1.1 多边形 课件（2课时）2025-2026学年数学湘教版八年级下册

(共43张PPT)
第1章 四边形
1.1 多边形
第1课时 多边形的概念及内角和
学习目标
1．了解多边形的定义，多边形的边、顶点、内角、对角线、正多边形等概念.
2．探索并掌握多边形内角和定理.
3．会运用内角和定理进行计算.
课时导入
观察
如图是三种窗户的示意图，请从图中抽象出一些多边形.这些多边形有什么特征？
我们可以发现，这些多边形都在一个平面内，且均由几条（不少于三条）线段收尾顺次相接而成.
问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.
问题1 什么是三角形？
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等，其中三角形是最简单的多边形.
内角：相邻两边组成的角
问题3 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、对角线、内角．
顶点：相邻两条边的公共端点
边：组成多边形的各条线段
对角线：连接不相邻的两个顶点的线段
在平面内，像正方形这样，各边相等，各角也都相等的多边形叫作正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正多边形的定义
下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？
(四条边都相等)
(四个角都相等)
答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；
第二个图形不符合各边都相等.
注意：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.
想一想
思 考
三角形的内角和是180°，四边形的内角和是多少度？
如图，四边形ABCD被它的一条对角线 AC分成△ADC和△ABC.
由于三角形的内角和为180°，
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×2 = 360°.
A
B
C
D
探究
六边形
七边形
…
五边形
在下列各个多边形中，任取一个顶点，画出通过该顶点的所有对角线，并完成下表.
·
图形 五边形 六边形 七边形
边数 5
从一个顶点出发的对角线条数 2
可分成三角形的个数 3
多边形的内角和 (5-2)×180°
6
3
4
(6-2)×180°
7
4
5
(7-2)×180°
猜测：n边形(n是不小于3的整数)的内角和等于多少？
从 n (n≥3) 边形的一个顶点可以作出 (n - 3) 条对角线.
将多边形分成 (n - 2) 个三角形.
n (n ≥ 3) 边形共有 条对角线.
知识讲解
多边形的对角线：
n边形的内角和：
如图，n边形A1A2…An有n个顶点A1，A2，A3，…，An.由于与任一顶点（如点A1）不相邻的顶点均有（n-3）个，因而从某一顶点出发有（n-3）条对角线，于是n边形A1A2…An被分成了（n-2）个三角形.
因此，n边形的内角和等于这（n-2）个三角形的内角和，即（n-2）·180°.
n边形的内角和等于（n-2）·180°.
由此得出：
思考
还可以用其他方法求n边形的内角和吗？
如图，在n边形A1A2…An内任取一点O，连接OA1，OA2，…，OAn，则n边形A1A2…An被分成了n个三角形.
由于n个三角形的内角和为n·180°，且这n个三角形有一个共同顶点O，以O为顶点的内角构成了一个周角.
n·180°-360°=（n-2）·180°.
因此，n边形的内角和为
例1
（1）十边形的内角和是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于1 980°，它是几边形？
解：
（1）十边形的内角和是
（10-2）×180°=1 440°.
（2）设这个多边形的边数为n，则
（n-2）×180°=1 980°，
解得n=13.
所以这是一个十三边形.
随 堂 小 测
1. 一个多边形的内角和不可能是 ( )
A.1 800° B.540°
C.720° D.810°
D
2. 九边形的对角线有（ ）
A. 25 条 B. 31 条 C. 27 条 D. 30 条
C
3. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形内角和等于 ( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
C
4. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引 10 条对角线，则这是 边形.
十三
5.六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
解：因为六边形截去一个角的边数有增加 1、减少 1、不变三种情况，所以新多边形的边数有 7，5，6 三种可能，如图所示.
归纳：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.
变式 一个多边形的内角和为1 800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：因为1 800÷180 = 10，
所以原多边形边数为10+2 = 12.
因为一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变，也可能加 1，
所以新多边形的边数可能是 11，12，13.
所以新多边形的内角和可能是1 620°，1 800°，1 980°.
6. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，若 BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：因为在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
所以∠ABC +∠ADC = 180°．
因为BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC，
所以∠CDF +∠EBF = 90°．
因为BE∥DF，所以∠EBF = ∠CFD，
所以∠CDF +∠CFD = 90°．
故△DCF 为直角三角形．
7. 如图，在五边形 ABCDE 中，∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，AP 平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P 的度数．
解：因为∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E = 540°，
∠C = 100°，∠D = 75°，∠E = 135°，
所以∠EAB+∠ABC = 540°-100°-75°-135° = 230°.
因为AP 平分∠EAB，所以∠PAB ＝ ∠EAB.
同理可得∠ABP ＝ ∠ABC.
因为∠P+∠PAB+∠PBA = 180°，
所以∠P = 180°-∠PAB-∠PBA
= 180° (∠EAB+∠ABC ) = 180° ×230°= 65°．
8. 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
解：如图，
因为∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ ∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝ 五边形的内角和 ＝ 540°.
8
9
9.一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为 n，则
(n - 2) 180 = 360 + 720，
解得 n = 8.
因为 这个多边形的每个内角都相等，
其内角和为 (8 - 2)×180°= 1 080°，
所以它每一个内角的度数为 1 080°÷8 = 135°．
小结
多边形的概念及内角和
定义
前提条件是在一个平面内
正多
边形
定义既是判定也是性质
内角和计算公式
(n-2)×180°(n≥3)
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
第1章 四边形
1.1 多边形
第2课时 多边形的外角和
学习目标
1．了解多边形的外角及其外角和的定义.
2．探索并掌握多边形外角和定理.
3．会运用内角和定理、外角和定理进行计算.
课时导入
动脑筋
我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？
首先我们来了解几个概念：
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 如图所示.
在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫做多边形的外角和.
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角．
问题1 任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
问题2 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5×180°= 900°
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形的外角和
= 360°
= 5个平角和
－五边形内角和
= 5×180°
－(5－2) × 180°
结论：五边形的外角和等于 360°.
问题3 这五个平角的和与五边形的内角和、外角和有什
么关系？
n 边形外角和
n 边形的外角和等于 360°.
－(n－2) × 180°
= 360°
= n 个平角的和－ n 边形内角和
= n×180°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
n 边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
思考
问题4 回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个
内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
任意多边形的外角和等于360°.
知识讲解
多边形的外角和：
n边形的外角和与边数没有关系.
例2
一个多边形的内角和等于外角和的 5 倍，它是几边形？
解： 设多边形的边数为 n，
则它的内角和等于 (n -2)·180°.
由题意得
(n - 2)·180°= 360°×5，
解得 n = 12.
因此这个多边形是十二边形.
观察
用4根木条钉成如图所示的木框，随意扭转四边形的边，可以得到不同形状的四边形，由此你会发现什么？
四边形具有不稳定性：
各边的长确定后，图形形状不能确定.
四边形的边长不变，但形状改变了.
在实际生活中，我们经常看到利用四边形的不稳定性的实例.例如，图1中的电动伸缩门、图2中的升降器. 有时又要克服四边形的不稳定性，如图3，在栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，使之稳定，这是利用了三角形的稳定性.
图1
图2
图3
随 堂 小 测
1. 一个正多边形的内角 135°，则这个正多边形的边数为______．
8
2. 如图所示，小明从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，再沿直线前进 10 米，又向左转 24°……照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，走的路程一共是________米．
150
3.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7∶2，求这个多边形的边数.
方法一：设这个多边形的内角为 7x°,外角为 2x°,
根据题意得
7x + 2x = 180，
解得 x = 20.
即每个内角是 140°，每个外角是 40°.
360°÷40° = 9.
答：这个多边形是九边形.
方法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得
解得 n = 9.
答：这个多边形是九边形.
4.一个多边形的外角和是内角和的 ，求这个多边形
的边数.
解：设多边形的边数为 n.
因为它的内角和等于 (n－2) 180°，
多边形外角和等于 360°，
所以 (n－2) 180°= 5×360°.
解得 n = 12.
所以这个多边形的边数为 12.
5. 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，求∠BED 的度数．
解：由题意得
AB = AE，
所以∠AEB = ( 180°- ∠A ) = 36°，
所以∠BED = ∠AED - ∠AEB = 108°- 36°= 72°.
6. 一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是 x°，外角是 y°，
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是 360°，
则该正多边形的边数为 360÷120 = 3.
故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是3．
小结
多边形的外角与外角和
外角和
多边形的外角和等于360°
特别注意：多边形的外角和与边数无关
四边形
具有不稳定性
外角的定义