(共21张PPT)
四 命题、定理、定义
(时间:45分钟 分值:90分)
【基础全面练】
1.(5分)以下语句:①{0}∈N;②x2+y2=0;③x2>x;④{x|x2+1=0},其中命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①是命题,且是假命题;②③不能判断真假,不是命题;④不是陈述句,不是命题.
2.(5分)命题“在三角形中,大边对大角”改写成“若p,则q”的形式为 ( )
A.在三角形中,若一边较大,则其对的角也较大
B.在三角形中,若一角较大,则其对的边也较大
C.若一个平面图形是三角形,则其大边对大角
D.若一个平面图形是三角形,则其大角对大边
【解析】选A.命题的大前提是“在三角形中”,条件是“大边”,结论是“对大角”.
3.(5分)(2025·常州高一检测)命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是 ( )
A.两个数的符号不同 B.两个数只有符号不同
C.两个数互为相反数 D.只有符号不同
【解析】选B.原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同,那么这两个数互为相反数”,“如果”后面的部分是条件,即“两个数只有符号不同”是原命题的条件.
5.(5分)(2024·常州一中高一月考)关于区间I=(a,+∞),有下列四个命题:
甲:小于1的数都不在区间I内;
乙:区间I内不存在两个数互为倒数;
丙:区间I内存在小于1的数;
丁:区间I内每个数的平方都大于它本身.
如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选C.由题意得:根据甲和丙两个命题可知甲和丙互相矛盾,故两个命题必然一真一假;
又因为只有一个假命题,所以乙和丁都为真命题;
根据乙和丁可知I=(a,+∞) (1,+∞),故丙为假命题.
6.(5分)(多选)下列四个命题中,属于真命题的是 ( )
A.平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形
B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C.所有质数的平方都不是偶数
D.不存在一个奇数,它的立方是偶数
【解析】选BD.对A,平面上两组对边平行且相等的四边形不一定是正方形,故A是假命题;
对B,根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,故B是真命题;
对C,2是质数,但22=4为偶数,故C是假命题;
对D,任何奇数的立方都为奇数,故D是真命题.
8.(5分)命题:若x+y>0,则x>0且y>0,条件p:___________,
结论q:______________.
【解析】命题:若x+y>0,则x>0且y>0,则条件p:x+y>0,结论q:x>0且y>0.
9.(5分)命题p:存在实数x,使得x,3,4能成为三角形的三边长.若命题p为假
命题,则x的取值范围是________________.
【解析】当命题p为真命题时,可得4-3
命题时,可得{x|x≤1或x≥7}.
x+y>0
x>0且y>0
{x|x≤1或x≥7}
10.(10分)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角;
【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.该命题是真命题.
(2)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1;
【解析】(2)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1.该命题是真命题.
(3)已知x,y∈N*,当y=x+1时,y=3,x=2.
【解析】(3)已知x,y∈N*,若y=x+1,则y=3,x=2.该命题是假命题.
【综合应用练】
11.(5分)(2025·通州中学高一质检)关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选A.若甲是假命题,则乙丙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一根为x=3,
由于两根之和为2,则该方程的另一根为x=-1,两根异号,符合题意;
若乙是假命题,则甲丙丁是真命题,则x=1是方程x2+ax+b=0的一根,由于两根之和为2,则另一根也为x=1,两根同号,不符合题意;
若丙是假命题,则甲乙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为x=1和x=3,两根同号,不符合题意;
若丁是假命题,则甲乙丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为x=1和x=3,
两根之和为4,不符合题意.
综上所述,甲为假命题.
12.(5分)(2025·广州一中高一调研)甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,四人
在成绩公布前作出如下预测:
甲预测说:我不会获奖,丙获奖;
乙预测说:甲和丁中有一人获奖;
丙预测说:甲的预测是对的;
丁预测说:获奖者在甲、乙、丙三人中.
成绩公布后表明,四人的预测中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测
与结果不符.已知有两人获奖,则获奖者可能是___________________.
甲和丙或甲和乙
【解析】因为“甲预测说:我不会获奖,丙获奖”,而“丙预测说:甲的预测是对的”,
所以甲和丙的说法要么同时与结果相符,要么同时与结果不符.
若甲和丙的说法同时与结果相符,则丁的说法也对,这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不符.已知有两人获奖”相矛盾,故错误;
若甲和丙的说法与结果不符,则乙、丁的预测成立.
所以甲获奖,丁不获奖;丙可能获奖,乙也可能获奖.
13.(5分)设a,b,c是任意实数,能够说明“若c的一组整数a,b,c的值依次为_____________________.
【解析】若c0,c<0,则取a=1,b=0,c=-1,
则满足条件,但ab 1,0,-1(答案不唯一)
15.(10分)(能力挑战题·选做)定义:若对非空数集P中任意两个元素a,b,实施“加减乘除”运算(如a+b,a-b,a×b,a÷b(b≠0)),其结果仍然是P中的元素,则称数集P是一个“数域”.下列四个命题:①有理数集Q是数域;②若有理数集Q M,则数集M是数域;③数域必是无限集;④存在无穷多个数域.上述命题哪些是正确的 哪些是错误的 说明你的理由.四 命题、定理、定义
(时间:45分钟 分值:90分)
【基础全面练】
1.(5分)以下语句:①{0}∈N;②x2+y2=0;③x2>x;④{x|x2+1=0},其中命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①是命题,且是假命题;②③不能判断真假,不是命题;④不是陈述句,不是命题.
2.(5分)命题“在三角形中,大边对大角”改写成“若p,则q”的形式为 ( )
A.在三角形中,若一边较大,则其对的角也较大
B.在三角形中,若一角较大,则其对的边也较大
C.若一个平面图形是三角形,则其大边对大角
D.若一个平面图形是三角形,则其大角对大边
【解析】选A.命题的大前提是“在三角形中”,条件是“大边”,结论是“对大角”.
3.(5分)(2025·常州高一检测)命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是 ( )
A.两个数的符号不同 B.两个数只有符号不同
C.两个数互为相反数 D.只有符号不同
【解析】选B.原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同,那么这两个数互为相反数”,“如果”后面的部分是条件,即“两个数只有符号不同”是原命题的条件.
4.(5分)(2025·济宁高一检测)已知集合A={x|x2+2x-3=0},B={x|2x-1>0},则下列命题中是真命题的是 ( )
A.若x∈A,则x∈B B.若x∈A∩B,则x≤2
C.若x∈B,则x∈A D.若x∈A∪B,则x≤2
【解析】选B.因为A={x|x2+2x-3=0}={-3,1},B={x|2x-1>0}={x|x>},则A,C错误;
因为A∩B={1},A∪B={x|x=-3或x>},故B正确,D错误.
5.(5分)(2024·常州一中高一月考)关于区间I=(a,+∞),有下列四个命题:
甲:小于1的数都不在区间I内;
乙:区间I内不存在两个数互为倒数;
丙:区间I内存在小于1的数;
丁:区间I内每个数的平方都大于它本身.
如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选C.由题意得:根据甲和丙两个命题可知甲和丙互相矛盾,故两个命题必然一真一假;
又因为只有一个假命题,所以乙和丁都为真命题;
根据乙和丁可知I=(a,+∞) (1,+∞),故丙为假命题.
6.(5分)(多选)下列四个命题中,属于真命题的是 ( )
A.平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形
B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C.所有质数的平方都不是偶数
D.不存在一个奇数,它的立方是偶数
【解析】选BD.对A,平面上两组对边平行且相等的四边形不一定是正方形,故A是假命题;
对B,根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,故B是真命题;
对C,2是质数,但22=4为偶数,故C是假命题;
对D,任何奇数的立方都为奇数,故D是真命题.
7.(5分)(多选)下列命题为真命题的是 ( )
A.集合{x|x2+2x+1=0}有两个子集
B.若a∈N,则-a N
C.集合里面有6个元素
D.平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为{(x,y)|xy<0}
【解析】选AD.{x|x2+2x+1=0}={-1},故子集为 ,{-1},共两个,故A正确;
0∈N,则-0∈N,故B错误;
因为∈N,且x∈Q,故x=1,2,3,4,6,12,(n∈N*),…,满足题意的x有无数个,故C错误;
设(x,y)是第二、四象限的点,则,或,即xy<0,故D正确.
8.(5分)命题:若x+y>0,则x>0且y>0,条件p: x+y>0 ,结论q: x>0且y>0 .
【解析】命题:若x+y>0,则x>0且y>0,则条件p:x+y>0,结论q:x>0且y>0.
9.(5分)命题p:存在实数x,使得x,3,4能成为三角形的三边长.若命题p为假命题,则x的取值范围是 {x|x≤1或x≥7} .
【解析】当命题p为真命题时,可得4-310.(10分)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角;
【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.该命题是真命题.
(2)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1;
【解析】(2)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1.该命题是真命题.
(3)已知x,y∈N*,当y=x+1时,y=3,x=2.
【解析】(3)已知x,y∈N*,若y=x+1,则y=3,x=2.该命题是假命题.
【综合应用练】
11.(5分)(2025·通州中学高一质检)关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选A.若甲是假命题,则乙丙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一根为x=3,
由于两根之和为2,则该方程的另一根为x=-1,两根异号,符合题意;
若乙是假命题,则甲丙丁是真命题,则x=1是方程x2+ax+b=0的一根,由于两根之和为2,则另一根也为x=1,两根同号,不符合题意;
若丙是假命题,则甲乙丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为x=1和x=3,两根同号,不符合题意;
若丁是假命题,则甲乙丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为x=1和x=3,
两根之和为4,不符合题意.
综上所述,甲为假命题.
12.(5分)(2025·广州一中高一调研)甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,四人在成绩公布前作出如下预测:
甲预测说:我不会获奖,丙获奖;
乙预测说:甲和丁中有一人获奖;
丙预测说:甲的预测是对的;
丁预测说:获奖者在甲、乙、丙三人中.
成绩公布后表明,四人的预测中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不符.已知有两人获奖,则获奖者可能是 甲和丙或甲和乙 .
【解析】因为“甲预测说:我不会获奖,丙获奖”,而“丙预测说:甲的预测是对的”,
所以甲和丙的说法要么同时与结果相符,要么同时与结果不符.
若甲和丙的说法同时与结果相符,则丁的说法也对,这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不符.已知有两人获奖”相矛盾,故错误;
若甲和丙的说法与结果不符,则乙、丁的预测成立.
所以甲获奖,丁不获奖;丙可能获奖,乙也可能获奖.
13.(5分)设a,b,c是任意实数,能够说明“若c【解析】若c0,c<0,则取a=1,b=0,c=-1,
则满足条件,但ab14.(10分)已知p:实数a满足-2(1)若q为真命题,求实数a的取值范围;
【解析】(1)因为关于x的方程x2-x+a=0有实数根,所以Δ=1-4a≥0,即a≤,
所以若q为真命题,实数a的取值范围为(-∞,].
(2)若p为真命题,q为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】(2)因为p为真命题,q为假命题,
所以,解得所以实数a的取值范围为(,2).
15.(10分)(能力挑战题·选做)定义:若对非空数集P中任意两个元素a,b,实施“加减乘除”运算(如a+b,a-b,a×b,a÷b(b≠0)),其结果仍然是P中的元素,则称数集P是一个“数域”.下列四个命题:①有理数集Q是数域;②若有理数集Q M,则数集M是数域;③数域必是无限集;④存在无穷多个数域.上述命题哪些是正确的 哪些是错误的 说明你的理由.
【解析】根据题意,由数域的定义可知,
对于①,从有理数集Q中任取两个有理数a,b(b≠0),
则a+b,a-b,a×b,a÷b(b≠0)都是有理数,故有理数集Q是数域,故命题①正确;
对于②,已知有理数集Q M,若M=Q∪,1∈Q,则π+1 M,
此时数集M不是数域,故命题②错误;
对于③,设数域P,a∈P,b∈P(假设a≠0),则a+b∈P,则a+(a+b)=2a+b∈P,
同理na+b∈P,n∈N,故数域必为无限集,所以命题③正确;
对于④,形如M=为无理数这样的数集都是数域,
故存在无穷多个数域,所以命题④正确.四 命题、定理、定义
(时间:45分钟 分值:90分)
【基础全面练】
1.(5分)以下语句:①{0}∈N;②x2+y2=0;③x2>x;④{x|x2+1=0},其中命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(5分)命题“在三角形中,大边对大角”改写成“若p,则q”的形式为 ( )
A.在三角形中,若一边较大,则其对的角也较大
B.在三角形中,若一角较大,则其对的边也较大
C.若一个平面图形是三角形,则其大边对大角
D.若一个平面图形是三角形,则其大角对大边
3.(5分)(2025·常州高一检测)命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是 ( )
A.两个数的符号不同 B.两个数只有符号不同
C.两个数互为相反数 D.只有符号不同
4.(5分)(2025·济宁高一检测)已知集合A={x|x2+2x-3=0},B={x|2x-1>0},则下列命题中是真命题的是 ( )
A.若x∈A,则x∈B B.若x∈A∩B,则x≤2
C.若x∈B,则x∈A D.若x∈A∪B,则x≤2
5.(5分)(2024·常州一中高一月考)关于区间I=(a,+∞),有下列四个命题:
甲:小于1的数都不在区间I内;
乙:区间I内不存在两个数互为倒数;
丙:区间I内存在小于1的数;
丁:区间I内每个数的平方都大于它本身.
如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.(5分)(多选)下列四个命题中,属于真命题的是 ( )
A.平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形
B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C.所有质数的平方都不是偶数
D.不存在一个奇数,它的立方是偶数
7.(5分)(多选)下列命题为真命题的是 ( )
A.集合{x|x2+2x+1=0}有两个子集
B.若a∈N,则-a N
C.集合里面有6个元素
D.平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为{(x,y)|xy<0}
8.(5分)命题:若x+y>0,则x>0且y>0,条件p: x+y>0 ,结论q: x>0且y>0 .
9.(5分)命题p:存在实数x,使得x,3,4能成为三角形的三边长.若命题p为假命题,则x的取值范围是 .
10.(10分)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角;
(2)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1;
(3)已知x,y∈N*,当y=x+1时,y=3,x=2.
【综合应用练】
11.(5分)(2025·通州中学高一质检)关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
12.(5分)(2025·广州一中高一调研)甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,四人在成绩公布前作出如下预测:
甲预测说:我不会获奖,丙获奖;
乙预测说:甲和丁中有一人获奖;
丙预测说:甲的预测是对的;
丁预测说:获奖者在甲、乙、丙三人中.
成绩公布后表明,四人的预测中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不符.已知有两人获奖,则获奖者可能是 .
13.(5分)设a,b,c是任意实数,能够说明“若c14.(10分)已知p:实数a满足-2(1)若q为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若p为真命题,q为假命题,求实数a的取值范围.
15.(10分)(能力挑战题·选做)定义:若对非空数集P中任意两个元素a,b,实施“加减乘除”运算(如a+b,a-b,a×b,a÷b(b≠0)),其结果仍然是P中的元素,则称数集P是一个“数域”.下列四个命题:①有理数集Q是数域;②若有理数集Q M,则数集M是数域;③数域必是无限集;④存在无穷多个数域.上述命题哪些是正确的 哪些是错误的 说明你的理由.
