北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末核心素养冲刺卷（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末核心素养冲刺卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下图是由5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程的解为（ ）
A． B．
C．， D．，
7．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
8．某市2022年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论，错误的为（ ）
A．点与点关于原点对称
B．点是的中点
C．在中，的值随值的增大而减小
D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．如果，那么 ．
12．已知关于的一元二次方程有一个根为0，则 ．
13．已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为 ．
14．如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，，则线段的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若正方形的周长为，则的值为 ．
16．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴的负半轴上，若点，，则的值为 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末核心素养冲刺卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．为了了解班级学生数学课前预习的具体情况，郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：：很好；：较好；：一般；：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)类女生有______名，类男生有______名，将上面条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是______；
(3)为了共同进步，郑老师想从被调查的类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率．
19．已知：矩形中，点E在边上，于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，，求线段的长．
20．“骑行安全最重要，安全头盔要戴好．”2024年6月1日起，新修订的《成都市非机动车管理条例》正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范．据了解，某经销商以25元/个的价格购入一批头盔，按50元/个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为32元/个．
(1)若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当头盔售价为50元/个时，每月能够售出200个，当售价每降1元时，则月销量能增加20个．若要使月销售利润为5720元，则头盔的售价应为多少元？
21．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，边，对角线．
(1)求菱形的面积；
(2)过点O作于E，交延长线于F，求证：
22．如图，在正方形中，延长到点，连结，过点作，垂足为点，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
23．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若和原方程的两个实数根都是整数，且，求的值．
24．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与轴和轴分别相交于，两点．经过点的直线与该反比例函数图象在第一象限内相交于另一点，且满足，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图，若直线恰好经过原点，求的值；
(3)设直线与轴负半轴相交于点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标．
25．如图，直线交反比例函数的图象于点，两点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数表达式；
(2)已知点是轴上的一点，且，请求出点坐标；
(3)点，连接，在直线上取一点，连接，将以点为位似中心作位似图，位似比为，是否存在点，使恰好落在反比例函数图象上，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A B C D D B C
二、填空题
11．
12．9
13．
14．
15．6
16．6
三、解答题
17．【解】（1）解：，
，
，
解得．
（2）解：，，
，
，
解得．
18．【解】（1）解：总人数名，
类学生人数：名，
类女生人数：名，
类学生占的百分比：，
类学生人数：名，
类男生人数：名，
故C类女生有名，类男生有名；
补充条形统计图，
故答案为：，；
（2），
答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是；
故答案为：；
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有种．
所以所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学．
19．【解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵于点F
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：如图：作于点H，连接，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴代入上式可得：，即，
解得：，（舍），
∴．
20．【解】（1）解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得或（舍去），
每次降价的百分率为；
（2）解：设头盔的售价应为元，
根据题意得：，
整理得，
解得或，
头盔的售价应为47元或38元．
21．【解】（1）解：菱形对角线相交于O，
∴且相互平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵中，，
∴
∵于E，
∴ ，
∵平分，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴
22．【解】（1）证明：于点，交于点，交于点，
，
四边形是正方形，点在的延长线上，
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的值是．
23．【解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
.
（2）∵和原方程的两个实数根都是整数，且，
∴
∴或或
当时，原方程为 ，解得，，符合题意，
当时，原方程为 ，解得，，不符合题意，
当时，原方程为 ，解得，，不符合题意，
所以k的值为2．
24．【解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于，
∴，即，
∴，
∴，
∴反比例函数为；
（2）解：如图，记与轴的交点为，
∵，
∴设为：，
当时，，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
解得：或，
∴，
同理：，
解得：或，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，（舍去），
∴；
（3）解：由（2）得：，，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
同理可得：直线与轴的交点，而，，
∴，
，
∵是以为底边的等腰三角形时，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴.
25．【解】（1）解：把代入，得，
反比例函数为，
把代入，得，
，
代入，到，得，
解得：，
一次函数为，
综上，一次函数为，反比例函数为．
（2）解：当时，，
，即，
当时，，
解得：，
，即，
，
，
当点在点的下方，由三角形的外角性质可得，不符合题意；
点不能在点的下方，
由题意，点在点的上方：
如图，作于点P，过点P作轴于点F，作于点G，
，，
，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
又，
，
，，
设，则，，，
，
解得：，
，，
，
点坐标为．
（3）解：由题意得，，且相似比为，
，
①若点在线段上，如图，过点分别作轴的垂线，交于点，连接交于点，
则有，
，，，
，，，
，，
设，则，
，
，
，
，
，，
，，
的横坐标为，，
的纵坐标为，
，
恰好落在反比例函数图象上，
，
解得：，，
点的横坐标为或；
②若点在延长线上，如图，过点分别作轴的垂线，交于点，连接交于点，
设，
同理①中的方法可得，，
恰好落在反比例函数图象上，
，
解得：，，
点的横坐标为或；
综上所述，存在符合题意的点，点的横坐标为或或或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)