材 一 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图 2是其截面图，瓷碗高度GF＝9 cm，碗口宽CD ＝16 cm，CD∥MN，碗体DEC呈抛物线状(碗 体厚度不计)，当碗中盛满水时的最大深度GE＝ 8 cm
素材 二 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部 分水，当水面CH与碗口的夹角为45°时停止倾 斜
问题解决
问 题1 如右图，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式
问题 2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深 度TE为6 cm，求此时水面宽度PQ的长
问题 3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度CH＝ cm
17. 跨学科(2025·广州模拟)项目式学习
【项目主题】探索凸透镜成像的奥秘
【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来 研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生 改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
素材二：设物距为u，像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中 发现了物距u，像距v和焦距f之间在成实像时存在着一定的数量关 系．
【项目任务】根据项目素材解决问题：
(1)小明取物距u＝1.5f，然后画出光路图(如图1，其中AB为物 体，O为凸透镜MN的光心，入射光线AC∥主光轴(即图中的点斜 线)，折射光线CA′经过焦点F，A′B′为AB所成的像．根据光路图1可 知，当u＝1.5f时，物体经凸透镜折射后成 (填“放大”或“缩 小”或“等大”)的倒立实像；
放大
(2)小明取物距u＝2f.当u＝2f时，v＝2f，物体经凸透镜折射后成 倒立，等大的实像，请在图2中用三角形全等的知识解释；(共45张PPT)
专题复习
专题八 图形的折叠、旋转与平移
A． －3 B． －1
C． 1 D． 3
B
2． 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方 格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1；
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)画出与△A1B1C1关于点O对称的△A2B2C2；
解：(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转过 程中，点A到点A2所经过的路径长度．
解：(3)点A到点A2所经过的路径长度为5π.
折叠
(广东中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8.把 △BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G，点 E，F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿 EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好
与点A重合．
(1)求证：△ABG≌△C′DG；
(2)求tan ∠ABG的值；
(2)解：由(1)可知△ABG≌△C′DG.
∴GB＝GD. ∴AG＋GB＝AG＋GD＝AD.
设AG＝x，则GB＝8－x.
在Rt△ABG中，AB2＋AG2＝BG2，即62＋x2＝(8－x)2.
(3)求EF的长．
(2025·清远一模改编)【知识技能】(1)如图1，把A4纸对 折，使AB与CD重合，得到折痕EF，再沿着EC折叠得到△ECG，找 出一个与∠DCE相等的角为 ．
∠GCE
【数学理解】(2)如图2，延长EG交BC于点H，过点H作BC的垂 线交AD于点M，求证：△EMH≌△HGC.
(2)证明：由题意得，四边形ABCD是矩形．
∴AB∥CD，AD∥CB，∠D＝∠BCD＝90°.
∵MH⊥BC，CD⊥BC，∴MH∥CD.
∵MD∥CH，
∴四边形MHCD是平行四边形，∠MEH＝∠GHC.
∴MH＝CD.
∵AD∥BC，MH⊥BC，∴MH⊥AD，即∠HME＝90°.
又由折叠可得CG＝CD，∠CGE＝∠D＝90°.
∴∠CGH＝90°.∴MH＝GC，∠HME＝∠CGH＝90°.
∴△EMH≌△HGC(AAS)．
矩形
名师点拨
图形的折叠的解题通法
1． 关注“全等”：明确对应线段、对应角之间的相等关系．
2． 关注“对称轴”：基于“垂直平分线”与“角平分线”挖掘隐含 信息．
3． 关注折叠后图形的特殊性．
(1)如图1，利用折叠出现的直角三角形求解．
(2)如图2，利用折叠出现的等腰三角形求解．
(3)利用折叠出现的全等、相似求解．
①如图3，正8字、斜A字模型．
②如图4，一线三垂直模型．
旋转
(2024·广东)【知识技能】(1)如图1，在△ABC中，DE是 △ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得 到△A′DC′.当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC.
【数学理解】(2)如图2，在△ABC中(AB审题分析：①分析：观察题中所给线段的值容易发现AD∶CE＝ BE∶BD＝3∶5.
问题：怎么将线段AD，CE放在同一个直角三角形中？
②分析：围绕特殊线段数量关系，观察发现DE∶CE＝3∶8.
问题：怎么转化成已知的特殊数量关系，即3∶4
③分析：设∠B＝α，可证∠EGC＝2α，若∠AGD＝180°－2α， 即可证得点G即为所求．
问题：怎么证明∠AGD＝180°－2α？
④最后只需证明点G在四边形ADEC内即可．
(2025·汕头一模)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， ∠ACB＝α(0°<α<45°)．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段 CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E.
(1)如图1，求证：CE＝AB.
(1)证明：由旋转的性质，得CA＝CD，∠ACD＝90°.∴∠BCD ＋∠ACB＝90°.
∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°.
∴∠BCD＋∠D＝90°.∴∠ACB＝∠D.
∵∠ABC＝90°，∴∠B＝∠DEC.
∴△ABC≌△CED(AAS)．∴CE＝AB.
(2)如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F. 连接DF 并延长与CB的延长线相交于点P. 请判断三角形PCD的形状，并说 明理由．
(2)解：三角形PCD为等腰三角形．理由如下：
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝α，∴∠A＝90°－α.
∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF.
∵CA＝CD，CF＝CF，∴△ACF≌△DCF(SAS)．
∴∠CDF＝∠A＝90°－α.
∵∠ACD＝90°，∠ACB＝α，∴∠BCD＝90°－α.
∴∠BCD＝∠CDF. ∴PC＝PD. ∴三角形PCD为等腰三角形．
(3)解：由(1)可知△ABC≌△CED. ∴DE＝CB.
设CE＝x，DE＝CB＝y.∴BE＝CB－CE＝y－x.
由翻折，得PE＝2BE＝2(y－x)．∴PC＝PE＋CE
＝2(y－x)＋x＝2y－x＝PD.
在Rt△PDE中，由勾股定理，
得(2y－x)2＝(2y－2x)2＋y2.
整理，得3x2－4xy＋y2＝0.∴(3x－y)(x－y)＝0.
名师点拨
图形的旋转的解题通法
1． 旋转的性质：
(1)旋转前后图形全等．
(2)对应点到旋转中心的距离相等．
(3)连接对应点，得到等腰三角形．
【特例总结】一般情况下，如图1所示，当旋转角为60°时，连接 对应点得到等边三角形；如图2所示，当旋转角为90°时，连接对应点 得到等腰直角三角形．
2． 图形旋转方法提炼：
第一步：审原图(原图能得出的所有结论)→第二步：审旋转(全等图 形旋转能得到的所有结论)→第三步：审特殊位置(在前两步的基础上， 结合新的条件分析论证)．
平移
(2)如图3，在三角板ABC运动过程中，当t为何值时，AB经过点 F；
(3)在三角板ABC运动过程中，设两块三角板重叠部分的面积为 y，且0≤t≤4，求y与t的函数解析式，并求出对应的t的取值范围．
(2016·广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝ 2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连 接PA，QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为点O，连接OA，OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边 形？
解：(1)四边形APQD为平行四边形．
(2)请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明．
(2)OA＝OP，OA⊥OP. 证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ ＝45°.
∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°.
∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°.∴BO＝QO.
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ. ∴∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝ ∠POQ＋∠BOP＝∠BOQ＝90°.
∴OA⊥OP.
(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之 间的函数关系式，并求出y的最大值．
∵0≤x≤2，∴当x＝2时，y有最大值2.(共19张PPT)
专题复习
专题四 统计与概率
1． (2025·山西)近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送 孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥 堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300 名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查(调查 问卷如图)，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所 示的扇形统计图和条形统计图(不完整)．
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °； 本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形 统计图；
36
135
解：(1)提示：扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 360°×10%＝36°.本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 300×45%＝135(人).
时间段12：00—12：10骑电动自行车的人数为135－40－32－17＝ 46(人)．
补全统计图如图所示．
(2)若该校共有1 500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车 接送孩子的家长人数；
(2)1 500×30%＝450(人)．
答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人．
(3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出 一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的 建议．
(3)由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比 为45%＋30%＝75%，容易造成放学后校门口交通拥挤；由条形统计图 可知，在时间段12：00—12：10内，接送孩子的电动自行车和私家车比 较多，容易造成放学后校门口交通拥挤；建议家长在条件允许的情况下 选用公共交通方式接送孩子或者使用电动自行车或私家车接送孩子时避 开时间段12：00—12：10.
2. (2024·深圳)据了解，“i深圳”体育场地一键预约平台是市委、市 政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推动的惠民利民重要举措，在满 足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具有重大意 义．按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“i 深圳”体育场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体 育场地得到有效利用”．
小明爸爸决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有 A，B两所学校适合，小明收集了这两所学校过去10周周六上午的预 约人数：
学校A：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50
学校B：
(1)
学校 平均数 众数 中位数 方差
A ① 48 48 58.01
B 48.4 ② ③ 354.04
43.3
25
47.5
(2)根据上述材料分析，小明爸爸应该预约哪所学校？请说明你的 理由．
(2)小明爸爸应该预约A学校．理由如下：
因为两所学校的平均数接近，但A学校的方差小于B学校，说明A 学校的预约人数较稳定，所以小明爸爸应该预约A学校．
3. (2025·遂宁)DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身 世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇 尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活 动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成 报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
调查 主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查 目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数 的过程中，形成数据观念，发展应用意识
调查 对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
数据 收集 与表 示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩(成绩为百分制，用x表 示)，并整理，将其分成如下四组：
A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100.
下面给出了部分信息：
其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85， 85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题：
(1)本次共抽取了 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数 是 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数 为 ；
50
83.5
144°
(2)请补全频数分布直方图；
(2)补全频数分布直方图如图．
(3)请估计全校1 200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；
答：估计全校1 200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为 720人．
(4)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择 两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学 恰为甲和丙的概率
(4)画树状图如图．
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰为甲 和丙的结果有2种．(共25张PPT)
专题复习
专题五 应用题
传统文化(2025·吉林)《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人 共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘 车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩 下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆 车，可列方程为 ．
3(x－2)＝2x＋9
建立方程或不等式解决实际问题
(2025·潍坊)某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A 型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B 型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万 元．
(1)求A型、B型两种机器人的单价；
答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元 .
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线， 要求A，B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的 总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
(2)设配备A型机器人y台，则配备B型机器人(10－y)台．
又y为正整数，∴y可以为1，2，3.
∴共有3种配备方案．
方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台；
方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台；
方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台．
(2025·深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已 知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的 单价；
解：(1)设每个篮球x元，每个足球y元．
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球 个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
答：当购买4个篮球时，花费最少，最少费用是540元．
运用函数模型解决实际问题
某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销 售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部 分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少 于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大 利润是多少？
商场获得的利润为(x－80)(－5x＋800)
＝－5x2＋1 200x－64 000＝－5(x－120)2＋8 000.
∵－5<0，100≤x≤116，
∴当x＝116时，利润最大，最大值为－5×(116－120)2＋8 000＝ 7 920.
∴当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7 920元．
(2025·东莞二模)综合与实践：生物生长规律的模型研究．
如图1，砗磲(chē qú)是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对 南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日 生长速率y(单位：μm/天)的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25
y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5
【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值 为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过(0，26.0)的 抛物线，设解析式为y＝ax2＋bx＋26.
(1)选取两个点(10，14.0)，(20，7.0)，求抛物线解析式，并直接写 出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄．
x 0 5 10 15 20 25
y 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5
【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随 年龄增长持续降低．
(3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选 择恰当的一个，说明选择的理由并计算．
答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4 μm/天．
与解直角三角形相关的实际问题
(2025·天津)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近 世纪钟建筑AB的高度(如图1)．
某学习小组设计了一个方案：如图2所示，点A，E，C依次在同 一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7 m．在D处 测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的 仰角为31°，CE＝32 m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建 筑AB的高度．(结果取整数，参考数据：tan 22°≈0.4，tan 31°≈0.6)
答：世纪钟建筑AB的高度约为40 m．
(2025·贵州)某小区在设计时，计划在如图1的住宅楼正前方 建一栋文体活动中心．设计示意图如图2所示，已知BD＝28 m，CD＝ 21 m，该地冬至正午太阳高度角α为35°.如果你是建筑设计师，请结合 示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离 AB的长；
解：任务一：如答图1，过A作AE⊥CD于点E.
由题意，得四边形AEDB为矩形，∠AEC＝90°.
∵BD＝28 m，CD＝21 m，∴AE＝BD＝28 m，AB＝DE.
∵∠CAE＝α＝35°，
∴CE＝AE·tan α≈28×0.7＝19.6(m)．
∴AB＝DE＝21－19.6＝1.4(m)．
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午 太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿BD方向移动一定 的距离(活动中心高度不变)，求该活动中心移动了多少米？(参考数据： sin 35°≈0.57， cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70.结果保留小数点后一位)
任务二：如答图2，过B作AC的平行线，过C作BD的平行线，两 线交于点Q，BQ，AE交于点T，过Q作QK⊥BD于点K.
∴∠QBK＝∠ATB＝∠CAE＝35°，四边形CDKQ为矩形．
∴DK≈30－28＝2.0(m)．
∴该活动中心移动了2.0米．(共36张PPT)
专题复习
专题一 选填常用技巧
直接法 根据题干所给条件，直接经过计算、推理或证 明，得出正确答案．
A． 25°
B． 65°
C． 75°
D． 155°
B
A． －4
B． 4
C． ±4
D． 2
B
A． 5
B． 3.5
C． 3
D． 2.5
C
A． x≠－1
B． x＝－1
C． x≥－1
D． x＞－1
A
D
C
7． (2024·深圳)已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为1， 则m＝ ．
8． 一个多边形的内角和是1 080°，这个多边形的边数是 ．
9． (2020·深圳)分解因式：m3－m＝ ．
2
8
m(m＋1)(m－1)
10． 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC 的长是 ．
6
11． (2025·常州)若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个相 等的实数根，则实数m的值为 ．
1
排除法
根据各选项的结构特点，将每个选项逐一代入题干中，经检验筛选 出正确答案．
A． B．
C． D．
D
A． B．
C． D．
A
D
D
A． B．
C． D．
A
A． AC∥DF
B． ∠A＝∠D
C． AC＝DF
D． ∠ACB＝∠F
C
数形结合法
根据题干提供的信息，绘出图形，得出正确答案．
18． 平面直角坐标系中，点A(2，3)关于x轴对称的点的坐标 是 ．
19． (2025·揭阳一模)有四张正面分别标有数字－5，－1，3，5的 卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀 后从中随机一次性抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个负 数的概率是 ．
(2，－3)
20． (2023·广州)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝x2－3 上，且0”“<”或“＝”)
<
A． x<－1或x>1
B． x<－1或0C． －11
D． －1C
特例法
将字母换成特殊的数字或将图形特殊化，达到化难为易的目的．
22． (广东中考)已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所 示，则a＋b 0.(填“＞”“＜”或“＝”)
＞
A． y1＜y2＜y3
B． y3＜y2＜y1
C． y2＜y1＜y3
D． y3＜y1＜y2
B
24． 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为点G， 若S△ABC＝6，则图中阴影部分的面积是 ．(提示：当△ABC是等 边三角形时易得答案)
2
A
整体法
按照常规方法不易求出某一个未知量时，根据题目的结构特征，把 一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决的方法．整体 法包括整体代入、整体求和(积)、整体换元、整体补形等．
26． (2025·扬州)若a2－2b＋1＝0，则代数式2a2－4b＋3的值 是 ．
27． (2025·内江)已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b ＝ ．
28． 若实数m满足(m－2 024)2＋(2 025－m)2＝2 026，则(m－2 024)(2 025－m)＝ ．
1
4
观察猜想法
观察图形或数字特点，分析规律，得出正确答案．
A
30． (2016·深圳)已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则数 据x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数是 ．
32． 观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5 个图形有 个太阳．
8
21
测量法
借助直尺、量角器等工具对所求线段的长、所求角的大小等进行测 量，直接得出正确答案．
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
D
C
A． ①②③⑤ B． ①②④⑤
C． ①②③④ D． ①③④⑤
动手操作法
对于解决折叠、展开类实际问题可采取动手操作的办法得出正 确答案．
A． 圆锥
B． 圆柱
C． 棱锥
D． 棱柱
A
A． 我
B． 中
C． 国
D． 梦
C
A． B．
C． D．
B
D(共46张PPT)
专题复习
专题七 反比例函数的综合
6
C
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
(1)求反比例函数、一次函数的解析式．
【方法解读】
1． 求函数解析式：将已知点的坐标代入函数解析式求出待定系 数．(待定系数思想)
①已知直线上任意两点的坐标，可求直线解析式；
②已知反比例函数图象上任意一点的坐标，可求反比例函数解 析式．
2． 一次函数、反比例函数与不等式的关系：
(3)如图，连接OA，OB.
①求△OAB的面积．
②若P为线段AB上一点，且S△AOP＝S△BOP，求点P的坐标.
②∵P为线段AB上一点，且S△AOP＝S△BOP，
∴点P为AB的中点．
∵A(－1，6)，B(3，－2)，
(4)已知M是一次函数y＝ax＋b图象上的一点，且AM＝3BM， 求点M的坐标．
解：当点M在线段AB上时，如图1，过点M作直线l∥x轴，过点 A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E.
∵∠ADM＝∠BEM＝90°，∠AMD＝∠BME，
∴△AMD∽△BME.
∴点M的横坐标为3－1＝2.
令x＝2，则y＝－2×2＋4＝0.∴M(2，0)．
当点M在AB的延长线上时，如图2，过点M作直线m∥x轴，过 点A作AF⊥m于点F，过点B作BG⊥m于点G.
∴FM＝3GM. ∴FG＝2GM.
∵A(－1，6)，B(3，－2)，∴FG＝3－(－1)＝4.
∴GM＝2.
∴点M的横坐标为3＋2＝5.
令x＝5，则y＝－2×5＋4＝－6.∴M(5，－6)．
综上，点M的坐标为(2，0)或(5，－6)．
3． 求三角形面积：
通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐 标求得底边上的高，最后利用面积公式求解．
②如图2，S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；
③如图3，图4，S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝S△ADO＋S△BDO.
4． 已知线段关系求点坐标：设点坐标，利用相似三角形转化线段 关系(化斜为直思想)．
(1)求反比例函数的关系式与n的值；
(3)若动点P在x轴上，求PA＋PB的最小值．
(3)如图，作点A关于x轴的对称点A1，则A1(2，－5)．
连接A1B交x轴于P，则A1B即为PA＋PB的最小值．
过B作BM⊥AA1于M.
∵BM＝10－2＝8，MA1＝1－(－5)＝6，
(1)m＝ ，k＝ ，点A的坐标为 ，点 C的坐标为 ；
－3
－3
(－1，3)
(－4，0)
(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似， 求点P的坐标．
(2)由(1)可知，B(1，－3)，A(－1，3)．
当点P在x轴的负半轴上时，∠BOP>90°，∴∠BOP>∠AOC.
又∵∠BOP>∠ACO，∠BOP>∠CAO，∴△BOP与△AOC不可 能相似．
当点P在x轴的正半轴上时，∠AOC＝∠BOP.
∵OA＝OB，∴OP＝OC＝4.∴P(4，0)．
反比例函数与几何图形综合
(2024·广东改编)在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ ax(a＞0)上第一象限内的两个动点(OD＞OB)．
②如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E. 当点E落 在y轴上，且点B的坐标为(1，2)时，求k的值．
②解：∵点B(1，2)在直线y＝ax上，∴a＝2.∴y＝2x.
易得点A的横坐标为1，点C的纵坐标为2.
如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点B作BF⊥y轴于点F.
∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线．
∴∠HED＝∠EBF＝90°－∠BEF.
解得t1＝2，t2＝0(舍去)．∴k＝2t2＝8.
(3)几何图形的顶点：根据图形性质(如矩形对边平行、顶点坐标 关系)表示坐标．例如矩形ABCD中，若AD∥x轴，则A与D纵坐标相 同．
2． 结合反比例函数特性——建立k的关系式
若多个点在反比例函数上，可分别列出k的表达式，再通过几何关 系建立等式．例如例题中A和C都在反比例函数上，则k＝xAyA＝xCyC.
3． 利用几何变换中的等量关系——列方程
(1)相似三角形：折叠、垂直等条件常构造相似三角形，利用对应 边成比例列方程．如例题中(构造如图)，折叠后△DHE∽△EFB，
(2)线段长度关系：通过坐标差表示线段长度(水平线段长度为|x1－ x2|，竖直线段长度为|y1－y2|)，结合几何图形中的边长关系(如菱形的邻 边相等、折叠后的边长相等)列方程．
(1)求k1，k2的值；
(2)存在符合题设要求的点M，N，它们的坐标分别为(4，2)，(3， －6)．
(2025·广东)定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比 大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为 中外比点．
(1)如图1，点P是线段MN的中外比点，MP>PN，MN＝2，求 PN的长．
(2)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外 比．(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如答图1所示，点C即为所求．
(3)当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．证明如下：
①当∠OED＝90°，ED＝OE时，设点E 的坐标为(m，n)，则 CO＝n，CE＝m .
∵∠OED＝90°.∴∠CEO＋∠BED＝90°.
∵∠BED＋∠BDE＝90°，∴∠CEO＝∠BDE.
∴△COE≌△BED(AAS)．∴BD＝CE＝m，BE＝CO＝n， m∴B(m＋n，n)，A(m＋n，0)，D(m＋n，n－m)．
∴mn＝n2－m2.∴mn＋m2＝n2，m2＝n2－mn.
如答图2，过点F 作FH⊥AO于H.
又∵mn＝n2－m2，∴t2＝m2＋n2－m2＝n2.∴t＝n.∴F(n， m)．∴OH＝n.
②当∠ODE＝90°，OD＝ED时，点D，E，F 分别为AB， BC，OB的中外比点，同理可证．
③当∠EOD＝90°，则点E，D分别位于y轴，x轴上，与点E， D在反比例函数的图象上不符，因此这种情况不存在．
∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，
点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．(共42张PPT)
专题复习
专题二 选填重难突破
规律探究题
根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，分析各数、式及图形 中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”，变化规律是否具 有周期性．
类型1 数式类：求解此类问题通常根据给定一列数字、代数式、等 式或不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，找出各部分的特征，改写 成要求的规律的形式．
1． 观察下列各数，并写出第n个数：
(1)1，3，5，7，9，…， ；
(2)2，4，6，8，10，…， ；
(3)2，4，8，16，32，…， ；
(4)1，3，9，27，81，…， ；
(5)1，4，9，16，25，…， ；
(6)2，6，12，20，30，…， ．
2n－1
2n
2n
3n-1
n2
n(n＋1)
A． (2n－1)a
B． (2n＋1)a
C． (n＋1)a
D． 2 025a
A
类型2 图形类：求解此类问题从基本图形开始，按照变化规律，找 出一般性结论，最后把图形规律转化为数字规律．
A． 32
B． 28
C． 24
D． 20
C
5． (2019·广东)如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都 是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣， 相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长 度是 ．(结果用含a，b代数式表示)
a＋8b
6． 如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线 与射线OA分别交于A1，A2，A3，….若从O点到A1点的回形线为第1圈 (长为7)，从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，以此类推，则第11圈的 长为 ．
87
类型3 坐标类：求解此类问题不仅要考虑数值的大小，还要找到所 在象限的内在变化规律．
7． 在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角 形按下图中的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速 度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5→…”运动， 设第n秒运动到点Pn(n为正整数)，则点P2 026的坐标是 ．
(1 013，0)
8． 如图，在平面直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1 个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形 PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中 正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(－3，0)，
A1(－2，1)，A2(－1，0)，A3(－2，－1)，则顶
点A2 026的坐标为 ．
(673，676)
几何压轴题
类型1 求不规则图形的面积：求不规则图形的面积有四种常用方 法：(1)和差法；(2)割补法；(3)等面积法；(4)整体思想．
9． 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E在AD上，连接 EB，EC，则图中阴影部分的面积是 ．
2
-"π"
11． (盘锦中考)如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等 于2，则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为 ．(结果保留π)
2π
12． (2025·成都)如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三 个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面 积为 ．
14． 如图，在Rt△ABC中，四边形DBFE，GFIH都是正方形， 已知AD＝1 cm，DB＝3 cm，则图中阴影部分面积为 cm2.
类型2 与几何变化有关的计算：图形的轴对称、平移与旋转不改变 图形的大小与形状，找到图形变化中不变的量是求解此类问题的关键．
16． (2020·广州)如图，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把 △OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C 的坐标为 ．
(4，3)
17． (2025·东莞三模)如图，在△ABC中，∠ACB＝85°，∠B＝ 55°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，边CE交 AB于点F. 若∠EDF＝∠E，则∠DFC＝ ．
80°
18． (2021·广州)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点 D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为点B′，当B′D∥AC 时，则∠BCD的度数为 ．
33°
19． 如图，在平面直角坐标系中，点A(0，3)，B(1，0)，连接 BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标 为 ．
(4，1)
20． (2024·雅安)如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点 C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB＝6，BC＝8，则 cos ∠ABF的值是 ．
D
B
D
C
A
A． 2个 B． 3个
C． 4个 D． 5个
A． 1个
B． 2个
C． 3个
D． 4个
C
函数压轴题
C
A． 1个 B． 2个
C． 3个 D． 4个
B
A． 2 B． 3
C． 4 D． 5
C
A． B．
C． D．
D
最值压轴题
31． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6.点P为边AB 上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值 为 ．
32． (2025·东营)如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°， ∠BAC的平分线交BC于点D． M，N分别是AD和AB上的动点，则 BM＋MN的最小值是 ．
3
D
B
B
A
A(共48张PPT)
专题复习
专题十一 动态问题
(2025·湖北)如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AB＝ n cm.动点P，Q均以1 cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线 C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A 时，两点都停止运动．△PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单 位：s)的关系如图2所示．
(1)m＝ ；(2)n＝ ．
8
12
点动型
如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝8，点M从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点C出发，沿CD －DA方向，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，若M，N两点同 时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动，运动时间为 t(s)，过点N作NQ⊥CD交
AC于点Q.
(1)当t＝3时，求NQ的长；
(2)设△AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量t的 取值范围；
(2)由题意，得AM＝t.当0≤t≤4时，CN＝2t.
∵∠D＝120°，∴∠DCA＝∠CAB＝30°.
如图1，连接BD，与AC相交于点O，过点Q作QG⊥AB于点G.
(3)在整个运动过程中，是否存在t，使△AMQ为等腰三角形？若 存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
由动点引起的特殊图形的存在性问题，可根据判定条件进行分类讨 论．本题根据等腰三角形的判定条件(两腰相等或两角相等)进行分类讨 论：①当点N在线段CD上时，只有MA＝MQ符合条件；②当点N在 线段AD上时，有AQ＝AM，AQ＝MQ两种情况符合条件．
(2018·广东)已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝ 30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图，连接 BC.
(1)填空：∠OBC＝ °.
60
(2)如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为点P，求OP的长．
(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，点M 沿O→C→B路径匀速运动，点N沿O→B→C路径匀速运动，当两点 相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位长度/秒，点N的运动 速度为1单位长度/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x 为何值时y取得最大值？最大值为多少？
如答图1，过点N作NE⊥OC于点E，则ON＝x，OM＝1.5x，∠NOE＝60°，∠NEO＝90°.
名师点拨
1. 动点问题解题思路：
(1)动中取静(定性分析)：想象图形的完整运动过程，找到能使图形 发生本质变化的关键点(时间点)；
(2)以静制动(定量分析)：画出能使图形发生本质变化的关键点(时 间点)所对应的图形，把动态问题转化为静态问题．
2． 动点问题解题步骤：
第一步：根据“路程＝速度×时间”，用含时间t的式子表示动点的 运动路程；
第二步：结合图形结构和相似、三角函数等知识，得到线段的和差 倍分关系，在第一步的基础上，用含t的式子表达这些线段；
第三步：根据题意列方程(或计算)．
线动型
(广东中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D，BC＝10 cm，AD＝8 cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC 出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD 于点E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同
时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形；
(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当 △PEF的面积最大时，求线段BP的长；
∴当t＝2时，S有最大值为10，即△PEF的面积存在最大值10 cm2，此 时BP＝3×2＝6(cm)．
(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出 此时刻t的值，若不存在，请说明理由．
(1)化动为静，找出线段之间的关系，从而根据图形的判定进行 解答．
(2)利用方程思想，通过时间t表示长度、面积等几何量，根据题意 和二次函数的相关知识求解．
(3)画出能使图形发生本质变化的关键点(时间点)所对应的图形，针 对每一个图形进行分析计算．
(2024·江门一模)已知：在正方形ABCD的边AB上任取一点 E，连接CE，一条与CE垂直的直线l(垂足为点M)沿CE方向，从点C 开始向上平移，交边BC于点F.
(1)如图1，当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，求证：BE＝ CF；
(2)如图2，当直线l经过CE的中点时，与对角线BD交于点N，连 接CN，求∠NCE的度数；
∵直线l经过CE的中点，直线l与CE垂直，
∴直线l是CE的垂直平分线．∴NE＝NC.
∴NE＝NA. ∴∠BAN＝∠NEA. ∴∠NEA＝∠BCN.
∵∠NEA＋∠BEN＝180°，∴∠BCN＋∠BEN＝180°.
∴∠CBE＋∠CNE＝180°.∴∠CNE＝180°－∠CBE＝180°－ 90°＝90°.
又NE＝NC，∴△NCE是等腰直角三角形．
∴∠NCE＝45°.
(3)如图3，直线l继续向上平移，当点M恰好落在对角线BD上 时，交边AD于点G，设AB＝4，BE＝x，DG＝y，求y与x之间的关 系式．
(3)解：如答图2，过点F作FT⊥AD于点T，则四边形ABFT是矩 形．
∴FT＝AB，BF＝AT，∠FTG＝∠CFT＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝FT，∠ABC＝90°.
∵CE⊥FG，∴∠CMF＝90°.
∵∠CFM＋∠BCE＝90°，∠CFM＋∠TFG＝90°，∴∠BCE ＝∠TFG.
∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝AD＝4，BE∥CD， BF∥DG.
∴∠BEM＝∠DCM，∠EBM＝∠CDM，∠MBF＝∠MDG， ∠MFB＝∠MGD.
本题(2)作辅助线AN，构造全等三角形求解，(3)过点F作FT⊥AD 于点T，构造矩形ABFT，易得BE＝GT，再利用相似三角形的判定与 性质求解．
形动型
(1)AC的长为 ．
7
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P′在线段PC上运动，如图2.
AP′＝x，PP′＝x－3，
CP′＝7－x，CP＝4，BP＝3.
∵FP′∥BP，
∴∠CFP′＝∠CBP，∠CP′F＝∠CPB.
(3)当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
形动可以看成是若干条线的组合运动，而线的运动可以看成是点的 运动．所以形动型问题可以转化为特殊的线动型问题，再转化为特殊的 点动型问题．在本例中，我们把正方形的运动问题，转化为点D的运动 问题，根据点D在线段AB上和线段AB的延长线上进行分类讨论．
(2023·广东)综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正 半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α(0°＜ α＜45°)，AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F.
(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；(直接写出结果，不要 求写解答过程)
解：(1)当旋转角∠COF为22.5°时，OE＝OF. 提示：当OE＝ OF时，∵OA＝OC，∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL)．∴∠AOE＝ ∠COF＝α.∵AB交直线y＝x于点E，
∴2∠AOE＝45°.∴∠COF＝∠AOE＝22.5°.
∴当旋转角∠COF为22.5°时，OE＝OF.
(2)若点A(4，3)，求FC的长；
(2)如答图1，过点A作AG⊥x轴于点G.
∴∠AGO＝90°.
∵A(4，3)，∴AG＝3，OG＝4.
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°.
∵∠COF＋∠FOA＝90°，∠GOA＋∠FOA＝90°，
(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接 FN. 将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2.设S＝S1－S2，AN＝ n，求S关于n的函数表达式．
(3)如答图2，过点N作直线PQ⊥BC交BC于点P，交OA于点Q，则四边形OQPC是矩形．
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA.
又∠FON＝45°，∴∠FCN＝∠FON＝45°.∴点F，C，O， N四点共圆．
∴∠OFN＝∠OCA＝45°.∴∠OFN＝∠FON＝45°.∴△FON 是等腰直角三角形．
∴NO＝FN，∠FNO＝90°.∴∠FNP＋∠ONQ＝90°.
又∠NOQ＋∠ONQ＝90°，∴∠NOQ＝∠FNP.
∵∠OQN＝∠NPF，∴△NOQ≌△FNP(AAS)．
∴OQ＝NP，NQ＝FP.
∵四边形OQPC是矩形，
∴CP＝OQ，OC＝PQ.
∴S＝S1－S2＝NQ2.(共90张PPT)
专题复习
专题十 二次函数的综合
1． 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在 点B左侧)，与y轴交于点C，点P是第一象限抛物线上的动点，过点P 作PD⊥x轴，垂足为D，交直线BC于点Q，过点P作PN⊥BC于点 N. 设点P的横坐标为t.
(－1，0)
(3，0)
(0，3)
4
(t，－t2＋2t＋3)
(t，0)
(t，－t＋3)
－t2＋2t＋3
－t＋3
－t2＋3t
2． 已知二次函数y＝x2－2x－1，当－2≤x≤2时，y的最小值 为 ，最大值为 ．
－2
7
二次函数与线段有关的问题
(2025·东莞二模节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ ax2＋4x＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)和点B，且点A在点B的左 侧，与y轴交于点C(0，5)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，直线y＝－x＋2与x轴交于点D，与y轴交于点E，动点P为抛物线第一象限上的一点，PG⊥ED于点G，PH∥y轴交ED于点H，求△PGH的周长的最大值，及此时点P的坐标．
(2)设P(p，－p2＋4p＋5)．
∵PH∥y轴，H在直线y＝－x＋2上，∴H(p，－p＋2)．
∴PH＝(－p2＋4p＋5)－(－p＋2)＝－p2＋5p＋3.
在y＝－x＋2中，令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝2.∴D(2， 0)，E(0，2)．
∴OD＝OE＝2.∴∠ODE＝∠OED＝45°.
∵PH∥y轴，∴∠PHG＝∠OED＝45°.
(2025·珠海三模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴 交于点A(－6，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C(0，6)，点P是抛物 线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP，BP， BP交AC于点D，若PD＝kBD，求k的最大值；
(2)如图，过点P作PF∥y轴，交AC于点F，
过点B作BE∥y轴，交AC于点E.
∵B(2，0)，∴当x＝2时，y＝2＋6＝8.∴点E(2，8)．∴BE＝ 8.∵BE∥y轴，PF∥y轴，
∴BE∥PF. ∴∠PFD＝∠BED，∠FPD＝∠EBD. ∴△BDE∽△PDF.
(3)已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点 Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标．
(3)(－6，0)或(－8，－2)或(－10，－4)或(0，6)．
名师点拨
二次函数背景下求线段长的解题通法
在解决以平面直角坐标系为背景的线段、面积问题中，我们往往可 以通过“竖直方向”或者“水平方向”的线段关系解决倾斜的线段关系，我 们称这种解决思想为“化斜为直”思想．在解题过程中，可将斜线段问题 通过相似、锐角三角函数、特殊三角形边之间的关系等转化为竖直线段 或水平线段(“改斜归正”)，然后“设横表纵”，建立线段关于点的函数关 系式．示例如下：
(1)竖直线段
如图，设M(t，at2＋bt＋c)， N(t，mt＋n)，则MN＝at2＋bt ＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c －n
(2)斜线段
如图，利用锐角三角函数化斜为 直，得MP＝MN· sin ∠MNP
二次函数与面积有关的问题
如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A， B两点，与y轴交于点C，其中B(3，0)，C(0，3)．
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，△PBC的 面积是△ABC面积的一半，求点P的坐标．
(3)∵△PBC的面积是△ABC面积的一半，
∴S△PBC＝3.
设直线BC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)．
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
如图，作PD⊥x轴交BC于点D. 设P(a，－a2＋2a＋3)，则D(a， －a＋3).
∴PD＝－a2＋2a＋3－(－a＋3)＝－a2＋3a.
整理得a2－3a＋2＝0.解得a1＝1，a2＝2.当a＝1时，P(1，4)．当 a＝2时，P(2，3)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最 大值．
(2)设直线BC的表达式为y＝kx－4(k≠0)．
将B(4，0)代入，得0＝4k－4.解得k＝1.
∴直线BC的表达式为y＝x－4.
∵B(4，0)，C(0，－4)，D是BC中点，∴D(2，－2)．
如图，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q.
(2025·深圳模拟节选)如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图 象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC，点P 是抛物线上一动点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当点P不与点A，B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若 △ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．
(2)如图1，当P在x轴上方时，过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q 作QE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AP于点G.
设点P(a，－a2＋2a＋3)．∴OF＝a，PF＝－a2＋2a＋3.
∵C为二次函数与y轴交点，∴C(0，3)．设直线BC的表达式为y＝kx＋m(k≠0)
名师点拨
二次函数背景下求面积问题的解题通法
1． 在平面直角坐标系中，求三角形面积的主要方法有：
(2)补全法：如图2，
S△ABC＝S四边形ADEC－S△ADB－S△BEC；
(3)割补法：如图3，S△ABC＝S△AOB＋S△BCO－S△ACO.
关键：把不在坐标轴上的顶点与坐标原点连接得四边形．
2．求面积最值的常用方法：
利用二次函数的性质求最值．
二次函数与特殊图形存在性问题
如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B(点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)如图1，过点A与抛物线顶点M的直线交y轴于点D. 若点N是抛 物线上一动点，在对称轴上是否存在点G，使得以点D，M，N，G为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点G的坐 标；若不存在，请说明理由．
(2)如图2，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使 △ACG为等腰三角形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明 理由．
(3)如图3，连接AC，若点G为抛物线对称轴上的一个动点，点H 为平面内一点，是否存在点H，使以点A，C，G，H为顶点的四边形 为菱形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【方法解读】
二次函数中平行四边形的存在性问题：
代数法：(1)先把平行四边形4个顶点的坐标用未知数表示出来．
(2)求点：①由平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式求顶点 坐标；②通过点的平移，构造全等三角形求点坐标．
【拓展】几何法：找边平移
分情况讨论：①当DM为平行四边形的边；②当DM为平行四边 形的对角线．根据平行四边形一组对边平行且相等通过平移边确定 点的位置．
二次函数中等腰三角形的存在性问题：
代数法：(1)先把等腰三角形3个顶点的坐标用未知数表示出来．
(2)求点：由等腰三角形两腰相等(这里要分类讨论哪2条边是腰)和 线段长坐标公式求顶点坐标．
【拓展】几何法：两圆一线
①当AC＝AG，以点A为圆心，AC长为半径画圆，与对称轴交于 点G；②当AC＝CG，以点C为圆心，AC长为半径画圆，与对称轴交 于点G；③当AG＝CG，作AC的垂直平分线，与对称轴交于点G.
二次函数中菱形的存在性问题：
点H为任意一点，所以优先求点A，C，G三个顶点，要使以点 A，C，G，H为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：①当CG为对角 线时，AC＝AG；②当AG为对角线时，AC＝CG；③当AC为对角线 时，AG＝CG.
同等腰三角形的存在性的计算方法，利用两邻边相等求得第三个顶 点的坐标，再由平移或中点坐标公式可得菱形的第四个顶点的坐标．
(4)如图4，抛物线的顶点为点M，连接BC，在直线BC上是否存在 点P，使以点P，A，M为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．由(1)知，M(1，4)，A(－1，0)，B(3，0)．
由B(3，0)，C(0，3)，易得直线BC的解析式为y＝－x＋3.
设P(p，－p＋3)．
则PA2＝(p＋1)2＋(－p＋3－0)2＝2p2－4p＋10，AM2＝(－1－1)2 ＋(0－4)2＝20，PM2＝(p－1)2＋(－p＋3－4)2＝2p2＋2.
当∠PAM＝90°时，PA2＋AM2＝PM2.
∴2p2－4p＋10＋20＝2p2＋2.解得p＝7.∴P(7，－4)．
当∠AMP＝90°时，PM2＋AM2＝PA2.
∴2p2＋2＋20＝2p2－4p＋10.
解得p＝－3.∴P(－3，6)．
当∠APM＝90°时，PA2＋PM2＝AM2.
∴2p2－4p＋10＋2p2＋2＝20.解得p1＝－1，p2＝2.
∴P(－1，4)或(2，1)．
综上所述，点P的坐标为(7，－4)或(－3，6)或(－1，4)或(2，1)．
(5)如图5，抛物线的顶点为点M，连接BC，若点P为直线BC上的 一个动点，点H为平面内一点，是否存在点H，使以点P，A，M，H 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明 理由．
当∠APM＝90°时，P(－1，4)，H(1，0)或P(2，1)，H(－2， 3)．
综上所述，点H的坐标为(9，0)或(－5，2)或(1，0)或(－2，3)．
二次函数中直角三角形的存在性问题：
代数法：(1)画图：两线一圆
①当∠PAM＝90°，过点A作AM的垂线交BC于点P；②当 ∠AMP＝90°，过点M作AM的垂线交BC于点P；③当∠APM＝ 90°，以AM为直径作圆，交BC于点P.
(2)先把直角三角形3个顶点的坐标用未知数表示出来．
(3)求点：由直角三角形勾股定理(这里要分类讨论哪条边是斜边)和 线段长坐标公式求顶点坐标．
【拓展】几何法：以∠PAM＝90°为例，先画出满足条件的点 P(如图)，利用一线三垂直可得△ANM∽△PQA即可求解．
二次函数中矩形的存在性问题：
点H为任意一点，所以优先求点P，A，M三个顶点，要使以点 P，A，M，H为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：①当PA⊥AM 时，∠PAM＝90°；②当AM⊥MP时，∠AMP＝90°；③当 PA⊥MP时，∠APM＝90°.
同直角三角形的存在性的计算方法，利用勾股定理或相似求得 第三个顶点的坐标，再由平移或中点坐标公式可得矩形的第四个顶 点的坐标．
(6)如图6，连接BC，抛物线上有一动点N，且点N在第一象限， 连接NB，若∠NBC＝15°，求点N的坐标．
解：∵OB＝OC＝3，
∴∠CBO＝∠BCO＝45°.
又∠NBC＝15°，∴∠OBN＝60°.
如图，过点N作NP⊥x轴于点P.
设N(m，－m2＋2m＋3)，
易得P(m，0)．
∴PB＝3－m.
在Rt△BPN中，∠PBN＝60°.
(7)如图7，抛物线的顶点为点M，连接AC，BC，BM，CM，在 x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCM相 似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由(1)，得A(－1，0)，B(3，0)，M(1，4)．
∵C(0，3)，
∴CM2＋CB2＝BM2.∴∠MCB＝90°.
∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.
又∠AOC＝∠MCB＝90°，∴△COA∽△BCM.
∴当点Q1与点O重合，即点Q1的坐标为(0，0)时， △CQ1A∽△BCM.
如图，过点C作CQ2⊥AC，交x轴于点Q2.
∵△COA∽△BCM，∴∠OAC＝∠CMB.
∵∠ACQ＝∠MCB＝90°，
∴△Q2CA∽△BCM.
解得Q2A＝10.∴Q2(9，0)．
综上所述，当点Q的坐标为(0，0)或(9，0)时，以A，C，Q为顶 点的三角形与△BCM相似．
二次函数中的角度问题：
(1)角度相等：常与线段的平行或特殊三角形结合，最终将角度问 题转化为线段问题；
(2)角度固定值：常见的角度有15°，30°，45°，60°，90°， 常放在特殊三角形中，利用三角形三边关系或三角函数求解；
(3)角度的倍数关系：利用三角形的内外角关系和等腰三角形的性 质求解．
二次函数中相似三角形的存在性问题：
(1)找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在 隐含的等角；
(2)表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线 段长；
(3)建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要 按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算 求解．
名师点拨
存在性问题通法
(1)一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的解析 式，设出该点的坐标；
(2)用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；
(3)结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该 点坐标是否符合题意；
(4)结合其他相关知识解题．
(1)求b，c的值；
(2)求直线BD的函数解析式；
(3)点P在抛物线对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，当 △ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
(2025·清远一模)在平面直角坐标系中，若一个点到两坐标 轴的距离相等，则该点称为“雁点”，如(1，1)，(－1，1)，(3，－3)， (－4，－4)等称为“雁点”．若抛物线y＝x2＋bx＋c过点(1，－2)和(0， －2)，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左 侧)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若C是抛物线上的“雁点”，求△ABC的面积．
(2)当y＝0时，则x2－x－2＝0.解得x1＝－1，x2＝2.
∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(2，0)．∴AB＝3.
设C(x，x2－x－2)．由C为抛物线上的“雁点”，得x＝x2－x－2 或－x＝x2－x－2.
(3)若P是x轴下方抛物线上一点，连接BP，以点P为直角顶点构 造等腰直角三角形BPC，是否存在点P，使得C刚好为“雁点”？若存 在，请直接写出所有点P的坐标．
二次函数性质综合题
(2025·茂名一模)对于二次函数y＝x2－4x＋3和一次函数y＝ －x＋1，我们把y＝t(x2－4x＋3)＋(1－t)(－x＋1)称为这两个函数的 “再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E. 现有点 A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
【尝试】
(1)当t＝2时，抛物线y＝t(x2－4x＋3)＋(1－t)(－x＋1)的顶点坐 标为 ．
(2)判断点A是否在抛物线E上；
解：(2)当x＝1时，y＝2×12－7×1＋5＝0，故点A在抛物线E 上．
(3)求n的值．
【发现】通过(2)和(3)的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛 物线E总过定点，定点的坐标为 ．
(1，0)和(2，－1)
(3)x＝2时，n＝y＝2×22－7×2＋5＝－1.
【应用】二次函数y＝－3x2＋5x－2不是二次函数y＝x2－4x＋3 和一次函数y＝－x＋1的一个“再生二次函数”．理由如下：
将x＝1代入y＝－3x2＋5x－2，计算得y＝0，即点A在抛物线 上．
将x＝2代入y＝－3x2＋5x－2，计算得y＝－4≠－1，即可得抛物 线y＝－3x2＋5x－2不经过点B.
∴二次函数y＝－3x2＋5x－2不是二次函数y＝x2－4x＋3和一次 函数y＝－x＋1的一个“再生二次函数”．
【应用】二次函数y＝－3x2＋5x－2是二次函数y＝x2－4x＋3和 一次函数y＝－x＋1的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值； 如果不是，说明理由．
(2022·广州)已知直线l：y＝kx＋b经过点(0，7)和点(1， 6)．
(1)求直线l的解析式；
(2)若点P(m，n)在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点(0，－ 3)，且开口向下．
①求m的取值范围；
(2)①设G的解析式为y＝a(x－m)2＋n(a<0)．
∵点P(m，n)在直线l上，∴n＝－m＋7.∴G的解析式为y＝a(x －m)2－m＋7(a<0)．
∵(0，－3)不在直线l上，∴(0，－3)不是抛物线G的顶点．
而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过(0，－3)，∴点P必须 位于直线y＝－3的上方．
则n＝－m＋7>－3.解得m<10.
又点P不能在y轴上，∴m≠0.∴m的取值范围为m<10且m≠0.
∴G：y＝－2x2＋4mx－2m2－m＋7.
∴当x取区间左端点x＝－2时，y取最大值9，最高点坐标为(－2， 9)．(共51张PPT)
专题复习
专题九 圆的综合
2． 如图，AB是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，且OC⊥OA，OC 交AB于点P.
(1)若∠BPC＝65°，则∠A＝ °；
(2)△CBP的形状是 ；
(3)若⊙O的半径为6，OP＝2，则BC的长为 ．
25
等腰三角形
8
圆与特殊三角形
(广东中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝ 90°，弦BD＝BA，AB＝12，BC＝5，BE⊥DC交DC的延长线于点 E.
(1)求证：∠BCA＝∠BAD；
(1)证明：∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD.
∵∠BCA＝∠BDA，∴∠BCA＝∠BAD.
(2)求DE的长；
(3)求证：BE是⊙O的切线．
(3)证明：如图，连接OB，OD.
在△ABO和△DBO中，
∵AB＝DB，BO＝BO，OA＝OD，
∴△ABO≌△DBO(SSS)．∴∠ABO＝∠DBO.
∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，
∴∠DBO＝∠BDC. ∴OB∥ED.
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO.
∵BO是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．
(2024·深圳)如图，在△ABD中，AB＝BD，⊙O为 △ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并 延长交BE于点E.
(1)证明：如图，连接BO并延长，交AD于点H，连接OD.
∵AB＝BD，OA＝OD，∴BO垂直平分AD.
∴BH⊥AD，AH＝DH.
∵BE为⊙O的切线，∴HB⊥BE.
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.
∴四边形BHDE为矩形．∴DE⊥BE.
(1)求证：DE⊥BE；
(2025·肇庆二模)如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，以 BC为直径的⊙O交AB于点P，点Q是线段AC的中点，连接QP并延长 交CB的延长线于点D.
(1)求证：直线PQ是⊙O的切线；
(1)证明：如图，连接OP，CP，则OP＝OC.
∴∠OCP＝∠OPC.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC＝90°.∴∠APC＝90°.
∴∠PCQ＝∠CPQ.
∵∠BCA＝90°，∴∠BCP＋∠PCQ＝∠OPC＋∠CPQ＝90°.
∴∠OPQ＝90°.∴PQ⊥OP.
∵OP是⊙O的半径，且PQ⊥OP，
∴直线PQ是⊙O的切线．
(1)求证：BC与⊙O相切；
∵OE＝OB，∴BC＝OB＝OE.
(3)如图3，在(2)的条件下，过点O作OF⊥AD于点F，连接BF交 OC于点G，求FG的长．
名师点拨
1． 圆切线判定的常见方法：①有交点，连半径，证垂直；②无交 点，作垂直，证半径．
2． 求线段长的方法：①作辅助线有直角三角形，利用勾股定理求 长度；②若无直角三角形，考虑相似三角形或锐角三角函数；③若有特 殊角(30°，45°，60或15°，22.5°，75°等)，或出现三角函数( sin α， cos α，tan α)，考虑锐角三角函数．
圆与特殊四边形
(2023·广东)综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点 O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′.
(1)求证：AA′⊥CA′.
(1)证明：∵点A关于BD的对称点为点A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD.
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC. ∴OE∥A′C.
又AA′⊥BD，∴AA′⊥CA′.
(2)以点O为圆心，OE长为半径作圆．
(2)①证明：如图2，设⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长FO交AB于点G.
∴OF⊥CD，OF＝OE.
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB. ∴∠GAO＝∠GBO.
又∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA)．
∴OG＝OF. ∴OG＝OE.
由(1)，知AA′⊥BD. 又OG⊥AB，∴∠EAO＝∠GAO.
∵∠EAB＋∠GBO＝90°，
∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°.
∴3∠EAO＝90°.∴∠EAO＝30°.
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
②解：如图3，设⊙O切CA′于点H，连接OH.
∴OH⊥CA′.由(1)，知AA′⊥CA′.∴OH∥AA′.
∴∠CHO＝∠CA′A，∠COH＝∠CAA′.
∴△COH∽△CAA′.又AA′⊥BD，∴OE∥CA′
∴∠AOE＝∠ACA′，∠AEO＝∠AA′C. ∴△AOE∽△ACA′.
∵△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∵OE＝OH，∴AA′＝CA′.∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°.
∴∠AOE＝∠A′CA＝45°.∴AE＝OE.
(2)①通过设问中要求证的线段关系可以推导出需证明∠A′AC＝ 30°.又遇切线作半径，根据全等三角形及角平分线的性质易得∠EAO ＝∠BAO＝∠ABO即可求解．
②遇切线作半径，通过三角形中位线及半径关系的转化，易得AA′ ＝CA′，即△AOE是等腰直角三角形．再通过设参利用勾股定理求得 半径的平方从而求得圆面积．
(2025·梅州一模)如图，四边形ABCD为矩形，E为边BC的 中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接OC，FC， OC交⊙O于点G.
(1)连接DG，若∠COD＝60°，AD＝6，求DG的长；
(1)解：如图，连接DG.
∵AD＝6，∴OA＝OD＝3.
∵∠COD＝60°，OD＝OG，
∴△ODG是等边三角形．∴DG＝OD＝3.
(2)求证：四边形AOCE是平行四边形；
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.
∴四边形AOCE是平行四边形．
(3)求证：CF是⊙O的切线．
(3)证明：如图，连接OF.
∵四边形AOCE是平行四边形，∴AE∥OC.
∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA.
∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA. ∴∠DOC＝∠FOC.
又∵OD＝OF, OC＝OC，∴△ODC≌△OFC(SAS)．∴∠OFC＝ ∠ODC＝90°.
又OF为⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线．
如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于点H，以DH为直径 的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF.
(1)求证：①CD是⊙O的切线；
(1)①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD.
∵DH⊥AB，∴∠CDH＝∠DHA＝90°.∴CD⊥OD.
∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
②△DEF∽△DBA.
②证明：如图，连接HF. ∴∠DEF＝∠DHF.
∵DH为⊙O的直径，∴∠DFH＝90°.
∴∠DHF＝90°－∠BDH.
∵∠DHB＝90°，∴∠DBA＝90°－∠BDH.
∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF.
∵∠EDF＝∠BDA，∴△DEF∽△DBA.
(2)若AB＝5，BD＝6，求 sin ∠DFE.
(2025·青海)活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正 六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密 铺(或镶嵌)问题．平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同 的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成 一片．
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 60° 360°÷60°＝6 能
正方形 ① ② 能
正五边形 108° 不能
正六边形 120° 360°÷120°＝3 能
正七边形 不能
正八边形 135° ③ ④
… … … …
90°
360°÷90°＝4
不能
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当 蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角 形，正方形和正六边形周长的大小．
(2)如图2，正方形ABCD的周长为 ．
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(3)如图3，求出正六边形的周长．(写出求解过程)
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代几综合【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
【推广证明】如答图1，作AM⊥BC于点M，作CN⊥AB于点 N，连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF.
∵AF是直径，∴∠ACF＝90°.
【拓展应用】如图2，四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，CD＝ 4，∠B＝∠C＝90°.求过A，B，D三点的圆的半径．
