第三章 圆锥曲线的方程 本章复习与测试（含解析）

人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线截面垂直平面及抛物线，下面四个命题，正确的个数为( )
圆的面积为； 椭圆的长轴长为；
双曲线两渐近线的夹角正切值为；抛物线的焦点到准线的距离为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆，斜率为的直线与椭圆相交于两点，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线：的右焦点为，圆为双曲线的半焦距与双曲线的一条渐近线交于，两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
6.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于，两点，则的值等于( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点坐标为时，为正三角形，则此时的面积为( )
A. B. C. D.
8.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，则下列说法错误的是
A. 平面上点，的最小值为
B. 直线的方程为
C. 过点作，垂足为，则为坐标原点
D. 四边形面积的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线经过椭圆：的一个焦点，且与交于不同的两点，，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有( )
A. 椭圆的短轴长为
B. 弦的最小值为
C. 存在实数，使得以为直径的圆恰好过点
D. 若，则
10.已知是双曲线的上焦点，，是上的两点，则下列结论正确的是( )
A. 若是的中点，则
B. 的最小值为
C. 双曲线的上顶点到两条渐近线的距离的乘积为
D. 若的中点坐标为，则直线的斜率为
11.已知抛物线的焦点为，为上一点，下列说法正确的是( )
A. 的准线方程为
B. 直线与相切
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ．
13.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为 ．
14.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点若，则的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线与椭圆交于、两点且为直角，为坐标原点．
求椭圆的方程；
求的长度．
16.本小题分
已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．
求双曲线的方程；
经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求值．
17.本小题分
如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上．
求的值及抛物线的准线方程；
若点为三角形的重心，求线段的长度．
18.本小题分
已知抛物线，抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．
求抛物线的方程及其准线方程．
过点的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点，直线交直线于点是否存在这样的直线，使得若不存在，请说明理由若存在，求出直线的方程．
19.本小题分
已知双曲线的左焦点与椭圆的左焦点重合，双曲线与椭圆在第一象限相交于点
求双曲线的方程
若过点的直线与椭圆相交于点，，线段的中点在双曲线的渐近线上，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】对于，为母线 的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的 ，
即截面圆半径为，则圆的面积为 ，故正确；
对于，如图，在圆锥的轴截面 中，作 ，垂足为，
因为为母线 的中点，则 ，
故椭圆的长轴长为 ，正确；
对于，如图，在与平面 垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点与点到底面距离相等，则点坐标为 ，
双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为 ，
则设双曲线方程为 ，
则 ，将 代入双曲线方程，得 ，
设双曲线的渐近线 与 轴的夹角为 ，则 ，
故双曲线两渐近线的夹角正切值为 ，错误；
对于，如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为，
则 ，
则 ，设抛物线方程为 ，
则 ，
即抛物线的焦点到准线的距离为 ，错误，
故正确的命题有个，故选：
2.【答案】
【解析】知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率。
3.【答案】
【解析】抛物线：的焦点为，准线为：，
设，，由抛物线的定义可知，，
于是．
，
直线的斜率为，
直线的方程为，
将，代入方程，得得，
，
于是．故选B．
4.【答案】
【解析】设，，
则 ， ，
的中点坐标为，
，，
直线的方程是，
，
两式相减可得：，
，
，
，
，
，
，
．故选B．
5.【答案】
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，
代入圆，得，
则，
所以，
易知点在圆上，
所以，
可得，
即，
因为线段的中点落在另一条渐近线上，且，
所以与该渐近线垂直，
所以该渐近线与平行，
得，
解可得，，
故双曲线的方程是．故选D．
6.【答案】
【解析】记抛物线的准线为，
如图，作，，，垂足分别是，，，
则
，
即，由此得．
故选A．
7.【答案】
【解析】如图所示，过作的垂线，垂足为，
则为的中点，
点坐标为 ，
，，
，，
，
此时，，，
直线的方程为，
代入抛物线方程可得，
解得或，
或，
的面积为：
．故选A．
8.【答案】
【解析】对于，由双曲线定义得，且，
则，
所以的最小值为故A正确；
对于，设直线的方程为，，
联立方程组，消去整理得，，
，化简整理得，解得，
可得直线的方程为，即，故 B正确；
对于，由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点，
则垂直平分，即，所以为的中点，
又是中点，所以，故 C错误；
对于，由直线的方程为，令，得，
则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以四边形面积的最小值为，故D项正确．
9.【答案】
【解析】依题意可知，直线经过定点，所以．
又椭圆的离心率为，所以，则，
所以椭圆的短轴长为，所以选项不正确
当时，弦即为椭圆的一条通径，弦最短，且，所以选项正确；
椭圆的长轴长为，所以，当最短时，此时点在以为直径的圆外，
当趋近于时，点在以为直径的圆内，
因此，存在实数，使得以为直径的圆恰好过点，所以选项正确
由，得，设，，则，
联立，整理得，
恒成立，
则，，
因为，所以，解得：，所以选项正确．
故选BCD．
10.【答案】
【解析】由双曲线，可得焦点在轴上，，，，
若是的中点，则直线轴，，故A正确；
的最小值为，故B错误；
由题意得，，
所以双曲线的渐近线方程为或，
所以上顶点到双曲线的两条渐近线的距离乘积为，故C错误
设，，则
两式相减得，
因为的中点坐标为，
所以，即，
所以直线的斜率为，故D正确．
11.【答案】
【解析】根据抛物线可得，所以准线方程为：，故 A错误；
联立直线与抛物线方程得，
，消去得，，得，所以直线与抛物线相切，故B正确；
设则，
所以当时，的最小值为，故C正确；
因为，，所以，
因为的周长为，
设点到准线的距离，则，
所以，
故D正确．故选BCD．
12.【答案】
【解析】设椭圆的标准方程为，
联立
消元得，
设两个交点分别为，，
则弦中点横坐标为，
则结合韦达定理得即
因为焦点，所以有
由得，
所以椭圆方程为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，
一条渐近线方程为，
可得到渐近线的距离为，
则，
又，
则，
则，
由于为的中点，为的中点，
所以，
则，即，
所以，
所以双曲线的离心率为．故答案为．
14.【答案】
【解析】设准线与轴交于点，则．
由抛物线定义可得．
又，所以是等边三角形．
所以，
所以，
所以．
因为准线的方程是，
所以点的横坐标为，
代入中，得解得，
所以点或，
所以．
15.【解析】由题意，，
，，，
椭圆的方程为；
设，，
把代入，
得，
，即，
，，
为直角，，
，
即，
，
，，
，，
，
故的长度．
16.【解析】双曲线的离心率为 ，
，
即，
又点是双曲线的一个顶点，
，，
可得，
双曲线的方程为
由知：双曲线的右焦点为，
经过双曲线右焦点作倾斜角为直线的方程为，
联立直线与双曲线方程消去，得，
设，，
则，
所以，
故．
17.【解析】点为抛物线的焦点，即，
即，
抛物线的方程为，准线方程为；
由题可知，直线斜率存在且不为，
设过的直线方程为，，，，，
即有，，，
联立直线和抛物线可得，
可得，，
因为，即，
所以，
即，
则．
18.【解析】因为横坐标为的点到焦点的距离为，所以，解得，
所以，准线方程为
显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，．
联立得 消去得，
由，解得，
所以且．
由韦达定理得，，
直线的方程为，
又，所以，所以，
因为，所以直线与直线的斜率相等，
又，所以，
整理得，即，
化简得，，即，
所以，整理得，
解得经检验，符合题意，
所以存在这样的直线，
直线的方程为或．
19.【解析】椭圆的左焦点为，
则，
点坐标代入双曲线方程可得，
解得，
故双曲线标准方程为
设，，直线的方程：，
代入中可得，
即，
则，，
所以，
则的中点坐标为，
因为双曲线渐近线方程，
所以，
解得
故直线的方程为：．