五 充分条件、必要条件、充要条件
(时间:45分钟 分值:95分)
【基础全面练】
1.(5分)设x∈R,则“x=2”是“x2=4”的 ( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.当x=2时x2=4,故充分性成立,由x2=4可得x=2或x=-2,故必要性不成立,所以“x=2”是“x2=4”的充分且不必要条件.
2.(5分)x=y的一个必要条件是 ( )
A.x2=y2 B.=1 C.= D.=
【解析】选A.对A项,因为x=y,所以x2=y2,故A正确;对B项,y≠0,故B错误;对C项,x,y不能小于2,故C错误;对D项,x,y不能等于1,故D错误.
3.(5分)(2025·南靖中学高一月考)a,b中至少有一个不为零的充要条件是 ( )
A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
【解析】选D.a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.
4.(5分)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标的哲理.由此可得,“积跬步”是“至千里”的 ( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.根据“做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标”,即要达成目标必须一点一点积累,所以“积跬步”是“至千里”的必要条件.
5.(5分)(2025·浏阳一中高一月考)若集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的 ( )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
【解析】选A.因为A={1,a},B={1,2,3},A B,所以a∈B且a≠1,所以a=2或3,即a=3 A B,所以“a=3”是“A B”的充分条件.
6.(5分)(多选)下列命题中叙述不正确的是 ( )
A.“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2-4ac≥0”
B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要且不充分条件
C.“x>4”的一个充分且不必要条件可以是“x>3”
D.若集合A B,则“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件
【解析】选BCD.由关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根可得Δ=b2-4ac≥0,
由Δ=b2-4ac≥0可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,
所以“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2-4ac≥0”,A正确;
由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形,
所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件,B错误;
由x>3不能推出x>4,
所以“x>3”不是“x>4”的充分条件,C错误;
当A=B时,若x∈A,则x∈B,若x∈B,则x∈A,
所以“x∈A”是“x∈B”的充要条件,
所以若集合A B,则“x∈A”可能是“x∈B”的充要条件,D错误.
7.(5分)(多选)(2025·兴化中学高一质检)已知集合A={x|a+1
A.a<7 B.a<6 C.a<5 D.a<4
【解析】选AB.因为集合A={x|a+1当A= 时,a+1≥2a-3,解得a≤4,此时A∩B= ;
当A≠ 时,a+1<2a-3,解得a>4,若A∩B= ,则解得1≤a≤5.
又a>4,则4则A∩B= 的充要条件为a≤5,
所以A∩B= 的必要且不充分条件可能是a<7,a<6.
8.(5分)请写出不等式a>b的一个充分且不必要条件 a>b+1(答案不唯一) .
【解析】因为a>b+1能推出a>b,但是a>b不能推出a>b+1,所以a>b+1是不等式a>b的一个充分且不必要条件.
9.(5分)(2025·莱芜一中高一质检)设命题p:k>5,b<5,命题q:一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,则p是q的 充分 条件;q是p的 必要 条件.(用“充分”“必要”填空)
【解析】当k>5,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示,此时一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
10.(10分)设集合A=,
(1)请写出一个集合B,使“x∈A”是“x∈B”的充分条件,但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件;
【解析】(1)由于“x∈A”是“x∈B”的充分条件,但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件,所以集合A是集合B的真子集,由此可得B=符合题意.(答案不唯一)
(2)请写出一个集合B,使“x∈A”是“x∈B”的必要条件,但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件.
【解析】(2)由于“x∈A”是“x∈B”的必要条件,但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件,所以集合B是集合A的真子集,由此可知B={1}符合题意.(答案不唯一)
【综合应用练】
11.(5分)(2025·新海中学高一质检)设A,B,C是三个集合,则“A∩B=A∩C”是“B=C”的 ( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.由A∩B=A∩C,不一定有B=C,反之,由B=C,一定可得A∩B=A∩C.所以“A∩B=A∩C”是“B=C”的必要且不充分条件.
12.(5分)(多选)如果A是D的充分且不必要条件,B是C的充要条件,A是C的必要且不充分条件,则下列说法正确的是 ( )
A.A是B的必要且不充分条件 B.B是D的充分且不必要条件
C.C是D充要条件 D.B是D的既不充分又不必要条件
【解析】选AB.由A是D的充分且不必要条件,得A能推出D,且D推不出A;由B是C的充要条件,得B能推出C,且C能推出B;由A是C的必要且不充分条件,得A推不出C,且C能推出A.
对于A,由B能推出C,且C能推出B,A推不出C,且C能推出A,则A推不出B,且B能推出A,故A正确;
对于B,由A推不出B,且B能推出A,A能推出D,且D推不出A,得B能推出D,且D推不出B,故B正确;
对于C,由B能推出C,且C能推出B,B能推出D,且D推不出B,得C能推出D,且D推不出C,故C错误;
对于D,由B选项,可得D错误.
13.(5分)(2025·启东中学高一调研)若A,B是全集I的真子集,则下列五个命题:①A∩B=A;②A∪B=A;③A∩B=I;④x∈B是x∈A的必要且不充分条件.其中与命题A B等价的序号是 ① .
【解析】对于①,A∩B=A即为A B,故符合题意;
对于②,A∪B=A即为B A,故不符合题意;
对于③,
A∩B=I即为A=B=I,故可得A B,但A B得不到A=B=I,故不符合题意;
对于④,因为x∈B是x∈A的必要且不充分条件,故A是B的真子集,这与A B不等价,故不符合题意.
14.(5分)设x为任意实数,[x]表示不大于x的最大整数,例如,[0.5]=0,[-0.5]=-1,那么“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的 必要且不充分 条件.(在“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”中填一个)
【解析】充分性:当x=1.5,y=0.7时,|x-y|<1,但[x]=1,[y]=0,充分性不成立.
必要性:设n∈Z,令[x]=[y]=n,则n≤x即|x-y|<1,必要性成立.
故“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的必要且不充分条件.
15.(10分)已知集合A={x|0≤x≤4},B=,是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的
(1)当横线部分内容为“充要条件”时,若问题中的a存在,求出a的取值范围;若问题中的a不存在,请说明理由.
(2)请在①充分且不必要条件,②必要且不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面问题中的横线部分处.若问题中的a存在,求出a的取值范围;若问题中的a不存在,请说明理由.
【解析】(1)当横线部分内容为“充要条件”时,则A=B,则1-a=0且1+a=4,方程组无解.
所以不存在满足条件的a.
(2)若选①,则A是B的真子集,则1-a≤0且1+a≥4(两等号不同时取),且1-a≤1+a,解得a≥3,所以问题中的a存在,且a的取值范围为.
若选②,则B是A的真子集,当B= 时,1-a>1+a,即a<0,满足B是A的真子集;
当B≠ 时,1-a≤1+a,即a≥0,由B是A的真子集,得1-a≥0且1+a≤4(两等号不同时取),解得0≤a≤1.
综上所述:a≤1.
所以问题中的a存在,且a的取值范围为{a|a≤1}.
16.(10分)(能力挑战题·选做)设a,b,c为△ABC的三边,其中a是∠A的对边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
【证明】充分性:因为∠A=90°,所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0,
所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,
所以该方程有两个根x1=-(a+c),x2=-(a-c),
同理,另一方程x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2=0,
所以x2+2cx+(c+a)(c-a)=0,
所以[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,
所以该方程有两个根x3=-(a+c),x4=-(c-a),
可以发现x1=x3,所以这两个方程有公共根;
必要性:
设α是两方程的公共根,所以,
由①+②得:2α2+2α(a+c)=0,
若α=0,①式得到b2=0即b=0与三角形的边长不为0矛盾,所以α≠0,所以α=-(a+c),
代入①式得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0,
整理得c2+b2=a2,所以∠A=90°.
综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.(共22张PPT)
五 充分条件、必要条件、充要条件
(时间:45分钟 分值:95分)
【基础全面练】
1.(5分)设x∈R,则“x=2”是“x2=4”的 ( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选A.当x=2时x2=4,故充分性成立,由x2=4可得x=2或x=-2,故必要性不成立,所以“x=2”是“x2=4”的充分且不必要条件.
3.(5分)(2025·南靖中学高一月考)a,b中至少有一个不为零的充要条件是
( )
A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
【解析】选D.a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.
4.(5分)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标的哲理.由此可得,“积跬步”是“至千里”的 ( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.根据“做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标”,即要达成目标必须一点一点积累,所以“积跬步”是“至千里”的必要条件.
5.(5分)(2025·浏阳一中高一月考)若集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的 ( )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
【解析】选A.因为A={1,a},B={1,2,3},A B,所以a∈B且a≠1,所以a=2或3,即a=3 A B,所以“a=3”是“A B”的充分条件.
6.(5分)(多选)下列命题中叙述不正确的是 ( )
A.“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2-4ac≥0”
B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要且不充分条件
C.“x>4”的一个充分且不必要条件可以是“x>3”
D.若集合A B,则“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件
【解析】选BCD.由关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根可得Δ=b2-4ac
≥0,
由Δ=b2-4ac≥0可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根,
所以“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2-4ac≥0”,A正确;
由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形,
所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件,B错误;
由x>3不能推出x>4,
所以“x>3”不是“x>4”的充分条件,C错误;
当A=B时,若x∈A,则x∈B,若x∈B,则x∈A,
所以“x∈A”是“x∈B”的充要条件,
所以若集合A B,则“x∈A”可能是“x∈B”的充要条件,D错误.
8.(5分)请写出不等式a>b的一个充分且不必要条件__________________.
【解析】因为a>b+1能推出a>b,但是a>b不能推出a>b+1,所以a>b+1是不
等式a>b的一个充分且不必要条件.
a>b+1(答案不唯一)
9.(5分)(2025·莱芜一中高一质检)设命题p:k>5,b<5,命题q:一次函数y=(k-
4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,则p是q的_________条件;q
是p的_________条件.(用“充分”“必要”填空)
【解析】当k>5,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示,此时一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.
充分
必要
【综合应用练】
11.(5分)(2025·新海中学高一质检)设A,B,C是三个集合,则“A∩B=A∩C”是“B
=C”的 ( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.由A∩B=A∩C,不一定有B=C,反之,由B=C,一定可得A∩B=
A∩C.所以“A∩B=A∩C”是“B=C”的必要且不充分条件.
12.(5分)(多选)如果A是D的充分且不必要条件,B是C的充要条件,A是C的必要且不充分条件,则下列说法正确的是 ( )
A.A是B的必要且不充分条件 B.B是D的充分且不必要条件
C.C是D充要条件 D.B是D的既不充分又不必要条件
【解析】选AB.由A是D的充分且不必要条件,得A能推出D,且D推不出A;由B是C的充要条件,得B能推出C,且C能推出B;由A是C的必要且不充分条件,得A推不出C,且C能推出A.
对于A,由B能推出C,且C能推出B,A推不出C,且C能推出A,则A推不出B,且B能推出A,故A正确;
对于B,由A推不出B,且B能推出A,A能推出D,且D推不出A,得B能推出D,且D推不出B,故B正确;
对于C,由B能推出C,且C能推出B,B能推出D,且D推不出B,得C能推出D,且D推不出C,故C错误;
对于D,由B选项,可得D错误.
13.(5分)(2025·启东中学高一调研)若A,B是全集I的真子集,则下列五个命题:
①A∩B=A;②A∪B=A;③A∩B=I;④x∈B是x∈A的必要且不充分条件.其中
与命题A B等价的序号是_______.
【解析】对于①,A∩B=A即为A B,故符合题意;
对于②,A∪B=A即为B A,故不符合题意;
对于③, A∩B=I即为A=B=I,故可得A B,但A B得不到A=B=I,故不符合题意;
对于④,因为x∈B是x∈A的必要且不充分条件,故A是B的真子集,这与A B
不等价,故不符合题意.
①
14.(5分)设x为任意实数,[x]表示不大于x的最大整数,例如,[0.5]=0,[-0.5]=-1,
那么“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的_________________条件.(在“充分且不必要”
“必要且不充分”“充要”中填一个)
【解析】充分性:当x=1.5,y=0.7时,|x-y|<1,但[x]=1,[y]=0,充分性不成立.
必要性:设n∈Z,令[x]=[y]=n,则n≤x即|x-y|<1,必要性成立.
故“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的必要且不充分条件.
必要且不充分
16.(10分)(能力挑战题·选做)设a,b,c为△ABC的三边,其中a是∠A的对边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
【证明】充分性:因为∠A=90°,所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0,
所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0,
所以该方程有两个根x1=-(a+c),x2=-(a-c),
同理,另一方程x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2=0,
所以x2+2cx+(c+a)(c-a)=0,
所以[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,五 充分条件、必要条件、充要条件
(时间:45分钟 分值:95分)
【基础全面练】
1.(5分)设x∈R,则“x=2”是“x2=4”的 ( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.(5分)x=y的一个必要条件是 ( )
A.x2=y2 B.=1 C.= D.=
3.(5分)(2025·南靖中学高一月考)a,b中至少有一个不为零的充要条件是 ( )
A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
4.(5分)荀子曰:“故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标的哲理.由此可得,“积跬步”是“至千里”的 ( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.(5分)(2025·浏阳一中高一月考)若集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的 ( )
A.充分条件 B.必要条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
6.(5分)(多选)下列命题中叙述不正确的是 ( )
A.“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2-4ac≥0”
B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要且不充分条件
C.“x>4”的一个充分且不必要条件可以是“x>3”
D.若集合A B,则“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件
7.(5分)(多选)(2025·兴化中学高一质检)已知集合A={x|a+1A.a<7 B.a<6 C.a<5 D.a<4
8.(5分)请写出不等式a>b的一个充分且不必要条件 .
9.(5分)(2025·莱芜一中高一质检)设命题p:k>5,b<5,命题q:一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,则p是q的 条件;q是p的 条件.(用“充分”“必要”填空)
10.(10分)设集合A=,
(1)请写出一个集合B,使“x∈A”是“x∈B”的充分条件,但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件;
(2)请写出一个集合B,使“x∈A”是“x∈B”的必要条件,但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件.
【综合应用练】
11.(5分)(2025·新海中学高一质检)设A,B,C是三个集合,则“A∩B=A∩C”是“B=C”的 ( )
A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
12.(5分)(多选)如果A是D的充分且不必要条件,B是C的充要条件,A是C的必要且不充分条件,则下列说法正确的是 ( )
A.A是B的必要且不充分条件 B.B是D的充分且不必要条件
C.C是D充要条件 D.B是D的既不充分又不必要条件
13.(5分)(2025·启东中学高一调研)若A,B是全集I的真子集,则下列五个命题:①A∩B=A;②A∪B=A;③A∩B=I;④x∈B是x∈A的必要且不充分条件.其中与命题A B等价的序号是 .
14.(5分)设x为任意实数,[x]表示不大于x的最大整数,例如,[0.5]=0,[-0.5]=-1,那么“|x-y|<1”是“[x]=[y]”的 条件.(在“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”中填一个)
15.(10分)已知集合A={x|0≤x≤4},B=,是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的
(1)当横线部分内容为“充要条件”时,若问题中的a存在,求出a的取值范围;若问题中的a不存在,请说明理由.
(2)请在①充分且不必要条件,②必要且不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面问题中的横线部分处.若问题中的a存在,求出a的取值范围;若问题中的a不存在,请说明理由.
16.(10分)(能力挑战题·选做)设a,b,c为△ABC的三边,其中a是∠A的对边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
