1.2.1 平行四边形的性质 课件（2课时） 2025-2026学年数学湘教版八年级下册

第1课时 平行四边形边、角的性质
1.2.1 平行四边形的性质
学习目标
1．了解平行四边形的概念.
2．探索并证明平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等、对角相等.
3．能运用平行四边形的性质解答有关几何问题.
课时导入
做一做
观察下列图片，平行四边形在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
知识讲解
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
一般将平行四边形ABCD简记作?ABCD ( 要注意字母顺序).
1. 定义:
A
B
D
C
2.如图，在四边形ABCD中，若AD∥BC，AB∥DC，则四边形 ABCD 是平行四边形.
其中，∠A与∠C，∠B与∠D分别是两组对角，AD与BC，AB与DC分别是两组对边.
若一个四边形只有一组对边平行而另一组对边不平行，则它是平行四边形吗？
说一说
它不是平行四边形，是梯形.
两腰相等的梯形叫作等腰梯形.
有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形.
如图，四边形ABCD是梯形.
互相平行的两边叫作梯形的底,通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下底.
不平行的两边叫作梯形的腰.
两底的公垂线段叫作梯形的高.
A
D
C
B
上底
下底
高
腰
腰
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
根据平行四边形的定义，请画一个平行四边形 ABCD.
D
A
B
C
探究
A
B
C
D
活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现 AB 与 DC，AD 与 BC 之间的数量关系吗?
测得 AB = DC，AD = BC.
A
B
C
D
测得∠A =∠C，∠B =∠D.
活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现 ∠A 与∠C，∠B 与 ∠D 之间的数量关系吗?
猜想 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数量关系？
两组对边及两组对角分别相等.
怎样证明这个猜想呢？
猜想证明
证明：如图，连接 AC.
因为 四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 AD∥BC，AB∥CD.
所以 ∠1 =∠2，∠3 =∠4.
又AC=CA，
所以 △ABC≌△CDA（角边角）.
所以 AD = BC，AB = CD，∠ABC =∠ADC.
因为∠BAD =∠1 +∠4，∠BCD =∠2+∠3，
所以∠BAD =∠BCD.
A
B
C
D
1
4
3
2
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AD = BC，AB = CD，∠BAD = ∠BCD，
∠ABC = ∠ADC.
不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 AD∥BC，AB∥CD.
所以∠A +∠B = 180°，
∠A +∠D = 180°.
所以 ∠B =∠D.
同理可得∠A =∠C.
思考
知识讲解
平行四边形的性质定理：
平行四边形的对边相等、对角相等.
A
B
C
D
平行四边形的性质定理1：
做一做
如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？
A
B
C
D
解：AD 和 BC 的长度相等. 理由如下：
由题意知AB//CD，AD//BC，
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
所以AD = BC.
例1
如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，BF与CD相交于点G，AD=2，∠A=65°，∠E=33°，求EF和∠BGC．
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC=AD=2，∠1=∠A=65°.
因为四边形BCEF均是平行四边形，
所以EF=BC=2，∠2=∠E=33°.
于是在△BGC中，
∠BGC=180°-∠1-∠2=82°.
A
F
E
D
C
B
G
1
2
例2
如图，直线l1与l2平行，AB，CD是l1与l2之间的任意两条平行线段．试问：AB与CD是否相等？为什么？
A
C
B
D
l1
l2
解：因为 l1 // l2，AB // CD，
所以 四边形 ABDC 是平行四边形.
所以 AB = CD.
C
B
F
E
A
D
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m于A、C、E，交 n 于B、D、F.
由平行四边形的性质得 AB = CD = EF.
两条平行线之间的平行线段相等.
m
n
由平行四边形的定义易知四边形 ABDC，CDFE 均为平行四边形.
知识讲解
若m // n，AB、CD、EF垂直于 n，交 n 于B、D、F，交 m 于 A、C、E.
B
F
E
A
n
m
C
D
点到直线的距离
同前面易得 AB = CD = EF.
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离
随 堂 小 测
1. 在 ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点，若∠A = 135°，则∠MCD 的度数是（ ）
A. 45° B. 55° C. 65° D. 75°
A
A
B
C
M
D
2. 如图，在 ABCD中.
(1) 若∠A = 130°，则∠B =_____° ，∠C =_____° ，∠D =_____°.
(3) 若∠A+∠C = 200°，则∠A =____°，∠B =_____°.
(2) 若AB = 3，BC = 5，则它的周长 = ______.
C
D
A
B
50
130
50
100
80
16
3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AE 平分∠DAB，AB ＝ 5 cm，AD ＝ 9 cm，则 EC ＝ cm.
C
4
A
B
D
E
A
B
C
D
E
第4题图
第3题图
4. 如图，直线AE∥BD，点C 在BD上，若 AE = 5，BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 .
10
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
5. 已知： ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF，求证：BE = DF.
所以∠BAE =∠DCF.
所以 △ABE≌△CDF.
所以 AB = CD，AD∥BC.
又因为 AE = CF，
所以 BE = DF.
A
D
B
C
E
F
证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AB∥CD，AD = BC.
所以 ∠CDE = ∠DEA，∠CFB = ∠FBA.
又因为DE，BF 分别平分 ∠ADC，∠ABC，
所以∠CDE = ∠ADE，∠CBF = ∠FBA.
所以 ∠DEA = ∠ADE，∠CFB =∠CBF.
所以AE = AD， CF = BC.
所以AE = CF.
6. 已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC. 求证：AE = CF.
A
B
D
C
E
F
7. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE = 60 cm，BC = 80 cm，∠B = 60°，且 AE∥BC，AB∥CF，你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和∠D 的度数吗？
解：因为AE∥BC，AB∥CF，
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
所以∠D = ∠B = 60°，
AD = BC = 80 cm.
所以 ED = AD - AE = 20 cm.
答：DE 的长度是 20 cm，∠D 的度数是 60°.
小结
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行、相等
两条平行线间的平行线段相等
两条平行线间的距离
两组对角分别相等，邻角互补
第1章 四边形
1.2 平行四边形
第2课时 平行四边形对角线的性质
1.2.1 平行四边形的性质
1．探索并证明平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角线互相平分.
2．能运用平行四边形的性质解答有关几何问题.
学习目标
课时导入
我们知道了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢?
如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O.
OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系?
猜一猜
OA = OC，OB = OD.
怎样证明这个猜想呢？
A
B
C
D
O
思考
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以AD∥BC，AD = BC.
从而∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
因此△OAD≌△OCB（角边角），
从而OA = OC，OB = OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
理由
知识讲解
平行四边形对角线的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
应用：
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
平行四边形的性质定理2：
例3
在?ABCD 中，对角线 AC与BD 相交于点 O，AC=6，BD=10，CD=4.8.试求△COD的周长.
解：因为AC，BD为?ABCD 的对角线，
所以OC＝12AC=3，OD＝12BD=5.
又因为OC＝4.8，
于是，△COD的周长为3+5+4.8=12.8.
?
A
B
C
D
O
变式
已知?ABCD 的周长为 60 cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，△AOB 的周长比 △DOA 的周长长 5 cm，求这个平行四边形各边的长．
解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以OB ＝ OD，AB ＝ CD，AD ＝ BC.
因为△AOB 的周长比△DOA 的周长长 5 cm，
所以 AB－AD ＝ 5 cm.
又因为?ABCD 的周长为 60 cm，所以 AB＋AD＝30 cm，
则 AB ＝ CD ＝ 17.5 cm，AD ＝ BC ＝ 12.5 cm.
归纳：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
例4
如图，在?ABCD 中，对角线 AC与BD 相交于点 O， 过点 O 作一条直线MN，分别交 AD，BC 于点M，N. 求证：点O是线段MN的中点.
A
B
C
D
M
N
O
证明：因为AC，BD为?ABCD 的对角线，且相交于点O，
因为AD//BC，
所以△AOM≌△CON（角边角）.
所以OA=OC.
于是OM = ON.所以点O是线段MN的中点.
所以∠MAO=∠NCO.
又∠AOM=∠CON，
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
请判断下列图中，OE = OF 还成立么？
易证 OE = OF 成立.
归纳：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
议一议
变式
解：设 AB = x，则 BC = 24 - x.
根据平行四边形的面积公式可得
5x = 10 ( 24 - x )，
解得 x = 16．
则平行四边形 ABCD 的面积为 5×16 = 80．
如图，平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，若平行四边形 ABCD 的周长为 48，DE = 5，DF = 10，求平行四边形 ABCD 的面积.
归纳：已知平行四边形的高 DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
问题 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等. 理由如下：
因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以OA＝OC，OB＝OD.
因为△ADO 与△ODC 等底同高，
所以S△ADO＝S△ODC.
同理可得 S△ADO＝S△ODC＝S△BCO＝S△AOB.
归纳：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
随 堂 小 测
1. 在□ABCD中，AC = 24，BD = 38，AB = m，则 m 的取值范围是 ( )
A. 24＜m＜39 B. 14＜m＜62
C. 7＜m＜31 D. 7＜m＜12
B
C
D
A
O
C
2. 如图，?ABCD的对角线 AC，BD 相交于 O，EF 过点 O 与 AD，BC 分别相交于 E，F，若 AB = 4，BC = 5，OE = 1.5，那么四边形 EFCD 的周长为（　　）
A. 16 B. 14 C. 12 D. 10
A
D
C
B
F
E
O
C
3. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，
则 BD 的长是 .
A
D
C
B
O
4. 如图，平行四边形 ABCD 的面积为 20，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 AB，CD 上的点，且 AE = DF，则图中阴影部分的面积为_______．
5
5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，平行四边形 ABCD 的周长是 100 cm，△AOB 与 △BOC 的周长的和是 122 cm，且 AC∶DB = 2∶1，求 AC 和 BD 的长．
解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以 AD = BC，AB = CD，OB = OD，
所以 AB + BC = 50.
因为△AOB 与△BOC 的周长的和是 122 cm，
所以OA + OB + AB + OB + OC + BC = 122，
即 AC + BD = 122 - 50 = 72.
又因为AC∶DB = 2∶1，
所以AC = 48 cm，BD = 24 cm．
6.如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 交于 O 点，点 E，F 分别是 AO，CO 的中点，试判断线段 BE，DF 的关系并证明你的结论．
解：BE ＝ DF，BE∥DF.
理由如下：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
所以OA ＝ OC，OB ＝ OD.
因为点 E，F 分别是 AO，CO 的中点，
所以OE ＝ OF.
在 △OFD 和 △OEB 中，
OF ＝ OE，∠DOF ＝ ∠BOE，OD ＝ OB，
所以△OFD≌△OEB (边角边).
所以∠OEB＝∠OFD，BE＝DF. 所以BE∥DF.
A
B
C
D
O
解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，
根据勾股定理得
所以BC = AD = 8，CD = AB = 10.
所以△ABC 是直角三角形.
又因为OA = OC，
7. 如图，在　ABCD 中，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及　ABCD的面积．

因为AC ⊥ BC，
小结
平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分，且与对角线围成的三角形相对的两个全等