北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末核心素养达标卷（含答案）

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北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末核心素养达标卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（　　）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如果一个四边形绕对角线的交点旋转，所得四边形与原四边形重合，那么这个四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
8．2024年10月30日，搭载3名宇航员的神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为x，则应列方程是（　 　）
A． B．
C． D．
9．顺次连接一个四边形四边的中点得到的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．矩形 B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．任意四边形
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，BA⊥y轴于点B，反比例函数y=（x＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为( )
A． B．1 C．2 D．3
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知关于的一元二次方程的一个根为－1，则另一个根为 ．
12．一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 ．
13．已知，，则b的值为 ．
14．以点为位似中心，将缩小后得到如图所示的，且．若，则线段的长为 ．
15．已知a，b是方程的两根，则 ．
16．边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F，若CF的长为，则CE的长为 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年九年级上册数学期末核心素养达标卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（1）解方程：；
（2）解方程：．
18．中学生心理健康受到社会的泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查（每人选且仅选一项）的方式，根据收集创的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
(1)接受抽样调查的学生共有______人；扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角度数为______；若该校共有学生1200人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的人数约有______人；
(2)某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取两人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到两名女生的概率．
19．如图，在矩形中，延长到，延长到，使，，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作的垂线，交的延长线于点，若，，求的长．
20．如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接交于点O，若，，求的长．
21．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
22．如图，点分别在三边上，且，．
(1)求的长；
(2)若的面积为4，求四边形的面积．
23．如图，在中，D，E是边上的两点，连接，，且满足，平分．
(1)求证：；
(2)若，，且，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与y轴正半轴，x轴分别相交于C，D两点．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)求证：；
(3)若点P是位于点C上方的y轴上的动点，过P，A两点的直线与该反比例函数的图象交于另一点E，连接．当，且的面积为18时，求点E的坐标．
25．在矩形中，点P为边上一点，将沿直线翻折，使点B落在矩形内的点E处，直线与边交于点F．
(1)如图1，当点P为中点时，求证：；
(2)如图2，若，，，求线段的长；
(3)若直线与的延长线交于点Q，，，当时，求的值（用含n的代数式表示）．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C D C A D C D
二、填空题
11．
12．7
13．1
14．4
15．0
16．1或3．
三、解答题
17．【解】解：（1）
∵，
∴原方程无解；
（2）
即
∴
∴或
∴，
18．【解】（1）解：接受抽样调查的学生共有（人）．
，
扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角度数为．
（人），
估计该校学生中对心理健康知识“不了解”的人数约60人．
故答案为：80；；60；
（2）解：将2名男生分别记为，，将2名女生分别记为，，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的结果有：，，共2种，
恰好抽到两名女生的概率为．
19．【解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
解得：．
20．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点G，H分别是，的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接交于点O，
如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵点G是的中点，
∴是的中位线，
∴．
21．【解】（1）z＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，
∴z与x之间的函数解析式为z＝﹣2x2+136x﹣1800；
（2）由z＝350，得350＝﹣2x2+136x﹣1800，
解这个方程得x1＝25，x2＝43，
所以，销售单价定为25元或43元，
将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z＝﹣2（x﹣34）2+512，
因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）结合（2）及函数z＝﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，
当25≤x≤43时z≥350，
又由限价32元，得25≤x≤32，
根据一次函数的性质，得y＝﹣2x+100中y随x的增大而减小，
∴当x＝32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）＝648（万元），
因此，所求每月最低制造成本为648万元．
22．【解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
∴．
23．【解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，，
，
24．【解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数解析式中，
得：，
即A点坐标为；
把点A坐标代入反比例函数式中，
得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）证明：在一次函数解析式中，令，得；令，得；
点C、D的坐标为、，
联立一次函数与反比例函数解析式，即，
消去y整理得：，
解得：，
当时，，
∴点B的坐标为；
∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴C点是的中点，且C、D为线段的三等分点，
由A、C、D三点坐标得：，解得：，
∴点C的坐标为；
设点，设直线解析式为，
把A、E两个点坐标分别代入得：，解得：，
即直线解析式为；
①当点E在第一象限时，如图，连接，
∵C、D为线段的三等分点，，
∴；
在中，令，得，
∴点P的坐标为，
∵，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为．
②当点E在第三象限时，过B作轴交直线于点F，如图；
由（2）知，点B的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵
；
由题意知，，
解得：，
∴；
综上，点E的坐标为或．
25．【解】（1）证明：如图，
∵将沿直线翻折得到，
∴，．
∵点P为的中点，
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
（2）解：过点E作于点H，交于K，则，
∵，，
∴．
又∵，
∴为等腰直角三角形．
∴，则也是等腰直角三角形，
∴，
在中，设，
由翻折可得，．
∴，．
在中，由勾股定理得，
即，解得．
∴，．
∴．
在和中，
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
（3）解：如图，连接，分别过B，Q作于点M，交延长线于点N，则，
根据题意得：，则．
∵，
∴，
∴，即．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∴．
∴．
由翻折可得垂直平分BE．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
∴．
在中，由勾股定理得．
∴，
过F作于点G，则，
∵，，
∴，．
∴，
∴．
∴．
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